О СИСТЕМЕ GI|G|1|$\infty$ С ПРОФИЛАКТИКАМИ ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО ПРИБОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

М.А. Науменко1, В.Г. Ушаков2

О СИСТЕМЕ GI|G|l|ro С ПРОФИЛАКТИКАМИ ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО ПРИБОРА*

В работе изучена одноканальная система массового обслуживания с бесконечным числом мест для ожидания, рекуррентным входящим потоком и профилактиками обслуживающего прибора при освобождении системы. Времена обслуживания и длительности профилактик имеют произвольные абсолютно непрерывные распределения. Найдено нестационарное распределение числа требований в системе.

Ключевые слова: рекуррентный поток, профилактики обслуживающего прибора, одноканальная система, длина очереди.

1. Введение. Исследованию систем массового обслуживания, в которых при осуществлении определенных событий обслуживающий прибор становится на случайное время полностью или частично недоступным, уделяется в последнее время большое внимание. В работах [1-6] можно найти обзор известных результатов, большое число постановок задач, описание различных приложений и обширную библиографию.

Наиболее изученным и важным для приложений является случай, когда таким событием является освобождение системы от требований. В англоязычной литературе для такой особенности работы системы принят термин "vacation". В литературе на русском языке общепринятого термина нет. Чаще всего используют один из следующих: каникулы, прогулки, профилактики обслуживающего прибора. Мы будем использовать последнее название.

Системы обслуживания с профилактиками прибора хорошо описывают функционирование большого числа реальных систем. В частности, такие модели можно использовать при анализе систем, в которых наряду с основными требованиями имеются второстепенные. Второстепенные требования всегда присутствуют в системе, а их обслуживание может производиться только тогда, когда нет основных, т.е. в фоновом режиме.

В настоящей работе исследуется длина очереди в нестационарном режиме в однолинейной системе с ожиданием и рекуррентным входящим потоком. С пуассоновским потоком аналогичная система обслуживания исследована в [2], ас гиперэкспоненциальным потоком — в [5,6].

2. Описание модели. Основные обозначения. В однолинейную систему обслуживания с неограниченным числом мест для ожидания поступает рекуррентный поток требований с функцией распределения интервалов между поступлениями требований A(x). Длительности обслуживания — независимые в совокупности и независящие от входящего потока случайные величины с функцией распределения B (x). Если в некоторый момент времени система освободилась от требований, то обслуживающий прибор отправляется на профилактику, которая длится случайное время с функцией распределения C(x). Не ограничивая общности будем считать, что A(x) < 1, B (x) < 1, C (x) < 1 для любо го x, и существуют плотности распределения a(x), b(x) и c(x) (окончательные результаты от этих предположений не зависят, но их доказательства становятся технически более простыми и менее громоздкими). Обозначим

те те те те

о(.) = / е-ai = / xa(x)dx, «.) = j e-^Xfa, 7(S) = / e-M^.

1 Факультет BMK МГУ, студ., e-mail: naumargoQgmail.com

2 Факультет BMK МГУ, проф., Институт проблем информатики ФИЦ ИУ РАН, ст. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: vgushakovQmail .ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки Российской федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

Пока прибор находится на профилактике, он не доступен для обслуживания. Если за время профилактики поступают требования, то после ее завершения начинается их обслуживание. Если ни одно требование не поступает, то прибор отправляется на новую профилактику. Длительности различных профилактик являются независимыми случайными величинами и не зависят от входящего потока и времени обслуживания.

Основным объектом изучения будет случайный процесс Ь(Ь) — число требований в системе в момент времени Ь. Для нахождения распределения случайного процесса Ь(Ь) нам потребуются и другие процессы, связанные с функционированием системы обслуживания. Пусть г(Ь) = 1, если в момент времени Ь прибор занят обслуживанием требования, и г(Ь) = 0, если в момент времени Ь прибор находится на профилактике. Случайные процессы ж(Ь) и у(Ь) определим следующим образом. Если г(Ь) = 1, то ж(Ь) есть время, прошедшее с начала обслуживания требования, находящегося на приборе, до момента Ь. Если г(Ь) = 0, то ж(Ь) есть время, прошедшее с начала профилактики прибора до момента Ь; у(Ь) - время, прошедшее с момента последнего поступления требования до момента Ь. Положим

Ф) = т^тт. Ф) = тЩп, Ф) = С(Х)

1 - А(х) ' 1 - В (ж)' 1 - С (ж):

те

тт ! \ -3'€ [ / (и)с(и + V) ( 1, г =

У 1 — С(и) =

те х те

гу) = У с(ж)е-(5+ад)ж У ^щЛийх = У е'^Н^з, у)с1у.

0 0 0 Свертку двух функций ^ (ж) и С (ж), равных 0 на отрицательной полуоси, буде м обозначать ^ * * С (ж), а п-кратную свертку функции ^ (ж) с собой — ^ *га(ж),

хх

^ * С(ж) = I ^(и)С(ж - и)йи, ^+1(ж) = ^(ж), ^*га(ж) = у ^(и)^*(га-1) (ж - и)йи, п ^ 2. 00

Будем предполагать, что в начальный момент времени Ь = 0 в системе нет требований, с начала профилактики прибора прошло случайное время с плотностью распределения /(ж), а с момента последнего поступления требования прошло случайное время с плотностью распределе-

1 ~ А(х)

ния -. Положим

а1

д2

Рг(п,Х,у,1) = = = < < 2/)>

п = 0,1, 2,... при г = 0, п = 1, 2,... при г = 1,

у

те те те 1 - г / втыа(и)йи

Рг(г,х,у,з) = J = ^ е~шу-1°_ -тФ,х,у, ,в)г1у.

о п=0 о

3. Основные результаты. Основные результаты работы содержатся в трех теоремах. Теорема 1. Функции д0(г, ж, w, в) и д1(г,ж,ад,8) удовлетворяют соотношениям:

д0(г, ж, и>, з) = (1 - С (ж)) 0, и>, з) + ^ ^ е^^ [^(и)^ ' (1)

91(г,ж^,в) = (1 - В(ж)) в-(5+ад)х91(г,0,w,в), (2)

0

те те

до(г, 0^^) + д1(г, 0, w,s) = J до(г,х^^)^(х)йх + г"1 ^ 91 (г,х^^)ц(х)(х. (3)

о о

Доказательство. Рассматривая возможные изменения состояний процесса (Ь(Ь),х(Ь),у(Ь), ¿(¿)) в интервале времени (¿, Ь + А) и устремляя А — 0, имеем

дРо(и,х,у,г) дРо(и,х,у,г) дРо(и,х,у,г)

-ш-+-^-+-щ-= -Ш + Ну))Ро(п, X, у, *),

+ т{пдхх,У,'] + дРЛпдхуу^ = -ш + "(У№(п,Х,уЛ

^те те \

оо

тете

Р1(п, 0,М) = / Ж^ММ* + / Р1 ы +

оо

те

Рг (п,х, 0, £) = (1 - 5п,о) J Рг(п — 1,х,у,Ь)и (у)(у, I = 0, 1.

ии,

о

Кроме того, в силу начальных условий,

Ро(п,х,у,0) =5п,оЦх)1 А(-У\ Р1(п,х,у,0)=0.

а1

Отсюда находим

дро(г,х,у, s) дро(г,х,у, s) 1 — А(у) „. . , . . , .. . .

у ' у ' + у ; у '--—Ях) = - 5 + ф) + и(у))р0(г, х, у, з),

дх ду а1

¿М*. у, *) + дМг,х,у,8) = _{8 + ф) + ^ в)>

дх ду

те те те те

Мг, °,у,.) = Це-^,х,у, %(х)« + Ц в""Ро(0,х,у, *Мх)«, (4)

о о о о

те

0,у,в> ^У Ы.,х,у, »Мх)(х + 1 /(г,х,у, »Мх)(х—

оо

те те те те

— / I е-Ъ (1,Х, у, — / / в-Ро(0,х,у, О^)«,

Отсюда

о о о о

те

Рг(г, х, 0, s) = ^Рг(г, х, у, s)v(у)(у.

доо(г х w s) 1 — г

-тг2—'— = + + Кх))Яо(г, X, и), в) Н--/(ж), (5)

дх а^

дд1 (г, х, w, s)

дх

= — ^ + w + ^(х))д1 (6)

о

„(*,0,в) + „ (*,ж, w, в) = / *(*,*,г)ц.(х)Лх + ^ /ж, „М*)*.

00 Решением (5) является (1), а решением (6) — (2).

Теорема 2. Функции р1 (г, 0,у, в) и р0(г, 0,у, в) определяются сооотношениями: Р1(г, 0, у, в) = (1 - А(у)) ^(г, у, в), р0(г, 0, у, в) = (1 - А(у)) ^(у, в), г<9е ^1(г, у, в) — единственное решение уравнения

тете

Му,.) = . / ад., v, - + г I (у + и, „мюл,-

у у те

- га-1 / Я,(в, „)*, - г /в-(у-)с(у - v) /а(м)Л(1 („ + и, (7)

а Л,0(у,в) — уравнения

те шт(у,т)

00

Му"5) = / / е->(У-')Ь(у - ф(т - ^^+

0

+ а-1 У |я!(т,в) + ^ I c(v))*fc Я^т - v)dv ) (1 - ^ е"ви&(и)йи ) . (8)

Доказательство. Подставляя (1) и (2) в (3), получаем

1-

(1 — г-1/?^ + «;)) <71(2:, 0, IV, з) =-IV) — (1 — 7(5 + -ш))^^, 0, ги, в).

а^

.

(9)

те 1 - г / еадма(и)^и

= J е~шу-1°_ -ро(г,0,у,з)с1у,

0

а из (4) следует, что р0( г, 0, у, в) те зависит от г (в дальнейшем вместо р0(г, 0, у, в) будем писать Р0(у, в)). Перепишем (9) в виде

г - в(в + w)

91(г, 0, ,) = - (1 - 7(в + «,)) /

alw .] 1 - А(у)

-

1 - А(у) 0

I у

те / еадма(и)^и

Х(8'Ш) -(1-7(з + ги)) I -

0

а1w

1 - А(у)

V

.

/

Подставляя в (10) г = в(в + w), получаем

а1 w

- в(в + w)

а1w

У

те / еадиа(и)^и - (1 -7(в + ги)) I е~ту-

\

1 - А(у)

Р0(у,в)^у

= 0.

/

0

0

0

0

0

Учитывая (11), из (10) находим

/

(г, 0, w, s) = г

те

(1 — 7(s + w)) ! е

—гшу О

/ ешиа(п)(и

1 — А(у)

-Ро(у^)(у —

а1w

V

Уравнение (12) можно преобразовать к виду

(12)

, Р1(г,0,у,в) _ г [ Р1Му + и,*)а{и)Ли , Лу =

1 — А(у)

о

1 — А(у + и)

тете

= г е о

а(и)

о

Ро(у + и^)

те у

^ ^ у1ис1у — га{1 J е~ту ^ Н\{8,у)йуйу—

оо

уте

¡е-У ¡е-Ь-Му-*) /*(«) ^ +

те

е

оо

а(и) ' " ' ,,—'—^йийюйу. 1 -А(у + и)

Отсюда получаем

тете

*>!(*, 0, у, *) [ Р\МУ+ и,з)а{и)Ли = г [ МУ +и, 8) и_

1 — А(у)

о

1 — А(у + и)

о

1 — А(у + и)

- — г|е-(у-")с(у — ,,)/а<и)

р0(г; + ц, 1 - А(ь + и)

Из последнего уравнения следует (7).

Существование и единственность интегрального уравнения (7) следует из того, что при |г| < 1 выполняется неравенство

вир

у

= |г| < 1.

Перепишем (11) в виде

Так как

1 " Жу)

теу

1 — в^ + w)

оо

1 — А(у) a1w(1 — + w))

Х^^). (13)

тете

шт(у,т)

/3(в + ги) I е~'шу I ешиа(и)с1и-р^^^с1у = ^ е~'шу ^ ^ - у)а(т - у)г!у,

оо

оо

1 — в ^ + w)

1 — 7 (s + w)

w

= I е-шу | 1 — У е-^I (у, оо

= I е-аду (#1^) + ^ / (е-^с(^))*к Я1(у — ^ I (у,

п V к=1п /

о

о

у

о

у

о

у

то из (13) получаем

Po(y,s) 1 ~А(у)

ж min(y,T)

[ [ e-<y~v)b{y - v)a(r - v)dv Ро(Т'(1t+

J J 1 - A(t)

0 0

+ а-1 У (Я1(т,в) + ^г! {е-™c(v))*fc Я^т - v)dvj (1 - У е-^Ь(и)^и

0 V Й=10 / V 0 /

Последнее уравнение эквивалентно (8). Существование и единственность его решения следуют из того, что

те шт(у,т)

sup

У

У У e-s(y-v)b(y - v)a(r - v)dvdr

= |в(в)| < 1.

00

Теорема 3. Функции р(г,ж,у,в), г = 0,1, определяются сооотношениями:

р(г, ж, у, в) = (1 - А(у)) /¿(г, ж, у, в), г<9е /¿(г, ж, у, в) — единственные решения уравнений

ж

fi(z,x,y,s) = ¿У a(y - u)f(z,x,y,s)du + dj(z,x,y,s),

di(z x y s) = | (1 - B(x))e (hl(z'у - x 's) - z - a(v - У + x)hl(z' vs)dv

при y ^ x , при y < x ,

4(z x y s) = I (1 - C(x))e ^ ho(y - x , s) - z - a(v - y + x)ho(v , s)dvj + r(z, x , y , s) при y ^ x ,

r(z ,x ,y , s) при y < x,

min(^,y)

r(z,x,y,s)= a-i(1 - C(x))(1 - z) /

xe

f (x - v)

-dv.

1 - C(x - v)

0

Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из (1) и (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. D о s h i В.Т. Queueing systems with vacations — a survey // Queueing Syst. 1986. 1. P. 29-66.

2. T a k a g i H. Time-dependent analysis of M|G|1 vacation models with exhaustive service // Queueing Syst. 1990. 6. P. 369-390.

3. L i J., T i a n N., Z h a n g Z.G. ,Luh H.P. Analysis of the M |G|1 queue with exponentially working vacations - a matrix analytic approach // Queueing Syst. 2009. 61. P. 139-166.

4. BoumanN., Borst S.C., В о x m a O.J., Leeuwaarden J.S.H. Queues with random back-offs // Queueing Syst. 2014. 77. P. 33-74.

5. У ш а к о в В. Г. Система обслуживания с гиперэкспоненциальным входящим потоком и профилак-тиками прибора // Информатика и ее применения. 2016. 10. N 2. С. 92-97.

6. Кондранин Е.С., Ушаков В.Г. Система обслуживания с относительным приоритетом и профилактиками прибора // Информатика и ее применения. 2018. 12. N 4. С. 33-38.

0

Поступила в редакцию 30.08.22 Одобрена после рецензирования 04.10.22 Принята к публикации 04.10.22