CC BY
35
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ш
5.
6.
7.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб. : Изд-во С.-Петерб. унта, 2007.
Minorcsky N . Directional Stability of Automatical Steering Bodies // J. Amer. Soc. Navel. Enginers. 1922. V. 34. № 3. Р. 113.
Борисенок И.Т., Шамолин М.В. Решение задач дифференциальной диагностики // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. Вып. 3. С. 775790.
Рогалев А.Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Вычислительные технологии. 2003. Т. 7., Ч. 5. С. 148-150.
Рогалев А.Н. Гарантированные оценки безопасного функционирования технических и электроэнергетических систем // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф : тр. Всерос. конф. с междунар. участием. Красноярск : ИВМ СО РАН. 2003. Т. 3. С. 42-48. Рогалев А.Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестн. СибГАУ. 2010. 5(31). С. 148154.
Рогалев А.Н. Вычисление гарантированных границ множеств достижимости управляемых систем // Автометрия. 2011. Т. 47. № 3. С. 100-112. Рогалев А.Н. Вопросы реализации гарантированных методов включения выживающих траекторий
управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2011. № 2 (35). С. 54-58.
9. Rogalev A.N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems // ISSN 87566990, Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, Allerton Press. 2011. V. 47. № 3. P. 287-296.
10. Aubin, J.-P. Viability Kernels and Capture Basins of Sets under Differential Inclusions // SIAM J. Control. 2001. V. 40. P. 853-881.
11. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М. : Наука, 1978.
12. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М. : Физма-тгиз, 1962.
13. Гермаидзе В., Красовский Н.Н. Об устойчивом движении при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика. 1957. № 21. Вып. 6. С. 769-774.
14. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. математика и механика. 1953. 17. № 5. C. 529-540.
15. Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов. М. : МГУ, 1976.
16. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. Т. 51, № 5. С. 339-342.
17. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возбуждаемых вибрационных систем // Вестник МГУ. Сер. Математика и механика. 1998. Вып. 6. С. 40-43.
18. Басин А.М. Теория устойчивости на курсе и поворотливости судна. М. : Гостехиздат, 1949.
УДК 621.752 Каргапольцев Сергей Константинович,
д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. (395-2) 638-304, e-mail: [email protected] Ахмадеева Алла Абдулваровна, соискатель, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (395-2) 638-357, e-mail: [email protected] Гозбенко Валерий Ерофеевич, д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. (395-2) 638-357, e-mail: [email protected] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВАГОНА C НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
S. K. Kargapolcev, A. A. Akhmadeeva, V. E. Gozbenko
MATHEMATICAL SIMULATION OF THE VIBRATION OF THE CARRIAGE ASYMMETRIC PARAMETERS
Аннотация. В статье рассматривается задача моделирования колебаний грузового вагона с грузом. При составлении модели выбрана расчетная схема грузового вагона для исследования колебаний подпрыгивания, галопирования и боковой качки. В качестве обобщенных координат выбраны для кузова и груза вертикальные перемещения и по два угловых - галопирование и боковая качка. Для упрощения расчетов пружинные комплекты подвески вагона заменены приведенной жесткостью. Используя уравнения Лагранжа второго рода составлены уравнения движения. Отмечено, что полученная система шести дифференциальных уравнений связана, поэтому получить аналитическое решение затруднительно. Решение поставленной задачи находили с использованием математического пакета MATHCAD. В качестве исходных данных приняты массо-инерционные характеристики четырехосного металлического вагона модели 12-132-02. Приведены некоторые характерные графики зависимостей для колебаний кузова и груза при определенных начальных данных. Анализ численных решений показывает, что периоды колебаний кузова и груза малочувствительны к изменению начальной скорости, а амплитуды изменяются пропорционально изменению скоростей. Показано, что изменяя определенным образом начальные данные возможно определить критические для безопасности движения скорости и максимальные отклонения.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Ключевые слова: математическое моделирование, уравнения Лагранжа, приведенная жесткость, вагон, груз, расчетная модель, степень свободы, уравнения движения.
Abstract. The article considers the problem of modeling the vibrations of a freight car loaded with cargo. When developing the model selected design scheme of a freight car for the study of fluctuations jumping, galloping and side rolling. Vertical movement and two corner - galloping and side pitching are selected for body and cargo as generalized coordinates. To simplify the calculations spring suspension kits car are replaced by a given rigidity. Using the Lagrange equations of the second kind is composed of the equations of motion. It is noted that the obtained system of six differential equations is bound, therefore, the obtain and of analytical solution is difficult. The solution of this problem was found by using a mathematical package MATHCAD. In the quality space of initial data were mass-inertial characteristics of the four metal wagon model 12-132-02 taken. Some typical graphs of dependencies for fluctuations in the body and cargo under certain initial data. Are the considered analysis of numerical solutions shows that periods of body and cargo vibrations are insensitive to the changes in the initial velocity, and the amplitude changes proportionally to the change in speed. It is shown that critical speeds in a certain way for the safety of traffic it is possible to determine.
Keywords: mathematical modeling, equations of Lagrange, given rigidity, car, cargo, calculation model, the degree of freedom, the equations of motion.
Введение
Эффективность, функционирование и конкурентоспособность российских железных дорог в решающей мере зависит от безопасности движения подвижного состава и скорости доставки грузов, поэтому необходимо изучение динамики вагона и груза. В [1-4] показано, что движением тележек можно пренебречь, а пружинный комплект можно заменить эквивалентной жесткостью. Будем предполагать, что груз размещен в вагоне с о-гласно техническим условиям размещения и крепления грузов в вагонах [5-8], а жесткости крепежных элементов - приведенными. В [1] была рассмотрена модель вагона с грузом, обладающая тремя степенями свободы (линейное и угловое перемещение центра масс вагона, и вертикальное перемещение груза).
Математическая модель
Так как кузов вагона с грузом во время движения совершает сложные колебательные пере-
мещения в пространстве вследствие взаимодействия пути и подвижного состава [ 9], поэтому рассмотрим расчетную модель грузового вагона с размещенным в нем грузом, предназначенную для исследования подпрыгивания, галопирования и боковой качки рис. 1. Общее число степеней свободы модели равно шести:
а) для кузова - вертикальное перемещение центра тяжести кузова (^), угловые перемещения кузова (фк, ук) относительно их главных центральных осей инерции (галопирования и боковой качки);
б) для груза - вертикальное перемещение центра тяжести груза (^), угловые перемещения груза (фw, ^) относительно их главных центральных осей инерции.
На рис. 1. еп, е12, е21, е22 - приведенные жесткости рессорного подвешивания, с31, с32, с41,
//////, Рис. 1. Модель вагона с грузом
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ш
сп - приведенные жесткости элементов закрепления груза, Ц + Ц - база вагона, Ь + Ь - поперечная база кузова, Ц + Ц - расстояние между точками крепления груза, Ц, Ц - расстояния от центра тяжести вагона до точек крепления груза.
Рассмотрим свободные колебания этой системы с несимметричными массо-инерционными характеристиками.
Уравнения движения для рассматриваемой системы имеют вид:
Апгк + Спг к + С12 г w + Спф к + к + + сиФ V + С16^ w =0;
А22 г V + С 21г К + С 22 г V + С 23ф К + С 24^ к +
+ С25Ф V + С 26 V V = 0;
А33ф к + С31гк + С32 г V + С33Ф к + С34 Vк + + С35ф V + C36V V =0;
A44V к + С 41г к + С42 г V + С 43ф к + С 44 V к + + С45ф V + С 46 V V =0;
А55ф V + С51г к + С52г V + С53ф к + С54 V к
+ С55Ф V + С56 V V =0;
к 1 1 42 V 43т к 44 т к 45 ф V + С 46 V V
V + С51г к + С 52г V 1 С53ф к 1 С54У к 55ф V + С56 V V A66V V + С61г к + С62 г V + С63ф к + С64 V к + С65ф V + C66V V = 0
(1)
С34 = С43 = С11А Ь1 + С12 Т2 Ь1 + С21Т1Ь2 — С22Ц2Ь2 — С31Т5Ь5 + С32Т6Ь5 + С41Т5Ь6 — С42Т6Ь6 ,
С = С = —С Т Т — С Т Т — С Т Т — С т Т
С35 = С53 = С31Т5Т3 С32Т6Т4 С41Т5Т3 С42Т6Т4 ' С36 = С63 = С31Т5Ь3 — С32Т6Ь3 — С41Т5Ь4 + С42Т6Ь4 '
А44 = А '
С44 = С11Ь' + С12 Ь12 + С21Ь2 + С22Ь2 + ^ + + С32 Ь5 + С41Ь6 + С42Ь6 '
С45 = С54 = С31Т3Ь5 — С32Т4Ь5 — С41Т3Ь6 + С42Т4Ь6 ' С46 = С64 = —С31Ь5 Ь3 —С32Ь5 Ь3 — СА Ь4 — С42Ь6 Ь4 ' А55 = ' С55 = С31Т3 + С32Т4 + С41Т3 + С42 Т4 , С56 = С65 = —С31Т3Ь3 + С32Т4Ь3 — С41Т3Ь4 — С42Т4Ь4 ' А66 = 1 х1 ' Сбб = С31Ь32 + С32Ь32 + С41Ь4 + С42Ь4 •
Численное решение
Полученная система дифференциальных уравнений достаточно сложна, поэтому получить аналитическое решение затруднительно, поэтому решение системы (1) будем находить с помощью пакета МЛТНСЛБ [10]. Исходные данные в примере соответствуют экипажу 4-осного цельнометаллического полувагон с глухими торцевыми стенами, модель 12-132-02. Результаты представлены в графическом виде - перемещения в зависимости от времени (рис. 2-7).
где А11 = тк > ^22 = mW'
С11 = С11 + С12 + С21 + С22 + С31 + С32 + С41 + С42'
С12 = С21 = —С31 — С42 — С41 — С32 '
С13 = С31 = С11Т1 + С21Т1 — С22Т2 — С12Т2 + С31Т5 +
+ С41Т5 — С42 Т6 — С32 Т6,
С14 С41 С11Ь1 + С21Ь2 + С22Ь2
— С12Ь1 — С31Ь5 + С41Ь6 + С42Ь6 — С32Ь5>
С15 = С51 = —С31Т3 — С41Т3 + С42Т4 + С32Т4 '
С16 = С61 = С31Ь3 — С41Ь4 — С42Ь4 + С32Ь3'
С22 = С31 + С41 + С42 + С32'
С23 = С32 = С31Т5 — С41Т5 + С42Т6 + С32Т6 ' С24 = С42 = С31Ь5 — С41Ь6 — С42Ь6 + С32Ь5 ' С25 = С52 = С31Т3 + С41Т3 — С42Т4 — С32Т4, С26 = С62 = —С31Ь3 + С41Ь4 + С42Ь4 — С32Ь3 ,
А33 = 1 у ,
С33 = С11Т1 + С12 Т2 + С21Т1 + С22 Т2 + С31Т5 + С32 Т6 + + С41Т5 + С42Т6 ,
Рис. 2. Перемещение кузова
Рис. 3. Перемещение груза
Рис. 4. Угловое перемещение кузова
Рис. 6. Угловое перемещение кузова
(рад)
2x10'
,-4
h Í M J 1
WÍD i 1/ 20 i Jí(c)
Численные решения показывают, что амплитуда колебаний зависит от начальной скорости вертикального движения кузова движения.
При изменении скорости на ± 10 % период свободных колебаний изменяется не значительно (0,3 %) кроме периода угловых колебаний кузова вокруг оси Оу (1,5 %). Амплитуды колебаний изменяются от 6,5 % до 11 % для всех степеней свободы, кроме амплитуды угловых колебаний кузова и груза вокруг оси Оу (отклонения нет).
Изменяя нужным образом начальные данные можно определить критические скорости и соответствующие им максимальные перемещения в рассматриваемой системе. Решение задачи методом численного интегрирования дифференциальных уравнений движения позволяет оценить основные процессы, протекающие в системе при различных значениях параметров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
-2x10
Рис. 7. Угловое перемещение груза
Заключение
Из анализа численных решений, следует, что период колебаний малочувствителен к изменениям скорости, а амплитуды изменяются пропорционально изменениям начальной скорости.
Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона. Системы. Методы. Технологии. № 4(12). 2011.
Хоменко А.П., Елисеев С.В., Гозбенко В.Е., Соболев В.И., Димов А.В., Драч М.А., Титов А.А., Богатов М.Ю., Солодов Г.С., Банина Н.В., Донская Е.Ю., Лукьянов А.В., Засядко А.А., Кузнецов Н.К. Особенности моделирования динамических процессов в задачах управления колебаниями сложных технических объектов. Депонированная рукопись № 255-В2005 22.02.2005
Гозбенко В.Е. Методы управления динамикой механических систем на основе вибрационных полей и инерционных связей. Москва, 2004. Елисеев С.В., Банина Н.В., Ахмадеева А.А., Гозбен-ко В.Е. Математические модели и анализ динамических свойств механических систем. Депонированная рукопись № 782-В2009 08.12.2009 Технические условия размещения и крепления грузов в вагонах и контейнерах - М.: Юридическая фирма «Юртранс», 2003. - 544 с. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Гозбенко В.Е., Банина Н.В. Устройство для управления состоянием объекта защиты. Патент на полезную модель RUS 56858 21.04.2006.
Гозбенко В.Е., Оленцевич В.А. Повышение безопасности работы железнодорожной транспортной системы на основе автоматизации технологии размещения и крепления груза в вагоне. Известия Транссиба. 2013. № 1 (13). С. 110-116.
8. Оленцевич В.А., Гозбенко В.Е. Автоматизация выбора безопасного размещения и крепления груза на железнодорожном транспорте. Системы. Методы. Технологии. 2013. № 2 (18). С. 59-63.
9. Комаров М.С. Динамика механизмов и машин. - М.: Машиностроение, 1969. - 296 с.
10. Гурский, Д.А. Вычисления в MathCAD [Текст] / Д.А. Гурский. - Минск: Новое знание, 2003. - 814 с.
6.
7.
