Принцип предельной амплитуды для волновода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958; 621.372.8

ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ ДЛЯ ВОЛНОВОДА

А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых, А. А. Панин

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Для трехмерного регулярного волновода обоснован принцип предельной амплитуды при частотах, не равных частоте отсечжи. Для тажих частот и при совпадении с частотой отсечжи (жогда есть резонанс) найдена асимптотижа решения задачи о возбуждении жолебаний тожом fe^lwt при больших t.

1. Введение и постановка задачи

Рассмотрим в регулярном волноводе П = {(х,у) | х € Ж, у € 5} постоянного (одно- или двумерного, тогда у = (у^Ку^)) сечения 5 начально-краевую задачу

utt — А и = fe

-iwt

(x,y)eü, t> 0;

"|г=о = "г|г=о = = 0.

(1)

Это скалярная модель задачи о возбуждении в волноводе П колебаний током частоты ш > 0. Будем считать, что / — бесконечно гладкая функция, носитель которой эирр/ — компакт в П. Тогда для любых натуральных к я Ь существует

CkL

suPxIs I(г

д2

д2

akf I?

д(уЩ'2 ' ЖуЩ2} а? у у ' что использовано далее. Назовем принципом предельной амплитуды (ППА) утверждение о том, что решение задачи (1) представимо в виде

u(x,y,t) = v(x,y)e ш1 + о( 1) при í —too, где функция v удовлетворяет условиям

До + ш2о = —/, (х,у)ей; о|ап = 0,

(2)

(3)

а также, если изф ап ни для какого из п, и парциальным условиям излучения (см., напр., [1, с. 188, формулы (2.2) и (2.3)]).

Резонансным множеством волновода назовем множество тех частот ш, для которых сформулированный принцип не выполняется.

Вопросами установления стационарного режима в волноводе занимался Р. В. Хохлов. В его работе [2] дано точное решение задачи (относительно потенциалов скоростей) о возбуждении акустического волновода пластиной и на основе этого решения приводится подробное обсуждение физической стороны процесса, в частности появления пика, затем вестника и затем уже стационарного сигнала.

ППА был введен в работе [3] как способ выделения единственного решения уравнения Av + k2v = —F(M) в неограниченной области. Затем была обоснована возможность выбрать единствен-

ное решение с помощью ППА в задачах дифракции на конечном теле [4-6]. В работе [7] было показано, что и для слоя между двумя параллельными плоскостями ППА позволяет выделить единственное решение задачи Дирихле для этого уравнения. При этом для некоторых частот может и не существовать ни одного решения, удовлетворяющего ППА [8]. Эти частоты (частоты отсечки) суть квадратные корни из собственных значений а\ спектральной задачи для оператора Лапласа на сечении 5. Применительно к задаче (1) для слоя в работе [9] было показано, что ППА в смысле (2)-(3) верен для всех частот, отличных от частот отсечки. Предмет настоящей работы — перенесение этого результата на волновод в Ж3 (у = {у^\у^)). Для прямоугольного сечения это было сделано в [10]. Теперь же мы предполагаем, что граница дБ задается в локальных координатах функцией из р > 0, тогда для

собственных функций задачи

А'фп(у) + (4'фп(у) = 0, i>n\ds = 0,

у es,

(4)

нормированных на единицу по норме L2(S), верно неравенство [11]

Qmi+m-i

д(уЩт^д(уЩт2

Фп(у)

^С(Н)«'+н, (5)

C(S)

\т\

т\ + т2 = 0,1,2,

что используется ниже. (Всюду в формулах — равномерные нормы.) Те же оценки (значит, и результат настоящей работы) годятся и для прямоугольника. Здесь и далее а\ упорядочены по возрастанию с учетом кратности. Отметим, что ряд Фурье функции из , равной нулю на границе 5, сходится к ней в данных условиях абсолютно и равномерно.

2. Построение решения

Если существует решение и(х,у,1) ограниченной степени роста задачи (1), то его преобразование Ла-

пласа й(х, у,р) = и(х, у, 1)е р1 с11 удовлетворяет задаче

г

р2й — Ай =-, (х,и)еП; й\яо=0. (6)

р + ш 1

Вне зависимости от существования решения (1) решение (6) с помощью разделения переменных можно представить как

с»

й = ^2/Уп{х,р)'фп{у), (7)

п= 1

где (введем обозначение /„(х) = ¡5}(х,у)'фп(у) йу) 1

vn(x,p) =

р + ш

fn(x>)—^==^dx> (8)

2 Vi2

OLn

и либо \Jр2 + a2 > 0, либо Irn \Jp2 + а2 < 0 (с тем чтобы в конечном итоге получить при ш ф ап ни для каких п функцию v, удовлетворяющую парциальным условиям излучения, т.е. представляющую собой сумму комплексных амплитуд волн, уходящих на бесконечность, и нераспространяющегося поля). Здесь [—а;а] х S э suppf(x,y). Очевидно, vn аналитична по р в Вп = {р | Rep ^ 0, р ф —ico, рф±кх„}.

В силу (4) ф„

поэтому, приме-

нив L раз формулу Грина для S, получаем

dkín

IxF

dkín

~IxF

^ Cki/a2nL, откуда, дифферен-

sup

sG [ — а',а

цируя k раз по частям в (8), имеем

dk dxk

vn(x,p)

sí

a ■ Ci

aîL\ P + M

\/|P2 + o¿l

(9)

Согласно [12, с. 205], а2п растут как п, откуда X^i < 00 ПРИ е>0, тогда в силу (9) и (5) ряд (7) для ü и любой ряд, получаемый из него почленным дифференцированием порядка не более 2 по х,у, равномерно сходится в fix К, где К —

ОО

замкнутое подмножество В = f] Вп = {р | Re р ^ 0,

п= 1

р ф —ш, р ф ±ian, п € N}. Поэтому ряд (7) дает функцию й(х,у,р) для любого р€ В, удо-

влетворяющую задаче (6).

Так как |р2 + а2п| > с\р\ при Rep > с, из (5), (9) имеем (\т\ ^ 2)

Qk+n

dxkdy'

-й(х,у,р)

^ a С{\т\

С.

k,N+

I mi +2

yß

а

2 N

|р + Ш I • |p

1/2 '

(x,y)ett, Rep^oO. (10)

Здесь < °°> а дифференцирование по у

проводится по любой его координате. Отсюда следует, что интеграл Меллина и(х,у,1) =

= Jc-г'оо ü(x,y,p)epi dp (с > 0 — любое, пределы сioo далее опускаем) и все интегралы, полученные из него дифференцированием по х,у один или два раза, сходятся равномерно, поэтому иеС^Цй) при t ^ 0. По построению ряда (7) верно u\qq = 0. В силу оценки (10) й(х,у,р) = 0(|р|^3//2) при |р| —> оо (Rep^c), откуда, меняя контур интегрирования с помощью теоремы Коши об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, имеем и(х,у, 0)=0. Из (6) и (10) следует

й = O(^W) при

равномерно для (х,у) € П и Rep^c. Тогда u(x,y,t) € С![0;+оо) по t, и щ можно вычислять дифференцированием под интегралом, причем щ(х,у,0) = 0. Заметим, интегрируя по ча-

стям, что интеграл J dp = 2тт1е

-iwt

Р+1Ш

СХОДИТСЯ

равномерно на любом конечном отрезке [¿ь^Ь > 0. Отсюда и из последней оценки следует: интеграл j р2й(х,у,р)ер1 dp сходится равномерно в О х {t\,t2]■ Поэтому и(х,у,0 €С^(0;+оо) по I и для любых (х,у) € О и ¿>0 верно ^¡и{х,у,Г) = ^¡¡р2йеРЫр = ^¡¡АйеРЫр +

+ = Аи(х,у,1) + (использованы (6)

и равномерная сходимость соответствующих интегралов). Итак, и — классическое решение (1).

3. Асимптотическое поведение, нерезонансный случай

Как и в двумерном случае [9], построение асимптотики функции

и(х,у, t) =

J_

Ш

1

р + ш

-g(x,y,p)ept dp, (11)

где

/„(*')-„-- dx>,

2V?

Gin

(12)

при ш ф ап ни для одного из п опирается на следующую лемму.

Лемма (A.G. Ramm, P. Werner [9]). Пусть ш — действительное число, h — функция р € С и верно: 1) h голоморфна при Re р > 0 и непрерывна в {р | Rep ^ 0}\Z), D — дискретное подмножество мнимой оси и — ш £ D;

2) \h(p)—h(—iui)\ = 0(\р+ш\°), а > 0, при р —ш;

3) \h(p)\ = 0(|р - q\^l+l3), ß > 0, при р qeD (Rep^Ö); 4) существуют такие с>0 и последовательность {dk} (dk> 0, dkоо, ± idk^D),

rc±idk ]%)} Ип 0 k

что ¡¿р —0, ¡г —> оо; 5) несобственный

интеграл | dp сходится для любого t > 0;

6) несобственные интегралы dp

и ШьеР1 аР годятся равномерно в [*0;оо)

¿0 >0 и для любого 6 > 0. Тогда }г(р)ерЫр = + о(1) при

р+ш

для любого

{ —У ОО.

Функция д удовлетворяет условиям леммы как функция р, причем условия 1-3 и 5 легко вывести из предыдущего аналогично сделанному в [9], а 4 и 6 будут доказаны здесь далее, поскольку доказательство этих свойств существенно отличается от случая, рассмотренного в [9]. Тогда можно будет утверждать, что для и при шфап верно (2), где V = ё\р=-ш удовлетворяет условиям (3), т.е. выполнен ППА по нашему определению. Также легко убедиться, что в этом случае в силу установленного нами правила выбора ветвей многозначных функций для V = будут выполнены парциальные условия излучения. Все оценки были заведомо равномерны по (х,у) в любом ограниченном подмножестве П, поэтому в любом таком подмножестве (2) выполняется равномерно.

Условия 4 и 6

Из (12), оценки

йНп Их1*

^ С^/а21 и правила

выбора ветвей многозначных функций следует равномерная по (х,у) оценка

у,р)\^ СодС(О) • 2а

1

1

2А?-

ап

СХгх

наи-с

а

(13)

Поскольку ап растет как п, для некоторой константы С > 0 при каждом щ дется «>«о. Для которого ап+\ — ап > е>0, поэтому можно построить последовательность {аП1г}, для которой ащ+\ — ащ > Пусть

апк

1 «п/, + 1 +01п, „ I I

и-к = —^— • С учетом того что тт 4 — ап\ =

z п

= 14 - ачI = \ащ+\ - ач|/2, при в € [0; 1] имеем ^\{вс±1йк)2 + а2\ > \]Сач/{2о^£) = -пГе- Тогда

1+е

из (13) получим \д(х,у,р)\ ^ С"а,щ , откуда очевиден требуемый предельный переход (С',С" — константы, не зависящие от к,пк,п).

Для доказательства условия 6 следует заметить, что

\ё(х,у,р) I

IР + 1Щ

п

х а„-2а- 1 • ||/„||с

■а% | \Р + Щ

(14)

где С(0) определяется из (5). Поэтому сходимость интегралов из условия 6 можно доказать, если сначала показать, что интегралы /„

||/я|| 1

от функции Ьп(р) :=

по отрезку

мнимой оси Ж\(—ш — 16; —ш + 16) удовлетворяют неравенству

¡П < С-Ш для любого Я и, зна-

чит. ¡п < оо, а затем отсюда вывести, что

XЖ\(—ги>—ги>+г'(5) ^п ¿\р\ < ОО.

Обратимся к вычислению интеграла ¡Ьпс1\р\ = = §-щ^с1\р\. В силу справедливости неравенства

^ С^/а21 достаточно показать, что он растет не быстрее некоторой степени ап. Имеем

1

1

Ж\(—1Ш—И)

л/Р2 + а1

— й\р\ =

\р + Щ 1 1

щ + щ

\/<Г - а

(—с»;—со—¿)и(—и>+<5;+оо)

= {I = Ц + Ш, Ц = I — ш} = 1

2 — гЛ

п

йц =

<Н.

Для вычисления интеграла надо воспользоваться табличной формулой для | > гДе X =

= ах

Ьх + с. Достаточно рассмотреть четыре отрезка (6;ап + со), (—ап + со;—6), (а„ + ш;+оо) и (—оо; — ап +ш) и учесть на каждом знаки I и подкоренного выражения. (Сразу отбросили конечное число ап, меньших ш.) Если провести интегрирование, становится ясно, что все четыре слагаемых убывают с ростом а„. Используя теперь неравенства 1п < и 4 < оо, покажем, что

Л7осХ^1 Ьп{р)(1\р\ < оо. (Здесь и везде в этом пункте интегрирование ведется, как и прежде, вне главной особенности, связанной с ш; позволим себе не указывать это в пределах интегрирования.) Для этого заметим, что на каждом конечном промежутке р € [-1А; 1В]\(—ш — 16; —ш + 16) РЯД Ьп(р) сходится равномерно. Тогда с уче-

том почленного интегрирования суммы первых п\ — 1 членов | | | | с1\р\ =

Еоо р 1В

П=1 \\/р2+а1\ \р+1ш\

Это означает не что иное, как равномерную ограниченность при

А,В —)■ оо, т.е. (в силу монотонности, ведь подынтегральные функции положительны) сходимость требуемого несобственного интеграла первого рода.

Поскольку \ер1\ = 1 на мнимой оси и все экспоненты в д тоже по модулю не превосходят единицы, получаем согласно признаку Вейерштрасса требуемую равномерную сходимость.

4. Построение асимптотики в случае резонанса

Пусть ш = а.щ = ... = ащ , т. е. ш совпадает с корнем из собственного значения, кратность которого

II/«

в общем случае любая (но в силу общих свойств задачи (4) конечная). Напомним, что собственные значения занумерованы с учетом кратности. Заметим, что \/р2 + ш2 = л/р + шу/р — iuj (Rep > 0) и что из формулы Маклорена ех = 1 + х + 0(х2) следует,

VP

что

• IU3Z

у/р—ш у/р—ш V—2гш

+ 0(\р + ш|) при р —)■ — ш равномерно в любом ограниченном подмножестве точек г, поэтому для всех / = 0,...,/

а

1

vn(x,p) = - .

' (р + lU))ó/¿

fn,(x') „ --^dx' =

2 VP'

ш

1

fn¡(x>)dx>

(р + iuif/2

1 1

р + ico 2

о

р + ш \

(15)

dx'

равномерно для любого ограниченного подмножества оси х.

Преобразование Меллина первого слагаемого можно найти явно, поскольку ^ | dp =

= Далее, ¡^(х') dx' = ¡^(х',у') х

х ^(у') dx' dy' и ^ = = ^ в силу со-

глашения о выборе ветвей многозначных функций.

Обозначим последнее слагаемое в (15), взятое без множителя как /гДх,р). Эти функции

удовлетворяют условиям леммы, что легко получить из их вида

Ых, р) = (р + ш) ( уп (х, р) -

1

Ux')dx>

(р + iuif/2

/ = 0,...,/, (16)

и оценки | hj(x,p) — hAx,—iw)\ = 0(\р

ш

1/2)

(см. (15)). При этом все оценки равномерны по х в любом ограниченном множестве на оси. Тогда, строя по лемме асимптотику для этой части уП](х,р), имеем при I —> ос для преобразования Меллина с с > 0

1

Ш

ept dp =

1

4 yfü)

f-фп dx' dy

.,2 í>/V

■iwt

7Г

-iwt

ü

a

fn¡(x')\x-x'\dx' + o(l), (17)

где первое слагаемое есть явно полученый выше резонанс с нужным коэффициентом (см. формулу (15) и формулу в тексте после нее).

Записав функцию и как u(x,y,t) =

= ш! [Е/=о *>п, (х, рЩ (У) + jk^S'ix, у, /?)] ept dp, видим, что функция g', отличающаяся от (12) отсутствием слагаемых, где ап=ш, удовлетворяет лемме в силу тех же причин, что и g(x,y,p) в нерезонансном случае (п. 3). Тогда в силу леммы и соотношений (17) после сложения имеем при t —У ос

и(х,у, t)

1 +i

2урпфо

,1/2 e-^^njiy)

/=о

f(x',y')i>n¡(y') dx' dy' + we^lwt + o(l), (18)

где

w(x,y)

i

{y]

/=o

Легко видеть, что

fn (x')\x — x'\ dx' +g'(x,y, —ico).

(A + (/)

^njiy)

fn¡(x')\x — x'\ dx'

= ~$nj(y)fnj(x),

откуда (Д + lo2)w = -££1, Ш)Ыу) = -/, т.е. w удовлетворяет (3) (До + ui2v = — /). Граничные условия тоже выполнены — это очевидно из способа построения w.

Заключение

В итоге доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f в задаче (1) бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель в П. Тогда при любой частоте ш > 0 существует решение и этой задачи, имеющее ограниченную (даже нулевую) степень роста. При этом принцип предельной амплитуды для и верен в двух случаях: 1) шф ап для любого п; 2) ш = аПо = ... = ащ,

Т!1=оФп-,{у) jaf(x',y')if)nj(y')dx' dy' = 0. Если же Jnf(x',y')i>nj(y')dx' dy' ф 0, то верно асимптотическое соотношение (18), причем w(x,y) удовлетворяет условиям (3), однако, аналогично показанному в [9] для полосы, не обязательно удовлетворяет парциальным условиям излучения.

Для выполнения принципа предельной амплитуды не требуется равномерного предельного перехода, но поскольку все оценки равномерны по (х,у) в любом ограниченном подмножестве П, можно утверждать, что то же верно для (2) в случае, когда

принцип предельной амплитуды действует и для (18) в резонансном случае.

Итак, для волновода в трехмерном пространстве с сечением указанного в п. 1 вида полностью обоснован ППА при частотах, отличных от частот отсечки. Отсюда следует, что решение исходной задачи выходит на режим установившихся колебаний с постоянной амплитудой, причем равномерно в любой ограниченной подобласти волновода. Принцип нарушается при частотах отсечки. Тогда имеет место явление резонанса. Резонансный член выписан в (18) явно.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 03-01-00166).

Литература

1. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.

2. Хохлов Р.В. II Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1948. № 8. С. 49.

3. Тихонов А.И., Самарский A.A. // ЖЭТФ. 1948. 18, № 2. С. 243.

4. Лаке П. Теория рассеяния. М., 1979.

5. Morawetz C.S. // СРАМ. 1962. 15. Р. 349.

6. Morawetz C.S. // СРАМ. 1965. 18. Р. 183.

7. Свешников А.Г. // ДАН СССР. 1950. 73, № 5. С. 917.

8. Werner Р. // Math. Meth. Appl. Sei. 1984. 6. Р. 104.

9. Ramm A.G., Werner Р. 11 J. Reine. Angew. Math. 1985. 360. P. 19.

10. Боголюбов A.H., Малых М.Д., Панин A.A. // ЖВМ и МФ. 2005. 45, № 12. С. 2219.

11. Ильин В.А., Шишмарев И.А. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1960. 24, № 6. С. 883.

12. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. М., 1961.

Поступила в редакцию 07.11.05