ПРИОРИТЕТНАЯ СИСТЕМА С ПРОФИЛАКТИКАМИ ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО ПРИБОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2023. № 1. С. 14-20 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal

УДК 519.21

А.К. Берговин1

Приоритетная система с профилактиками обслуживающего прибора

В работе изучена одноканальная система массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком, относительным приоритетом и профилактиками обслуживающего прибора. Функции распределения интервалов между поступлениями требований, времен обслуживания требований каждого приоритета и длительности профилактик прибора имеют произвольные, абсолютно непрерывные распределения. Найдено совместное распределение числа требований каждого приоритета в системе в нестационарном режиме.

Ключевые слова: относительный приоритет, одноканальная система, рекуррентный поток, профилактики прибора, длина очереди.

Б01: 10.55959/М8и/0137-0782-15-2023-1-14-20

1. Введение. В последние годы появляется все больше работ по теории массового обслуживания, посвященных анализу систем, в которых во время освобождения системы от требований обслуживающий прибор не находится в состоянии ожидания новых заявок (т.е. бездействует), а отправляется на профилактику. Такие модели естественным образом возникают в широком классе реальных систем обслуживания, например, в телекоммуникационных или компьютерных сетях.

Обзор существующих результатов и постановок задач, в которых возникают такие системы обслуживания, имеются в книге [1] и обзоре [2]. Неприоритетная и приоритетная системы с гиперэкспоненциальным входящим потоком рассмотрены в работах [3] и [4] соответственно. В данной же работе исследуется совместное распределение количества заявок каждого приоритетного класса в нестационарном режиме в системе с относительным приоритетом.

2. Описание системы обслуживания. Рассматривается однолинейная система обслуживания с неограниченным числом мест для ожидания, в которую поступает рекуррентный поток требований с функцией распределения интервалов между поступлениями А(х). Требования разделяются на г приоритетных классов. Будем считать, что требования г-го класса обладают приоритетом над требованиями ^-го класса для 1 ^ г < ] ^ г. Поступившее требование относится к

г

г-му приоритетному классу с вероятностью рг, ^рг = 1, независимо от остальных требований

г=1

и состояния системы. Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины с функцией распределения Вг(х) для требований из г-го класса.

Если после завершения обслуживания заявки в системе отсутствуют требования всех приоритетных классов, то обслуживающий прибор отправляется на профилактику, которая длится случайное время с функцией распределения С (х). Если за время профилактики поступают требования, то после ее завершения прибор начинает их обслуживать. Если же требований не поступило, то прибор снова отправляется на профилактику и так далее. Длительности различных профилактик являются независимыми случайными величинами и не зависят от входящего потока и времени обслуживания.

Не ограничивая общности, будем считать, что А(х) < 1, Вг(х) < 1, С(х) < 1, Ух, 1 ^ ^ г ^ г, и существуют плотности распределения а(х), Ьг(х), с(х) (содержательные результаты от этих предположений не зависят, но их доказательства становятся технически проще и менее громоздкими).

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: [email protected]

Введем следующие случайные процессы:

= (¿х(^),..., Ьг(Ь)), где Ьг(Ь) — число требований г-го класса в системе в момент времени Ь; г(Ь) = г, г € {0,1,..., г} — либо номер класса (1 ^ г ^ г), требование которого обслуживается в момент времени Ь (если Ъ(£) = 0), либо г(Ь) = 0 (это означает, что в данный момент прибор находится на профилактике);

х(Ь) — время, прошедшее с начала обслуживания до момента Ь, если г(Ь) = 0, или время, прошедшее с начала профилактики до момента Ь, если г(Ь) = 0;

у(Ь) — время, прошедшее с момента последнего поступления требования до момента Ь. Будем предполагать, что в момент начала наблюдения за системой обслуживания Ь = 0 в системе нет требований, и с начала профилактики прибора прошло случайное время с плотностью /(х), а с момента последнего поступления требования случайное время с плотностью д(х) =

оо

= ~а ^ , где а 1 = / и ■ а{и)йи.

0

Обозначим

а(в) = / е зиа(и)йи, =/^(з) = / е вг%(и)с1,и, г = 1 ,г, 7^) = / е зис{и)йи.

Положим.

а(х) Ьг(х) с(х)

"И = 1-= 1-М^) =

1 - А(х)' 1 - В*(х)' ^ ' 1 - С(х)'

Векторы будем обозначать полужирным шрифтом. Пусть, далее,

п

(х,у)П = ^ хгУг, (х,у) = (х,у)Ц, Ък = (гк, Хк+1, . . . , Хг),

г=к

где

Z = (Х1,...,ХГ ), X =(х!,...,хг), у = (уЬ...,уг),

о

/(и)с(и + у) Г 1, г = 2, _ Г 1, е Д

1 _ С(и) - \ о, г ф з, ( ( 'У)) " I 0, (ж, у) ? А,

0

ох о

Свертку двух функций ^(х) и С(х), равных 0 на отрицательной полуоси, будем обозначать ^ * * С(х), а п-кратную свертку функции ^(х) с собой — ^*п(х),

х х

^ * С(х) = I ^(и)С(х - ^+1(х) = ^(х), ^*п(х) = I ^(и)*1*(п-1) (х - п)йп, п ^ 2,

00

92 _

= -7—-¥(1,(г) = п, х(г) < х,у(г) < у,Щ = г), г = 0, г,

дх д у

о

^ о о

ж, у, 8)= / е-"* ^ • • • ^ г"1 ... 4ггРг(п, ж, у, I = 0, г,

0 П1=0 пг=0

о 1 - (р^) / еадиа(и)^и

<?г(г,ж= / е -0 -- рг(г,х,у,з)(1у, 1 = 0, г.

.) 1 - А(У)

0

о

о

о

0

0

0

0

3. Уравнения, описывающие функционирование системы.

Теорема 1. Функции Qi{z, х, w, s), г = 0, г, удовлетворяют соотношениям:

qi(z,x,w,s) =qi(z,0,w,s)-(l-Bi(x))-e-{s+w)x, i = (1)

qo(z,x,w,s)= [qo(z,0,w,s) + 1~{P,z) / ■ (1 - C(x)) ■ e~{s+w)x, (2)

I a1 • W 0 1 — C (0)1

r f r 1 f

^ qi(z, 0, w, s) = / qo(z, x, w, s)^i(x)dx + ^^ — / ^(z, x, w, s)r]i(x)dx. (3)

г-и n i-1 n

Доказательство. Рассматривая возможные изменения состояний процесса (L(t),x(t),y(t), i(t)) в интервале времени (t,t + А), и устремляя А ^ 0, получим

dPn(n,x,y,t) dPn(n,x,y,t) dPn(n,x,y,t) ,

-ш-+-^-+-Щ-= ~(»(у)+Ф))Ро(п,х,у,1),

dP^vA + 9P(n^,y,t) + dPi(n^y,t) = _{l/{y)+rH{x)mn,x,y,t), i = l~r, r t r t

J>(n, 0,y,t) = Pn(n,x,y,t)^(x)dx + ^ Pi(n + 1г,x,y,t)ni(x)dx -i-1 0 i-10

r t t

- £/Pi((0,...,i.....^ -jM0,^»^,

i-1 n n

r t t Pn(n, °,y,t) = Irj Pi a0,...,1,..., e),x,y , ^ Шх + J pu(0, x,y ,

i-1 n n

r t

Pi{n, x, 0,t) = ^2 J Pi{ 11 - 1 j,x, y, t)pjv(y)dy, i = 1, r, j-1 n

Pi(n,x,y,0) = 0, i = 1 ,r, Po(n,x,y,0) = 6nfif(x)g(y).

Отсюда получаем,

+ э"о(Х'У'8) = -<'+*»> + .) + /<*ш,

'()p.j (z $ у § j dpi (z Ж 5) _

— --'--ду — = ~<yS + + Vii^Pifa х> у>s)' = г>

r сю сю оо оо

pn(z, 0, y ,s) = e-stPi((0,... ,1 ,... ,0) , x,y,t)ni (x)dxdt + / e-stPn(0, x,y,t)^(x)dxdt.

i-1

<X (X

-st

x,

n n n n

ОС

Pi{z,x,0,s) = (p,z) JPi(z,x,y,s)v(y)dy, i = l,r, n

ОС

Pn(z, x, 0, s) = (p,z) ^pn(z,x,y,s)v(y)dy,

n

оо Г ^ Г 1

= [ 'Ро{ъ,Х, у, в) ц{х)(1х + [ Рг^,х,у,з)гц(х)(1,х -

г=1 0 г=1 0

г о о о о

-¿У [ е-^((0,..., 1,..., 0), х, у, Ь) Пг (х)^х^Ь - ^ ! е-в4Р0(0,х,у,Ь)^(х)^х^Ь. г=1 0

Отсюда следует, что

г=1 0 0 0 0

I [2/ ? Ц] ? 5) , /\\/ \ • 1--/ . х

- = —(«+«) +?Уг(ж))дг(г, ж,«), г = 1, Г, (4)

дх

9(?о(2'в) = -(* + - + /Ф))^, ж, у, ,) + /И ■ (5)

дх

оо Г /■ Г 1 ,

^ 0, го, = / <?о(2, ж, го, з)р(х)(1х + ^ — / д^х,х,и>,8)щ(х)(1х г=0 ^ г=1 ^

г=0 0 г=1 0 Решением (4) является (1), а решением (5) — (2).

4. Нестационарное распределение числа требований. Обозначим . , \ Р0(у,в) , , ч Рк(z, 0,у,в)

Теорема 2. ФункцииНк{гк,у,з), к = 1 ,г, являются единственными решениями уравнений

ос

Нк(гк, у, 8) - ^(р,в(в + -ш)^-1 + (р, J а(и) ■ Нк(гк, у + и, =

0

Г о о

= У/. -/.- ( ^ ——+ Ц ^ / еита(и) ■ Нт(2т, У + и, з)йи + / а(и)1г0(у + и, з)йи -\ I , 1 7 7

т=к+1 0 0

у оо оо

— I — у) У а(и)Но(у + г/,, з)с1ис1ь—— J , к = 1,г. (6)

0 0 0 Функция Н0(у, 8) является единственным решением уравнения

шт(у,т)

---'И 1 I I / (

■ -и)а

Н)(у,в) Рг У Н0(г,8)^г У е в(у ь)Ьг(у - и)а(т - ^¿и =

г=1 0 0

о У Г У — т

Н1(в,у) + ¿У(е—вис(и))*к#1(5,у - и)^и) ■ ( 1 - р^ е—Ь(и)^иУ (7)

к=1 п ' г=1 п

Доказательство. Подставляя в (3) ^ = /ЗДз + го),« = 1,г, имеем

о 0

= ^(в + ад)) ■

/ У \

о J еади а (и) ¿и

^ - (1 - 7(» +/ «-^^г'*

0

. (8)

Кроме того, (3) можно переписать в виде

£■ о.»..)-($£-<>-+ «» /т^- •«,(,..)*) -

а1 -ад У 1 - А(у)

г=1 ^ 0

- М

/ У \

о / еадма(и)^и

_ (1 _ 7(5 + и])) Г е-ь,у0_- . ( 8)й

а -ад .] 1 - А(у)

0

(9)

V /

При дисциплине относительного приоритета функции р^, 0,у, 8) зависят только от Хк, к ^ г, т.е.

0, у, в) = 0, у, в). ОтСЮДа И ИЗ (8), подставляя ¿г = = 1 ,г — т, т = 1, г — 1,

находим:

У

о / еадма(и)^и 0, ад, 5) = (р, + ад) - г)*'"1 • У е"^" } ' /Л-0, У, 8)йу +

0

у

Г о / еадиа(и)^и

• /'/. -/,( ^ ---- / _ •Рт(хт,0,у,8)йу +

т=к+1 Хт 0 1 А(у)

у

о / еадиа(и)^и

+ (1 - -К. + »)) / ^^ттлы" ■8),г" - ^г) ■ (10) 0

Используя (10), определение для дк{хк, 0, ад, 5) и подставляя х^ = /ЗДз + ад), г = 1,к — 1, получаем о у

У е-Нк^к, у, ^у - ((p, в(в + ад))к—1 + ^к) У а(и)йи ■ Нк(zk, у, ^у =

00

Г о у

/'/,:,( ¿) + I' е-и,у Г е™аШиНп{гтЛу>а)(1у +

V I , 1 7 7

т=к+1 0 0

о у

+ (1 - 7(5 + ад)) [ е~и'у [ еи'иа(и)^1Ло(у, з)йу - . (11)

7 7 а ■ ад /

00

Используя следующие три соотношения:

о у о о

У е~и'у J ег"иа{и)1ги(ък,У, 8)йийу = J е~и'у J а(и)]1к{як,У + и, з)гки1у, к = 1,г, 0 0 0 0

о у о о

/„-фк (у, ^=/е—„(.),,<„+и, .>

0 0 0 0

о у

а(

00

о у о

= /е—'"1е—в(у—ь) С(у - „) / „«,)*, (у + и, 8)ААЧу,

0 0 0

о

0

(11) можно преобразовать к виду

У e-wy(^ hk (zk ,y, s) - ((p, ß(s + w))k-1 + (p, z)k) J a(u) ■ hk (zk ,y + u, s)du^J dy = 0 0

oc

j ewua(u) ■ hm(zm, y + u, s)du +

= / e-wy

Pkzk (

Zm - ßm(s + W)

' m=k+1 У oo

?-s(y-v) c(y -

+ J a,(u)ho(y + u,s)du — J e ^c(y — v) J a,(u)ho(y + u, s)dudv—— J Hi(s,v)d,v 0 0 0 0

dy. (12)

Отсюда следует интегральное уравнение (6), которое имеет единственное решение, в силу того, что

sup

o

(p,ß(s))k-1 + (p, z)k) У a(y - u)du

\(p,ß(s))k-1 + (p,z)k| < 1, y\z31 < 1.

Уравнение (8) может быть переписано в следующем виде:

oo oo y

[ e-wyh0(y, s)dy = 1 ~ ^ W)) .. x(s, w) + (P, ß(s + w)) [ e~wy [ ewua(u)duh0(y,s)dy.

a1 ■ w ■ (1 — y(s + w))'

00

Отсюда и из соотношений

1 - (p,ß(s + w))

w

= j e-wy ^ 1 Pr j e-subi(u)du^Jdy,

n i=1 n

X(s,w)

1 - y(s + w)

oc o У

I e-sw( Hi(s,y) + Y, J(e-suc(u))*k Hi(s,y - u)du^dy, k=1

oo У

(p,ß(s + w))j e-wyj e^äu^äy =

0 0

o o

min(y,T)

= t*i e-wy j ho(j,s)dT j e-s(y-v)bi(y - v)a(r - v)dv

i=1 n П П

00

вытекает интегральное уравнение (7), единственность решения которого следует из неравенства

sup

y

o min(y,T)

i=1

Pi

j dT j e-s(y-v)bi(y - v)a(T - v)dv

00

(p,ß(s + w))

< 1.

Теорема 3. Функции Pi(zi,x, у, s), i = 0, г, определяются следующими соотношениями:

Pi(zi,x,y,s) = (1 - A(y))fi(zi,x,y,s), где fi(z,x,y, s), i = 0, r, — единственные решения уравнений:

fi(zi,x, у, s) = (p, z) J a,(u - y)fi(zi, x, u, s)du + di(zi, x, y, s), i = 0, r. y

oc

oc

0

0

o

o

y

y

0

o

o

r

o

Для г = 1, г

di(zi,x,y,s) = (1 - Bi(x))e-sx ( hi(zi,y - x,s) - piZi j a(v - y + x)hi(zi,v,s)dvj ■ I(y ^ x),

y-x

/ i \

d0(z, x, y, s) = (1 - C(x))e sx I h0(y - x,s) - (p, z) a(v - y + x)h0(v, s)dv ■ I(y ^ x) +

a(v - y

y-x

min(x,y)

+ i^M(l-(P,z)) [ , - fU П dr.

ai J

1 - C (x - v) 0

Доказательство. Учитывая решения (1), (2) системы (4), (5) для qi(z,x,y,s), которые получены в теореме 1, и, применяя тот же подход, что и при доказательстве теоремы 2, получим утверждение данной теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Takagi H. Queueing Analysis: A Foundation of Performance Analysis. Vol. 1: Vacation and Priority Systems. Part 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V. 1991.

2. Doshi B.T. Queueing systems with vacations — a survey // Queuing Systems. 1986. N 1. P. 29-66.

3. Кондранин Е.С., Ушаков В.Г. Система обслуживания с относительным приоритетом и про-филактиками прибора // Информатика и ее применения 2018. 12. № 4. С. 33-38.

4. Ушаков В.Г. Система обслуживания с гиперэкспоненциальным входящим потоком и профилакти-ками прибора // Информатика и ее применения. 2016. 10. № 2. С. 92-97.

Поступила в редакцию 23.11.22 Одобрена после рецензирования 26.11.22 Принята к публикации 26.11.22