CC BY
14
УДК 621. 752 Ахмадеева Алла Абдулваровна,
аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения тел. (395-2) 638-357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru Гозбенко Валерий Ерофеевич, д.т.н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения
тел. (395-2) 638-357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КООРДИНАТ ВАГОНА С ДВУХСТУПЕНЧАТЫМ РЕССОРНЫМ ПОДВЕШИВАНИЕМ
A.A. Akhmadeeva, V.E. Gozbenko
DEFINITION OF THE MAIN COORDINATES OF THE CAR WITH TWO-LEVEL SPRING SUSPENSION
Аннотация. В статье рассматриваются динамические характеристики вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием. Исследована система в главных координатах с несимметричными массоинерционными характеристиками. Из расчетов следует, что изменение параметров системы, в частности веса груза, существенно влияет на линейные и угловые обобщенные координаты.
Ключевые слова: свободные колебания, главные координаты, несимметричная механическая система.
Abstract. In the article, dynamic characteristics of the car with two-level spring suspension are considered. The system in the main coordinates with asymmetrical masso-inertial characteristics is investigated. From calculations change of parameters of system follows, that, in particular, cargo weight, essentially influence the linear and angular generalised co-ordinates.
Keywords: free fluctuations, the main coordinates, asymmetrical mechanical system.
Введение
Повышение эффективности и качества подвижного состава основывается на совершенствовании конструкций железнодорожных экипажей уже на стадии проектирования путем применения новых, более рациональных методов и средств [5]. В связи с этим важное значение приобретают проблемы совершенствования математических моделей рабочих процессов агрегатов и систем, а также эксплуатационных свойств подвижного состава [2], позволяющих адекватно описывать реальные процессы и получать более достоверные характеристики и параметры их функционирования.
Рассмотрим модель вагона. В состав модели входит кузов вагона, опирающийся на две вагонные тележки, оснащенные двумя колесными парами каждая. Принимается, что кузов вагона и тележки обладают двумя степенями свободы: под-
прыгивания и галопирования. Таким образом, модель вагона обладает шестью степенями свободы [3]. Схема вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием, используемого при построении модели, показана на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема колебаний вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием
Для исследования свободных колебаний подрессоренных частей вагона приняты обозначения: шк, «01, то2 - масса кузова и тележек соответственно; /к - момент инерции кузова при галопировании; си, с12 - вертикальная жесткость центрального подвешивания тележки; с21, с22, с31, с32 - вертикальная жесткость буксового подвешивания колесной пары; гк , гТ1, гТ2 - текущие вертикальные перемещения центра тяжести соответственно кузова, первой и второй тележек; фк ,
Фи , Фтг - текущие угловые перемещения кузова, первой и второй тележек соответственно; L + - база кузова.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
+ (С1а2 + С12Ь22 )фК = 0;
/ф +(с а с а )г +(с а 2 +с а 2 )р -О'
1Т2ф Т2 +(с31^31 - С32а32)гТ2 +((С31а31 + С32а32 )фТ2 = 0
Для упрощения системы (1) положим:
Ац = Шк , С11 = Си + С12, С12 = С21 = -С11, С13 = С31 = -С12, С14 = С41 = СпА - С12^2 , А22 = ШТ1, С22 = С11 + С21 + С22 ' С24 = С42 = с11^1, С25 = С52 = (((21а21 - С22а22), А33 = ШТ2, С33 = С12 + С31 + С32, С34 = С43 = С12^2 , С36 = С63 = С31а31 - С32а32, А44 = ^К ,
1 = I
х55 1 Т1 ,
С44 = СпА + С12^2 , А55 = 1Т
^12 2 2 2
Составив кинетическую и потенциальную энергию и используя уравнения Лагранжа второго рода [1], получим систему дифференциальных уравнений:
тК ¿К + (с11 + С12 )гК С112Т1 С122Т2 +
+ - (12ь2 )ф к = 0;
тТ1 ¿Т1 - (11гК + (с11 + С21 + С22)гТ1 - С11^1фК + + ((21а21 - С22а22)фТ1 = 0; (1)
тТ22Т2 - С122К + (с12 + С31 + С32 )гТ2 + С12^2фК + + (с31а31 - С32а32)ф Т2 = 0
1К фК + (чА - С12^2 )гК - С11^12Т1 + С12^22Т2 +
С55 = С21а21 + С22а22 ' А66 1Т2 ,
Г — 2 , 2
С66 = С31а31 + С32а32 •
Тогда система (1) примет вид:
А112К + С112К + С122 Т1 + С132Т2 + С14ф К = 0;
А222 Т1 + С212 К + С 222 Т1 + С 24ф К + С25ф Т1 0;
А332Т2 + С312 К + С332 Т2 + С34ф К + С36ф Т2 = 0; (2)
А44ф К + С412 К + С422Т1 + С432Т2 + С44ф К = 0;
А55ф Т1 + С522Т1 + С55ф Т1 = 0;
„А66ф Т2 + С632Т2 + С66ф Т2 = 0
Введение главных координат значительно упрощает изучение колебаний [6]. Зависимость между обобщенными координатами , ¿Т1, ¿Т2, Фк, фТ1, фТ2 и главными координатами ^, д2 , д3, д4, д5, д6 можно выразить так:
¿К = + + ?3 + + +
2Т1 = Дп<71 + + ДпЗз + + ^15^5 + Д16?6 ;
¿Т2 = Д21?1 + Д22?2 + Д23?3 + Д24?4 + Д25?5 + Д26?6 ; (3) ФК = Д31?1 + Д32?2 + Д33?3 + Д34?4 + Д35?5 + Д36?6 ; ФТ1 = Д41?1 + Д42?2 + Д43?3 + Д44?4 + Д45?5 + Д46?6 ;
Ф Т2 = Д 51?1 + Д 52?2 + Д 53?3 + Д 54?4 + Д 55?5 + Д 56^6^
Будем искать решение системы дифференциальных уравнений (2) в виде = А + а), I = 1, 3, ф = Аг + а), / = 4, 6 . Подставляя в (2) и отбрасывая множитель + а) , получаем:
А1 (С„ - Аик2)+ А2С12 + А3С13 + А4С14 = 0; А^С2\ + А2 (С22 ) + А4С24 + А^С25 = 0;
А1С31 + А3(С33 - А33к2) + А4С34 + А6С36 = 0; (4)
А1С41 + А2С42 + А3С43 + А4 (с44 - А44к ) = 0; А2С52 + А5 (С55 - А55к2 )= 0;
А3С63 + А6 (С66 - А66к2 )= 0.
Эта система имеет решение, отличное от тривиального А = 0, I = 1, 6 если ее определитель равен нулю.
Таким образом, приходим к характеристическому (частотному) уравнению А(к2 ) = 0.
Найденный из характеристического уравнения корень к^ подставим в систему (4). Так как
определитель А(к2) равен нулю, то в системе (4) будет только пять уравнений:
Сл - Апк2)+ АС12 + А3С,3 + А4С,4 = 0;
С + (С 22 ) + С 24 + СС25 — 0;
А.
А,
А3 А1
1
А
1
А
С31 +'-т(С33 - А33к2) + АтС34 + А6С36 = 0;
А1 24 А1
4 С34+А6
А1 34 А1
(5)
С + С + 21.С + (С _А к2)= 0.
С41 + . С42 + . С 43 + . \С 44 А44к /= А1 А1 А1
А2 С52 + А1 (С55 - А55к 2 )= 0. А1 А1
Решая это уравнение, получим:
)
((г')
1(0
(('■)
== Д1
А()
= Д 2
А(1)
= Д 3
= Д 4
А( )
= Д 5
(6)
где
2
3
4
5
6
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
А> ) =
А11к г2 -С11 С С С14 0 0
-С 0 С С24 С 0
-С С33 - А33кг С С34 0 С С36
С С С 43 С44 А44к 2 0 0
0 0 0 С55 -А55кг 2 0
(7)
А) =
'22
а4' ) =
А(г) =
22
с с12 А11к г 2 -С11 С С14 0 0
А22кг 2 С С21 С С24 С С25 0
0 С С С34 0 С С36
С С42 С С41 С44 А44к 2 0 0
С С52 0 0 С55 - А55кг 2 0
с с12 С А11к г2 -С11 0 0
А22кг 2 0 С С21 С С25 0
0 С33 - А33кг С 0 С С36
С С42 С С43 С С41 0 0
С С52 0 0 С55 А55кг2 0
с с12 С С С14 А11к г2 -С11 0
А22кг 2 0 С С24 С С21 0
0 С33 - А33кг С С34 С С С36
С С42 С С43 С44 А44к 2 С С41 0
С С52 0 0 0 0
(8)
(9)
(10)
А« =
с с12 С С13 С С14 0
А22к г2 0 С С24 С С25
0 С33 А33к 2 С С34 0
С С42 С С43 С44 А44к 2 0
С С52 0 0 С55 А55кг
Аикг -Си -С
^ о 1
-Сз
С
41
(11)
А1(0 =
'22
С С С С14 0 0
А22кг2 0 С С24 С С 25 0
0 С33 - А33кг С С34 0 С С36
С С42 С С 43 С44 А44к 2 0 0
С С52 0 0 С55 А55к 2 0
г = 1, 6
(12)
Для того чтобы установить соответствие между коэффициентами а, а , а, а, а , а и А1 А22, А33, А44, А55, А66, а также коэффициентами жесткости с, с2, с3, с 4, с5, с6 и Си, С12, С13, С14,
С С С
С 21, С 22 , С 24 ,
ССССССССС
С25, С31, С33, С34, С36, С41, С42, С43, С 44,
С52, С55, С63, С66 подставим в выраже-
ние Т и П, вычисленные в обобщенных координатах, их значения (3) и, сопоставляя со значениями
22
22
2
0
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
гт 1 (■ 2 .2 .2 .2 .2 • 2 \
т=2(ад + ад + ад + ад + ад, + ад),
Т! 1 ( 2 , 2 , 2 , 2 , 2 2 \
П ^ — (С1^1 + С242 + С3 ^3 + С4 ^4 + С5 Чз + С6 Чб ),
получим формулы для вычисления коэффициентов инерции а , а , а , а , а , а а также коэффициентов жесткости С, С2, С3, с4, с5 , С6 [5]:
а1 = А11 + А22Д11 + А33Д 21 + А44Д 31 + А55Д 41 + А66Д 51, а2 = А11 + А22Д12 + А33Д 22 + А44Д ^ + А55Д 42 + А66Д 32, а3 = Аи 23 + А33Д 23 + А44Д 33 + А55Д 43 + А66Д 23,
а4 = А11 + А22Д^4 + А33Д 24 + А44Д 24 + А55Д 44 + А66Д 24, а5 = А11 + А22Д15 + А33Д 25 + А44Д 25 + А55Д 45 + А66Д 35, а6 = А11 + А22Д^6 + А33Д 26 + А44Д 36 + А55Д 46 + А66Д С1 = С11 + 5C12Д11 + 2С13Д 21 + 2С14Д 31 + С22ДП + + С33Д ц + С 44Д ц + С55Д 41 + С66Д Ц, С2 = С11
12 + 2С13Д 22 + 2С14Д 32 + C22Д12 + + С33Д 22 + С 44Д 22 + С55Д 42 + С66Д 22, С3 = С11 + 2С12 Д13 + 2С13Д
23 + 2С!4Д 33 + С22Д2 3 +
+ С33Д 23 + С44Д 23 + С55Д 43 + С66Д 53, С4 = С11
14 + 2С13Д 24 + 2С14Д 34 + С22Д^4 + + С33Д 24 + С 44Д 24 + С55Д 44 + С66Д 24, С5 = С11 + 2С12Д15 + 2С13Д 25 + 2С14Д 35 + С 22 Д1 5 + + С33Д 25 + С 44Д 25 + С55Д 45 + С66Д 25, С6 = С11
+ 2С12 Д16 + 2С13Д 26 + 2С14Д 36 + С22Д2 6 + + С33Д 26 + С 44Д 26 + С55Д 46 + С66Д 26^
(13)
<
(14)
Т. о., уравнения движения в главных координатах , ч2 , Ч3 , д4, 4 , Ч6 примут вид
а\Ч\ + с141 = 0;
а 4 2 + С2 Чг = 0; + СъЧъ = 0,
<
а4 Ч4 + с4 ч4 = 0, а5Ч5 + С5Ч5 = 0, а6 Ч6 + с6 Ч6 =
Полученные дифференциальные уравнения свободных колебаний системы в главных координатах (13) представляют собой шесть независимых
линейных дифференциальных уравнения второго порядка. Общее решение этих уравнений имеет вид
41 = С1 в1и(к1? + а1),
42 = С2 §1П(к2г + а 2),
43 = С + ^),
<
44 = С4 Б1п(к4г + а4), Ч = С + ^), Ч6 = С6 81п(к6г + а6),
(15)
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
где С, С2, С3, С4 , С5, С6, а, а2, а3, а4, а5, а6 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий при / = : ¿к = ¿ко;
¿К = ¿К0; ¿Т1 = ¿Т10; ¿Т1 = ¿Т10; ¿Т2 = ¿Т20 ; ¿Т2 = ¿Т20 , ФК = фКО , ФК = фКО , фТ1 = фТ10,
Ф Т1 = ф T10, ФТ2 = Ф Т20, фТ2 = фТ20 . Тогда Ч1 = Ч10 ; Ч1 = <3г10; Ч2 = Ч20 ; Ч2 = У 20 ; Ч3 = Ч30 ;
Чъ = ^?30 , Ч4 = Ч40 ; Ч4 = Ч40 ; Ч5 = Ч50; Ч5 = Ч50;
Ч6 = Ч60 ; Ч6 = Ч60 • В качестве примера найдем решение системы дифференциальных уравнений (1) в главных координатах при следующих параметрах системы:
тк = 3,3 тт • с2/ м, тТ1 = 0,4 тс • с2 / м, т, = 0,39 тс • с2/ м, /к = 135,2 тс • с 2м, си = 118,6 тс/м, с12 = 118 тс/м, с21 = 237 тс/м, с22 = 237,1 тс/м, с31 = 236,9 тс/м, с32 = 237,05 тс/м, ^ = 6,4 м, ¿2 = 6,39 м, а21 = 0,5 м, а22 = 0,49 м, а31 = 0,51 м, а32 = 0,49 м, /Т1 = 0,075 тс • с2 м,
/^ = 0,078 тс • с2 м Все вычисления будем производить с помощью математического пакета программ МаШСЛБ [7].
Из системы (4) найдем корни кг2, г = 1, 6: к2 = 1498,392; к2 = 56,609; к2 = 57,071; к2 = 1553,293; к2 = 1548,5; к2 = 1991,015. По формуле (6) определим: цп = -2,754 •Ю-7; ц12 = -5,18 •Ю-4; ц13 = -4,964 •Ю-4; ц14 = -2,562 •Ю-7; ц15 = -2,578 •Ю-7; ц16 = -1,559 •Ю-7; ц21 = -6,279 •Ю4; ц22 = -87,621; ц23 = 89,089;
ц24 = -6,747 •Ю4; ц25 = -6,706 -104; ц26 = -1,109 •Ю5; ц 31 = -0,156; ц32 = -0,156; ц33 = -0,156; ц34 = -0,156; ц35 = -0,156; ц36 = -0,156; ц 41 = -3,798 •Ю-12; ц 42 = -9,684 •Ю-6; ц43 = -8,994 •Ю-6;
ц54 = -1,36 •Ю10; ц55 = -1,344 •1010;
10 .
ц44 = -3,289 •Ю-12; ц45 = -3,33 •Ю-12; ц 46 = -1,218 •Ю-12; ц 51 = -1,178 -1010; ц52 = -1,231 -104; ц53 = -1,29 -104;
ц5б = -3,673 -1010. По формулам (13) найдем: а = 1,083•Ю19; а = 1,182• 107; а = 1,3•Ю7;
а = 1,444 -1019; а = 1,409 -1019;
а = 1,053 •Ю20; с = 1,644 -1022; с2 = 1,796 -10
-,10
22
; с = 1,974 •1010; с4 = 2,193 40
С = 2,14 •Ю22; с6 = 1,599 •Ю23. Таким образом, уравнения движения в главных координатах Ч , Ч , Ч , Ч , Ч , Ч примут вид
'1,083 .1019Ч, +1,644 4022ч = 0; 1,182 407 д2 +1,796.1010 а = 0;
1,3 407 а +1,974.1010 а = 0,
(16)
1,444 • 1019 Ч4 + 2,193 4022 а = 0 1,409 • 1019 а + 2,14 • 1022 а = 0, 1,053 • 1020Ч6 +1,599 • 10 23а = 0.
Постоянные интегрирования С , С , С ,
С4 , С, С , а, а2, а3, а4, а5, а6 определим из начальных условий и найдем решение поставленной задачи в виде (15) при ? = 0 :
• к = 0; ¿к = 0; ¿л = 0; ¿^ = 0; ¿Т2 = 0;
¿^ = 0,02, фк = 0, фк = 0, фТ1 = 0, ФТ1 = 0, ФТ2 = 0, фТ2 = 0 тогда а = 0 ; дг = 0,1607 ; а = 0; д2 = -0,121; а = 0; д3 = 0,1016, Ч4 = 0; д4 = -0,4326 ; а = 0; Ч5 = 0,0308; а = 0; Ч6 = 0,0299.
Заключение
Рассмотрена модель вагона, обладающая шестью степенями свободы. Модель предназначена для исследования свободных колебаний подпрыгивания и галопирования кузова, подпрыгивания и галопирования тележек экипажа на прямолинейном участке пути. Получены дифференциальные уравнения в главных координатах. При увеличении массы вагона в три раза амплитуды колебаний (линейных и угловых) уменьшились в два раза.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Булгаков Б.В. Колебания [Текст] / Б.В. Булгаков. - М. : Гостехиздат, 1954. - 891 с.
<
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
2. Вериго, М.Ф. Динамика вагонов. Конспект лекций [Текст] / М.Ф. Вериго. - М.: Транспорт, 1988. - 174 с.
3. Вершинский, С.В. Динамика вагона [Текст] / С.В. Вершинский, В.Н. Данилов, В.Д. Хусидов. - М.: Транспорт, 1991. - 360 с.
4. Гарг,В.К. Динамика подвижного состава [Текст] / Пер. с англ. / В.К. Гарг, Р.В. Дуккипа-ти. - М.: Транспорт, 1988. - 391 с.
5. Исаев, И.П. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах. Учебное
пособие для вузов ж.-д. транспорта [Текст] / И.П. Исаев, А.А.Перова, А.П. Матвеевичев, И.В. Бирюков. - М.: Транспорт, 1977. - 295 с.
6. Яблонский А.А. Курс теория колебаний [Текст] / А.А. Яблонский, С.С. Норейко. - М. : Высшая школа, 1975. - 250 с.
7. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95 /перевод с английского. - М. Информационно -издательский дом «Филин», 1996. - 712 с.
УДК 625.111 Холодов Петр Николаеви ч,
аспирант кафедры «Изыскания, проектирование, постройка железных дорог и управление недвижимостью»
Иркутского государственного университета путей сообщения (ИрГУПС),
тел.: 89501400338, e-mail: kholodov_pn@irgups.ru
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ
P.N. Kholodov
MULTICRITERIA TRADE-OFF WHEN DESIGNING
THE RAILWAYS
Аннотация. В статье предлагаются методики индивидуального и коллективного многокритериального выбора оптимального варианта решения в проектировании железных дорог.
Процедура реализована в программе «Система поддержки принимаемых решений (Валерия)», написанной автором.
Ключевые слова: принятие оптимальных решений, проектирование железных дорог, многокритериальный выбор, методика принятия проектных решений.
Abstract. In the article techniques of individual and collective multicriteria choice of an optimum variant of the decision in designing of the railways are offered.
Procedure is realized in the program «System of support of accepted decisions (Valery) », written by the author.
Keywords: acceptance of optimum decisions, designing of railways, multicriteria choice, technique of acceptance of design decisions.
Железная дорога представляет собой сложную техническую транспортную систему. В процессе проектирования железных дорог необходимо согласование со всеми структурами железнодорожной отрасли. Проектирование железных дорог сопровождается соблюдением требований целого ряда нормативных документов, таких как [1, 2, 3]. Эти документы устанавливают диапазоны
рекомендуемых и допускаемых параметров проектируемых объектов железной дороги. К ним можно отнести радиусы кривых участков пути в плане и профиле, длины и уклоны элементов продольных профилей, разницу в уровнях головок рельсов смежных путей, расстояние от уровня головки рельсов до контактного провода и многие другие параметры.
Помимо технических параметров, большую значимость имеют экономические показатели -стоимость строительства и эксплуатационные расходы, и социальные - обеспечение пассажиро- и грузоперевозок.
Целый ряд приведенных выше требований и условий «рождает» определенное множество вариантов проектных решений, которые можно сравнить между собой по техническим, экономическим и социальным параметрам (критериям).
В процессе проработки предложенных проектных решений часть вариантов может быть отсеяна из-за возможных ограничивающих условий (к примеру, ограничение стоимости строительства), а оставшиеся варианты необходимо сравнить и выбрать наиболее оптимальный вариант для дальнейшей проработки и реализации.
Автором предлагается методика многокритериального индивидуального принятия решений [4], позволяющая использовать три известных метода:
1) метод идеальной точки [5];
