Приведение обобщенных сил в математических моделях транспортных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.01:51-7: 629.4.02 Карлина Антонина Игоревна,

заместитель начальника управления научной деятельностью, Иркутский национальный исследовательский технический университет,

тел. 89501201950, e-mail: karlinat@mail.ru Каргапольцев Сергей Константинович, д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 83952638304, e-mail: kck@irgups.ru Гозбенко Валерий Ерофеевич, д. т. н., профессор,

Иркутский государственный университет путей сообщения, тел.: (3952) 638357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru

ПРИВЕДЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ СИЛ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

A. I. Karlina, S. K. Kargapoltsev, V. E. Gozbenko

BRINGING GENERALIZED FORCES IN THE MATHEMATICAL MODEL TRANSPORT SYSTEMS

Аннотация. Особое значение в обеспечении безопасности транспортных систем имеет снижение влияния внешних воздействий. При исследовании механических систем мы получаем системы дифференциальных уравнений различного порядка. При этом левая часть дифференциальных уравнений легко устанавливается из вида механической системы при составлении уравнений движения. Методы получения этих дифференциальных уравнений различны: уравнения Лагранжа второго рода, принцип Даламбера и др. Каким образом преобразуется правая часть, не всегда очевидно, поэтому на простейших моделях рассмотрены процедуры преобразования правых частей. Исследованы системы с одной, полутора и двумя степенями свободы. Полученные уравнения позволяют определить преобразования правых частей в зависимости от рассматриваемого случая. В этих системах не все коэффициенты могут быть отличны от нуля. Если расширить круг рассматриваемых моделей, то можно спрогнозировать вид правых частей для широкого круга задач.

Ключевые слова: железнодорожный транспорт, транспортная система, динамика, динамическая модель, колебания, кузов, колесо, возмущения, уравнения движения, жесткость, демпфирование, дифференциальные уравнения, общее решение.

Abstract. Ofparticular importance in ensuring the security of transportation systems is reducing the influence of external influences. In the study of mechanical systems, we get a system of differential equations of various orders. In this case the left part of differential equations is easily installed out of sight of the mechanical system in the preparation of the equations of motion. Methods of obtaining these differential equations are different, for example: the Lagrange equations of the second kind, the principle of d'alembert and others. How converted the right part is not always obvious, so the simplest describes the procedure to convert the right parts. The studied system with one half to and the two systems offreedom. The resulting equations allow us to determine the right conversion parts, depending on the considered case. In these systems not all the coefficients can be different from zero. If you expand the circle of considered models, it is possible to predict the form of the right parts for a wide range of tasks.

Keywords: railway transport, transport system, dynamics, dynamic model, oscillations, automobile, wheel, perturbations, motion equations, stiffness, damping, differential equations, general solution.

Введение обеспечении безопасности транспортных систем

Транспортные системы, в частности вагоны имеет снижение влияния внешних воздействий. и локомотивы, являются сложными механически- Часто при исследовании механических си-

ми объектами. Не учет динамических факторов приводит к снижению безопасности на транспорте [1-4]. Поэтому актуальной представляется задача изучения и моделирования динамических свойств подвижного состава [5-8]. Рассматриваемые системы сложны для описания, т.к. имеют большое число степеней свободы и для исследования таких систем необходимо снизить число степеней свободы [9]. Определенные трудности в моделировании представляют вопросы учета взаимодействия «колесо-рельс» [10] и рессорного подвешивания [11]. Многие авторы рассматривают влияние вибрационных воздействий, передаваемые на машиностроительные объекты и носят упруго-пластический характер [12-18]. Особое значение в

стем мы получаем системы дифференциальных уравнений различного порядка. При этом левая часть дифференциальных уравнений легко устанавливается из вида механической системы при составлении уравнений движения.

Методы получения этих дифференциальных уравнений различны: уравнения Лагранжа второго рода, принцип Даламбера и др.

Каким образом преобразуется правая часть, не всегда очевидно. Поэтому рассмотрим на простейших примерах процедуру преобразования правых частей.

Система с одной степенью свободы Пусть имеем механическую систему, с и одной степенью свободы (рис. 1).

= а х + Ъху + ();

ш

= а2 х + Ъ2 у + /2 ),

ш

(1)

где а, а2, Ъ, Ъ - постоянные коэффициенты, зависящие от ^ и Ъ; / (г) и / () - заданные функции, зависящие от ^. Будем рассматривать только силовое возмущение (^ = 0 )• х(), у() -

искомые функции.

Из первого уравнения системы (1) находим (

Ъ * 0)

у =

Шх Ш

- а1х - Л ()| •

(2)

Вычислив производную от уравнения (2),

получим

Шу _ 1 (Ш2 х Шх Ш/ (г р Ш Ъ

, ■-а, Ш Ш

(3)

Подставив во второе уравнение системы (1)

Шу

вместо у (выражение (2)) и вместо - выраже-

Ш

ние (3), получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно х(г ):

1 Г Ш2 х Шх Ш/ (г

— —-- а---^^ | = а2х +

Ъ ^ ш ш ш | + Ъг\ (- а1х - Л1 (г )| + Л2 (г ^

или

Ш2 х Шх Ш/ (г)

Ш2 1 Ш Ш Шх

= аЪх +

Рис. 1. Схема модели с одной степенью свободы

Груз массой т прикреплен к поверхности, совершающей вертикальные колебания амплитудой ^з, пружиной с жесткости с и демпфером с

коэффициентом демпфирования Ъх, совершающей вертикальные колебания амплитудой ^. К грузу

приложена сила ^.

Пусть колебания груза описывается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка (1)

+ Ъ2 - Ъ2а1х - Ъ2Л1 (г)+ Ъ1Л2 (г) И окончательно

^ + (- Ъ2 - а1 )^ + (а1Ъ2 - а2Ъ1 )х = ш ш

- Ъ2/1 (г)+ЪхЛг (г)

(4)

Таким образом, получили одно дифференциальное уравнение относительно искомой функции х(г) второго порядка, неоднородное.

Системы с полутора степенями свободы

Далее рассмотрим систему с полутора степенями свободы (рис. 2).

Рис. 2. Схема системы с полутора степенями свободы

Систему, приведенную на рис. 2, можно описать системой трех дифференциальных уравнений первого порядка:

х = ах+Ъу+с\2+ШгА; (I)

! у = а2х + Ъ2у + с2г + й2/2; (II) (5) г = аъх + Ъ3у + с3г + Шъ/ъ; (III) Найдем производную х от уравнения (I):

х = ахх + Ъу + схг + Ш/ . (6)

Подставим (II) и (III) в (5)

х=ахх+хА + уА + + ЪШ/ + с^з/ + Ш/,

где а = Ъа2 + са, А = ЪЪ + сЪ, А = Ъс2+сс3 •

Транспорт

(8)

Найти производную x от уравнения (6):

x = ax + XA + yA + ZA3 + \d2f2 + cdf + df (7) Подставим (II) и (III) в (7)

x = aX + XA1 + xB + yB2 + zB3 + A2d2f2 +

+ A3d3f3 + bld2f2 + cd3f3 + df где B = Ab г + Л3а3, B = Л2Ь2 + A3b2, B3 = Л2с2 + Л3с2. Составим систему (9) из уравнений (4), (6) и

(8):

x = ax + by + cxz + dxf;

x=ax+xA+yA+A + bxd2f2 + cxd3f3+df;

<

x = ax+xax + xB + yß2+zß3 +

+ A2d 2 f2 + A3d3f3 + bld 2f2 + Cld3f3 + d1fV

Умножим первое уравнение системы (9) на (-A2), второе выражение умножим на bi и сложим их. Из полученного выражения найдем z.

(9)

(10)

= ~Ъх + Дх + Дх- А^Л + Ъ А2/2 +

+ ъ^3/3 + ъа/, где д = Аа - ЪА, А = А + Ъа, А = ЪА - Аа.

Далее умножим первое уравнение системы (9) на (-Аз), второе выражение умножим на с и сложим их. Найдем у.

yE =~^x + E2X + Ex - Adf +

+ Cl2 d3f3 + C1 bl d2f2 + C1 dl fl >

(11)

У + y(H¡c2 + H2*a2 - b2> + y (-A2* - H'E2* -H*D* ) + y(-B* - H*E* - H*D* ) = f (H *c2a2d + H *a \ dx + A*^ ) + + f2 (-H * A3 d2 - H* A*d2) + f3 (H *c 2 d3 + + H 2a2c2d3 + A*d3) + f2(H*c2d2 + H la2d2) +

+ a2 dlfl + c2 d3f3 + d 2f2-

(13)

z + z(H*b3 + H*a3 -c3) + z(-A* -H*E* -

'3 1 H 2 a3 c3) 1 z( A3 "1 E2

- H2D?) + z(-B* - H*E* - H2D*) =

= Л (И**Ъ3а^х + И2 'а1 ^ + А* ^ ) +

+ /2(ИГ Ъ32d2 + И2** азМ2 + А2** d2 ) +

Лз (-И** А^2 - И2** А^з ) + Л (И + И *2а^3) +

+ аз + ^ 2/2 + dз/з.

Система с двумя степенями свободы

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис. 3).

(14)

где E = Ab - cA, e2 = A + аа, E = cA - aA.

Подставим (10) и (11) в третье уравнение системы (9). Получим:

x = ax + xA + xB + Hj (—cx + Ex + Ex - Adf + c2 d3f3 + cxbxd2f2 + cdif) + H2 (-^x + D2x + D3x -

AdJi + bi2 d 2f2 + bicid3f3 + b1d1fl) + A2d 2f2 + A3d3f3 +

где

H = .

1 E

+ b1d 2f2 + cid 3f3 + d1f1,

H = B3.

Рис. 3. Схема системы с двумя степенями свободы

D

Окончательно:

х + х(Ис + Игъх - а) + х(-А - ихЕ - И2А ) +

х(-в1 - И А3 - И А ) = л (-И А А - И2А^ ) +

+ Л(И1САА2 + И 2 Ъ2 А2 + А2 А2 ) + /з(И1С12 Аз +

и-ЪсАз + ААз) + /1(И2Ъ^ + ИсАх) +

Ъ1А 2 ¡2 + С1А з/з + А1Л1. Аналогично получим дифференциальное уравнение третьего порядка относительно у и г:

(12)

(х = а1 х + ЪА + С1 х + Й1У + к/^,

[.У = а2 х + Ъ2 У + С2 х + К У + к2Л2 . Найдем производную х от первого уравнения системы (15):

х = ах+ъу+ах+ку+к/. (16)

Подставим второе уравнение системы (15) в (16). Получим:

х=ах+Ах+АУ+Ъ\С2х+ЪЕУ+ЪКЛг + к/, (17)

где А = а2Ъ + С, А = ЪЪ + К.

Найдем производную х1Г от уравнения (17)

х = a x + Axx + À2y + bxc2x + bxh2y + bxk2f2 + kf. (18) Подставим второе уравнение системы (15) в

(18)

х = ax х + AjX + Bxx + B2y + A2c2x +

(19)

+ А2 Ку + А2 кгЛг + Ъ1к2Л2 + к1Л, где Вх = + А2а2, В2 = ЪК. + А2Ъ2,

Составим систему (20) из (1) и (4) из первого уравнения системы (15) и уравнения (17):

[х = ахх+Ъу+сх+Ку+к/;

[ х = ^х + Ах + А2у+Ъхс2х+ЪКу + Ьхк2/2 + £1/1-Умножим первое уравнение системы (20) на (- А2), второе уравнение на Ъх и сложим их. Выра-

зим y

A2hxy = -bj x + DxX + D2X + D3x -- A2 kifi + bi k2 f2 + biki f

Exy = -h x + E2x + E3x + EAx -

e2 = bxh2 + ah,

+ x (-Ai - HE2 - H2Di) -

- x(-Bi - H1E3 - D2 H 2) + + x(-A2C2 - HE - h2D3) = - fi (Hihki - Hxbih2ki - A2H2ki ) + + f (Hi bi hk2 + H2bik2 + A2k2 ) + + H 2bi ki fi + bi k2f2 + ki fv

Аналогично получим дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно y.

yIV + y ( H XC2 + H *a2 - b2 ) + +y (-a* - H ; E - H D)+ + y(-В* - H ; E3* - D* H 2) +

+y(- Ah- h 2 E; - H 2 D*) =

= f (H **a2c2kx + H *2a l kx + Aj*kj ) +

, (20)

^ i.

+ f2(H lC2 k 2 - H \a2 Cik 2 - H 2k 2) +

(24)

(21)

где Д = а2Ъх + А, А = АД - А2ах, А = Ъ\с2 - А2с • Умножим первое уравнение системы (20) на (- ЪХН2), второе уравнение на и сложим их. Выразим у :

(22)

- Ъ1К2к1 /1 + Ъ1К1 к2/2 + К1 £1 /1 где Е = Ъхк2 - А2К ,

Е3 = А1К - а1Ъ1к2, Е = Ъ - ЪсК •

Подставив (21) и (22) в уравнение (19), получим:

х1У = ах х + А^ + Вхх + А2с2х + Нх (-\ х + + Е2х + Езх + ЕАх - ЪхИ2кх/х + ЪхИхк2/2 + Ихкх/х) + + Н2 (-Ъ х + Дх + А2х + Дх - А2кх/х +

+ Ъ к2/2 + Ъ^ /1) + А2 к2/2 + Ък2/2 + к1/1, И -В2 И

где Н1 =тт, н 2 =~т • Е1 К1

Приведя подобные, получим:

х1¥ + х {ях\ + н2Ъх - а) +

(23)

+ a2 kifi + H 2 a2 k ^./2 + k2f 2-

Заключение

1. Полученные уравнения (4), (7), (16)—(18), (23) и (24) позволяют определить преобразования правых частей в зависимости от рассматриваемого случая.

2. В этих системах не все коэффициенты могут быть отличны от нуля.

3. Если расширить круг рассматриваемых моделей, то можно спрогнозировать вид правых частей для широкого круга задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вериго М.Ф. Динамика вагонов. М. : Транспорт, 1988. 174 с.

2. Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. М. : Транспорт, 1991. 360 с.

3. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. М. : Транспорт, 1988. 391 с.

4. Цисовски Т. Совершенствование систем управления колебаниями подвижного состава железных дорог : дис. ... докт. техн. наук : 05.22.07. Москва, 2001.

5. Гозбенко В.Е., Хоменко А.П. Изменение динамического состояния упругосвязанных систем. Деп. в ВИНИТИ 23.07.2002, № 1379-В2002.

6. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Гозбенко В.Е., Соболев В.И., Димов А.В., Драч М.А., Титов А.А., Богатов М.Ю., Солодов Г.С., Банина Н.В., Донская Е.Ю., Лукьянов А.В., Засядко А.А., Кузнецов Н.К. Особенности моделирования динамических процессов в задачах управления колебаниями сложных технических объектов // депонированная рукопись № 255-В2005 22.02.2005.

7. Елисеев С.В., Банина Н.В., Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Математические модели и анализ динамических свойств механических систем // Деп. в ВИНИТИ 08.12.2009, № 782-В2009.

Транспорт

8. Пат. 56858 Российская Федерация, МПК8 В 60 L 9/00. Устройство для управления состоянием объекта защиты / Хоменко А. П. и др. ; патентообладатель ГОУ ВПО Иркутский гос. ун-т путей сообщ. № 2006113670/22; заявл. 21.04.06; опубл. 27.09.06, Бюл. № 27. 1 с.

9. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 12. С. 25-28.

10. Воротилкин А.В. Математическая модель динамического взаимодействия в системе «колесо-рельс» с учетом их лубрикации / А.В. Воротилкин, С.К. Каргапольцев, В.Е. Гозбенко ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. М. 2006. 24 с. Деп. в ВИНИТИ. 13.02.2006, № 152. В2006.

11.Николаев В.А. Разработка методов аналитического конструирования квазиинвариантных систем рессорного подвешивания железнодорожных экипажей : дис ... докт. техн. наук. Омск, 2003.

12. Долотов А.М. Уплотнительные соединения с использованием тонкостенных элементов / А.М. Долотов, В.Е. Гозбенко, Ю.И. Белоголов. Деп. 22.11.2011, № 508-В2011.

13. Беломестных А.С. Информационно-измерительный комплекс // Повышение эффективности познавательной деятельности обучающихся : материалы междунар. науч. конф. 1995. С.21-24.

14. Кольцов В.П., Беломестных А.С. Интенсификация виброимпульсной обработки дета-

лей // Повышение эффективности производства изделий машиностроения : материалы конф. 1995. С. 10-12,

^Кольцов В.П., Беломестных А.С. Математическая модель виброимпульсной обработки // Повышение эффективности производства изделий машиностроения : материалы конф. 1995. С. 6-8^

16^Лапшин В.Л., Демаков Е.И. Моделирование упруго-пластического взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью при ударе // Решетневские чтения : материалы XI Междунар. науч. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем акад. М. Ф. Решетнева. Красноярск, 2007. С. 240-241

17^Лапшин В.Л., Глухов А.В. Исследование влияния упруго-вязкопластичных элементов механореологической модели на параметры ее ударного взаимодействия // Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования - основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России : Всерос. 65-я науч.-техн. конф. ФГБОУ ВПО «СибАДИ» с междунар. участ. Омск, 2011. С.54-59^

18^Лапшин В.Л., Рудых А.В., Глухов А.В. Использование нелинейных вязких и пластических элементов в механореологической модели ударного процесса // Системы. Методы. Технологии 2012^ № 3 (15). С. 21-25^

УДК 519.6:311 Краковский Юрий Мечеславович,

д. т. н., профессор, профессор кафедры ИС и ЗИ, Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail:kum@stranzit. ги Давааням Тамир, аспирант кафедры ИС и ЗИ, Иркутский государственный университет путей сообщения

КОМПЛЕКСНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ БАЗОВЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПЕРЕВОЗОЧНОГО ПРОЦЕССА

Y. M. Krakovskiy, D. Tamir

TRANSPORTATION PROCESS BASIC PARAMETERS COMPLEX PREDICTION

Аннотация. С позиций системного анализа создана технология комплексного прогнозирования, основанная на том, что для оценки значений базовых показателей в будущем предлагается использовать четыре вида частных значений: а) значение, полученное по многофакторной модели первого порядка; б) значение, полученное по многофакторной модели второго порядка; в) значение, полученное по временному ряду; г) точечное экспертное суждение группы квалифицированных специалистов. Разработано алгоритмическое обеспечение комплексного прогнозирования базовых показателей, основанного на различных видах экспертной информации, типах факторных моделей, типах используемой информации, что, в свою очередь, позволяет создавать различные сценарии развития прогнозирования перевозочного процесса. Проведена апробация созданного алгоритмического обеспечения с использованием статистической и экспертной информации УБЖД применительно к грузообороту. Показана большая точность прогнозирования, основанного на системном подходе, когда используются различные взвешенные частные значения грузооборота.