Потенциальная энергия упругой цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1. С. 12-14. УДК 532.5

Д.Н. Горелов, О.В. Харина

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ*

Получена формула для потенциальной энергии деформации тонкой цилиндрической оболочки при ее малых нормальных перемещениях.

Ключевые слова: упругая цилиндрическая оболочка, потенциальная энергия, закон Гука.

Один из возможных путей решения задач динамической прочности конструкций основан на применении уравнений Лагранжа второго рода (см., например: [1; 2]). Составной частью этих уравнений является потенциальная энергия деформаций упругой конструкции. В настоящей работе дан вывод потенциальной энергии тонкостенной упругой цилиндрической оболочки при ее малых деформациях.

1. В достаточно общем случае потенциальная энергия П деформации упругого тела определяется формулой [3]:

п- 2 Ц<

т

\С S + С S + С S + С S + C S + C S

xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yz

) dV.

(1)

Здесь V- объём деформируемого тела, сгхх,..., s^,... - компоненты тензоров напряжения и деформации. В соответствии с обобщенным законом Гука:

с =à(s +s +s )+ 2u,s , с = 2u,s ,

xx \ xx yy zz J r^ xx? xy ~ xy?

Cyy = 1(Sxx +Syy +Szz )+ 2VSyy 5 Cyz = 2VSyz 5

Czz = X(Sxx +Syy + Szz ) + 2VSzz 5 Cxz = 2VSxz 5 (2)

где A, ц - упругие постоянные Ляме. Коэффициенты Ляме связаны с модулем упругости Юнга Е и коэффициентом растяжения Пуассона v соотношениями:

1 =---, м = —— (3)

(1 + v)(1 - 2v) 2(1 + v)

Закон Гука позволяет определять потенциальную энергию через деформации упругого тела. Подставляя (2) в (1), получим:

п =

2/К

S + S + S

yy z

,)2 + 2 m(

2 2 2 2 2 2 1

S 2 +S 2 +S 2 +S 2 +S 2 +S 2

yy zz xy xz yz J

dV. (4)

В линейной теории упругости компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора перемещения ю упругого тела соотношениями:

dw_

dw„

ôw

1 ( dw ôwy y

Sxxx л 5 Syy Л 5 Szz л

ôx ôy ôz

Sxy 2

- + -

ôy ôx

1(ôw ôw S = —I —- + —£ ^ 21 ôz ôx

Syz 2

1 (ôwy ôw — + —-

ôz ôy

(5)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Комплексной программы фундаментальных исследований СО РАН «Интеграция и развитие» (проект П.2ПЛЛ-7 «Современные методы аппроксимируемости моделей, алгоритмов и теорий»).

© Горелов Д.Н., Харина О.В., 2017

Потенциальная энергия упругой цилиндрической оболочки

13

Соотношения (5) позволяют выразить потенциальную энергию через вектор перемещения w упругого тела.

2. Применим формулы (1)-(5) для определения потенциальной энергии деформации тонкой круговой цилиндрической упругой оболочки (см. рис.). Введем цилиндрическую систему координат г, в, г с началом координат в точке на оси цилиндра. Поверхности цилиндра (упругой оболочки) соответствует значение г = К. Тогда декартовы и цилиндрические координаты точек на поверхности цилиндра связаны соотношениями:

х = Яcosв, у = Я 8т6>, г = г. (6) Обозначим орты декартовой и цилиндрической систем координат через ех, е , ег и

ег' е, е соответственно, а компоненты вектора перемещения w - через wx, ^, ^ и

s = —

ху 2

1 ( dwx 8wy Л 8у 8х 8в 8

— (w cos в)--1--(w sin в)

к8вУ r J 8у 8в г '

1 (8wx 8w Л 1 8w S =-\ — +— I = _cose—-

2 l 8z 8x ) 2 8z

в 8x

s = — y 2

1 (8wy 8w>,

\

- + -

8z 8y

1 • a8wr = — sine—-

2 8z

Таким образом, получим:

•-2 0 w sin2e 1 8wr R

S„ = sin

w sin2e 1 dw, s„ . = cos2 в— +

R

(

s = —

xy 2

8

2 R 8в

8в 8

2 R 8в '

s= 0;

8в

Л

— (wr cos в)--1--(wr sin в) —

8в 8у 8в 8х

Круговой цилиндр

По определению

w = wxex + wyey + ^z = wrer + weee + ^z •

Предположим, что толщина упругой оболочки h (в, z) << R, а сама оболочка может деформироваться только по нормали к своей средней поверхности (г = R). При этом | w | << R. Тогда

wr = wr (в, z, t), we = 0, w = °, w = w e + w e + w e = w e . (7)

x x У У z z r r \ >

Из (7) следует:

wx = wrex ■ er = wr cos^

w = w e ■ e = w sin в,

y r y r r '

wz = wrez ■ er = °

(8)

Выражения (8) позволяют определить компоненты тензора деформации упругой цилиндрической оболочки. Подставляя (8) в (5), получим:

5 wx д дв

е._. = —- = — (w cos в) -

8х 8в

8wy 8

syy =■

= — (wr sin в)

8y 8в

8x

8в

8y'

s„ = 0;

8¡wr . Л cosв cosв—- - w Sinв--

8в r ) R

I ■ adwr n) sin в - Sinв--+ w cosв -

8в r ) R

cos2в 1 8wr sin2вw,

2 R 8в 2 R В результате получим:

(s + s +s )2 =

^ xx yy ZZ' |

s2 = sin4 в!^ ]2 + "" 2

w Л sin2 2в ( 1 8w,

R ) 4 l R 8в

• ? „ • 1 8w

- sin2 в sin 2^—L--r,

R R 8в

w Л sin2 2в ( 1 8w„

si = cos4 в +

R ) 4 l R 8в + cos2 в sin 2в-

2 ~ • - ~ w 1 8w„

r r

2 cos2 2в ( 1 8wr Л2 sin2 2в ( wr 4 2 s = -

x 4 l R 8в

R R 8в

2

sin

+

4 l R cos2вsin2вw 1 8wr

(9)

r r

(10)

2 Я Я дв Подставляя выражения (9), (10) в формулу (1) и учитывая, что йУ = hRdвdz, получим:

П =

ER

2 2n L / Ч2

f JU.ot lw) + й(в)

8(1 + v)

w 1 8w _r___r_

R R 8в

Здесь

4v

jj =-+ 3 + cos2 2в, g2 = sin 4в,

1 - 2v

wr, we, w

2

14

Д.Н. Горелов, О.В. Харина

gъ - 1 + 81И220, £4 - 1. (12)

Формулы (11), (12) определяют потенциальную энергию деформации круговой цилиндрической оболочки через ее нормальные перемещения. Эти формулы получены в рамках линейной теории упругости в предположениях И << Я, << Я.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бисплингхофф Р. Л., Эшли Х., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М. : Изд-во иностранной литературы, 1958.

[2] Шмаков В. П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих конструкций. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.

[3] Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. М. : Судпромгиз, 1962.