CC BY
22
Оригинальная статья / Original article
УДК: 621.01: 517.2: 629.4
DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-35-47
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ МАШИНОСТРОЕНИЯ ДЛЯ СНИЖЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНИХ ВИБРАЦИОННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
© А.И. Карлина1, В.Е. Гозбенко2
1Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 2Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Моделирование транспортной системы как объекта машиностроения для снижения влияния вибрационных воздействий. МЕТОДЫ. Рассмотрены свободные и вынужденные колебания системы с шестью степенями свободы с симметричными и несимметричными массо-инерционными характеристиками. Получены условия одночастотности колебаний. Начальные отклонения и начальные скорости должны быть связаны между собой через один из коэффициентов распределения амплитуд. Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы в главных координатах представляют собой шесть независимых линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Получено их общее решение. Рассмотрена возможность снижения количества степеней свободы предложенной системы с шести до двух. Обоснование перехода от шести степеней свободы к двум проводилось с помощью численных экспериментов. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Согласно расчетам, линейные и угловые отклонения транспортного средства, имеющего шесть и две степени свободы, отличаются не более чем на 10%; это говорит о том, что можно заменить исследование системы с шестью степенями свободы системой с двумя степенями свободы. Рассмотрен пример транспортной системы, имеющей три степени свободы, полученное дифференциальное уравнение решено в конечном виде при определенном соотношении параметров. Аналогично выведены уравнения и получены решения для систем, имеющих одну, полторы и две степени свободы. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Полученные уравнения позволяют определить преобразования правых частей в зависимости от рассматриваемого случая приложения внешних воздействий к системе и числа степеней свободы.
Ключевые слова: объект машиностроения, методы расчетов машин, транспортная система, динамическая модель, колебания, возмущения, уравнения движения, демпфирование.
Формат цитирования: Карлина А.И., Гозбенко В.Е. Моделирование объектов машиностроения для снижения влияния внешних вибрационных воздействий // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. Т. 20. № 10. С. 35-47. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-35-47
ENGINEERING OBJECT SIMULATION TO REDUCE EXTERNAL VIBRATIONAL EFFECTS A.I. Karlina, V.E. Gozbenko
Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia. Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia.
ABSTRACT. THE PURPOSE of the research is to simulate the transport system as an object of mechanical engineering in order to reduce the vibrational influence. METHODS. Consideration is given to the free and forced oscillations of the system with six degrees of freedom with symmetric and asymmetric mass-inertia characteristics. The conditions of single-frequency oscillations are obtained. Initial deviations and initial speeds must be connected between each other via one of the coefficients of amplitude distribution. Differential equations of system free oscillations in main coordinates represent six independent linear differential equations of the second order. Their general solution is obtained. The possibility of reducing the number of degrees of freedom in the proposed system from six to two is considered. The transition from six degrees of freedom to two is substantiated by means of numerical experiments. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. According to the calculations, linear and angular deviations of a vehicle with six and two degrees of freedom differ
1
Карлина Антонина Игоревна, заместитель начальника управления научной деятельностью, e-mail: karlinat@mail.ru
Karlina Antonina, Deputy Head of the Research department, e-mail: karlinat@mail.ru
2Гозбенко Валерий Ерофеевич, доктор технических наук, профессор кафедры математики, e-mail: irgups-journal@yandex.ru
Gozbenko Valeriy, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Mathematics, e-mail: irgups-journal@yandex.ru
not more than by 10%. It means that it is possible to replace the study of a system with six degrees of freedom with a system with two levels of freedom. An example of the transport system with three degrees of freedom is discussed. The obtained differential equation is solved in a final form under the certain correlation of parameters. In a similar manner, equations are derived and solutions are received for the systems with one, one and a half and two degrees of freedom. CONCLUSION. The obtained equations allow to determine the transformations of the right parts depending on the considered case of external influence exertion to the system and the number of freedom degrees. Keywords: object of mechanical engineering, methods of machine calculation, transport system, dynamic model, oscillations, disturbances, equations of motion, damping
For citation: Karlina A.I., Gozbenko V.E. Engineering object simulation to reduce external vibrational effects. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, vol. 20. no. 10, pp. 35-47. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-201610-35-47
Введение
Моделирование объектов машиностроения, как правило, начинается с решения простейших задач: моделирования систем с одной степенью свободы [1-3]; систем с неудержи-вающими связями [4]; управляемыми механическими системами [5, 6]; систем с дополнительными связями [7-9]. Дальнейшим развитием исследований являются системы со многими степенями свободы [10, 11]. Они имеют сложную структуру, поэтому для аналитического решения необходимо приведение систем к простейшему виду и к главным координатам [12-17].
Практически предварительное определение главных координат является задачей того же порядка трудности, что и полное исследование свободных колебаний этой системы в обобщенных координатах. Однако главные координаты удобны для исследования вынужденных колебаний системы3-5 [18-20], так как движение системы в этом случае представляет собой независимые друг от друга дифференциальные уравнения.
Целесообразно при исследовании системы со многими степенями свободы рассматривать одночастотный режим, т.е. колебания системы, при которых все точки рассматриваемой системы совершают колебания с одной и той же частотой.
Возможность перехода к упрощенной системе с двумя степенями свободы дает возможность получить аналитические расчеты для оценки вынужденных колебаний транспортного средства. А приведение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение объектов машиностроения, к одному уравнению высшего порядка, иногда позволяет упростить получение аналитических решений [16].
Методы
Системы с шестью степенями свободы. Рассмотрим свободные и вынужденные колебания системы с шестью степенями свободы с симметричными и несимметричными массо-инерционными характеристиками. При составлении математической модели механической системы были приняты стандартные для динамики подвижного состава допущения. В состав модели входит кузов транспортного средства, имеющий упругие и диссипативные элементы с промежуточным грузом (рис. 1).
3
Вериго М.Ф. Динамика вагонов. Конспект лекций. М.: Транспорт, 1988. 174 с. / Verigo M.F. Railcar dynamics. Lecture notes. Moscow: Transport Publ., 1988. 174 p.
4Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона: учебник для вузов. М.: Транспорт, 1991. 360 с./ Vershinskiy S.V., Danilov V.N., Khusidov V.D. Rail car dynamics: high school textbook. M.: Transport Publ., 1991. 360p. 5Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний: учеб. пособие для вузов. 3-е изд. перераб. М.: Наука, 1991. 256 с. /Panovko Y.G. Introduction to mechanical oscillations theory: learning aids for high schools. 3rd revised edition. M.: Nauka Publ., 1991. 256 p.
Рис. 1. Расчетная схема колебаний транспортного средства Fig. 1. Computational scheme of vehicle oscillations
С помощью уравнения Лагранжа II рода была составлена система дифференциальных уравнений колебаний модели транспортного средства:
mKZK + (AI+A2) ZК AAl А2ZJ2 +
+ (АА " А 212)Фк +(С11 +Cn)ZK -
—CuZTl — С12 ZT 2 +( CnA — C12L2 ) фК = 0
tnTlzTl — puzK
21 1 Г22/^Т1
+ (AAl ~~ ß ll^ll) Фт\ ~CU ZK + (C11 +C21 +C22)Zn ~~
С1111фК +(C21L21 — C22L22 ) фТ1 = 0>"
mT2ZT2
- ß\2ZK + (ß\2 + Al + A2 ) ZJ2 + ß\2L2Фк +
+ (AAi ßъ2^Ъ2)Фт2 C\2ZK C12L2фК +(C3^L31 — C32L32 ) фТ2 = 0>"
1кФк +(AlA - ßl2L2)ZK - AAA +ßl2L2ZT2 +
+(AA2 + А 2^2)^ +(cnA -
—C11L1ZT1 + C12L2 ZT2 + ( CnLl + C12 L2 ) фК = 0
17\Фт\ + ( A Al ~~ ß22^22 ) ZT\ + ( AAl + ß22^22 ) Фт\ +
+ (C21L21 — C22L22 ) ZT1 +(C21L21 + C22L22 ) фТ 1 = 0>'
It2$T2 + ( A Al ~~ A2A2 ) ZJ2 + ( A Al А 2-^32 )
+ (C3^L31 — C32L32 ) ZT2 +(+ C32L32 ) фТ2 = 0
(1)
где введены следующие обобщенные координаты: ^, гп, гГ2 - текущие вертикальные перемещения центра тяжести транспортного средства, первого и второго промежуточных грузов, Фк, , уТ2 - текущие угловые перемещения поворота транспортного средства и промежуточных масс относительно их главных центральных осей инерции, перпендикулярных продольной плоскости, в которой исследуется движение.
Получить аналитическое решение уравнений (1) довольно сложно. Поэтому для их исследований использовался математический пакет программ. На полученной модели в пакете MATHCAD было изучено влияние параметров подвешивания на собственные колебания. В результате исследования колебаний системы с симметричными и несимметричными массо -инерционными характеристиками [8] был сделан вывод о том, что на динамическое поведение транспортного средства значительное влияние оказывают массо-инерционные параметры системы. Полученные частоты колебаний консервативной системы можно принимать за частоты собственных колебаний реальных транспортных средств, включающих демпферы. В то же время даже не очень большие сопротивления колебаниям сильно влияют на амплитуды.
Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы в главных координатах представляют собой шесть независимых линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Получено их общее решение.
Получены условия одночастотности колебаний. Начальные отклонения и начальные скорости должны быть связаны между собой через один из коэффициентов распределения амплитуд.
Изучена методика получения главных координат, что позволяет рассматривать каждое из полученных дифференциальных уравнений отдельно.
Получено общее решение системы дифференциальных уравнений:
zk (t) = 4i + Ч2 + Чз + Чл + q + Чб'
zT1( t) = ftq + ^h + ^з + ^14q4 + ^15q5 + ^16q6;
ZT2(t) = M + M2 + Мз + Мл + М5 + Мб'
Фк (t) = М + М2 + Мз + Рз&Ь + М5 + Мб ; Фт1( t) = м + М2 + Мз + М4 + М5 + Мб; Фт2(t) = М + М2 + Мз + ^54#4 + №5 + Мб >
(2)
содержащих произвольные постоянные = д10; ¿¡х = ¿¡10; = д20; ц2 = ¿¡20; = д30; ¿¡3 = ¿¡30, #4 = #40; #4 = #40; #5 = #50; #5 = #50; #6 = #60; #6 = #60. которые должны быть определены по начальным значениям обобщенных координат ^ = гко; ^ = гТ10; гГ2 = , ^ = фко,
<Рп = Фтю' Фтг = Фпо И обобщенных скоростей ¿к = ¿^; ¿Г] = ¿Т10; ¿Г2 = т.Г20, фк = фко,
Фт\ ~ Фт\0> Фт2 ~ Фт20 '
Переход к системе с двумя степенями свободы. Выше представлена система с шестью степенями свободы. В данном разделе рассмотрим возможность снижения количества степеней свободы рассматриваемой системы с шести до двух [10].
Обоснование перехода от шести степеней свободы к двум проводилось с помощью численных экспериментов. Предположим, что исследуемая транспортная система несимметрична относительно главных центральных осей инерции. В результате расчетов получили, что период, амплитуда и частота вертикальных колебаний объекта равны: Т ~ 0.458 (сек),
\ «1,47 • 102 (м) и п ~ 2.183 (гц) соответственно. Характеристики собственных колебаний исходя из полученного решения следующие: Т2 « 0,4585 (сек), ^ « 0,250, и2 « 2.181 (гц).
Так как промежуточные массы тп и тТ2 малы по сравнению с массой транспортного средства тк, то исследуем упрощенную модель системы.
Рассмотрим транспортное средство как твердое тело, опертое в двух точках на последовательно поставленные пружины жесткости сп , с12, с21, с22, с31, с32 (рис. 2).
Рис. 2. Расчетная схема колебаний транспортного средства с двумя степенями свободы Fig. 2. Computational scheme of the vehicle oscillation circuit with two degrees of freedom
Приведенная жесткость этих пружин равна:
сп (C2i + С2г)
сп =■
с11 + с21 + с22
С12 =
с\2 (C3i + сзг)
с12 ^ с31 ^ с32
(3)
При принятых допущениях конфигурацию системы можно определить при помощи двух независимых между собой величин: гк - вертикальное перемещение центра тяжести и фк -угловое перемещение поворота транспортного средства:
I mÄ +(дп +дп)2К+ {51 А - 512L2 ) (рк = 0; 11кфк +(сиЦ2 +cnL22)(pK +(сиЦ -cuL2)zk = 0.
(4)
В результате расчетов получены следующие характеристики собственных колебаний промежуточного груза: период, амплитуда и частота колебаний равны: Т ~ 0,459 (сек),
\ -1,47 • 102 (м) и п - 2,179 (гц) соответственно; период, амплитуда и частота транспортного средства равны: Т2 - 0,459 (сек), ^ - 0,250, п2 - 2,179 (гц) (рис. 3, 4).
На рис. 3 и 4 сплошной линией обозначены перемещения транспортной системы с шестью степенями свободы, а пунктирной - с двумя.
Отклонение линейной и угловой координат системы с шестью степенями свободы от системы с двумя степенями свободы оценивалось по трем нормам [10]:
= тах\х^ - первая норма; ||*||2 хг| - вторая норма;
IFII з =
i =1
- третья норма.
i=1
У второй и третьей норм п равны числу точек вычисляемых на периоде функции.
Сравнение результатов вычислений для системы с двумя и шестью степенями свободы показало, что линейное отклонение, вычисленное по первой норме, составляет 4,6%, угловое - 0,6%. По второй норме линейное и угловое отклонения - 1,4 и 4,3% соответственно. По третьей норме - 1,3 и 3,8%.
n
ZK (Ai) *
1.47x10 2
1.30667x10 2
1.14333x10 2
9.8x10" 3
8.16667x10" -3
6.53333x10" 3
4.9x10" 3
3.26667x10" -3
1.63333x10" 3
1.63333x10
-4.9x10 - 6.53333x10"3-
- 1.14333л 10"2
- 1.30667x10"2-
/ 4
/ ^
\
\\
\\ У
i \ /,
i \\ //
i у
0 0.1 123 0. 146 0.( 169 0.1 191 0. 14 0. 37 0 16 0. 83 o.: ¡06 o.: o.: !51 o.: 174 0.: !97 0 32 o.: ¡43 o.: ;66 o.: i89 Ол HI o.. 134 (/< / i Î57 0
\ /1 //
V\ \ /
//
\\ //
\ 1
\\ ,7
\ \ // /
t(c)
Рис. 3. Вертикальные перемещения транспортной системы с шестью и двумя степенями свободы Fig. 3. Vertical displacements of the transport system with six and two degrees of freedom
Фк (Рад)
4.32x10 3.84*10 3.36x10'
2.88x10'
2.4x10' 1.92x10' 1.44x10' 9.6x10" 4.8x10"
-4.8x10 - 9.6x10'
- 1.44x10'
- 1.92x10' -2.4x10'
-2.88x10' -3.36x10' -3.84x10' -4.32x10'
" -
\ A
/ // \\ V
/ \\
/ \\
/ V
1, t 1. V A
tf il \\
ii \ \
Й 0.( 125 0.( 151 0.1 176 0. 01 0. 26 0. 52 0. 77 0.: !02 0Л Î27 о.: !53 o.: !78 o.: юз o.: 128 o.: 154 o.: 179 0. Ю4 0.. 129 0..
\ il
\ // \\ \
\ / //
\ //
\ V //
\ //
\ //
X ^ _
48
t(c)
Рис. 4. Угловые перемещения транспортной системы с шестью и двумя степенями свободы Fig. 4. Angular displacements of the transport system with six and two degrees of freedom
///////////////Л /////////////У//,
Рис. 5. Упрощенная динамическая система с двумя степенями свободы Fig. 5. Simplified dynamic system with two degrees of freedom
Для упрощенной системы с двумя степенями свободы дифференциальные уравнения, описывающие вынужденные колебания системы (рис. 5), примут вид:
mÄ + (511 + 512 ) + (СпА " £12L2 )<Pk=F1
!кФк + {5lÄ + 5l2Ll ) <Рк + (СцА - £12L2 )ZK=F2
(5)
где А = Hlsinpt; А = и, соответственно, амплитудно-частотная характеристика
для линейной амплитуды колебаний транспортного средства А1 будет определяться выражением
Н1 (С22 - Л22р> ) - Н2С12
Ai(p) =
(Сп -Лир2)(С22 -42р2)-Ск для угловой амплитуды колебаний транспортного средства А2 определяется выражением
Н2 (Сп - Лпр2)-НС21
(6)
A (p) =
(C11 A11P )(C22 A22p ) C12 ГД6 An = mK, Cn = cn + c12, Cn = C21 = cnL1 — cnL2, A22 = IK,
C22 ~ ^11A +£12L2 .
(7)
(8)
Согласно расчетам, линейные и угловые отклонения транспортного средства, имеющего шесть и две степени свободы, отличаются не более чем на 10%; это говорит о том, что можно заменить исследование системы с шестью степенями свободы системой с двумя степенями свободы.
Кроме того, рассмотрено воздействие на систему вынуждающей силы, имеющей периодический, но не гармонический характер [19].
Рассмотрена задача нахождения установившихся вынужденных колебаний, вызываемых периодической кусочно-постоянной вынуждающей силой
Q(t + T) = Q(t),
(9)
где T - период изменения силы (рис. 6).
<
Рис. 6. Форма прилагаемой вынуждающей силы Fig. 6. Form of the exerted constraining force
Q(t) = Qo при о < t < T, Q(t) = -Q0 при T < t < t
Получим систему дифференциальных уравнений:
I Ai'^k
+ CnzK+Cu(pK=Q(t); { A22<Pk + C21ZK + C22 <PK = 0-
(10)
где коэффициенты определяются формулой (8).
Получены главные координаты рассматриваемой системы.
В результате исследований составлены дифференциальные уравнения движения системы и получено аналитическое решение для случая приложения внешней кусочно -постоянной вынуждающей силы.
Приведение системы дифференциальных уравнений объекта машиностроения к простейшему виду. Рассмотренные выше объекты машиностроения описываются системой дифференциальных уравнений. Рассмотрим пример транспортной системы, имеющей три степени свободы (рис. 7).
Рис. 7. Пространственная схема транспортного средства Fig. 7. Spatial schema of a vehicle
За обобщенные координаты примем: вертикальное перемещение г, угловые перемещения ф и у/. Будем считать, что жесткости сп, с12, с21 и с22 являются приведенными, вычисленными с помощью сп, с12, с21, с22, с31, с32, с33 и с34 соответственно.
Система уравнений (11) описывает движение рассматриваемой транспортной системы.
mz + (cu +с21 +с22+си)г + (сиЦ +с21Ц-с22Ь2-с12Ь2)ф +
+ (с2 А + с22Ъ2 - сJ А -сХ2Ъх)у/ = fx; 1 уФ + (cj 1А + с2А - c22Z2 - c12Z2) z + (cj А + c2А2 + c2A2 + Cj А ) Ф + + (Л AA - AA - c2AA + 5ubiL2 )v = f2; + (52 А + 522Ъ2 " 5lA ~ 5l2bl ) Z + (^2 AA ~ 5lALl ~ 522b2L2 + 5l2blL2 ) Ф +
+ (cubf + c2lb22 + c22b22 + cubf)y/ = /3.
(11)
После упрощения система (11) примет вид:
z + ci^z + а2ф + аъц/ = _/j;
ф + 5jZ + + = /2; у/ + t/jZ + dj> + d3y/ = /3.
(12)
Проделав очевидные операции над уравнениями системы (12), получим:
Е¡у/1 + Е2ц/1¥ + ^з^л + Е4ц/ = ,
(13)
где коэффициенты Е;,Е2,Е3,Е4 иЕ5 выражаются через параметры исходной системы дифференциальных уравнений.
Полученное дифференциальное уравнение (13) решено в конечном виде, при определенном соотношении параметров.
Аналогично выведены уравнения и получены решения для систем, имеющих одну, полторы и две степени свободы. Полученные уравнения позволяют определить преобразования правых частей в зависимости от рассматриваемого случая приложения внешних воздействий к системе и числа степеней свободы.
Итог экспериментальных исследований. Проведение экспериментов является важной частью научного исследования. Основной целью экспериментального исследования является опытное подтверждение полученных при моделировании динамических свойств.
Обработка и анализ полученных экспериментальных результатов при сравнении с аналитическими расчетами и моделированием, выполненным в MathCad, подтвердили выдвинутые гипотезы о существенной зависимости параметров колебательных процессов от внешних возмущающих воздействий и нарушений симметрии.
Составлена методика проведения эксперимента. Она позволила сделать выводы об адекватности предлагаемых математических моделей машиностроительных объектов. Рекомендуемые аналитическими исследованиями режимы антирезонанса получили подтверждение в экспериментальных исследованиях.
Экспериментальные исследования проводились на строительном вибростенде с регулируемой частотой вращения ротора. На стенд устанавливались различные модели машиностроительных объектов. Для получения данных о колебательных процессах этих объектов ис-
пользовалась виброизмерительная аппаратура TV2 Series Vibration Pen, вибропреобразователь AP2019 и анализатор спектра A17-U2.
Расхождение аналитических расчетов, математического моделирования и экспериментов не превышают 12%.
Заключение
Применяя понятие математического моделирования к транспортной системе, отметим, что модель отражает основные свойства исследуемого объекта в такой степени, в какой это необходимо для оценки ее динамических качеств. Рассмотрены свободные и вынужденные колебания системы при заданном начальном отклонении от положения равновесия. На практике такие задачи решаются при проектировании транспортных средств. Изменяя скорость движения транспортной системы, можно определить критические скорости и соответствующие им максимальные перемещения в системе подвешивания. Изменяя параметры подвешивания, можно наметить пути уменьшения негативных явлений.
Полученные результаты зависимости бокового перемещения и угла поворота транспортного средства, первой и второй масс от времени указывают на то, что собственные колебания масс транспортного средства и масс, представляющих собой сумму двух гармонических колебаний, являются незатухающими6, так как при решении задачи мы пренебрегали действием неупругих сил сопротивления гасителей. Поскольку периоды колебаний транспортного средства мало различаются Т « 0,7 (сек), Т2 « 0,66 (сек), то колебания гГ1 и имеют
вид биений. При нарушении симметрии - центр масс транспортного средства сместился на 7%, движение стало носить характер биений. В результате исследования колебаний системы с симметричными и несимметричными массо-инерционными характеристиками [8] установлено, что амплитуды колебаний при несимметричных характеристиках уменьшились. Таким образом, на динамическое поведение транспортной системы значительное влияние оказывают массо-инерционные параметры системы.
Исследования систем с шестью степенями свободы и систем с двумя степенями свободы показали, что они имеют расхождение не более 10%, откуда следует, что система с двумя степенями свободы описывает движение механической системы с шестью степенями. Приведен способ, позволяющий получить замкнутое решение для установившихся вынужденных колебаний. Упрощенная модель в дальнейшем развивается и дополняется, а результаты моделирования служат начальной оценкой для более сложных моделей.
Обработка и анализ полученных экспериментальных результатов при сравнении с аналитическими расчетами и моделированием, выполненным в MathCad, подтвердили выдвинутые гипотезы о существенной зависимости параметров колебательных процессов от внешних возмущающих воздействий и нарушений симметрии. Рекомендуемые аналитическими исследованиями режимы антирезонанса получили подтверждение в экспериментальных исследованиях.
Библиографический список
1. Савченко А.А., Каимов Е.В., Карлина А.И. Влияние структуры внешних воздействий на динамические свойства механических колебательных систем // Кулагинские чтения: материалы XI Международной научно-практической конференции (Чита, 28 ноября - 2 декабря 2011). Чита: Изд-во ЗабГУ, 2011. С. 203-205.
2. Елисеев А.В., Карлина А.И. Особенности взаимодействия материальной частицы с поверхностью колебания при неудерживающих связях // Решетневские чтения - 2012: материалы XV Международной научной конференции (Красноярск, 7-9 ноября 2012). Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2012. С. 237-238.
6Савицкий А.Г. Комплексная система автоматизированного управления сортировочным процессом: дис. ... канд. техн. наук: 05.22.08. М., 2005. 168 с. / Savitskiy A.G. Integrated automatic control system of the sorting process: Candidate's dissertation in technical sciences: 05.22.08. M., 2005. 168 p.
3. Елисеев А.В., Карлина А.И., Пискунова В.А. Неудерживающие связи в модельных задачах взаимодействия точки с вибрирующей поверхностью // Кулагинские чтения: материалы XII Международной научно-практической конференции (Чита, 28 ноября - 1 декабря 2012). Чита: Изд-во ЗабГУ, 2012. С. 186-189.
4. Чуринова О.В., Зарубина В.А., Елисеев А.В., Карлина А.И. О моделировании механических систем с неудерживающими связями // Информационные и математические технологии в науке и управлении: материалы XVII Байкальской всероссийской конференции с международным участием (Иркутск - Байкал, 30 июня - 9 июля 2012). Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2012. С. 182-186.
5. Барсуков С.В., Карлина А.И., Московских А.О. Математическое моделирование механических колебательных систем с объектом управления динамическим состоянием // Информационные и математические технологии в науке и управлении: материалы XVII Байкальской всероссийской конференции с международным участием (Иркутск - Байкал, 30 июня - 9 июля 2012). Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2012. С. 48-55.
6. Ермошенко Ю.В., Карлина А.И., Большаков Р.С., Полетаева Н.С. Виброзащитная система с сочленениями элементов. Режимы динамического гашения колебаний // Проблемы механики современных машин: материалы V Международной конференции (Улан-Удэ, 25 июня - 1 июля 2012). Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2012. С. 188-192.
7. Ермошенко Ю.В., Большаков Р.С., Каимов Е.В., Карлина А.И., Московских А.О. Межкоординатные дополнительные связи в задачах виброзащиты // Решетневские чтения - 2011: материалы XV Международной научной конференции (Красноярск, 10-12 ноября 2011). Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2011. С. 232-233.
8. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Динамические свойства вагона с двухступенчатым
рессорным подвешиванием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3 (27). С. 60-69.
9. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е., Лыткина Е.М. Колебания экипажа с упруго-подвешенным грузом при силовом возмущении // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 47-50.
10. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 4 (12). С. 25-28.
11. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е., Каргапольцев С.К. Вертикальные колебания экипажа с упруго-подвешенным грузом // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1 (33). С. 42-46.
12. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Главные координаты динамической системы с тремя степенями свободы // Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО'11): материалы IV Международной конференции (Улан-Удэ, 27 июня - 1 июля 2011). Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2011. Ч. 1. С. 122-127.
13. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Определение главных координат вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4 (32). С. 71-76.
14. Гозбенко В.Е., Ахмадеева А.А., Каргапольцев С.К., Банина Н.В. Моделирование колебаний подвижного состава железных дорог // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2 (38). С. 52-57.
15. Гозбенко В.Е., Каргапольцев С.К., Карлина А.И. Приведение динамической системы с тремя степенями свободы к главным координатам // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2016. № 3 (51). С. 35-38.
16. Карлина А.И., Каргапольцев С.К., Гозбенко В.Е. Приведение обобщенных сил в математических моделях транспортных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2016. № 3 (51). С. 177-180.
17. Гозбенко В.Е., Карлина А.И., Каргапольцев С.К. Определение главных координат в решении задачи вертикальной динамики транспортного средства // Системы. Методы. Технологии. 2016. № 3 (31). С. 58-62.
18. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Вертикальные колебания экипажа с учетом неровностей пути // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3 (39). С. 56-59.
19. Гозбенко В.Е., Ахмадеева А.А., Каргапольцев С.К. Математическое моделирование колебаний вагона c несимметричными параметрами // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 4 (44). С. 91-94.
20. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава: пер. с англ. М.: Транспорт, 1988. 391 с.
References
1. Savchenko A.A., Kaimov E.V., Karlina A.I. Vliyanie struktury vneshnikh vozdeistvii na dinamicheskie svoistva mek-hanicheskikh kolebatel'nykh sistem [External action structure effect on the dynamic properties of mechanical oscillation systems]. Materialy XI Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Kulaginskie chteniya" [Proceedings of XI International scientific-practical conference "Kulaginskie Readings"]. Chita, Izd-vo ZabGU Publ., 2011, pp. 203-205. (In Russian)
2. Eliseev A.V., Karlina A.I. Osobennosti vzaimodeistviya material'noi chastitsy s poverkhnost'yu kolebaniya pri neuderzhivayushchikh svyazyakh [Features of material particle interaction with the oscillation surface under unilateral constraints]. Materialy XI Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii "Reshetnevskie chteniya - 2012" [Proceedings of XI International scientific-practical conference "Reshetnevskie Readings"]. Krasnoyarsk, Izd-vo SibGAU Publ., 2012, pp. 237-238. (In Russian)
3. Eliseev A.V., Karlina A.I., Piskunova V.A. Neuderzhivayushchie svyazi v model'nykh zadachakh vzaimodeistviya toch-
ki s vibriruyushchei poverkhnost'yu [Unilateral constraints in the model problems of point interaction with a vibrating surface]. Materialy XII Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Kulaginskie chteniya" [Proceedings of XII Inte r-national scientific-practical conference "Kulaginskie Readings"]. Chita, Izd-vo ZabGU Publ., 2012, pp. 186-189. (In Russian)
4. Churinova O.V., Zarubina V.A., Eliseev A.V., Karlina A.I. O modelirovanii mekhanicheskikh sistem s neuderzhivayush-chimi svyazyami [On the modeling of mechanical systems with unilateral constraints]. Materialy XVII Baikal'skoi vserossi-iskoi konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem "Informatsionnye i matematicheskie tekhnologii v nauke i upravlenii" [Proceedings of XVII Baikal All-Russia conference with international participation "Information and mathematical techno l-ogies in science and management"]. Irkutsk, ISEM SO RAN Publ., 2012, pp. 182-186. (In Russian).
5. Barsukov S.V., Karlina A.I., Moskovskikh A.O. Matematicheskoe modelirovanie mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem s ob"ektom upravleniya dinamicheskim sostoyaniem [Mathematical modeling of mechanical oscillatory systems with an object to control a dynamic state]. Materialy XVII Baikal'skoi vserossiiskoi konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem "Informatsionnye i matematicheskie tekhnologii v nauke i upravlenii" [Proceedings of XVII Baikal All-Russia conference with international participation "Information and mathematical technologies in science and management"]. Irkutsk, ISEM SO RAN Publ., 2012, pp. 48-55. (In Russian)
6. Ermoshenko Yu.V., Karlina A.I., Bol'shakov R.S., Poletaeva N.S. Vibrozashchitnaya sistema s sochleneniyami ele-mentov. Rezhimy dinamicheskogo gasheniya kolebanii [Vibration system with element joint. Dynamic oscillation damping modes]. Materialy V Mezhdunarodnoi konferentsii "Problemy mekhaniki sovremennykh mashin" [Proceedings of V International conference "Problems of modern machine mechanics"]. Ulan-Ude, VSGTU Publ., 2012, pp. 188-192. (In Russian)
7. Ermoshenko Yu.V., Bol'shakov R.S., Kaimov E.V., Karlina A.I., Moskovskikh A.O. Mezhkoordinatnye dopolnitel'nye svyazi v zadachakh vibrozashchity [Intercoordinate additional ties in vibroprotection problems]. Materialy XV Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii "Reshetnevskie chteniya - 2011" [Proceedings of XV International scientific conference "Reshetnevskie Readings-2011"]. Krasnoyarsk, Izd-vo SibGAU Publ., 2011, pp. 232-233. (In Russian)
8. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E. Dinamicheskie svoistva vagona s dvukhstupenchatym ressornym podveshivaniem [Dynamic properties of a rail car with a two-step spring suspension]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2010, no. 3 (27), pp. 60-69. (In Russian)
9. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E., Lytkina E.M. Kolebaniya ekipazha s uprugo-podveshennym gruzom pri silovom vozmushchenii [Vibrations of a carriage with elastically suspended load under force disturbance]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2012, no. 4 (36), pp. 47-50. (In Russian)
10. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E. Ratsional'noe zadanie chisla stepenei svobody dinamicheskoi modeli gruzovogo vagona [Efficient setting of the number of freedom degrees of a freight car dynamic model]. Sistemy. Metody. Tekhnologii [Systems. Methods. Technologies]. 2011, no. 4 (12), pp. 25-28. (In Russian)
11. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E., Kargapol'tsev S.K. Vertikal'nye kolebaniya ekipazha s uprugo-podveshennym gruzom [Vertical oscillations of a carriage with elastically suspended loads]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2012, no. 1 (33), pp. 42-46. (In Russian)
12. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E. Glavnye koordinaty dinamicheskoi sistemy s tremya stepenyami svobody [Main coordinates of a dynamic system with three degrees of freedom]. Materialy IV Mezhdunarodnoi konferentsii "Matematika, ee prilozheniya i matematicheskoe obrazovanie (MPMO'11)" [Proceedings of the IV International Conference "Mathema tics, its use and mathematical education (MUME'11)"]. Ulan-Ude, Izd-vo VSGTU Publ., 2011, part 1, pp. 122-127. (In Russian)
13. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E. Opredelenie glavnykh koordinat vagona s dvukhstupenchatym ressornym podveshivaniem [Determination of main coordinates of a railcar with two-spring suspension]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2011, no. 4 (32), pp. 71 -76. (In Russian)
14. Gozbenko V.E., Akhmadeeva A.A., Kargapol'tsev S.K., Banina N.V. Modelirovanie kolebanii podvizhnogo sostava zheleznykh dorog [Simulation of railway rolling stock oscillations]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modeliro-vanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2013, no. 2 (38), pp. 52-57. (In Russian)
15. Gozbenko V.E., Kargapol'tsev S.K., Karlina A.I. Privedenie dinamicheskoi sistemy s tremya stepenyami svobody k glavnym koordinatam [Adjustment of a dynamic system with three degrees of freedom to the main coordinates]. Sov-remennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2016, no. 3 (51), pp. 35-38. (In Russian)
16. Karlina A.I., Kargapol'tsev S.K., Gozbenko V.E. Privedenie obobshchennykh sil v matematicheskikh modelyakh transportnykh system [Reduction of generalized forces in mathematical models of transport systems]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2016, no. 3 (51), pp. 177-180. (In Russian)
17. Gozbenko V.E., Karlina A.I., Kargapol'tsev S.K. Opredelenie glavnykh koordinat v reshenii zadachi vertikal'noi dina-miki transportnogo sredstva [Determination of main coordinates in solving the problem of vehicle vertical dynamics]. Sistemy. Metody. Tekhnologii [Systems. Methods. Technologies]. 2016, no. 3 (31), pp. 58-62. (In Russian)
18. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E. Vertikal'nye kolebaniya ekipazha s uchetom nerovnostei puti [Carriage vertical oscillations with regard to the road roughness]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2013, no. 3 (39), pp. 56-59. (In Russian)
19. Gozbenko V.E., Akhmadeeva A.A., Kargapol'tsev S.K. Matematicheskoe modelirovanie kolebanii vagona c nes-immetrichnymi parametrami [Mathematical modeling of the oscillations of a rail car with asymmetric parameters]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2014, no. 4 (44), pp. 91-94. (In Russian)
20. Garg V.K., Dukkipati R.V. Dinamika podvizhnogo sostava: per. s angl. [Rolling stock dynamics]. Moscow, Transport Publ., 1988, 391 p.
Критерии авторства
Карлина А.И., Гозбенко В.Е. рассмотрели свободные и вынужденные колебания системы с шестью степенями свободы с симметричными и несимметричными массо-инерционными характеристиками, провели обобщение и написали рукопись. Карлина А.И. и Гозбенко В.Е. в равной мере несут ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Karlina A.I., Gozbenko V.E. considered free and forced oscillations of a system with six degrees of freedom with symmetric and asymmetric mass-inertia characteristics, summarized the material and wrote the manuscript. Karlina A.I. and Gozbenko V.E. are equally responsible for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interest regarding the publication of this article.
Статья поступила 19.09.2016 г. The article was received 19 September 2016
