CC BY
86
Горкуненко А.Б., Лупенко С.А., Осухивская Г.М. Сравнительный анализ математических моделей, методов анализа и прогнозирования циклических экономических процессов
Проведен сравнительный анализ существующих подходов, моделей, методов анализа и прогнозирования циклических экономических процессов. Установлена эффективность применения новых математических моделей циклических экономических процессов, основанных на результатах теории циклических случайных процессов и векторов.
Ключевые слова: модель, метод, прогнозирование, циклический экономический процесс.
Horkunenko A.B., Lupenko SA., Osuhivs'ka G.M. Comparative analysis of mathematical models, methods of analysis and forecasting of cyclical economic processes
A comparative analysis of existing approaches, models, methods of analysis and forecasting of cyclical economic processes. Established the effectiveness of new mathematical models of cyclical economic processes based on the results of the theory of random cyclic processes and vectors.
Keywords: model, method, forecasting, cyclical economic process.
УДК 519.874 Магiстрант 1.В. 1зотн; доц. Т.Я. Лагоцький, канд. екон. наук -
Львiвський НУ м. 1вана Франка
ПРОБЛЕМАТИКА ЗАДАЧ СТОХАСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В УПРАВЛ1НН1 ВИРОБНИЧИМИ ЗАПАСАМИ
Проаналiзовано змют виробничих запаав шдприемства та здшснено огляд ос-новних проблем ефективного управлшня запасами. Для формування оптимальних стратегш управлшня виробничими запасами шдприемства проаналiзовано проблеми побудови стохастичних моделей задач управлшня виробничими запасами, дослщже-но основш шдходи щодо !хнього розв'язування, а також проаналiзовано особливосп застосування прямих та непрямих метсдав розв'язування задач стохастичного прог-рамування.
Ключовг слова: шдприемство, виробничi запаси, стратепя управлшня запасами, стохастичне моделювання, квазiградiентнi методи.
Вступ. Для забезпечення неперервного 1 ефективного функцюнування будь-яко! економ1чно! системи необхщний якюний мехашзм управлшня запасами. Одшею з важливих переваг використання метод1в 1 моделей стохастичного програмування в управлшш виробничими запасами е можливють знахо-дження оперативних та перспективних плашв розвитку дослщжувано! системи, а також можлива корекщя цих плашв, яка забезпечить мшмальш сумарш витрати на реал1защю плану та його подальшу корекщю.
Постановка проблеми. В умовах розширення й поглиблення проце-ив спещал1зацп й кооперування 1, як наслщок, значного шдвищення р1вня конкуренцп, особливого значення набувають питання, пов'язаш з управлш-ням виробничими запасами. Одшею з основних проблем при цьому е забезпечення оптимально! р1вноваги м1ж мшм1защею кашталовкладень в запаси з одного боку 1 максим1защею р1вня обслуговування користувач1в шд-приемства за безперервного виробничого процесу - з шшого. Багато теоре-
тичних i методологiчних аспекпв управлiння товарно-матерiальними запасами, що враховують стохастичний характер попиту, залишаються мало досль дженими i слабко виcвiтлюютьcя у вичизнянш eкономiчнiй лiтeрaтурi. Тому актуальними е питання розвитку теорп, методологи i моделей упрaвлiння ви-робничими запасами в умовах ризику та невизначеност
Анал1з останн1х досл1джень i публжацш. Стохacтичнi економжо-ма-тeмaтичнi модeлi i методи упрaвлiння запасами, що базуються на теорп дифе-рeнцiйного та штегрального числення, розглянуто в роботах таких науковщв як С.Д. Бшоголовцев, Ю.1. Рижиков, Г.Б. Рубальський, Л.П. Тур, Н.Д. Фасо-ляк, Р. Беллман, Дж. Хедл^ Ф. Хенсманн, К. Эрроу та iнших. Значний внесок у розв'язання математичних проблем управлшня запасами зробили вчеш з 1н-ституту кiбeрнeтики НАН Укра1ни, зокрема Ю.М. Ермольев, З.В. Некрилова, В.1. Норкiн, П.С. Кнопов, С.П. Урясьев, О.О. Гайворонський, А.М. Гупал, Ю.М. Канювський, М.В. Михалевич, А.1. Ястремський та шш1 Особливостя-ми програмно! рeaлiзaцil квaзiгрaдiентних aлгоритмiв, а також 1х застосуван-ня до стохастичних задач управлшня виробничими запасами вивчав Ф. Мiр-зоахмедов. Проте недостатня висвгглешсть та розробленють цих проблем i стала основою для проведення нашого доcлiджeння
Виклад основного матерiалу. Запаси зacобiв виробництва становлять eкономiчну кaтeгорiю, притаманну товарному виробництву на вих cтaдiях його розвитку. Виробничi запаси становлять нaйбiльшу частину оборотних фондiв. До них належать запаси сировини, основних i допомiжних матерь aлiв, покупних нaпiвфaбрикaтiв, палива й пального, тари, ремонтних деталей i вузлiв, мaлоцiнних iнcтрумeнтiв, господарського швентарю (реманенту) та iнших предмепв, а також aнaлогiчних прeдмeтiв, що швидко зношуються [2].
У процеш виробництва виробничi запаси використовують неоднаково. Деяк з них повнicтю споживають у тeхнологiчному процeci (сировина i мате-рiaли), iншi змiнюють лише свою форму i розмiр (мастильш мaтeрiaли i фар-би), треп лише сприяють виготовленню виробiв, але не включаються до !х маси, або хiмiчного складу. Побудова та використання неефективних страте-гiй управлшня запасами може призвести як до незначних збитюв (втрати час-тини доходу внаслщок дeфiциту товару), так i до кaтacтрофiчних нacлiдкiв (наприклад, пiд час зaкупiвлi нeобхiдних медикаменпв в процeci розгортання лiкувaльних-профiлaктичних зaходiв).
Ефeктивнicть упрaвлiння виробничими запасами мае важливе значен-ня, оcкiльки до eкономiчних збиткiв може призвести як нaдмiрнe перевищен-ня обгрунтованого рiвня зaпaciв, так i нeдоcтaтнiй !х рiвeнь. До основних проблем управлшня запасами можна вщнести тaкi як велика кшьюсть факто-рiв, що впливають на розмiр замовлення (величина й нeрiвномiрнicть витрат, вiддaлeнicть постачальниюв, обмеження рecурciв, способи транспортування); рiзномaнiтнicть видiв зaпaciв (поточнi, cтрaховi, сезонш та iншi); велика кiль-юсть пaрaмeтрiв, за якими нeобхiдно приймати ршення пiд час упрaвлiння запасами (величина замовлення, момент замовлення, момент поставки, штер-вал часу мiж замовленнями та iншi); велика кшьюсть стратегш та систем контролю за станом запашв (зокрема системи перюдичного контролю, системи
безперервного контролю); неможливють адекватного врахування змiни масштабу виробничо! системи; збiльшення часу виконання замовлень, розташо-ваних у вщдалених зонах; невизначенiсть стану зовшшнього середовища.
Необхiднiсть врахування наведених умов функцюнування системи уп-равлiння виробничими запасами зумовлюе використання iнструментарiю економжо-математичного моделювання. Оскiльки величина попиту переваж-но е випадковою величиною, то для побудови ефективних стратегш управ-лiння виробничими запасами застосовують методи та моделi стохастичного програмування.
У стохастичному програмуваннi значнi труднощi виникають як тд час розроблення методiв розв'язування задач, так i пiд час 1хньо1 економшо-математично! постановки. Постановка задач стохастичного програмування iстотно залежить вiд можливостi оргашзацп спостережень та вимiрювань ви-падкових подiй w. Залежно вiд цього розрiзняють задачi оперативного i перспективного стохастичного програмування. У задачах оперативного стохас-тичного програмування ршення Х^) (випадковий вектор) приймають пiсля деякого експерименту над випадковою подiею w i воно залежить вщ резуль-татiв цього експерименту. У задачах перспективного стохастичного програмування ршення х приймають до проведення певних спостережень за випадковою подiею w i тому воно е детермшованим.
Загальна задача стохастичного програмування [3; 5] формулюеться як
задача MimMi3a^i нелшшно1 цшьово! функцп.
Fo(x) ^ min, (1)
за обмежень F(x) ^ 0, i = 1, m, (2)
x е X с Rn. (3)
Функцп ^(х) становлять математичнi сподiвання вiд деяких випадко-вих функцiй gi(x, w). Значення останнiх, за заданого плану х, визначають еле-ментарною подiею w деякого ймовiрнiсного простору (в, 3, Р), де в - мно-жина елементарних подш, 3 - система тдмножин в, на яких визначено ймовiрнiсть Р.
Отож, наша задача набуде такого вигляду:
(х) = М (F1 (х, w)) = |^о (х, w) Р (dw), (4)
за обмежень: Fi (х)= М (gi (х, w)) = J ^ (х, w)P (dw)> 0,г' = 1,т , (5)
> 0, i = й. (6) Залежно вiд конкретного виду g (х, w), задачу (4)-(6) можна розгляда-ти статичну або динамiчну задачу стохастичного програмування.
Розглянемо прикладне застосування методики стохастичного програ-мування для розв'язування задачi управлшня виробничими запасами [3; 5; 8]. Нехай х - запланований рiвень виробництва за певний перюд часу, в - попит на продукщю у цей перюд (випадкова величина). Тодi випадковi витрати,
пов'язанi iз збереженням нереалiзованоl продукцп або наявнютю незадоволе-ного попиту, можна задати у виглядi функцп
/0 (х,в) = тах {съ(х -в), С2 (- х)} (7)
де: сьс2 - штрафнi коефiцieнти. Функцiя /0(х,в) - певна опукла негладка функцiя.
Одшею з важливих моделей стохастичного програмування е так звана двоетапна постановка. Маданський А. встановив [1], що область обмежень задачi в умовах невизначеносп не може бути сформульована у виглядi певно1 едино1 задачь Саме необхiднiстю врахування можливого коректування рiвня виробництва в умовах невизначеносп i ризику зумовлений розгляд двоетап-них моделей управлiння виробництвом. У моделях двоетапного стохастичного програмування вщображаються найбшьш характернi особливостi плану-вання в умовах невизначеностi: ймовiрнiсний характер початково1 шформа-ци; коректування рашше обраного плану за ступенем уточнення шформацп; вибiр попереднього плану з врахуванням його майбутнього коректування.
Припустимо, що план х та його корекщя у для вшх випадкових подш w повиннi задовольняти таким обмеженням:
/ (х,у^)< 0,1 = Ьт (8)
х е X, у еГ (9)
де: х = (,...,хп),у = (уь,.....,уг) .
Нехай затрати, пов'язаш з реалiзацiею плану х та його корекцп у у ви-падковiй поди w, дорiвнюють:
/о (х, у, w) (10)
Позначимо через у(х, w) корекщю, яку можна iнтерпретувати як мшь мальний об'ем додаткових ресурив, необхiдних для реалiзацil плану х. Корекщя мiнiмiзуе функцiю (10) за умов (8)-(9), i фжсованих х та w. Тодi оч^ваш затрати на реалiзацiю плану х i корекцiю у(х, w) становитимуть:
^ (х)= М (/0 (х, у (х, w), w)) (11)
i задача полягае у виборi такого плану х, який мiнiмiзуе функцiю цiлi (11), за умови, що:
х е X . (12)
Алгоритми оптимiзацil стохастичних систем можна умовно роздшити на двi великi групи: прямi та непрямi методи. Однi з перших непрямих алго-ритмiв були запропоноваш в роботах [1; 7]. Непрямi методи стохастичного програмування можуть бути заснованi на застосуваннi необхщних ознак екстремуму, на зведеннi чи замш стохастично! екстремально1 задачi детермь нованим аналогом - задачею нелшшного програмування, розв'язок яко! можна отримати вщомими методами нелiнiйного програмування. Непрямими методами вирiшуеться дуже вузький клас задач стохастичного програмування, оскшьки успiх !х застосування залежить вiд спецiальних властивостей задачi,
закошв розподшу ймовiрностей. У разi застосування класичного аналiзу для вирiшення стохастичних задач управлшня запасами можливi такi проблеми як неможливють побудови випадково1 функцп розподiлу P (w) для ушх прик-ладних задач, а також цшьова функцiя (4) в загальному випадку може бути негладка. Вказаш труднощi звужують область застосування класичного ана-лiзу та нелшшного програмування для вирiшення стохастичних моделей управлшня виробничими запасами.
Перевагами прямих методiв розв'язування стохастичних задач управлшня промисловим тдприемством е 1хня простота для чисельно1 реалiзацil та можливiсть дiалоговоl реалiзацп обчислень. До них вщносять методи ви-падкового пошуку, стохастично1 апроксимацп, стохастично! лшеаризацп, а також стохастичний аналог методу Ерроу-Гурвща. У роботi [4] був розробле-ний ще один, так званий стохастичний квазiградiентний метод розв'язування задач опуклого стохастичного програмування. Рiзнi модифжацп цього методу було розглянуто у роботах академжа НАН Укра!ни Ю.М. Срмольева i його учнiв: В.1. Норкiна, П.С. Кнопова, С.П. Урясьева [6] та шших. Основна щея стохастичних квазiградiентних алгоритмiв полягае у використаннi за-мiсть точних значень градiентiв !хшх замiнникiв - стохастичних кваз^а-дiентiв (випадкових напрямiв), якi е ймовiрнiсними оцiнками цих векторiв.
Практика показуе, що у задачах оперативного стохастичного програ-мування пошук та застосування розв'язкiв вiдбуваеться практично в реальному режимi часу, тому необхщно використовувати простi методи розв'язування таких задач. Тому цей вид задач достатньо точно апроксимуеться детермь нованими (переважно лшшними) аналогами. Для задач перспективного стохастичного програмування таких жорстких вимог до правил вибору ршення не ставлять, проте фактор невизначеносп не допускае замши !х детермшова-ними аналогами, а тому !хня оптимiзацiя повинна вiдбуватися лише прямими методами.
Висновки. Вплив випадкових факторiв на функцюнування виробни-чо! системи та характер попиту на товар зумовлюе застосування шструмента-рiю стохастичного програмування для дослщження системи управлiння виробничими запасами. Особливосп задач стохастичного програмування не да-ють змоги застосовувати для !х розв'язування традицiйних методiв нелшшно-го програмування. Тому останшм часом iнтенсивно розвиваються прямi методи розв'язування задач стохастичного програмування. Стохастичш кваз^-радiентнi методи можуть розглядати як узагальнення методiв стохастично! апроксимацп та методу Монте-Карло, а також як розвиток методiв випадко-вого пошуку. Основна особливiсть квазiградiентних методiв полягае в тому, що вони не потребують обчислення точних значень функцш цiлi й обмежень, а використовують реалiзацil пiдiнтегральних функцш i !х узагальнених гра-дiентiв. Також вони не вимагають зведення стохастично! задачi до ll детермь нованого еквiваленту, i задача вирiшуеться "напряму", без ща промiжноl ста-дп. Це вiдкривае широкi можливосп для !х застосування пiд час оптимiзацil складних стохастичних систем за допомогою iмiтацiйного моделювання.
Л1тература
1. Данциг Г.Б. Линейное программирование, его применения и обобщения / Г.Б. Данциг. - М. : Изд-во "Прогрес", 1964. - 590 с.
2. Економжа шдприемства : структурно-лопчний навч. поабн. / за ред. д-ра екон. наук, проф. С.Ф. Покропивного. - К. : Вид-во КНЕУ, 2001. - 457 с.
3. Срмольев Ю.М. Методы стохастического программирования / Ю.М. Срмольев. - М. : Изд-во "Наука", 1976. - 240 с.
4. Срмольев Ю.М. О некоторых методах стохастической оптимизации / Ю.М. Срмольев, З.В. Некрылова // Кибернетика. - 1966. - № 6. - С. 96-98.
5. Мирзоахмедов Ф. О некоторых численных експериментах решения задач управления запасами / Ф. Мирзоахмедов // Методы иследования операцш и теория надежности в анализе систем. - К. : ИК АН УССР, 1977. - С. 80-88.
6. Урясьев С.П. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр / под ред. Ю.М. Ермольева. - М. : Изд-во "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1990. - 184 с.
7. Beal E.M. On minimizing a convex function subject to linear inequalities / E.M. Beal // J. Royal Stat. Soc. - 1955. - Vol. 17B. - P. 173-184.
8. Ermoliev Yu.M. On nonsmooth and discontinuous problems of stochastic systems optimization / Yu.M. Ermoliev, V.I. Norkin // European J. of Operational Research. - 1997. - Vol. 101. -P. 230-244.
Изонин И.В., Лагоцькый Т.Я. Проблематика задач стохастического моделирования в управлении производственными запасами
Проанализировано содержание производственных запасов и сделан обзор основных проблем эффективного управления запасами. Для формирования оптимальных стратегий управления производственными запасами предприятия проанализированы проблемы построения стохастических моделей задач управления производственными запасами, исследованы основные подходы к их решению, а также проанализированы особенности применения прямых и косвенных методов решения задач стохастического программирования.
Ключевые слова: предприятие, производственные запасы, стратегия управления запасами, стохастическое моделирование, квазиградиентные методы.
Izonin I. V., Lahotskyy T. Ya. Problems of tasks for stochastic modeling in management of production inventory
In this paper analyzed the content inventory for enterprise and performed review of the main problems effective inventory management. To generate optimal strategies management of inventory for company, analyzed the problem of constructing stochastic models for management of inventory, investigated basic approaches to their solution, and the features of application of direct and indirect methods for solving problems of the stochastic programming.
Keywords: enterprise, inventories, inventory management strategy, stochastic modeling, quasigradient methods.
