Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для трехмерных гиперболо-параболических уравнений с вырождением типа и порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-956

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА И ПОРЯДКА

THE CORRECTNESS OF THE DIRICHLET PROBLEM IN A CYLINDRICAL DOMAIN FOR THREE-DIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATIONS WITH DEGENERATION OF TYPE AND ORDER

Е.Т. Китайбеков E.T. Kitaybekov

Казахский Национальный педагогический университет им. Абая, Алматы Abai Kazakh National Pedagogical University, Almaty

E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе показана однозначная единственность классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области для трехмерных гиперболо - параболических уравнений с вырождением типа и порядка.

Resume. The paper shows the unique solvability of the classical Dirichlet problem in cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration type and order.

Ключевые слова: задача Дирихле, вырождение типа и порядка, разрешимость, функция Бесселя.

Key words: Dirichlet problem, degeneration of the type and order, solvability, Bessel function.

Введение

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо - параболических уравнений на плоскости изучены в [1].

Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы в [2]. Корректности задач Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений установлены [3,4].

Разрешимость задачи Дирихле в цилиндрической области для трехмерных гиперболопараболических уравнений с вырождением типа и порядка показано [5], а в данной работе доказывается ее единственность решения.

Постановка задачи и результат

Пусть Qap~ цилиндрическая область евклидова пространства Е3 точек (x1,x2,t), ограниченная цилиндром Г = {( x, it ):| x |=1} , плоскостями t = P >0 и t = P < 0, где |x| — длина вектора x = (x1, x2).

Обазначим через Qa и Q^ части области 0,а/3-а через Га,Гд — части поверхности Г, лежащие в полупрастранствах t >0 и t < 0, 7а — верхнее, а 7 р — нижнее основания области

Qap-

Пусть далее S — общая границ областей Q и Q„ представляющее множество в

{t = 0,0 <| X |< 1} в E.

В области Qap рассмотрим вырождающихся трехмерные гиперболо-параболические уравнения

0 = <

Z Pi (t K,x, - P3(t)utt +Yuar (x, t)ux + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, t > 0,

i=1 1 1 i=1 1

(1)

Zgi (t)ux x. - ut + Zdi (X t)ux. + e(X t)u, t < 0

7 7 7

i ( )ux.x. ut +

ii

i=1 i=1

где p. (t )>0 при t > 0, p. (0) = 0, g. (t) > 0 при t > 0, и могут обращаются в нуль при

t = ° P,(t) е С([0, ос]) о С2 ((0, а)Х gj(t) е С(|Д0]),i = 1,2,3.^/ = 1,2.

В дальнейшем нам понадобится связь декартовых координат Xj, X2, t с полярными

r,6, t:x = rcos6,x2 = rsin6,r >0, 0<6<2k.

Задача 1 (Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Qap при t Ф 0, из класса

С1 (Оад) о С 2 (Qa и Qp ), удовлетворяющее краевым условиям

и 7 =0, u |г =0,

а а

u L =0, u \ар =0.

(2)

(3)

Пусть

аг (r, 6, t) b(r,6, t) c(r,6, t) 1

, .. , .. е C1(Qa) о C2(Qa),dj (r,6, t), e(r,6, t) е C1(Q^) о C2(Q^),

P3(t) P3(t) P3(t) j P

i = 1,2,3, j = 1,2, e(r, 6, t) < 0, V(r, 6, t) eQf Тогда справедлива

Теорема. Если выполняется условие

cos а' Ф 0, s = 1,2,..., (4)

то решение задача 1 тривиальное, где Vsn— положительные нули функций Бесселя первого рода

J. (z), а = J

ад)+ад)

2кМ)

d%, n = 0,1..

2

2

а

0

Доказательство теоремы

Рассмотрим задачу (1), (3) в области и докажем, что ее решение нулевое. Для этого сна-

чала построим решение первой краевой задачи для уравнения

2 2

= (t К*. + vt — Tdivx + dv = 0,

-x.x. Vt-Ld.Ux

l l l

i=1 i=l

(5)

с данными

v\s = *(г,в) = Tio(r), u\r =0,

(6)

где d(x, t) = e -Td*, Tx 0(r) e G, G — множество функций r(r) из класса C([0,l]) о C1 ((0,1))

i=1

Множество G плотно всюду в L2 ((0,l)) ([б]).

Решение задачи (5), (6) в полярных координатах будем искать в виде

ад

v(r,e, t) = Vw(r, t) + Tv n(r, t )cos n0 + v2n (r, t )sin nв), (7)

n=1

где v10 (r, t), vln (r, t), v2n (r, t) — функции, которые будут определены ниже. Подставляя (7) в (5), в полярных координатах будем иметь

(

L*iv = gi(t)

C0s evi0rr +

sin2 в ^

-v

10r

f

+ g2(t) Sin в V10r +

cos2 в ^

Л0г

V10t

— d1 (r,в, t)cos в v10r — d2(r,e, t)sinev10r + d(r, в,t)v10 +

+

Tj gi(t)

i=1

2

cos2 e(cos nev1nrr + sin n ev2nrr)+-----(cos n ev1nr + sin n ev2nr)+

r

n sin2e / . 4 n sin 2в / . „ \

+---------(sin n evinr — cos n ev2nr )+ „ 2 (cos n ev2n — sin n evin ) —

2r

r

22

n sin в ( . ч

---------(cos nevln + sin nev2 n)

+ g2 (t)[sin2 e(cos nevinrr + sin nev2nrr) +

n sin 2^/ . „ \ cos2 в

+-------(cos n вv2nr — sin ^v1nr)+-(cos ^v1nr — sin n вv2nr)+

n sin2^^. . ч n2 2„( n ■ n \

+-----—(sin nвvы — cos ^v^)—- cos в(cos nвvы + sin ^v^)

2r r

— vt cos ^ —

— v2nt sin nв — dj

cosв(cosnвvЫr + sin^v^^ nsinв (sinnвvы — cos^v^ )

— dn

sinв(cosnвvЫr + sinnвv2nr) + ПС°%в (cosnвv2n — sinnвvы)

r

+

+ d (cos nвvln + sin nвv2n)} = 0.

(8)

Теперь полученное выражение (8) сначала умножим на р(в) Ф 0 а затем проинтегрируем от

r

r

0 до 2ж . После несложных преобразований получим ряд

(g1 + g 2 ) р (и + !у ')_р р

~ р10| P10rr + P10r I р10иШ

2 \ r )

fa___g2) d (и _ I +

d101 и10 r r и10 1 +

ад [ 2

+ «10^ t)U 0r + C10(r, tК + X j X

2

fa + g2 )

r

2

pjn Uinrr +

1 n2 ^

+r ' _ rr Un

PjnUnt +

fa _ g 2 )

У

d„

n

2

и jnrr и jnr 2 ^^jn

V r r у

+

, (g 2 _ g1 ) _ ^ + 2 e'n

Л

и —^

jnr 2r

V 2r у

+ ajn (r,tU'nr + cjn fatfa

= 0,

(9)

Pn = J p(d)cosnddd, р2и = J psin nddd, dXn = J pcos 2dcos nddd,

0 0 0

2* 2* 2*

d2w = Jpcos2dsinnddd, eln =_Jpsin2dsinnddd,e2n = Jpsmldcosnddd,

0 0 0

2* 2*

а1и = Jp(_dYcosd _ d2 sind)cosnddd, a2n = Jp(_dYcosd _ d2 sind)sinnddd,

2*

c1n = Jp

0 L_

/ , • л , Д\Яsinnd

(_ d sin d + d2 cos d)---+ d cos n d

dd,

2*

C2n = JP 0 -

(_ d2 cos d + dx sin d) П cos nd + dsin nd

dd, n = 0,1,

Далее, рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

g(t)РюГU10rr + ~ U10r l _ P10U10t = 0, g(t) = g1 (?)+ g2 (?),

10rr LT0r

V r

2

g (t )P

f

j1

1

и

j1

Uj1rr +~Uj1r _ 2

V j r r у

■ P10Uj1t

_(g2 _ g1 )d1

U,

10 и —1°^ — a и — c и

U10rr I u10LJ10r с10и10,

(10)

(11)

g(t р

у

1 _n_ |_ -

и jnrr + иjnr 2 Р'п | Pjnt

_ (g1 _ g 2 fa ( 1

V

r

27d I и. , _—и ,

jn _1r jn _1r

(n _1)2

2

и

r

2 jn_1

(g2 _ g1 _ l)

f

jn _1

и

и

jn _1r

jn _1

r

_ «jnЧ^г _ Cn^ j = 1,2, n = 2,3,••• •

Нетрудно показать, что если {и0, иуи } j = 1,2, n = 1,2, ... _ решение системы (10), (11), то оно является и решением уравнения (9).

„ Г1 „

Далее, учитывая ортогональность ([6]) систем тригонометрических функций j — ,cos nd, sin nd, n = 1,2, ...} на отрезке [0,2*] из краевого условия (6) в силу (7) будем иметь

n=1 I 2=1

1

2

0

0

r

2

2

r

40(r,p) = °. 4o(r,0) = rw(r), (12)

ир,(г,р) = 0, vIr,(r,0) = 0, j = 1,2, n = 1,2,.... (13)

Таким образом, задача (5), (6) сведена к системе задач для уравнений (ю),(и) с данными (12) и (13)- Теперь будем находить решения этих задач.

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (10), (11) можно представить в виде

С

g (t)

1

n

2 Л

°nrr +~°nr--2 °n

у r r J

-°nt = fn (r, t),

(14)

где f (r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом f (r, t) = 0.

В [7] показано, что краевые задачи для уравнения (14) с условиями (12) и (13) имеют единственные решения.

Следовательно, сначала решив задачу (10), (12) (j = 1, n = 0), а затем (11), (13)

(j = 1,2, n = 1) и т.д. найдем последовательно все ц0(r, t), ojn (r, t), j = 1,2, n = 1,2,... .

Итак, показано, что

2л

J p(e)L*ude = 0.

0

Пусть f (r,e,t) = R(r)р(в)Г(t), причем R(r)eV0, V0 — плотна в L2 ((0,1)),

Р(в) e C “ ((0,2^)) — плотна в L2((0,2л)), а T(t)e V1,V1 — плотна в L2 ((0, P)).. Тогда f (г, в, t) eV, V = V ® (0,2 л) ® V — -плотна в L2 (Dp ) [6].

(15)

Отсюда и из (15) следует, что

J f (r,e, t )L-1vdnf

= 0

и

L° = 0, v(r,e,t)eQ.p.

Таким образом, решение задачи (5), (6) построено.

Аналогичным образом, строится решение этой задачи, если т(т,в) = т1п(r)cosne + r2n(r)sinne, n = 1,2,....

Из определения взаимно-сопряженных операторов L, L*, ([7]) имеем

L-j g, (t )^-- + 't d, — + e,

1 V1 J5xf —t V dxt

L1 = V g1 (t)

52 5 ^ , 5

— V d — + d,

1 1 ^

t!" 1V '—x2 — t! 1 5Xi

vL{u — uL*v = —vP(u) + uP(v) — uvQ,

Q

P

2 2

где P(u) = Z (tК cos(n±,X )i Q = cos(nx , td cos(nx , t), a N1 - внутренняя нормаль к

i=1

i=1

границе dQp.

Отсюда, по формуле Грина, получим

| r(r,O)u(r, O,0)ds = 0. (16)

S

Поскольку система функций {l,COS nO, sin пв, п = 1,2, ...}плотна в Ь2((0,2^)) ([б]), то из (16) заключаем, что u(r, в,0) = 0, V(r, в) е S.

Сталь быть, по принципу экстремума для параболического уравнения решение задачи (1), (3) и = 0 в Qр ([8]).

В [9] показано, что если выполняется условие (4), то решение задачи (1), (2) в Qa и = 0. Теорема доказана.

Литература

1. Нахушев А. М. 2006. Задачи со смещением для уравнения в частных производных, М.: Наука: 287 .

Nakhushev A.M. 2006. Problems with a Shift for Partial Differential Equations. Moscow: Nauka (in Russian).

2. Врагов В. Н. 1983. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск: НГУ: 84.

Vragov, V.N. 1983. Boundary Value Problems for Non-classical Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk: NGU (in Russian).

3. Алдашев С. А. 1983. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина. Научные ведомости БелГУ. Математика, Физика, Белгород: 2012, №5(124), вып. 6. -с.12-25.

Aldashev S. A. 2012. Correctness of Dirichlet’s and Poincare’s problems’ in cylindrical domain for degenerated multi-dimensional hyperbolic equations with CHapligin’s operator. Belgorod State University Scientific bulletin Mathematics & Physics, vol. 6. №5(124): 12-25 (in Russian).

4. Алдашев С. А. 2014. Задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся трехмерных гиперболических уравнений. Материалы IV межд. конференции "Математическая физика и ее приложения," СамГУ, Самара: 46

Aldashev S. A. 2014. Fourth international conference "Mathematical Physics and Its Applications" Samara state University, Samara: 46

5. Китайбеков Е. Т. 2016. Задача Дирихле для трехмерных гиперболо - параболических уравнений с вырождением типа и порядка. Вестник КазНУ им. Ал-Фараби. серия математика, механика, информатика. №1(88): 28-34.

Kitaybekov E. T. 2016. Dirichlet problem for three-dimensional hyperbolic-parabolic equations with type and order extinction. KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series, №1 (88): 28-34 (in Russian).

6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. 1976. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука: 543 .

Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V. 1976. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow: Nauka (in Russian).

7. Смирнов В. И. 1981. Курс высшей математики, Т.4, № 2, М.: Наука: 550.

Smirnov V.I. 1981. A Course of Higher Mathematics. Vol. 4, part 2. Moscow: Nauka (in Russian).

8. Фридман А. 1968. Уравнения с частными производными параболического типа, М.: Мир: 527.

Fridman A. 1968. Hyperbolic Partial Differential Equations. Moscow: Mir (in Russian).

9. Китайбеков Е. Т. 2016. Единственность решения задачи Дирихле в цилиндрической области для трехмерных гиперболических уравнений с вырождением типа и порядка. Журнал “Вычислительной и прикладной математики”, Киев: КНУ им. Т. Шевченко, № 3(123): 27-32.

Kitaybekov E. T. 2016. The uniqueness of the solution of Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional hyperbolic equations with type and order degeneration. The journal “Computational and applied mathematics”, Kiev: KNU them. T. Shevchenko. No. 3(123): 27-32 (in Russian).