Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№ 293 Декабрь 2006

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.2

О.Н. Галажинская

ПРОДАЖА ТОВАРА НЕТЕРПЕЛИВЫМ ПРОДАВЦОМ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕНЫ

Рассматривается продажа одиночного товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены, когда длительность фазы поддержания цены на одном уровне зависит от числа пришедших покупателей.

Теория микроструктуры рынка является в настоящее время одним из самых бурно развивающихся разделов финансовой математики [1]. В ней рассматриваются рынок, состоящий из «нетерпеливых» продавцов и покупателей, и процессы изменения цены на таком рынке.

Описание модели

В работе рассматривается продажа единичного товара (например, объекта недвижимости) нетерпеливым продавцом, модель поведения которого следующая.

Пусть в момент начала продажи устанавливается цена ^. Продавец ждет, пока за товаром не обратится т1 потенциальный покупатель. Если товар будет продан - процесс закончен. Если из пришедших т1 никто товар не купил, то устанавливается цена £2, которая держится на т2 потенциальных покупателях. Если товар будет продан - процесс закончен, если нет - устанавливается цена £3, которая держится на т3 потенциальных покупателях и т.д. Этот процесс может быть пояснен рис. 1.

Рис. 1

Будем считать поток потенциальных покупателей пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На п-й фазе покупатель купит товар с вероятностью Яп = %( £п), где Я( £) - некоторая функция от цены £.

Очевидно, что Л(£) есть монотонно убывающая функция.

Исследуем основные характеристики этой модели.

Распределение номера продажной фазы

Обозначим через р безусловную вероятность того, что при нахождении на і-й фазе товар не будет куплен. Так как покупатели независимы, то

Р =(1 - % ). (1)

Пусть бп есть вероятность того, что товар будет

куплен на п-й фазе. Это означает, что он не будет куп-

лен на фазах с номерами 1, 2, 3, ..., п -1. Поэтому

б = р р2 Рз ... Рп-1 (1 - Рп)=

п-1 (2)

=П (1 - %) М1 - (1 - кп г).

і=1

0

При этом считается, что П (1 - Рі)т = 1.

і=1

Проверим выполнение условия нормировки. Имеем

£ б=( 1 -1=1 Р Ш р-1=1 р V

п=1 V і=1 У V і=1 і=1 У

+(п р-П р )+■■.

(N-1 \

...+ІП р-П р)=1 -П р

V і=1 і=1 У і=1

и поэтому

£ бп=1 -П р . (3)

п =1 =1

В дальнейшем будем считать, что

да N

П р = 1ітП р = 0. (4)

і=1 і=1

В этом случае товар будет продан с вероятностью 1. Запишем это условие в несколько другой форме.

да

Условие П Р = 0 эквивалентно условию [2]:

/=1

да

У 1п Р/ = -да,

1=1

что может быть записано так:

£ ші 1п(1 - Яі) = -да .

(5)

р{£ = £п} = бп, п =1 да .

(6)

Отсюда

М {£} = £ £пбп =

п=1 да п-1

= £ ^ П (! - ) ш[1 - (! - Я)ш

п=1 і=1

да

м {£2} = £ Бб =

п=1 да п-1

= £ £2 П (! - Я) ^ - (! - Я)ш

п=1 і=1

купил к-й. Вероятность такой комбинации равна (1 - Я)к-1 Я . Так как мы выставили дополнительное условие - товар куплен на этой фазе, то условная вероятность покупки его к-м покупателем при условии, что товар куплен, равна

(1 - Я)к-1 Я 1 - (1 - Я)ш

(8)

Это условие более простое для проверки.

Обычно при / ^да Я/ ^ 1. Так как Иш(1 - Я) = -да,

Я^1

то условие ИшЯ/ = 1 является достаточным условием

/^да

расходимости ряда (5) и продажи товара с вероятностью 1.

Характеристики продажной цены

Если товар будет продан на п-й фазе, то продажная цена будет равна Бп. Поэтому продажная цена есть дискретная случайная величина, принимающая значения Бп с вероятностями бп:

так как вероятность покупки равна 1 - (1 - Я)т.

т

Легко проверить, что = 1. Действительно,

к =1

яУ (1 - Я)к-1 = я 1 - (1 - Я) = 1 - (1 - Я)т, к=1 1 - (1 - Я) ' '

т

откуда и следует, что У пк = 1.

к=1

Найдем теперь условную среднюю длительность X] периода времени от начала фазы до момента покупки при условии, что товар будет куплен. Так как среднее значение интервала времени между приходами покупателей для пуассоновского потока равно 1/X [3, 4], то

ш к ! Я£ к(1 - Я)к

М {т1} = £ -пк =----------------к-=-------------

1 Н х к х 1 - (1 - Я)ш

Однако в соответствии с [5]:

£ ка--1 = 1 - +1 - (ш + 1)ат (1 - а)

(1 - а)2

(7) поэтому

я£ к(1 - я)к =

= Я

Обозначим

1 - (1 - ЯГ+1 - (ш +1) Я(1 - Я)ш

Я

(9)

(10)

В[Бе} = М {£2} - М 2{£ }.

ф(Я, ш) =

1 - (1 - Я)ш+1 - (ш + 1)Я(1 - Я)ш

Я

(11)

тогда получаем

Среднее время до продажи товара

Прежде чем выводить формулу для среднего времени до продажи товара, рассмотрим один вспомогательный результат.

Пусть фаза характеризуется величинами Я (вероятность покупки) и ш (максимально возможное число потенциальных покупателей). Найдем условное распределение номера покупателя, купившего товар, при условии, что он будет куплен на этой фазе.

Пусть товар купил покупатель к-й по счету. Это означает, что первые к -1 покупателей его не купили, а

М {х,} =

1 ф(Я, ш) х’ 1 - (1 - Я)ш

(12)

Обозначим теперь через т длительность промежутка времени, проходящего от начала продажи товара до его покупки, и пусть т = М{т} . Вычислим эту величину.

Пусть товар куплен на п-й фазе. Средняя длительность 5-й фазы (5 = 1, п -1), на которой товар не был продан, равна ш5/X, так как на ней пришло ш5 покупателей. Поэтому средняя длительность времени

і=1

к=1

к =1

и

до момента покупки при условии, что товар куплен на п-й фазе, равна

у (Я, ш) =

1 - (1 - Я)” Я

(17)

1

£

ф(Яп , шп )

л

ш +-5= 1 - (1 -Яп Г

(13)

Графики этой функции в зависимости от аргумента т при различных Я приведены на рис. 2. Заметим, что у(Я,1) = 1, а при т ^да Иш у(Я,т) = 1/Я .

Усредняя по номеру продажной фазы п, получим

да I п-1 Л п-1

ХМ{т} = У| у т, |П (1 - Я Т (1 - (1 - Яп г) +

п=1 V £=1 ) /=1

да п-1

+Уф(Яп, тп )П (1 - Я/ г , (14)

п=1 /=1

так как в последней сумме сомножитель (1 - (1 - Яп)т") сокращается.

Преобразуем первую сумму. Переставляя местами суммы, получим

да п-1 п-1

УП (1 - Я/)т- (1 - (1 - Яп)тп)-У т5 =

п=1 /=1 £=1

да да п-1

= У т5 У П (1 - Я,.)т (1 - (1 - Яп)т),

£ = 1 п=£ + 1 /=1

но

да п-1

У П (! - Я)т- (1 - (1 - Яп)т") =

п=£+1 /=1

I £ £ + 1

= |П(!-Я1Г -П(!-Я>)т 1 +

10-у(Я, ш)

8-

4-

R = 0

R = 0.1

R = 0.2

R = 0.3

R = 0.5

R = 0.7

і=1 5 + 1

і = 1 5 + 2

П(!-Я>Г -П(!-ЯіГ 1+... =

і=1 5-1

= (1 - Я5 Г П (! - Яі Т .

Меняя индекс суммирования в окончательной сумме на п, получим

1 1 і 1 і ■і ■і ■і 1 і ■і ■і 1 і

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рис. 2

Теперь окончательно выражение для ХТ = ХМ{т} можно записать в виде

да п-1

ХМ{т} = Хт=Уу (Яп, тп )П (1 - Я, )т . (18)

Плотность вероятностей длительности продажи товара

Пусть т есть промежуток времени, проходящий между моментом выставления товара на продажу и его покупкой. Введем функцию

да да п-1

О (д) = М {едт},

(19)

£ ш5 £ П (! - Я,)ш (1 - (1 - Яп)ш) =

5 = 1 п=5+1 і = 1

да п-1

= £ шп (1 - Яп)шп П (1 - Яі)ш .

п=1 =1

Подставляя это в (14), будем иметь

да п-1

ХМ{т} = £[шп (1 - Яп )ш +ф(Яп, шп )]П (1 - Яі )ш. (15)

п=1 =1

Введем функцию

у( Я, ш) = ш(1 - Я)ш +ф(Я, ш) =

= ш(1 - Я)ш +1 - (1 - Я)ш+1 - ^ + »Я(1 - Я)ш . (16)

представляющую собой преобразование Лапласа от плотности вероятностей р(т) величины т.

Пусть товар продается на п-й фазе. Обозначим через Ґ, і = 1, п -1, время пребывания на і-й фазе, на которой товар не был продан, и через тп величину интервала времени от начала п-й фазы до момента его продажи при условии, что товар на п-й фазе продан. Тогда, при условии, что товар продан на п-й фазе,

т= + ґ2 + ... + ґп-1 +тп . (20)

Вычислим М{ехр(-д(ґ1 + ґ2 +... + ґп-1 +тп))}. Учитывая, что приходы покупателей и совершаемые ими покупки независимы, будем иметь

После упрощений получим

х

6

2

ш

п=1

=1

=1

М {ЄХр(-д(/ + /2 + ... + Ґп- +тп ))} =

так что

= ПМ{е-дґ } ’М{е-дтп}.

(21)

На і-й фазе, где товар не был продан, пришло ровно ші покупателей. В силу пуассоновости потока плотность вероятностей интервалов т между их приходами имеет экспоненциальное распределение р(т) = Хе~Хт, преобразование Лапласа от которой имеет вид X/(д + X). Поэтому

М {ехр(-дґ)} =

ПМ{е-дґ } =

X

д + X

(22)

д + X

(23)

Обозначим для краткости У т., = Мп, считая, по

=1

определению, М0 = 0 . Тогда окончательно

М {ехр(-д(ґ + ґ2 +... + ґп-! +тп))} =

\Мп_1

1

ЯХ

X

1 - (1 - Яп Тп д+ЯnX V д + X

X

1 - (1 - Яп )ш

д + X

Усредняя по номеру п продажной фазы, получим

О(д) = £

ЯД ( X

Мп-1

1 - (1 - Яп )ш

X

д + X

■П (1 - я г

(26)

что и дает окончательный результат (сомножитель 1 - (1 - Яп )т" сократился с соответствующим сомножителем в Qn).

Для нахождения р(т) найдем сначала обратное преобразование Лапласа от слагаемого вида

ПМ{е-д } =

д + X

(24)

Вычислим теперь М{е дХп}. Как уже указывалось выше, условная вероятность того, что товар будет куплен к-м покупателем при условии, что он вообще продан на п-й фазе, имеет вид

(1 - Яп)к-1 Яп

1 - (1 - Яп )ш

Но раз он был куплен к-м покупателем, то до совершения покупки наступило к событий пуассоновского потока, и преобразование Лапласа от плотности вероятностей этого временного интервала равна (X/(д + Х) )к. Поэтому

М{е~д1п} =

Яп

£

1 - (1 - Яп Г £ V д+х

X

(1-Яп )к-1 =

1

ЯпX £ ( X(1 - Яп)

1 -(1 -Япг д + х V д + х

Яп X

1-

X(1 - Яп) д + X

1 - (1 - Яп Г д + X 1 X(1 - Яп)

д + X

1

ЯХ

1 - (1-Яп)ш д +ЯnX

1 - (1-Яп )ш

д+X

д+ях Vд + X Имеет место соответствие [6, 7]:

(27)

д + ЯX

X М тМ -

д + XУ (М-1)!

Так как произведению изображений соответствует свертка оригиналов, то

-^’(—1 «ЯЯЯL Г хМЛ-*- ’ е^-х)йх = д + ЯX Vд + хJ (М-1)!0

X М+1 я т

е^Г хМ^е^1-^ хйх = (М -1)! 0

X (1-Я)т

М+1

X Я e_XЯт _

(М -1)! '(X(1 - Я)) 0

хя

2м-1е~2йг =

(М -1)!(1 - Я) где Г(М, х) - неполная гамма-функция

1

- Р))М Г

м Г(М, X(1 - Я^е^, (28)

Г(М, х) = Г 2м-1е~2й2.

Возвращаясь к (30), получим

XЯn

р(т) = £<

,-Щ,т

(Мп-1 -1)!(1 - Яп )Мп-

■Г(Мп-„ Х(1-Я„)т) -

і=1

п

и

і=1

і=1

п=1

ЯЯn

(Мп -1)!(1-Яп)Мп или, в более кратком виде

Р(т) е^

(1 - Яп)ш Г(Мп, Ж1 - Яп)т)

п-Г(1 - Яп)Мп-1 1

1

(Мп -1)!

(Мп-> -1)!

’ (1 - Яп)ш Г(Мп, Я(1 - Яп)т)

Г(Мп-1, Я(1 - Яп )т) -

П - ЯГ.

£М п=1

Т пг ■ п(п -1)

Так как £ / =-----------------:-----, то

і=1

= £ 2П (1 - 2пш )П 2ш . (32)

2

(1 - 2™ ) = /(2, ш), (33)

М ^ = у «+

и это отношение зависит только от 2 и т.

Графики зависимости /(2, т) от 2 при различных т приведены на рис. 3. Заметим, что /(0, т) = 0 .

Заметим, что первый аргумент у гамма-функции есть целое число. Тогда [8, 9]:

1 2 (М-1 х5

---------Г Xм-1е~ хйх = 1 -I £ —

(М -1)! о V5=0 5!

поэтому

1

(Мп-1 -1)!

Г(Мп-„ Ж1 - Яп)т) -

1

(Мп -1)!

£ (Ж1-Яп )т)

Г(Мп, Ц1 - Яп)т) =

5!

и поэтому окончательно

р(т) = е-^—^

п=1(1 - Яп)

(X(1 - Яп )т)5

Мп-1

£

5!

П (1 - я>)ш

(29)

что и дает окончательный результат.

Иллюстративный пример

Рассмотрим случай, когда Я( £) имеет вид

- £

Я( £) =

а закон изменения цены - вид

3 ^ + (£м - )2і, 0 < 2 < 1.

Тогда

£м - 3 = (£м - ^ )(1 - 2і)

и поэтому

я,.=1 - 2і, 1 - я,.=2і, і=їда.

(30)

Будем считать, что все фазы имеют одинаковую длину т. Тогда (1 - Я,)т = 2,т . Поэтому

да п-1

М{Бе} = У[+ (5м -)2п]-П2,т -(1 -2т), (31)

Рис. 3

Находя среднюю длительность продажи товара, получим

У( Яп , шп ) =

1 - 2пш 1 - 2п

п( п-1)

. -----------ш

1ш — т 2

и поэтому

шп п(п-1)

XX = £ —

£11 -

-2

2

(34)

Графики этой функции приведены на рис. 4.

откуда следует, что

Рис. 4

і=1

і=1

і=1

X

і=1

п

п=1

і=1

Оптимизационная задача

Рассмотрим задачу на максимизацию функционала

Ф = У (Sn - Kn )(1 - Pn )П P

(35)

которая сводится к решению системы уравнении

дФ

dS,

• = 0, l = 1, да .

(36)

Выведем явный вид этих уравнений. Первый раз величина встречается в слагаемом, равном

(_ - К,) (1 - (1 - Я( _)т) ) ),

причем в р , / = 1,1 -1, величины нет. Производная

от этого слагаемого по _! равна

[1-(1-Я(_ г + (_, - К, )т_ ’ (_ )(1-Я(_ ))т-1 ]П р .(37)

/=1

В слагаемых с п >1 величина Б 1 присутствует только в сомножителе р = (1 - Я())т‘ , производная от которого равна

P; = -mR(S)(1 -R(S))4-1 = - m‘R (S) P . (38)

1 - R(S)

Поэтому

^ = [l-(1-R(Si Г + (Sl - K )mR (Sl )(1-Щ ))m-1 ]x

dS,

m,R'(S,) у (S' - ^ ^ P (l - P,). (39)

t-t m

хП p - -г

i=1 1 "

-R(S,) п=7+1

i=1

Приравнивая это выражение нулю и деля на П р

i=i

получим уравнение

1 - (1 - R(Sl)Г + (Sl - K,)mlR'(Sl)(1 - R(Sl)Г -1 -mlR'(Sl)

1 - R(S,)

(40)

Р = У (Бп - Кп )П Р (1 - Рп).

п= ,+1 / = ,

Из (44) имеем

(1 - Я( Б,)) [1 - (1 - Я(_ ))“'] т,Я' (Б) +

+(_ - К,)(1 - Я(_)Г = р (41)

Аналогично,

(1 - Я( Б,+,)) [1 - (1 - Я( Б,+,))-+■] + тмЯ'(Бм) +

+(Б,+1 - К,+1 )(1 - Я(Б,+1 ))"- = . (42)

Можно показать, что имеет место рекуррентное соотношение

Р = (_+1 - К,+1)р (1 - р+1) + рРм.

Это дает нам

(1 - Я( Б,)) [1 - (1 - Я(_ ))т]

------------] + (_, - к,)(1 - Я(_))т =

т_ (_)

= (_+1 - К,+1 )(1 - Я(_))т [1 - (1 - Я(_+1))] +

+(1 - Я( Б, ))т х

(1 - Я( _+1)) [1 - (1 - Я( _+1)) т1]

m,+R (S,+■)

+(S,+1 - K,+l)(1-R(S+■)-

Деля на (1 - Я(Б 1))т', раскрывая скобки и упрощая, получим следующее рекуррентное соотношение:

S,+l к,+і +

(і -R(S,)) [і - (і - R(S,)Г] m,R' (S, )(1 -R(S,)Tl =

(1 - R( S,+■)) [l - (1 - R( S,+■)) ""+■]

m,+l R' (S;+■)

. (43)

где, как и ранее,

Оно дает уравнение, связывающее Sm и Sm+1. Использовать его можно, например, следующим образом: задаваясь S0, находить S1 (разумеется, только численно), затем, зная S1, находить S2 и т.д. После этого можно сосчитать величину Ф , которая будет зависеть теперь только от S0. Далее надо численно наИти max Ф, ис-

So

пользуя известные численные методы нахождения максимума функции одноИ переменной.

п=1

i=1

ЛИТЕРАТУРА

1. O'HaraM. Market Microstructure Theory. Blackwell Publisher Inc., 2002. 290 p.

2. СмирновВ.И. Курс высшей математики. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1957. Т. 4. 812 с.

3. КрамерА.И., ЛиндбеттерМ. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987. 313 с.

4. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука,

1985. 640 с.

5. Прудников А.П., БрычковЮ.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2003. Т. 1. 630 с.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. Т. 1. 343 с.

7. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 466 с.

8. Градштейн И.С., РыжикИ.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

9. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган и др.

М.: Наука, 1979. 830 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 31 мая 2006 г.