CC BY
47
Численное исследование поведения упруго-идеальнопластических тел, содержащих неподвижную и распространяющуюся трещины под действием квазистатических и динамических растягивающих нагрузок
Ю.П. Стефанов
Институт физики прочности и материаловедения, СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе рассмотрены особенности развития пластического течения и изменения напряженного состояния у вершины стационарной трещины в упруго-идеальнопластическом теле. Смоделирован процесс взаимодействия плоской волны растяжения с поверхностью и вершиной трещины, а также процесс излучения упругих волн при развитии трещины. Показано влияние волновых процессов на движение поверхностей трещины и на напряженное состояние в вершине.
1. Введение
Принципиальное значение при описании поведения конструкций имеет учет геометрических особенностей, а также влияния изменений текущей геометрии тела в ходе нагружения. Особенно значительным влияние изменения геометрии оказывается при необратимых деформациях среды, т.е. при развитии процессов пластической деформации и/или при росте трещин. Другим важным фактором при описании процессов деформации и разрушения тел являются инерционные эффекты, включая конечность времени передачи информации, т.е. определение момента времени, с которого геометрические изменения в ходе деформации начинают сказываться на некотором удалении и оказывать взаимное влияние. Данные аспекты особенно важны при исследовании поведения материалов на мезоуровне [1], для которого характерно значительное количество структурных особенностей. В настоящей работе основное внимание сосредоточено на указанных сторонах проблемы.
В данной работе было смоделировано поведение прямоугольного упруго-идеальнопластического образца с трещиной в условиях плоской деформации. Часть работы посвящена изучению поведения образца с нера-спространяющейся трещиной под действием квазис-татического растяжения. Рассмотрены изменения напряжений в вершине трещины при распространении пластической зоны и раскрытии трещины в ходе нагружения. Приведены последовательные картины распределения параметров напряженно-деформированного состояния. Проводится сравнение некоторых полученных результатов с известными аналитическими решениями. Вторая часть работы посвящена динамическим вопросам. Исследуется структура полей скоростей сме-
щений в окрестности вершины нераспространяющейся трещины при падении на нее растягивающего импульса, а также процесс излучения упругих волн при росте трещины. Рассмотрено движение поверхностей трещины при распространении вдоль них сгенерированных в вершине упругих волн.
2. Постановка задачи и метод решения
Для решения задач механики разрушения широко используются численные методы. В работах [2, 3] кратко описаны некоторые способы численного моделирования роста трещин. В данной работе проиллюстрированы возможности применения модифицированного конечно-разностного метода с разделением узлов сетки [4-6] к решению задач, связанных с разрушением тел.
2.1. Система уравнений
Для моделирования процесса деформирования будем решать систему уравнений механики сплошной среды. Система включает уравнения движения, неразрывности, энергии, а также уравнения состояния и определяющие соотношения, связывающие напряжения и деформации. Запишем систему уравнений для условий плоской деформации в том виде, как и в [4].
Уравнения движения:
да да
ху
= Р и х
даху да
уу
дх ду ’ дх
Уравнение неразрывности:
V дих + диу
V дх ду '
ду
= Риу . (1)
© Стефанов Ю.П., 1998
Уравнение энергии:
Е = - PV + (sxx Є xx + Є yy + 2 • Sxy Є xy ) • V . (3)
Скорости деформации:
дuy
1 f дux
Є “ = дХ ’ Є yy дy , Є xy 2 ( дy + дх I . (4)
В условиях плоской деформации
Uz = О , Є xz = Є yz = Є zz = О .
Скорость вращения:
1 f ^uy дux
ю = ю xv = -ю yx = —| —--------x
^ yx 2 ( дx дy
(5)
Тензор напряжений aij разбивается на девиатор-ную Sj и шаровую P части:
(6)
Девиатор напряжений с учетом поворота локальной системы координат определяется как [4, 7]:
ІXX = 2Л єXX - -3-Ї&/V 1 + таXX,
Syy = 2Н Єyy --3VIV | + таyy,
(7)
sxy = 2ц(xy ) + таxy ,
где — поправка на поворот:
та xx та yy
-1 (Sxx - syy ^ -(2ю)2 ); - 1^ + 2sxyЮ ,
та xy = xy 2
■2ю- Sxy-|(1- (2ю)2)-1|. (8)
Гидростатическое давление: V&
P = - K
V ’
(9)
где V = p о/ p —относительный объем. Условие пластичности Мизеса:
2 J2 -1(Y )2 < 0,
(10)
2 2 2
где 2 У2 = + s2 + s3 , У2 — второй инвариант девиа-
тора напряжений; У0 — предел текучести при растяжении. С учетом того, что Sз = -( + s2), можно запи-
( 2 2 2 \
sx + sy + sxsy + sxy I. При выполнении условия текучести осуществляется процедура приведения напряжений на круг текучести [4], т.е. каждая из компонент девиатора напряжений умножается на величину
д/2/3 • Y0j-^(2 J2) . Материал считается пластически несжимаемым.
Критерий разрушения возьмем в виде:
ст * = ст о , 01)
где ст — эффективное растягивающее напряжение, численная процедура вычисления которого будет приведена в п.2.3; ст0 — предел прочности при растяжении.
При записи уравнений использовались следующие обозначения:
x,y — пространственные координаты; ux, uy, uz — компоненты вектора скорости; е„ — компоненты тензора деформации;
CTj — компоненты тензора напряжений; s.j — компоненты девиатора напряжений;
P — давление;
Е — объемная плотность энергии; р — плотность;
р0 — первоначальная плотность среды;
V— относительный объем;
K— модуль объемного сжатия; ц — модуль сдвига.
Точка сверху означает производную по времени.
Система уравнений решается при заданных начальных и граничных условиях, которыми и определяется конкретный процесс.
2.2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о поведении плоского прямоугольного образца ABCD, содержащего центральную трещину в условиях растяжения (трещина первого типа), рис. 1. Трещина представляет собой горизонтальный разрез нулевой ширины 8 = 0, на границах которого заданы условия свободной поверхности СТуПу = 0 . При решении задачи будем считать, что в образце реализуется плоское деформированное состояние. Поведение материала будем описывать в рамках упруго-идеальнопластической модели: Y0 = const. На боковых гранях образца для всех точек (x, y) е AB и (x, y) е CD заданы либо условия симметрии ux = x = 0 , которые эквивалентны условиям скольжения вдоль жестко закрепленной стенки, либо условия свободной поверхности СТуПу = 0 . В дальнейшем поверхность с заданными на ней условиями симметрии будем называть «жесткой», а поверхность, свободную от напряжений, — «свободной».
В начальный момент времени образец находился в ненапряженном и недеформированном состоянии: при t = 0, и, =0, Сту = 0, £ у = 0, E = 0 , р = ро .
Нагружение образца моделировалось путем задания на верхней и нижней границах скорости перемещений: uy = - u(t), (x,y) е BC; uy = u(t), (x,y) е DA.
Параметры, использованные в рассмотренных задачах, указаны в таблице 1.
2.3. Численное описание
Решение уравнений осуществлялось конечно-разностным методом сквозного счета [4]. В расчетах использовалась равномерная сетка с размером счетной ячейки Ах = Ду = 0.01 см.
В данных расчетах считалось, что распространение трещины происходит по границам ячеек расчетной сетки. Ее рост описывался при помощи разделения узлов расчетной сетки и задания на вновь образованных границах условия свободной поверхности. Разделение узлов осуществлялось при выполнении условия разрушения, в качестве которого был использован критерий разрушения (11). Эффективное напряжение а* вычислялось для границ любых двух смежных ячеек, как а * = (а1 + а2 )/2 , ак = а к/пкп/к, к = 1,2 — номер ячейки в паре, nj — внутренняя нормаль к границе ячейки.
Для стабилизации расчетной сетки были использованы квадратичная (объемная), тензорная (линейная) и угловая искусственные вязкости [4, 6, 7].
3. Стационарная трещина в упруго-идеальнопластическом теле под действием квазистатической нагрузки
Пусть трещина не распространяется ( а0 = ^ ), а изменение ее геометрии связано лишь с упругой и пластической деформацией окружающего материала. Рассчитаем напряженно-деформированное состояние показанного на рис. 1 образца в условиях плавно приложенной нагрузки для двух случаев: 1) границы АВ и CD свободны от напряжений; 2) на границах АВ и CD заданы условия симметрии.
По прошествии некоторого времени с момента приложения нагрузки в теле устанавливается квазистацио-нарное состояние. Для скорейшего достижения этого состояния осуществлялось плавное нагружение образца: и() = и011 - ехр(-(( + п • t0)До ) , где и0 —максимальная скорость перемещения границы, которая задавалась согласно требуемой скорости деформации образ-
0
Рис. 1. Схематическое представление расчетной области (а) и трещины (б)
ца, в настоящих расчетах и0 =0.5—1.5 м/с, а г0 — время пробега волны напряжений по длине образца; п выбирается исходя из конкретной геометрии, п = 5-10.
После некоторых колебаний концентрация напряжений кх = ах1 а и ку = ау/а достигает стационарного значения, какой и остается, пока материал находится в упругом состоянии и имеет место линейный рост напряжений во всем образце. В ближайшей к вершине трещины ячейке (рис. 1, б) направление главных осей напряжений совпадает с направлением осей исходной системы координат, отклонение не превышает 0.1-0.3 градуса (кривая ^ на рис. 2). Поэтому х- и у-компоненты напряжений соответствуют наименьшим и наибольшим значениям действующих напряжений (рис. 2). Раскрытие трещины в центре и в вершине растет про-
Таблица 1
Модуль сжатия К, ГПа Модуль сдвига |1, ГПа Плотность среды Р0, г/см3 Предел текучести У0, МПа Предел прочности а0, МПа Полудлина трещины а0, см Задача
300 0.5 п. 3
75 25 2.8 0.8 п. 4
100 0.8 п. 5
60 0.5 п. 6
800
600
го
С
-400
200
0:
■ ар2
■ стр1 '
;
*2 '
2 V ^'
80
60
40 ;
20
20 40 60 80 100 120
I, МКС
Рис. 2. Изменения компонент напряжений и направления главных осей напряжений с течением времени в ближайшей к вершине трещины ячейке при различных условиях на боковых гранях образца: а — поверхности, свободные от напряжений; б—условия симметрии (бесконечный образец с периодической системой трещин)
порционально приложенной нагрузке и не превышает 0.02 мм, что составляет 0.2% длины трещины. Отношение раскрытия трещины в центральной части к раскрытию в вершине равно = 4. В таком диапазоне раскрытия трещины при использованных размерах расчетных ячеек не было замечено какого-либо влияния раскрытия (затупления вершины) на величину напряжений вблизи вершины.
В начале пластического течения, с момента t, пока оно локализовано в окрестности вершины трещины, вблизи вершины наблюдается замедление темпа роста напряжений. Раскрытие трещины еще мало и не оказывает значительного влияния на напряженное состояние. Происходит лишь постепенное перераспределение компонент напряжений. В момент t2 ортогональная оси трещины ^-компонента напряжений принимает свое максимальное значение. До этого момента направление главных осей тензора напряжений оставалось практически таким же, как и на упругой стадии деформации, т.е. почти совпадало с направлением осей координат. Дальнейшее растяжение образца и рост напряжений
способствуют распространению пластической области по образцу (рис. 3-5). Теперь раскрытие трещины и затупление ее вершины приводят к уменьшению х— компоненты напряжений, ориентированной вдоль оси трещины, рис. 2. Поскольку разность между главными значениями компонент напряжений, ввиду постоянного значения предела текучести, должна остаться постоянной (ттах = (а 1 - а2)/2 = Y0/Vз ), уменьшение уровня одной компоненты ведет к уменьшению и другой. Поэтому напряжения, перпендикулярные оси трещины, также уменьшаются. При этом наблюдается постепенный поворот главных осей напряжений. С момента, когда пластичность охватывает практически все сечение образца — от вершины трещины до боковых поверхностей, напряжения приближаются к некоторому стационарному значению, а берега трещины становятся параллельными.
В зависимости от условий на боковой границе изменяются скорость развития пластического течения и соответственно скорость уменьшения напряжений, а также максимальные принимаемые напряжениями
Рис. 3. Зависимость средних напряжений а в области захвата от удлинения образца и площадь Ар1 области, охваченной пластическим течением: а — свободные поверхности; б — условия симметрии
1 "х |[ •V-
€ ^ / СГу
3 Од
Л £
Рис. 4. Распределение параметров напряженно-деформированного состояния в одной четверти образца со свободными боковыми гранями по мере развития пластического течения от упругого состояния (а) до полномасштабной текучести (в): т — максимальные касательные напряжения; е — интенсивность сдвиговых деформаций; ах, ау — компоненты напряжений
Рис. 5. Распределение параметров напряженно-деформированного состояния в одной четверти образца с жесткими боковыми гранями по мере развития пластического течения от упругого состояния (а) до полномасштабной текучести (в): т — максимальные касательные напряжения; е — интенсивность сдвиговых деформаций; ах, ау — компоненты напряжений
значения. В случае, если боковые границы свободны от напряжений, этот процесс идет быстрее. Причем в этом случае направления главных осей напряжений в ближайшей к вершине ячейке после незначительного отклонения возвращаются к исходному состоянию (рис. 2, а ). Для образца с жесткой боковой гранью поворот оказывается значительно большим и превышает 15°. В этом случае напряжения в указанной ячейке достигают существенно больших значений (рис. 2, б).
Таким образом, развитие пластического течения в окрестности стационарной трещины при росте внешней нагрузки приводит к затуплению вершины и снижению величины действующих там напряжений.
В данных расчетах рост трещины не рассматривался, однако из приведенных результатов видно, что если при данной геометрии тела критическое напряжение а0 лежит в интервале между напряжением начала пластического течения ар1 и максимальным принимаемым значением напряжения ар2, то при росте трещины вблизи ее вершины будет иметь место пластическая деформация; если а0< ар1, разрушение будет абсолютно хрупким; а если а0 > ар2, то рост трещины не происходит. Очевидно, что с изменением длины трещины будут меняться и величины ар1 и ар2.
Интересно рассмотреть зависимость средних напряжений а (или приложенных сил) в области захвата от относительного удлинения образца, рис. 3. Значение а вычислялось как среднее по всей границе ВС. Здесь же показано изменение площади пластической области для одной четверти образца. На рисунке видно, что процессы в окрестности разреза слабо проявляются в макроскопическом поведении образца. Отклонение кривой средних напряжений от прямой линии упругого отклика, который имеет место на начальной — упругой стадии деформирования образца, оказывается малозаметным и напоминает участок диаграммы для упрочняющегося материала. В случае, когда боковые поверхности свободны от напряжений, площадка текучести появляется с момента, когда пластичность охватывает все сечение образца (рис. 3, а). Для образца с жесткими боковыми гранями рост деформации без увеличения приложенных сил происходит после перехода в пластическое состояние всего образца (на рисунке 3, б эта стадия не отражена). В этом случае происходит всестороннее растяжение трещины.
Рассмотрим изменение напряженно-деформированного состояния образца со свободными и с жесткими боковыми поверхностями в ходе нагружения и развития пластического течения, рис. 4, 5. В силу симметрии задачи, на рис. 4 и 5 для каждой четверти образца можно привести различные параметры напряженно-деформированного состояния. При плоском деформированном состоянии форма пластической области, пока ее протяженность значительно меньше длины трещины,
имеет вид «восьмерки», симметрично расположенной относительно оси трещины [8-10]. Такая форма пластической зоны в расчетах наблюдалась лишь в самом начале пластического течения. Причем направление распространения пластической зоны практически сразу имеет тенденцию к наклону. На начальных этапах этого процесса угол наклона к оси трещины в обоих случаях составлял около 70°. В дальнейшем, в образце с жесткими гранями этот угол с ростом пластической зоны не меняется. Такая форма границ пластической области соответствует предполагаемому характеру развития пластической зоны при росте внешней нагрузки [11]. В образце со свободными боковыми поверхностями угол ее наклона к оси трещины по мере развития пластического течения постепенно меняется от = 70° до 45° при полномасштабной текучести.
Сравним полученные параметры напряженного состояния с аналитическим решением. Параметры напряженно-деформированного состояния рассчитываются в ячейках расчетной сетки. Будем считать, что они относятся к центрам ячеек. Аналитическое решение [2, 810] для х-у-компонент напряжений вблизи вершины трещины в линейно упругом материале в полярной системе координат (г, 0) с центром в вершине записывается как:
а х,^ = К^Лйг • ^у (0),
(12)
Ду (0) = ^(0 /2) • (1 + sin(0 / 2) • sin(30 / 2)).
Для геометрии тела с жесткими боковыми гранями коэффициент интенсивности напряжений К может быть взят в виде [12]:
К = а^/й • tg(па / Ь) , (13)
где а — полудлина трещины, Ь — ширина образца.
Для упругой стадии поведения образца рассчитанные аналитически и полученные численно величины концентрации напряжений kx = ах/а и ку = ау/ст для точек вблизи оси продолжения трещины (рис. 1, б) имеют достаточно близкие значения (рис. 6). Подставив в решение (12) величины напряжений вблизи вершины, можно получить значение коэффициента интенсивности напряжений К1. Для ближайшей к вершине точки погрешность расчета К1 прямым методом по ау -компоненте напряжений при данном пространственном шаге составит по отношению к аналитическому решению около 10%. (Теоретическое значение нормированного коэффициента интенсивности напряжений равно К7/ал/па = 1.027 ; вычисленное прямым методом по значениям ау в ближайшей к вершине ячейке К1 /а^па = 1.13). Такая погрешность объясняется в значительной степени неточным определением (г, 0) координат точек, к которым относятся вычисленные в ячейках конечно-разностной сетки параметры напря-
1 8 кх численный
_ 1 —«•— ку расчет
. 1 6 — • кх аналитическое
- 1 ку решение -
1 4 // Ъ:
I N.
ь \ 2 -*■— Ч~ « —■— - ' -
ч 'V 0.0 0.2 0.4 0.6 -
■ 1 Г, ММ
. 1
0 1 2 3 4 5
Г, ММ
Рис. 6. Расчетное и аналитическое распределения вдоль оси продолжения трещины коэффициентов концентрации напряжений кх = а х/ ° и к у = а у! а в образце с жесткими боковыми гранями
женно-деформированного состояния. Эти параметры были отнесены к центрам ячеек.
Коэффициент интенсивности напряжений может быть вычислен и энергетическим методом (либо методом податливости) [2, 9, 10]. Его значения связаны с изменением внутренней энергии при малом изменении длины трещины выражением:
Ди 2ц = АЦ 2ц = К2 АЛ 1 -V2 Да • h 1 -V2 1 ’ (14)
где А и — изменение внутренней энергии тела, связанное с изменением длины трещины; в рассмотренном случае плоской деформации Н = 1; V — коэффициент Пуассона. С этой целью дополнительно была решена задача для тела с трещиной длиной а = а0 + Ах . Отличие полученного таким способом значения К1 от точного
(13) составило около 1.2% (К1 / а^рка = 1.039).
4. Падение плоской упругой волны на поверхность стационарной трещины
Исследование динамических процессов начнем с решения задачи о падении плоской упругой волны на поверхность и вершину трещины. Подвергнем тело, содержащее сквозную трещину полудлиной а0 = 0.8 см, симметричному действию импульсной растягивающей нагрузки. Тогда в теле навстречу друг другу начнут распространяться две плоские волны Ж, длина X которых будет определяться отрезком времени приложения нагрузки. Благодаря симметрии, встреча фронтов произойдет в момент достижения ими берегов трещины. В момент встречи, вне области разреза, частицы прекращают свое движение, растягивающий импульс удваивается. Это эквивалентно столкновению волны с жесткой стенкой. В то же время от берегов трещины, которые являются свободными поверхностями, начинается разгрузка. Здесь частицы среды с удвоенной скоростью начинают свое движение от берегов.
После отражения волн от берегов, в области разреза направление движения частиц остается прежним — от берегов. Тогда как вне разреза с каждой из сторон мы наблюдаем фронт волны, пришедшей с противоположной стороны. Соответственно в этих областях движение частиц направлено к продолжению оси трещины. Вершина трещины разделяет эти два процесса движения. Она становится местом искривления фронтов, источником зарождения и излучения упругих волн (рис. 7). В результате в каждой четверти образца объединенный фронт волны состоит из трех частей: двух областей, в которых частицы смещаются в противоположных направлениях, и переходной зоны между ними.
В момент взаимодействия фронтов волн с трещиной возникают вихревые движения частиц среды. Центры вращения частиц появляются вблизи вершины. В направлении от берегов трещины вокруг этих центров происходит некоторый поворот среды (рис. 7, а). Размеры области, охваченной таким вращением, определяются длиной падающего импульса, а точнее временем его взаимодействия с трещиной. После отхода падающей волны от берегов трещины происходит разделение продольной Р и поперечной S волн, которые образовались в окрестности вершины при взаимодействии с ней волны растяжения. Во фронте продольной волны возникает движение частиц вдоль поверхностей трещины, обтекающее фронт поперечной волны, — расширяющийся с течением времени «цилиндр», ось которого проходит через вершину трещины. При этом берегам сообщается незначительное дополнительное раскрытие. Поперечная волна стремится восстановить первоначальную картину. Движение в ее фронте направлено к берегам трещины. По мере приближения к свободным поверхностям берегов трещины фронт поперечной волны разделяется на вихрь, бегущий впереди нее, и поверхностную волну Рэлея R, движущуюся позади, рис. 7. Различие в направлениях движения частиц в конической и поперечной волнах приводит к вихревому движению между ними вблизи поверхностей трещины. Центр вихря, первоначально возникший чуть впереди вершины, перемещается вдоль поверхностей, постепенно отдаляясь от берегов трещины. Таким образом, поперечная волна вместе с волной Рэлея стремятся «захлопнуть» трещину.
Движение берегов можно наглядно представить, если проследить за поведением частицы, лежащей на поверхности трещины, рис. 8. Под действием нагрузки Ж значения скорости смещения частицы лежат в области (их = 0, иу > 0), т.е. происходит раскрытие трещины. Продольная волна Р большей частью вызывает движение вдоль поверхности трещины по направлению к вершине (их > 0). С приходом волны Рэлея R возникает круговое движение частицы, причем скорость смещения полностью лежит в области (иу < 0), т.е. происходит сближение берегов трещины.
Рис. 7. Взаимодействие волн растяжения с берегами и вершиной трещины: Х/а = 0.3 (а); Х/а = 0.55 (б); Х/а = 0.95 (в)
На приведенных картинах дифракции излучаемые вершинами волны еще не достигли противоположных концов трещины. Материал в окрестности трещины еще не «знает» о ее размерах, а соответственно и размерах зоны ее влияния. Для таких интервалов времен длина трещины может считаться бесконечной, а картины дифракции в соответствующие моменты времени должны быть идентичны независимо от длины волны. Вся разница картин заключается в фактическом изменении геометрического и временного масштабов. Например в момент взаимодействия, пока волны не отошли от берегов, мы видим картину на рис. 7, а, позднее, когда волны отошли чуть меньше, чем на свою длину, мы видим картину на рис. 7, б. Рисунок 7, в соответствует стадии взаимодействия, когда волны отошли от берегов немногим более, чем на длину волны. Другими словами, если перейти от t к XIср , (ср — скорость распространения продольных волн) и связать размеры рассматриваемой области с длиной падающей волны X, то рис. 7, а-в может быть рассмотрен как последовательные картины одного процесса.
Амплитуда напряжений вблизи вершины и соответственно коэффициент интенсивности напряжений зависят от длины импульса, точнее от отношения X/а . Изменение нормированных динамических коэффициентов интенсивности напряжений для нескольких X < а с течением времени показано на рис. 9. Основную информацию от вершины к вершине несет распространяющаяся вдоль берегов трещины волна Рэлея.
Рис. 8. Скорость движения частицы, лежащей на поверхности трещины, с течением времени при падении растягивающего импульса (Ж — импульс; Р — продольная волна, идущая от вершины; R — волна Рэлея)
Рис. 10. Изменение ^-компоненты напряжений с течением времени и ростом трещины в последовательных точках на оси продолжения трещины при импульсной нагрузке
Со временем ее пробега связывают интервал роста напряжений в вершине. Например при ударной нагрузке, т.е. внезапно приложенной нагрузке бесконечной длины, динамический коэффициент интенсивности напряжений (рис. 9) возрастает до прихода волны Рэлея из противоположной вершины, что соответствует выводам в [3].
5. Рост трещины при импульсном нагружении
Рассмотрим задачу о распространении трещины при импульсном нагружении, аналогичном рассмотренному выше. Будем считать, что рост трещины происходит при
Рис. 9. Изменение нормированных динамических коэффициентов интенсивности напряжений с течением времени для нескольких X/a < 1 и ударной нагрузки
достижении напряжениями в ее вершине некоторой предельной величины.
Результаты решения данной задачи показывают, что после прохождения волны нагрузки длиной X = 0.95а распространение трещины не прекращается. Она продолжает свой рост еще продолжительный отрезок времени. Энергии, запасенной при раскрытии берегов трещины, оказывается достаточно для продолжения ее роста. Трещина оказывается саморазвивающейся. На рис. 10 показана динамика у-компоненты напряжений для нескольких точек на оси трещины. В верхней части рисунка показано изменение длины трещины. Здесь хорошо видно, что рост трещины, начавшийся еще до достижения максимального значения напряжений в волне, продолжается и после того, как волны нагружения уже прошли. Такое поведение может быть объяснено исключительно инерционным эффектом.
Заметим, что увеличение амплитуды нагрузки приводит к началу ветвления трещины, появлению трещин, перпендикулярных оси исходной трещины, дроблению и выкалыванию фрагментов.
6. Рост трещины при квазистатической нагрузке
Пусть в нагруженном теле имеется стационарная трещина полудлиной а0. В некоторый момент ^ эта трещина скачком подросла на одну счетную ячейку, т.е. на величину Да, равную шагу дискретизации Ах. Вершина трещины, точнее участок приращения трещины, становится источником излучения упругих (сейсмических) волн. Рассмотрим поля упругих волн, инициированных
Рис. 11. Поля скоростей смещений после скачка трещины в последовательные моменты времени
скачком вершины и раскрытием берегов трещины, рис. 11. На некотором расстоянии от источника фронты продольной Р и поперечной S волн ввиду различных скоростей распространения разделяются, рис. 11, а. Становится заметной коническая волна, фронт которой
соединяет продольную и поперечную волны. Чуть отставая от поперечной, вдоль поверхности трещины бежит волна Рэлея R. С другой стороны от вершины — во фронте трещины — можно увидеть лишь продольную и поперечную волны. Амплитуда продольной вол-
Рис. 12. Скорость движения частицы, лежащей на поверхности трещины, с течением времени при ее скачке (Р — продольная волна; R — волна Рэлея)
ны впереди и позади вершины примерно одинакова. Величина смещений в сдвиговой волне позади фронта существенно выше, чем спереди. Именно поперечная и рэлеевская волны, двигаясь вдоль поверхности трещины, сообщают ей дополнительное раскрытие, рис. 11, б.
Для наглядного представления о движении берегов обратимся к рис. 12, где показана скорость смещения частицы, лежащей на поверхности трещины, с течением времени. Пришедшая из ближайшей вершины продольная волна Р вызывает движение вдоль поверхности трещины по направлению от вершины (и < 0) и незначительное смыкание берегов (иу < 0). С приходом волны Рэлея Я возникает круговое движение частицы, причем большая часть движения проходит в области (иу > 0), происходит раскрытие трещины.
Наблюдаемая картина во многом подобна рассмотренному выше случаю падения волны растяжения на поверхности и вершину трещины. Отличие состоит в противоположной направленности движения частиц и наличии действия стационарного поля сил.
В то же самое время на другом конце трещины происходят идентичные процессы. В некоторый момент волны, излученные противоположными вершинами, встретятся и пройдут сквозь друг друга. Идущая от противоположной вершины продольная волна Р слабо меняет картину, она практически не взаимодействует с вершиной. Наиболее сильно вновь проявляет себя волна Рэлея Я, рис. 11, в. После ее прихода, вершина трещины снова становится источником интенсивного излучения, в первую очередь волн сдвига. В вершине возникает вихрь, который движется со скоростью поперечной волны (это и есть поперечная волна, но более низкой частоты, чем первая), рис. 11,2.
Рассмотрим теперь аналогичную задачу, в которой трещина получает прирост на три ячейки в течение некоторого промежутка времени, так что такое увеличение длины будет соответствовать приросту трещины со скоростью приблизительно равной 0.1 см/мкс. В данном случае можно было бы ожидать трехкратного повторения предыдущей ситуации — последовательно распространяются три фронта продольных и три фронта поперечных волн, источник которых смещается со скоростью = 0.3 с (с — скорость распространения поперечных волн). Однако полученная картина отличается от предыдущей тем, что фронты продольных и поперечных волн взаимодействуют между собой. Если для продольных волн картина почти аналогична (по крайней мере на некотором интервале времени), то взаимодействие поперечных волн происходит практически сразу и мы получаем только одну, более длинную, поперечную волну. В остальном дальнейшие картины процесса мало отличаются от картин для единичного скачка.
Сравнивая изменения коэффициента интенсивности напряжений для единичного и тройного скачков (рис. 13), можно увидеть, что приход «информации» от противоположной вершины вызывает колебания напряжений в вершине. Причем амплитуда колебаний растет при увеличении размера скачка (приращения) трещины.
Рассмотрим задачу о росте трещины с использованием критерия разрушения (11). При данной геометрии задачи за ее продвижение «отвечает» у-компонента напряжений. На рисунке 14 видно, что задолго до приближения вершины наблюдаются колебания напряжений, «информирующие» о движении трещины. По мере ее приближения начинается все более интенсивный рост напряжений, принимающих свое пиковое, разрушающее значение в ближайшей к вершине распространяющейся трещины ячейке. По мере прихода волн от противоположной вершины наблюдается плавное увеличение скорости роста трещины. Скорость роста трещины составляла приблизительно 0.12-0.17 см/мкс.
приход волны Рэлея от противоположной вершины
0.8
0.7
24 26 28 30
I, МКС
Рис. 13. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений при единичном и тройном скачках трещины с течением времени
----,---д---,— —,---^,—I—,----------------
52 53 ' 54 55 56 57
I, МКС
Рис. 14. Изменение у-компоненты напряжений с течением времени и ростом трещины в последовательных точках на оси продолжения трещины при квазистатической нагрузке
В этом случае картины скоростей смещений на начальных этапах роста трещины близки к рассмотренным. Анализ последующей волновой картины становится чрезвычайно сложным. Хорошо заметно лишь, что смещение частиц среды впереди вершины вблизи оси трещины направлено к ее вершине, тогда как позади вершины смещения частиц направлены от берегов трещины (рис. 15). Отметим, что впереди движущейся вершины трещины, чуть в сторону от ее оси, движение частиц имеет вихревой характер. Это завихрение возникает по причине, аналогичной рассмотренной выше в случае падения плоской волны растяжения на неподвижную трещину. От вершины впереди трещины тянется поверхность, разделяющая движение частиц в противоположных направлениях — от вершины и к вершине. В этих областях и возникает вихревое движение. При дальнейшем росте трещины впереди фронта волновая картина становится менее отчетливой.
Рис. 15. Поле скоростей смещений при росте трещины
7. Заключение
Таким образом, при росте внешней нагрузки развитие пластического течения в окрестности нераспро-страняющейся трещины в упруго-идеальнопластическом теле приводит к затуплению вершины и снижению величины действующих вблизи нее напряжений. В зависимости от расстояния между вершиной трещины и свободной боковой границей изменяются скорость развития пластического течения и соответственно величина действующих в вершине напряжений.
При воздействии растягивающего импульса на образец со стационарной трещиной, волны Рэлея, двигаясь от вершин трещины вдоль ее поверхностей, стремятся ее «захлопнуть». При распространении трещины наблюдается обратная картина. Раскрытие берегов осуществляется волнами Рэлея. С приходом этой волны от противоположного конца трещины, вершина трещины вновь становится источником интенсивного излучения, в первую очередь волн сдвига. При этом приход «информации» от противоположной вершины вызывает в вершине колебания напряжений. Можно предположить, что при распространении трещины вблизи ее вершины в наблюдаемую интерференционную волновую картину значительный вклад будут вносить и волны Рэлея, пришедшие от противоположной вершины, и порожденные ими поперечные волны.
Результаты решения задач показывают, что в случае страгивания трещины импульсной нагрузкой возможно продолжение роста трещины и после прохождения нагружающего импульса. В этом случае, под влиянием инерционных эффектов трещина оказывается самораз-вивающейся.
Разработанная программа с удовлетворительной точностью описывает напряженно-деформированное состояние вблизи трещин и позволяет численно моделировать процессы упругопластической деформации и разрушения неоднородных тел.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. /Под ред. В.Е. Панина. — Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
2. Вычислительные методы в механике разрушения: Пер. с англ. / Под. ред. С. Атлури. - М.: Мир, 1990. - 392 с.
3. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. -
М.: Машиностроение, 1988. - 240 с.
4. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений// Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
5. Гриднева В.А., Немирович-Данченко М.М. Метод раздвоения точек
сетки для численного расчета разрушения твердых тел. - Томск: ТГУ, 1983. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.83, № 3258.
6. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-
разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. -1995. - Т. 36, № 11. -С. 96-105.
7. МайченДж., Сак С. Метод расчета «Тензор»// Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 185-211.
8. Разрушение, Т. 2. Математические основы теории разрушения: Пер. с англ. / Под ред. Г. Либовиц. - М.: Мир, 1975. - 768 с. Т. 3. Инженерные основы и воздействие внешней среды: 800 с.
9. Хеллан К. Введение в механику разрушения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 364 с.
10. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. - М.: Наука, 1974. - 416 с.
11. Райс Дж. Математические методы в механике разрушения// Разрушение, т. 2. Математические основы теории разрушения: Пер. с англ. / Под ред. Г. Либовиц. - М.: Мир, 1975. - С. 204-335.
12. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. Пер. с англ. / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - 1016 с.
