Приведение динамической системы с тремя степенями свободы к главным координатам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

ти, получается, что прямо или косвенно решена в замкнутой форме задача оптимального управления с ограничениями типа неравенств на все координаты и управление. В процессе исследования также несколько расширена теория аналитического конструирования регуляторов, особенно в плане точного решения двухточечной краевой задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. Т.1. № 4. С. 436-441.

2. A.E. Bryson Jr., Y.C. Ho. Applied Optimal Control. Hemisphere Publishing,Washington, D.C., 1975.

3. M. Athans, P L. Falb. The Optimal Control: An Introduction to the Theory and Its Applications. Dover, New York, 1966.

4. R.E. Kalman, The Eheory of Optimal control and the Calculus of Variations. Berkeley. University of California Press, 1963.

5. H. Kwakernaak, R. Sivan. Linear optimal Control Systems. New York. John Wiley & Sons, Ltd, 1972.

6. S.J. Citron, Elements of Optimal Control. Holt. New York. Rinehart and Winston, 1969.

7. J. Rodriguez, P. Cortes, Predictive Control of Power Converters and Electrical Drives. Chiches-ter. John Wiley & Sons, Ltd, 2012.

8. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М. : Наука, 1981. 488 с.

УДК 621.01:51-7:629.4.02 Гозбенко Валерий Ерофеевич,

д. т. н., профессор,

Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (3952) 638357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru Каргапольцев Сергей Константинович, д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 83952638304, e-mail: kck@irgups.ru Карлина Антонина Игоревна, заместитель начальника управления научной деятельностью, Иркутский национальный исследовательский технический университет,

тел. 89501201950, e-mail: karlinat@mail.ru

ПРИВЕДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

К ГЛАВНЫМ КООРДИНАТАМ

V. E. Gozbenko, S. K. Kargapoltsev, A. I. Karlina

REDUCING THE DYNAMIC SYSTEM WITH THREE DEGREES OF FREEDOM TO MAIN COORDINATES

Аннотация. Рассмотрены колебания четырехосного вагона, имеющего двойное рессорное подвешивание. Для нахождения главных координат исследованы свободные и вынужденные колебания подрессоренных частей вагона. Принимается, что кузов вагона и тележки обладают по одной степени свободы: подпрыгиванием, галопированием кузова вагона и тележек будем пренебрегать. Составлены дифференциальные системы уравнений, в предположении, что рассматриваемая система имеет 3 степени свободы - вертикальные колебания кузова и двух тележек. Предложен вариант поиска решений в виде гармонических функций. Составлена система для определения характеристического уравнения, из которой следует, что система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю. Найдены коэффициенты распределения амплитуд, из которых следует, что параметры системы связаны между собой определенными соотношениями между коэффициентами инерции и коэффициентами жесткости. Получены дифференциальные уравнения свободных колебаний системы в главных координатах, представляющие собой три независимых линейных дифференциальных уравнения второго порядка. Представлено общее решение и преобразования начальных условий для получения решения в замкнутом виде.

Ключевые слова: динамика, динамическая модель, колебания, кузов, колесо, возмущения, уравнения движения, жесткость, демпфирование, дифференциальные уравнения, общее решение.

Abstract. Vibrations of four-axle wagon having a dual spring suspension are considered. To locate the main coordinates free and forced oscillations of the sprung parts of the car are investigated. It is assumed that the body of the car and truck have one degree of freedom: bouncing, galloping of the car body and trucks will be neglected. Differential systems of equations are composed under the assumption that the considered system has 3 degrees of freedom - vertical vibrations of a car body and two bogies. The option of searching solutions in the form of harmonic functions are obtained. The system for determining the characteristic equation is composed, from which it follows that the system has a nonzero solution when its determinant equals zero. The coefficients of the distribution of amplitudes are obtained, which suggests that the parameters of the system are connected by certain relations between the coefficients of inertia and stiffness. Differential equations of free oscillations of the system in principal coordinates, representing three independent linear differential equations of second order, are obtained. General solution and transformation of the initial conditions to obtain solution in a closed form.

Keywords: dynamics, dynamic model, oscillations, automobile, wheel, perturbations, motion equations, stiffness, damping, differential equations, general solution.

иркутским государственный университет путей сообщения

Введение

Транспортная система представляет собой сложный технический объект, как правило, подверженный сложным вибрационным и вибраци-ионно-импульсным воздействиям, приводящим к неустойчивости транспортного средства с грузом во время движения [1—5]. Кроме того, система может быть подвержена ударным воздействиям, влияниям неровности пути и др. [6-9]. Тем не менее важным является решение задачи снижения износа в паре «колесо - рельс». Одним из способов решения этой проблемы может быть применение лубрикации и пр., что улучшает динамические свойства транспортной системы [10]. Представляется важным решение задачи управления колебательными процессами вагона с рессорным подвешиванием [11-16]. Транспортное средство можно рассматривать как динамическую систему со сложным спектром свойств [17-23].

Постановка задачи

Рассмотрим колебания четырехосного вагона, имеющего двойное рессорное подвешивание (рис. 1). Исследование колебаний с конечным числом степеней свободы упрощается, если ввести главные координаты этой системы. Для нахождения главных координат исследуем свободные и вынужденные колебания подрессоренных частей вагона. Принимается, что кузов вагона и тележки обладают по одной степени свободы: подпрыгиванием, галопированием кузова вагона и тележек будем пренебрегать. Общее число степеней свободы модели равно трем.

Дифференциальные уравнения

транспортной системы

Для исследования колебаний подрессоренных частей вагона приняты обозначения:

тк, тТ1, тТ2 - масса кузова и тележек соответственно;

с

21 '

С22, С31,

"11 :

с12 - вертикальная жесткость централь-

с32 - вертикальная жесткость буксового подвешивания колесной пары;

, гТ1, - текущие вертикальные перемещения центра тяжести соответственно кузова, первой и второй тележек;

+ Ь2 - база кузова.

Составив уравнения для кинетической и потенциальной энергий и используя уравнения Ла-гранжа II рода, получим систему дифференциальных уравнений:

А11^К + С112К + С122Т1 + С13¿Т2 = 0; А22¿11 ^ С212К ^ С222Т1 = 0; А33¿Т2 ^ С312К ^ С33¿Т2 = 0,

(1)

где Ац тк, С11 С11 + С12 ' С12 С21 С11 -С13 = С31 = —С12 , ^22 = тТ1 ' С22 = С11 ^ С21 ^ С22 -

А33 тТ2 -

С33 С12 ^ С31 ^ С32 '

ного подвешивания тележки;

Зависимость между обобщенными координатами , , ¿Т2 и главными координатами

4, 4г, 43 выразим:

¿к =41+Ч2+9з;

2Т1 = + ^2 + ^1з4з; (2)

¿Т2 = ^2141 ^ ^2242 ^ ^2343 '

Решение системы дифференциальных уравнений (1) будем искать в виде = Л1 8т(к/ + а), = А ^(к + а), ¿Т2 = А3 + а). Подставляя в (1) и отбрасывая множитель + а), получим систему уравнений:

А (Си - Ацк2 )+ А2 (С12 ) + А3 (С13) = 0; < А (С12 )+А2 (С22 - А22к2 ) = 0; (3)

А1 (С13)+А3(С33 - А33к2) = 0. Эта система имеет ненулевое решение, если

Рис. 1. Расчетная схема колебаний вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием

Механика

ее определитель равен нулю.

Таким образом, приходим к характеристическому (частотному) уравнению

Д(К2) = 0 . (4)

Используя корни характеристического уравнения, найдем коэффициенты распределения амплитуд:

А

(О

АИ^г С11

- С

-1 ->

С

А1(

(О

(г)

А( )

(г)

С

С12

С —А к2

С 22 А22 г

А1(

А11Кг — С11

- с

С12

= Цн

А

А

(г)

= Ц 2

(5)

(6)

где

А) =

С

С — А к2

С22 А22кг

С

, г = 1, 3 .

Соответствия между коэффициентами инер-

а также коэффи-

Ции А11, А22, А33 и а1 , а2 , ^3

с

11 , с12

с

С22 , С33 и С1,

-2 , С3 примут вид:

(7)

Д

гК (Ц13Ц 21 — Ц11Ц 23 ) + гТ1(Ц 23 Ц 21) + гТ2(Ц11 — Ц13)

Д

¿К(Ц11Ц 22 — Ц12Ц 21) + гТ1(Ц 21 — Ц 22 ) + гТ2(Ц12 — Ц11)

Д

Д = Цц(Ц22 — Ц23 ) + Ц12(Ц 23 — Ц21 ) + Ц13(Ц 21 — Ц 22) .

циентами жесткости с С ,

а1 = А11 + А22Ц11 + А33Ц 21' а2 = Ац + А22Ц12 + А33Ц22 а3 = А11 + А22Ц1 3 + А33 Ц 23'

С1 = С11 + 2С12Ц11 + 2С13Ц 21 + С22Ц11 + С33Ц 21' С2 = С11 + 2С12Ц12 + 2С13Ц 22 + С22Ц12 + С33Ц 22' С3 = Сп + 2С12Ц12 + 2С13Ц 23 + С22Ц13 + С33Ц 23'

Обычно при решении конкретных задач трудно предварительно определить параметры, являющиеся главными координатами системы. Поэтому, выбрав за обобщенные координаты величины, определяющие положение системы наиболее просто, вычисляют частоты главных колебаний кх, к2, къ при помощи уравнений (3), а затем по формулам (5), (6) определяют значения

Ц11 , Ц12 , Ц13 , Ц 21, Ц 22 , Ц 23 . Так как

^к = Ч1 + 42 + Чъ; 2г1 = ЦиЧ + Ц12^2+Ц13^э; ^Х2 = Ц 21Ч1 + Ц 22Ч2 + Ц 23Ч3, то

гК(Ц12Ц 23 —Ц13Ц 22 ) + гТ1(Ц 22 —Ц 23) + 2Т2(ц13 —Ц12).

Ч2

где

Уравнения движения в главных координатах Ч , Ч , Ч3 примут вид

аЧ + сч = 0;

<а2 Ч 2 + С2 Ч2 = 0' (9)

аЧз + с3ч3 = о.

Полученные дифференциальные уравнения свободных колебаний системы в главных координатах (9) представляют собой три независимых линейных дифференциальных уравнения второго порядка. Общее решение этих уравнений имеет вид

ч = С + а); <Ч2 = С $'т(к^ + а2); (10)

ч = С 8т(к3* + а),

где С, С2, С3, а, а2, а 3 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий при * = *0:

2К = 2К00 ; 2К = 2К00 ; 2Т1 = 2Т10 ; 2Т1 = 2Т10 ; гТ2 = ^Т20 ; гТ2 = ^Т20,

тогда

Ч1 = Ч10 ; Ч1 = Ч10 ; Ч2 = Ч20 ; Ч2 = Ч20 ; Ч3 = Ч30 ; Ч3 = Ч30 .

Собственные частоты к , к , к3 колебаний системы в главных координатах определяют из уравнений (9) по следующим формулам:

^, ^ =

а

а

К =

а,

(11)

Большое значение имеет применение главных координат при изучении вынужденных колебаний системы.

Заключение

Рассмотрена транспортная система, имеющая три степени свободы. Найдены соотношения между коэффициентами инерции и жесткости, при которых дифференциальные уравнения рассматриваемой системы, распадаются на три независимых уравнений второго порядка, что свидетельствует о том, что найдены главные координаты системы. Представлено общее решение этих уравнений, а также преобразования начальных условий для получения замкнутого решения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хоменко А.П. Изменение динамического состояния упругосвязанных систем / В.Е. Гозбенко, А.П. Хоменко Деп. в ВИНИТИ 23.07.2002, № 1379-В2002.

0

с

с

2

3

2. Хоменко А.П. Особенности моделирования динамических процессов в задачах управления колебаниями сложных технических объектов /

A.П. Хоменко С.В. Елисеев, В.Е. Гозбенко. Деп. в ВИНИТИ 22.02.2005, № 255-В2005.

3. Елисеев С.В. Математические модели и анализ динамических свойств механических систем / С.В. Елисеев, Н.В. Банина, А.А. Ахмадеева,

B.Е. Гозбенко. Деп. в ВИНИТИ № 782-В2009, 08.12.2009.

4. Кольцов В.П., Беломестных А.С. Интенсификация виброимпульсной обработки деталей // Повышение эффективности производства изделий машиностроения : материалы конф. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 1995. С. 10-12.

5. Кольцов В.П., Беломестных А.С. Математическая модель виброимпульсной обработки // Повышение эффективности производства изделий машиностроения : материалы конф. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 1995. С. 6-8.

6. Лапшин В.Л., Демаков Е.И. Моделирование упруго-пластического взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью при ударе // Материалы XI Международной науч. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева (6-10 нояб. 2007, г. Красноярск) / под общ. ред. И. В. Ковалева ; Сиб. гос. аэро-космич. ун-т. Красноярск, 2007. С. 240-241.

7. Лапшин В.Л., Глухов А.В. Исследование влияния упруго-вязко-пластичных элементов меха-нореологической модели на параметры ее ударного взаимодействия // Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования -основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России : материалы Всерос. 65-я науч.-техн. конф. ФГБОУ ВПО «СибАДИ» с междунар. участ. / Министерство образования и науки РФ. Омск, 2011. С. 54-59.

8. Лапшин В.Л., Рудых А.В., Глухов А.В. Использование нелинейных вязких и пластических элементов в механореологической модели ударного процесса // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 3 (15). С. 21-25.

9. Галиев И.И., Нехаев В.А., Николаев В.А. Безопасность движения грузовых поездов и динамические свойства ходовой части вагона // Известия Транссиба. 2012. № 1. С. 107-112.

10. Воротилкин А.В. Математическая модель динамического взаимодействия в системе «колесо-рельс» с учетом их лубрикации / А.В. Воро-тилкин, С.К. Каргапольцев, В.Е. Гозбенко ; Ир-кут. гос. ун-т путей сообщ. М. 2006. 24 с. Деп. в ВИНИТИ. 13.02.2006. №152. В2006.

11.Николаев В.А. Разработка методов аналитического конструирования квазиинвариантных систем рессорного подвешивания железнодорожных экипажей : дис. ... докт. техн. наук. Омск, 2003.

12.Цисовски Т. Совершенствование систем управления колебаниями подвижного состава железных дорог : дис. ... Москва, 2001.

13.Основы механики подвижного состава / И.И. Галиев, В.А. Нехаев, В.А. Николаев, В.Н. Ушак Т. 2. Омск, 2013.

14. Параметры тележки грузового вагона и безопасность движения / И.И. Галиев, В.А.Нехаев, В.А. Николаев, Г.И. Давыдов // Железнодорожный транспорт. 2003.№ 3. С. 36-41.

15.Пат. Рос. Федерации МПК 7 B60G17/00 Рессорное подвешивание рамы тележки железнодорожного экипажа / И.И. Галиев, В.А. Нехаев, В.А. Николаев ; заявитель и патентообразова-тель Омск. гос. ун-т путей сообщ. № 2224664 ; заявл. 10.10.03 ; опубл. 27.02.2004.

16.Пат. Рос. Федерации МПК 7 B60G17/00. Рессорное подвешивание рамы тележки специализированного грузового вагона / И.И. Галиев, В.А. Нехаев, В.А. Николаев ; заявитель и па-тентообразователь Омск. гос. ун-т путей сообщ. № 2224665 ; заявл. 27.10.03 ; опубл. 27.02.2004.

17.Пат. Рос. Федерации МПК: B60L Устройство для управления состоянием объекта защиты / Хоменко А.П., Елисеев С.В., Гозбенко В.Е., Ба-нина Н.В ; заявитель и патентообразователь Иркут. гос. ун-т путей сообщ. № 56858 21.04.2006.

18.Долотов А.М. Уплотнительные соединения с использованием тонкостенных элементов / А.М. Долотов, В.Е. Гозбенко, Белоголов. Деп. в ВИНИТИ 22.11.2011, № 508-В201.

19. Беломестных А.С. Информационно -измерительный комплекс // Повышение эффективности познавательной деятельности обучающихся : материалы междунар. науч. конф. 1995. С. 21-24.

20.Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 12. С. 25- 28.

21.Вериго М.Ф. Динамика вагонов. Конспект лекций. М. : Транспорт, 1988. 174 с.

22.Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. М. : Транспорт, 1991. 360 с.

23.Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава : пер. с англ. М. : Транспорт, 1988. 391 с.