CC BY
16
УДК 621.752 Ахмадеева Алла Абдулваровна,
аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения тел. (395-2) 638-357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru Гозбенко Валерий Ерофеевич, д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения
тел. (395-2) 638-357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru Каргапольцев Сергей Константинович, д. т. н., профессор, проректор по научной работе ИрГУПС
e-mail: kck@irgups.ru
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЭКИПАЖА С УПРУГО-ПОДВЕШЕННЫМ ГРУЗОМ
A.A. Akhmadeeva, V.E. Gozbenko, S.K. Kargapolcev
VERTICAL OSCILLATIONS OF CARRIAGE WITH THE CUSHIONED CARGO
Аннотация. Рассматривается модель грузового вагона с двумя степенями свободы и закрепленного на нем груза. Приведена методика сведения системы дифференциальных уравнений к одному. В зависимости от соотношений массо-инерционных параметров получены возможные решения дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: механическая система, дифференциальное уравнение, однородное уравнение, характеристическое уравнение, вагон, груз.
Abstract. The model of the freight car with two degrees of freedom and the cargo fixed on it is observed. The technique of reduction of system of the differential equations to one is presented. Depending on relationships of the mass-inertia parameters possible solutions of the differential equations are gained.
Keywords: mechanical system, the differential equation, the homogeneous equation, the characteristic equation, the carriage, a cargo.
Вопросы безопасности движения, обеспечения жизни и здоровья пассажиров, сохранности грузов при перевозках являются одними из ключевых для любого вида транспорта. Для исключения случаев угрозы безопасности движения грузовых поездов и сохранности перевозимых на открытом подвижном составе различного рода грузов большое значение имеет их рациональное размещение и надежное крепление на этих средствах перевозки [4]. Для крепления грузов в вагонах применяются растяжки, обвязки, стяжки (в том числе многозвенные), увязки, деревянные стойки, бруски и щиты, упорные башмаки, «шпоры», каркасы, кассеты, пирамиды, ложементы, турникетные устройства. Средства крепления могут быть одноразового и многоразового использования (многообо-
ротные). При установке элементов крепления и крепежных устройств используются стандартные крепежные изделия, например болты, шпильки, гвозди, строительные скобы. Пример размещения и крепления пиломатериалов в полувагоне приведен на рис. 1.
Рассмотрим вынужденные колебания четырехосного вагона, имеющего двойное рессорное подвешивание. Пусть груз размещен в вагоне согласно техническим условиям размещения и крепления грузов в вагонах [3].
Ранее получено [1], что движение системы с шестью степенями свободы с достаточной точностью можно представить системой с двумя степенями свободы. Поэтому примем, что кузов вагона обладает двумя степенями свободы: боковым относом и вилянием, подпрыгиванием и галопированием тележек будем пренебрегать. Необходимо решить задачу нахождения установившихся вынужденных колебаний, вызываемых кинематическими воздействиями (рис. 2). За обобщенные координаты примем гк, фк и г.,- - линейное, угловое перемещение центра масс вагона и перемещение груза соответственно. тк, /к, т№ -
масса, момент инерции кузова и масса груза. Со стороны рельсов действует кинематическое воздействие Л1 (О = Н1 бш со^, г\2(^ = Н2$тШ, где / - время, Нх и Н2 - амплитуда воздействия, о - частота.
На рис. 2 си и с12 - приведенные жесткости
рессорного подвешивания, с№ - приведенная
жесткость элементов закрепления груза. Ь2 -база вагона.
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
Рис. 1. Размещение и крепление пиломатериалов в полувагоне: 1 - поперечные пакеты пиломатериалов; 2 - утолщенная прокладка; 3 - торцовый щит; 4 - скрепляющая доска
Рис. 2. Схема вагона
Составив кинетическую и потенциальную энергию и используя уравнения Лагранжа II рода, получим систему дифференциальных уравнений:
(1)
+ сиЬ1 с12Ь2 с^Ьщ <рк — /¡(О?
^К^К + СпА ~С12^2 2К +
+ с11Х1 + с12Ь2 + срк = /2(0,
где > 0 - расстояние от центра тяжести вагона до центра тяжести груза, /, (/) = с,,//, + с|2//2. /г(0 = ¿пА'Л ~ с12Ь2Т]2 ■
Приведем три уравнения системы (1) к одному дифференциальному уравнению.
Из второго уравнения системы (1) выразим
"К ~~
с\у
Найдем вторую производную уравнения (2):
+ '¿ъ! + Ау^К •
(2) 2): (3)
Полученные выражения (2), (3) подставим в первое уравнение системы (1):
В^™ + В2гш + В+ В4фк +В}(рк= (0, (4)
где Вг =
. В-, = т,-
Вз — ¿11 + Си 5 — :
В}—сп +с12 Ь2 .
тК2К + С\\ + С12 + С9/ 2К +
% =
С
С11 'С12 +СГ
С
С
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Подставив (2) в третье уравнение системы (1), получим:
, .. сиЦ сХ2Ь2 с^Ьу] Шщ 1ксрк +-г.
V/
а=/2(О-
аа а
+ [спА А+А ~с12Ь2 Ь^+Ь2 ]ук =/г(0 • (5)
При определенных соотношениях между параметрами выполняется условие Е4 — 0, что говорит о том, что реакция основания равна нулю. Тогда можно рассматривать вместо (8) уравнение вида
Исключая ф,- из системы
Я, г
IV
■ В2'¿V, + В3^ + В/Рк + В5<Рк = Л (0;
(6)
+ [АА Ау + А — АА> Ау+А;
получим:
+А^ + + Д#к =А,
в 7Ш+е г1У + £ ¿' -р
или
= Р
2 XV ^ 3 '
а а а
(9) (10)
Рассмотрим однородное уравнение + Р, А + = 0 . Соответствующее характе-
ристическое
уравнение
имеет
вид
(7) к6 + Р^4 + Р2к2 = 0 . Пусть к2 = х, тогда
где ,
А = А А ~
А ~~ ^зА с| IА с1гА '
1)4 = В51К — В4 ^С] ]£[ —спЬ2 Ьу] + Ь2
^ = DJ.it)-В4/2 (0.
Из (7) выразим <р, найдем вторую производную и подставим во второе уравнение системы (6), получим:
х3+Р1Х2+Р2Х = 0. (11)
Корни уравнения (11) могут иметь вид:
1. Если ГКО, где В = Р2-\Р2, то х1=0, х2 з = а ± 7'Р .
2. Если В > 0, то х1 = 0, х2 з е Я . Положим, что условие Е4 = 0 не выполняется, тогда уравнение (8) примет вид
г™ + Р г™ + Р г +Р г = Р
3'
(12)
¥ г41 + ¥ г™ + ¥ г +Рг - Р
1 \¥ 2 \¥ 3 \¥ 4 \¥ ~ 2 '
(8)
г АА
где = -- 1
а
А = -
А А А[АА А +А А-А Ьм + Ь2 ^
А
а
¥ -с 1 -с 1 -с 1 -1кГ>3 -
а
А[АА А' +А — АА> Ау + А ]
А
А А А А А А[АА Ау+А —АА> АУ^А а
Т7
гдеР3=^. Е1
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения (12) имеет вид
к6+Ргк*+Р2к2+Р3=0.
(13)
В зависимости от соотношения масс и жест-костей системы корни уравнения (13) могут иметь [2, 5] три вида сочетаний:
1) х12 = ±ш , х3 4 = ±Р/, х56 = ±у/;
2) х12 = ±а, х3 4 = ±Р/, х5 6 = ±у/;
3) = ±а, хЗА = Р ± у/, х5 6 = -Р ± у/, где а, Р, у - действительные числа. Тогда возможные решения уравнения (8) будут иметь вид:
с
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
1) zw = A1 cos at + А2 sin at + А3 cos (31 + +A4 sin + As cos yt + A6 sin yt + F;
2) zw = Агеш + A2e'at + Л.3 COSJ3/1 + A4 sinp/1 + +A5 cos yt + A6 sin yt + F;
3) zw = + A2e'at + e^ A3 cos yt + sin yf +
Ascosyt + A6sinyt + F.
Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям.
Рассмотрим случай, когда Lw < 0 . Поменяв знаки на противоположные при членах, содержащих Zw в системе (1), получим
mK%+ cn+cl2+cT zK -
~CWZW + ¿llA ~¿12A + cwAv (PK=fl(t)>
mw% - CWZK + cwzw - cwlw9k = (14)
^КРК + ¿1 1 A ~ ¿12 A + CWLW ZK -
~cw Avzw + ¿1\L\ + ¿12 A2 + cwL¡w cp^ = f2(t).
A<?K +
¿11A ¿12 A CwAv mV
+ cnLl cl2L2 zw +
+ [¿llA A"Av + ¿12A A+Av =/2(0 • (18)
Исключая ф,- из системы
+B2zw +B3zw +Влфк +B5(pK =fl(t);
Aí% +
¿ii A ¿12 A cwAv mv
(19)
+ ¿JJA ¿12 A ZW +
+[¿11A A — Av + ¿12 A A + AV
получим:
DjZ^ + Z)2¿w + D3zw + Z)4«pK = A, (20)
где ,
A = AA
B4mw cnА с1гА
'W
"W
— АА 54 спА с12 А 5 /)4 = АА — А[¿пА А — Ау + ¿12А? А+АУ А = АЛ (0-#4/2(0 •
Из (20) выразим ф, найдем вторую произ-Выражая из второго уравнения системы (14), водную и подставим во второе уравнение системы
Сведем три уравнения системы (14) к одному дифференциальному уравнению.
найдем
(19), получим:
m
W
¿w + АУФК •
(15)
F^+F z^+fz +F z - F
1 W 2 W 3 W 4 W — 2 '
(21)
(15):
Найдем вторую производную уравнения
где А=-/кА
да
ZK =
W „IV
А
zw + ¿w АуФк •
(16)
A A A [¿„A A Av + ¿12 A? A+Av ]
А
Полученные выражения (15), (16) подставим в первое уравнение системы (14):
+ A¿w + Azw + А^к +в5<Рк= /(0, (i7)
А - ¿i i А ~ ¿12 А ~ cw Av ~
АА
DA
где А = -
В3 — сп +с12 .
В2 = тк
С11 + С12 + СТ mW
A[¿llA A~AV +¿12A A+AV
Da
"W
A — cn A Av ¿i2 A +Av •
''W
A=~>%Av, E4=cnLl-cl2 A-
A[¿nA A -Ay + ¿12A A+Av ]
(14):
Подставим (15) в третье уравнение системы
D,
с
W
с
W
=
с
W
с
W
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
I Ё
А=Л(0" к 1
+ спЦ2 +сиЬ22 </>£ =/2(0
с коэффициентами, определенными выше. Используя технологию что и выше, получим уравнение аналогичное (11) с соответствующими рассматриваемому случаю коэффициентами.
Условие Е4 — О выполняется, если
Ц + Ь2 = 0 , что соответствует центральному
рессорному подвешиванию. Тогда уравнение (11) примет вид
г^+Рг^ + Р/ +Рг (23)
^ \у ~ 1 \¥ 3 3' у*"3)
Г> г, Еъ Е4 А
где к = —, Рп = —, к = —, гъ= —.
1 Ех - Ех Ех Ех
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения (23) имеет вид
■1\кА
Р2к + Р3 = 0.
В4
При определенных соотношениях между параметрами выполняется условие Е4 — 0, тогда можно рассматривать вместо (21) уравнения аналогичные (9)-(13) с соответствующими коэффициентами.
В случае Ь№ = 0 из системы (1) получим
+ сп+си+ст +
+ спЦ -с12Ь, =/!(0;
(22)
1кРк + А "^12-^2 2К +
(24)
Корни уравнения (24) будут иметь три вида сочетаний что и выше.
В заключение отметим, что решена задача моделирования и исследования динамических свойств вагона с закрепленным в нем грузом. Выделено три случая расположения центра масс груза относительно центра масс вагона. Системы дифференциальных уравнений сведены к одному уравнению высшего порядка, и рассмотрены всевозможные варианты его решения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ахмадеева А. А. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона / А. А. Ахмадеева, В. Е. Гозбенко // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 4 (12). С.25-28.
2. Комаров М. С. Динамика механизмов и машин. М. : Машиностроение, 1969. 296 с.
3. Технические условия размещения и крепления грузов в вагонах и контейнерах. М. : Юртранс, 2003.544 с.
4. Туранов Х. Т. Крепления грузов в вагонах : учеб. пособие для вузов ж.-д. трансп. / Х. Т. Туранов, А. Н. Бондаренко, Н. В. Власова; под ред. д-ра техн. наук, профессора Х. Т. Турано-ва. - Екатеринбург. : Изд-во УрГУПС, 2006. 321 с.
5. Фихтенгольц Г. М. Математика для инженеров. М. : Гостехтеориздат, 1932.
