CC BY
35
Селиванов В.Ф., Рачковская М.К.
Пензенский государственный университет
ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ СЕТЧАТЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ РЭС
Объектом исследования данной работы является объёмная стержневая конструкция каркаса (стойки), работающая в условиях сложных внешних динамических воздействий. Вычислительные эксперименты базируются на применении метода конечных разностей.
Расчетная модель конструкции представляется в дискретном виде [1].
Модель-сетка сложной конструкции представляет собой сочетание дискретных элементов прямоугольной формы с размерами hx,hy,hz в направлении трех координатных осей. От размеров элементов зависит точность расчета, поэтому относительные размеры элементов должны быть достаточно малыми. С другой стороны завышение числа элементов в модели сверх требуемого из условия точности приводит к большим затратам времени на вычисления и снижает надёжность расчета.
Описание движения элементов в процессе деформирования производится с помощью шести чисел для каждого дискретного элемента. Эти числа представляют собой перемещения и узлы поворота частей деталей, попавших в каждый дискретный элемент в центре этого элемента - узла сетки.
Каждый элемент в модели - сетке находится под действием внешних сил, каковыми являются силы упругости, действующие со стороны соседних элементов, силы инерции и силы тяжести.
Таким образом, замена сплошной среды конечным числом сосредоточенных масс даёт возможность получить дискретную модель - сетку блока РЭА.
Уравнения для расчёта динамики блока могут быть получены непосредственно из физических представлений о процессе деформирования элементов модели. Для этого в соответствии с принципом Далам-бера к элементу прикладываются все внешние силы и силы инерции и записываются суммы проекций этих сил на координатные оси в виде:
Z Fxi _ max
Z Fxi _ may (1)
Z Fzi _ maz
где m-масса элемента, ах,ау ,az - проекция ускорения на координатной оси.
Для вычисления проекции упругих сил спроецируем на координатные оси нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элемента см. рисунок 1, а в правой части выразим массу через плотность материала и объём элемента:
M=phxhyhz
в итоге получим
(sxx -Sxx ) hyhz+ (sxy -Sxy )hxhz+(sxz -Sxz )hyhx=rhxhyhzax
(Syy -Syy ) hyhz+ (Syx -Syx ) hxhz+ (Syz -Syz ) hyhx=rhxhyhzSy (2)
(Szz -Szz ) hyhz+ (Szy -Szy ) hxhz+ (Szx -Szx ) hyhx=phxhyhzaz
где Oxx - напряжение, направленное в сторону х (первый индекс) и приложенное к площадке с нормалью х (второй индекс); знак [+] - показывает, что напряжение приложено по фасадной грани эле-
мента; hx,hy ,hz - шаги сетки в направлении соответствующих осей координат.
В соответствии с представлениями теории упругости нормальные и касательные напряжения следует выразить через деформации растяжения (сжатия) и деформации сдвига.
xy xy
Cyx+ = 2mey; +
(3)
yx yx
где £xx,£yy,£zz, - деформация растяжения, £xy, £yx,—- деформация сдвига, которые можно выразить через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона у Eg E
коэффициенты Ламэ,
Л_-
; m _ -
(1 + g) ■ (1 - 2g) и 2(1 + g)
Искомыми функциями при расчете механических процессов являются перемещения узлов сетки относительно положения равновесия. Поэтому выразим деформацию в приведенных уравнениях через перемещение данного и соседних узлов. Деформация растяжения в центре передней грани элемента (рисунок 2) выражается через перемещение узлов х и (x + h), между которыми этот центр находится:
£+ _ U (x + h) - U (x)
(4)
hx
(5)
где U - перемещение узлов в направлении х .
Для вычисления деформации растяжения в центре передней грани в направлении оси у для соблюдения симметрии надо учесть перемещение четырех узлов (рисунок 2).
£+ V(x + h,y + h) + V(x - h, y - h) (6)
£ _---------------л-------------- (6)
4h
xx
1
где V - перемещение узлов в направлении у .
Аналогичным образом вычисляется деформация для других граней элемента.
Сложив обе части, находим нужное выражения для деформации сдвига:
£+ = V(х + h) - V(х) + U(х + h, y + h) + U(y + h) _ U(x + h, y + h) _ U(y - h) (7)
xx 4hy ■ hx 4hy 4hy 4hy 4hy '
Аналогично находим деформацию сдвига для других граней элемента.
Ускорение, входящие в правую часть уравнений (1) выражено через перемещение данного узла. Для этого берем перемещения в три последующих момента времени через равные промежутки Т и вычисляем вторые разности:
U (t + т) - 2U + U (t-т)
U (t + т) - 2U + U (t-т)
а7 =
(8)
W (t + т) - 2U + U (t-т)
где W - перемещение в направлении оси z , т Разделим уравнения (2) на объем элемента hx корения (8) получаем:
шаг по времени
hy hz
тогда учитывая разносные выражения для ус-
-Uxy У / V^x:
-Syz ) /hz+ (Syx
-ayx-)/hx=r/T2[U(t+ т ) -2U+U (t- т)] (9)
(Syy Syy ) /hy+ (s xz
(Czz+-Ozz-) /hz+ (Czx+-Ozx-) /hx+ (Czx+-Ozy-) /hy=r/T2 [U(t+ T ) -2U+U (t- T ) ]
уравнения (9) являются универсальными и пригодными для расчета характеристик движения любого угла модели.
Объектом исследования была сборная конструкция каркаса стойки.
Были проведены исследования влияния различных механических воздействий на динамические свойства конструкции. Стойка была подвержена гармоническому воздействию, удару и серии ударов. На начальном этапе была предложена базовая конструкция, которую подвергли механическим воздействиям. Получены запасы на растяжении, срез и изгиб, которые значительно превышают максимальный (рекомендуемый) коэффициент запаса, в результате чего данную конструкцию можно сделать значительно с меньшими затратами материала, что экономически выгодно. Были уменьшены все размеры типовых связей (трубы, уголки, тавра). Масса базовой конструкции m = 28 кг, а масса новой m = 15 кг, что почти в два раза меньше первой. Что касается запасов на растяжение, сдвиг, изгиб, то они уменьшились в несколько раз, но являются приемлемыми.
2
Г
2
Т
2
т
ЛИТЕРАТУРА
1. Зарубин В.С. «Математическое моделирование в технике»:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010.495с.
2
