Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

А. Г. Фролов

МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ1

Аннотация. Для численного решения задач о поверхностных и вытекающих собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического волновода в полупространстве предлагается метод коллокации. Он обосновывается теоретически и практически.

Ключевые слова: диэлектрический волновод, задача на собственные значения, интегральные уравнения, метод колллокации.

Abstract. The author suggests a collocation method to solve problems on surface eigenwaves and leaky eigenwaves of weakly guiding dielectric waveguide in the half-space. This method is investigated theoretically and practically.

Key words: dielectric waveguide, eigenvalue problem, integral equations, collocation method.

Ряд спектральных задач теории диэлектрических волноводов сводится к линейным и нелинейным задачам поиска характеристических чисел двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений [1-3]. Одним из эффективных численных методов решения подобных задач является метод коллокации [4, 5]. В настоящей статье предлагается реализация метода коллокации для поиска поверхностных (линейная задача) и вытекающих (нелинейная задача) собственных волн слабонаправляющего волновода в полупространстве. Для обеих задач доказываются теоремы сходимости и приводятся результаты численных экспериментов.

Опишем метод коллокации приближенного решения линейной спектральной задачи о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве [3]:

Введение

1. Метод коллокации для задачи о поверхностных собственных волнах

u = ХТ (с)и.

(1)

Здесь

(Т (с) )u( х) = J К (с; X, y)u(y)dy, хє О. ;

(2)

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-97009.

К (с; х, у) = 2- (■Ко (с | х - у |) - К0 (с | х - y * |))(х))(у),

где П - область поперечного сечения волновода - ограниченная область в верхней полуплоскости R+ = {-=о < хі < ^, х2 > 0}, целиком лежащая в полукруге радиуса R с центром в начале координат; Ко - функция Макдональ-

2 2

* 2 п (х)_П

да (см., напр., [6]), y = (y1,-y2), p (х) = —2---------2^ > 0; n - непрерывный

n+ - Пте

в П показатель преломления волновода; пте > 0 - постоянный показатель

преломления окружающей среды, n+= maxп(х), с = лШ2 -ю2£оМ-оп£ > 0 -

хєП

мнимая часть поперечного волнового числа; в > 0 - постоянная распростране-

2 2 2

ния; ю> 0 - частота электромагнитных колебаний; X = w £оМ-0 (п+ _ пте) > 0 , е0 (М-о) - электрическая (магнитная) постоянная. При каждом фиксированном значении с> 0 необходимо найти все характеристические числа X и отвечающие им собственные функции и оператора Т(с).

При построении и теоретическом обосновании сходимости метода кол-локации будем опираться на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения линейных спектральных задач для многомерных слабосингулярных интегральных уравнений [4]. Ядро К слабо полярно, поэтому, если ЭП - липшицева кривая и решение задачи (1) существует в (П), то собственные функции и принадлежат [7] пространству

вещественных непрерывных функций C (П) с нормой

|| и ||C (П) = sup| и (х)|. (3)

хєП

Будем рассматривать оператор Т как оператор, действующий в пространстве C(П). Проведем регулярную триангуляцию области П, следуя, напр., [8]. Будем использовать такие треугольники Пjh с прямолинейными

границами, что Пг^ П П ,■ h = 0 , если i ^ j. Пусть max diam^ jh) ^ h , где

Kj^Nh

Nh

Nh - число треугольников. Обозначим символом П = ^ П j h £ П дискрет-

j=1

ный аналог области П, а через Sh = jh}^=1 - сетку на области П, такую что ^jh - центр тяжести Пjh, j = 1,..., Nh . Ясно, что dist(х,Sh) ^ 0,

h ^0, хєП, где dist(х,Sh) = min | х-^jh |.

^ j ,hєSh

Обозначим E = C (П) и введем пространство функций Eh = C (S h), заданных на сетке Sh , с нормой || Uh |E = max | Uh (^ j h) |, Uh є Eh . Опреде-

h 1jNh

лим оператор Ph : E ^ Eh сужения функции и є E на сетку Sh : PhU є Eh -сеточная функция со значениями (p^)(^ j h) = и(^ j h), j = 1, ., Nh .

Семейство (ии )^е(о и) элементов ии є Еи называется дискретно сходящимся [4] к элементу и є Е, если || ии — р^и |Еи ^ О, И ^ 0. Будем обозначать дискретную сходимость так: ии------->и . В рассматриваемом нами случае дискретная сходимость ии--------------->и означает, что тах | ии(£,,■ и) — и(£,¡и)1^О,

1]Щ,

и ^ 0.

Очевидно, || ри ЦцЕ,Еи ) = 1, и оператор рк є Ь(Е, Ек) (через Ь(Е,Ек)

обозначено пространство линейных ограниченных операторов ри : Е ^ Еи) удовлетворяет условию: || рии ||еи ^|| и ||е , и ^ 0 для любого и є Е.

Приближенное решение интегрального уравнения (1) будем разыскивать в виде кусочно-постоянной функции

Щи

и(и)(х) = £ ии (] )Ьи є Ьте (П), (4)

І=1

где ф у и (х) = 1 при х єП і и , ф ]■ и (х) = 0 при х ¿П і и .

В интегральном уравнении (1) аппроксимируем область интегрирования П областью Пи, заменим и на и(и) и запишем полученное равенство в точках ^г- и . Получим конечномерную линейную спектральную задачу:

иі,и = и

]=1 П ] ,и

где и],и = ии(^ ] и).

Введем дискретный аналог оператора Т - оператор Ти, действующий в Еи :

Щ

(Тиии )(^,и) = £ и

]=1 П],и

Семейство (Ти )иє(о и) операторов Ти єЬ(Еи, Еи) называется дискретно сходящимся [4] к оператору Т є Ь(Е, Е), если из ии------------->и следует,

что Тиии---->Ти . Дискретную сходимость семейства операторов будем обозначать через Ти---->Т . Будем говорить, что семейство (Ти )/гє(0А) операто-

ров Ти єЬ(Еи,Еи) сходится к оператору Т є Ь(Е,Е) дискретно компактно, если Ти----->Т , и, кроме того, из || ии ||еи < сош!;, и є (0, к), следует, что се-

мейство (Тиии )иє(0А) дискретно компактно. Отметим, что согласно [4] семейство (ии)кє(оh) элементов ии є Еи называется дискретно компактным,

у и { К (^',и, У^У. (6)

І и I К (^-,и, У) ¿У, 1 =1 — Щи , (5)

если любая последовательность ии , для которой ип — 0, содержит дискретно сходящуюся подпоследовательность.

Обозначим через эр(Т) = {X > 0: 3 0 Ф и є Е, и = XTu} спектр оператора Т , а через $р(Ти) - спектр оператора Ти .

Теорема 1. Для любого 0 Ф^ є sp(T) существует такое семейство Xи є $р(Ти), что Xи —— ^0 при и — 0. С другой стороны, если эрТ) Э Xи — Х0 при и — 0, то Х0 є эр(Т). Если п є С (П), а характери-

2

стическое число Х0 є эр(Т) простое, то имеет место оценка | Xи — X0 К си .

Доказательство. Оператор Ти є Ь(Еи, Еи) - конечномерный. Оператор Т є Ь(Е,Е) - вполне непрерывный (в силу леммы 2.2 [4]). Следовательно, по теореме 4.2 [4] достаточно показать, что семейство (Ти )иє(0А) операторов Ти є Ь(Еи, Еи) сходится к оператору Т є Ь(Е, Е) дискретно компактно и для и0 = XоTЫо получить оценку

Доказательство дискретной компактной сходимости проводится аналогично доказательству леммы 5.2 [4]. Для доказательства оценки (7) необхо-

Далее доказательство проводится аналогично доказательству леммы 5.3 [4]. Теорема доказана.

2. Метод коллокации для задачи о вытекающих собственных волнах

Задача о вытекающих собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве формулируется в виде нелинейной спектральной задачи для фредгольмовой голоморфной оператор-функции [3]:

У Тириио— риТио \\еи Кси2, и — °.

(7)

2

димо прежде всего заметить, что если п е С (П), то любая собственная

2 0 ~

функция задачи (1) принадлежит [4] пространству С ’ (П) с нормой

II и ||С2,0(П) = Эйр | ы(х) | + Эйр | Уы(х) | + С (П)

хєП

хєП

где р(х) = іпГ | х — У |.

уєГ

(8)

А(ю, в) = I — X(ю)T(ю, в);

((ю,в))и(х) = | К(ю,в;х,у)и(у)ёу, хє П;

П

К (ю, в; х, у) = 4 (я01) (х(ю, в) | х — у |) — я01) (х(ю, в) | х — у * |)) р( х) р( у),

где %((0,e) = \W2n££0М-0 -в2 ; Н^) - функции Ханкеля первого рода нулевого порядка (см., напр., [6]), остальные обозначения введены в первом пункте. Для каждой фиксированной частоты ю>0 необходимо найти все постоянные распространения в, принадлежащие «нефизическому» листу Ло2) ри-мановой поверхности Л функции ln %(в), определяемому условиями:

Л02) = (веЛ: -П2 < argх(в) < 3я/2, Im(х(в))< 0}.

При построении метода коллокации операторное уравнение (8) удобно трактовать как уравнение в банаховом пространстве комплекснозначных непрерывных функций E = C (П) с нормой (3). Исследование сходимости метода проведем, опираясь на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач для фред-гольмовых голоморфных оператор-функций [9].

Триангуляцию области П проведем так, как описано в разд. 1, но для согласования наших обозначений с принятыми в [9] j -й треугольник обозначим П j, число треугольников - n, дискретный аналог области П - симво-n

лом Пп = ^ П j с П, сетку из точек коллокации на области П - через j=1

Еп = (^ j }П=1, а функцию фj h - символом фj . Пространство Сп наделим нормой:

II un lien = max I un, j I, un е C ,

C 1jn

где un j есть j -я компонента вектора un . Оператор, определяющий сужение

функции и е E на сетку En , обозначим pn е L(E, Cn) .

Пусть N - множество всех натуральных чисел. Через N', N' и т.д. обозначим бесконечные подмножества множества натуральных чисел N. Под сходимостью Zn ^ Z, n е N', будем понимать сходимость при n , когда индекс n пробегает множество N'. Согласно [9] последовательность (un }neN' векторов un е Cn называется дискретно сходящейся к пределу и е E, если ||un - pnu^Cn ^ 0, n е N'. Будем обозначать это так: un ^ и, n е N'. Поясним, что дискретная сходимость un ^ u, n е N', означает при используемой в пространстве Cn норме, что max | un j - u (£, j) |^ 0, n е N'.

1<j<n J

Разыскивая приближенное решение интегрального уравнения (8) в виде кусочно-постоянной функции

n

u(n)(x) = £un jфj(x)е Lra(П), (10)

j=1

аппроксимируя область интегрирования Q областью Qn и записывая полученное равенство в точках коллокации, получаем конечномерную спектральную задачу:

П

uni = ^£unj j KZ>i,У)dУ, i = 1,•••, П • (11)

j=1

Введем в рассмотрение дискретные аналоги операторов T и A - операторы, действующие в C :

П

(Tnun )(^-)=£un,j j K(вSi,у)dУ, i = 1,•••, n; j= Q;

An (в) = I-\Tn (в), An (в): Cn — Cn,

где I - единичный оператор в Cn •

Будем говорить, что последовательность операторов {An }n£jv' собственно сходится к оператору A: E — E, определенному равенством (8), если выполнены условия:

un —— u, п є N Anun —— Au, п є N , (12)

||un|| < const, {Anun }nEN' P - компактна ^ {un }n(=N'P - компактна^ (13)

Отметим, что согласно [9] последовательность {un }neN' называется дискретно компактной, или P -компактной, если для каждого N' с N' существует такое подмножество чисел N" с N', что последовательность {un }neN"' сходится к некоторому пределу u є E •

Обозначим символом o(A) характеристическое множество оператора A(e), символом с(An) - характеристическое множество оператора An (в) • Приближенные значения вП постоянных распространения в будем искать как характеристические значения оператора An (в)- Относительно сходимости описанного метода справедлива следующая теорема^

Теорема 2^ Если во є о(A), то существует такая последовательность

чисел {вп}neN , вп єо(An), что вп —во, пє N • Если {вп}neN - некоторая последовательность точек из Л такая, что вП є о( An), вП — во єЛ , n є N, то во єо(A) • Пусть {вП }ПЄN - некоторая последовательность точек из Л ; {vn }n<EN - последовательность нормированных векторов; ||un||cn = 1 такие, что вП є о( An); кроме того, An (вП )un = 0, вП — во єЛ , а un — uo, n є N • Тогда во є о(A) и A(вo)uo = о, |u||e = 1 •

Доказательство теоремы заключается в проверке условий 1-6 теорем 1 и 2 [9] в рассматриваемом случае •

L Оператор pn : E — СП очевидно линеен и обладает свойством

||pnu||cn —— ||u|E, п є N, Vu є E •

2. Оператор-функции А(в) и Ап (в) голоморфны на Л . Это можно доказать, рассуждая аналогично [10, с. 459].

3. При любом РеЛ операторы А(в) и Ап (в) фредгольмовы. Это непосредственно вытекает из полной непрерывности оператора Т(в): Е ^ Е (см. лемму 2.2 [4]) и конечномерности оператора Тп (в).

4. Для любого веЛ последовательность операторов {Ап(в)}пе^ собственно сходится к оператору А(в). Покажем сначала, что выполняется условие (12). Очевидно, что

||Апип - РпАи\\Сп ^11 Апип - АпРпи\Сп + |\АпРпи - РпАи\Сп . (14)

Для вектора рпи е Сп определим кусочно-постоянную функцию и(п)

по формуле (10). Ясно, что тогда Апрпи = рпАи(п), где А: Ь(П) ^ Е, следовательно,

и(п) - и

\\AnPnu - PnAu\\Cn <||Р

ПIIE —СПГ \\Ь„—Е

(15)

Объединяя неравенства (14) и (15), получаем оценку

||Anun — pnAu\cn “|||lcn )Cn llUn — PnU\cn +

+1 рЛе—Cn llAll

Ясно что ||рПЕ—C

E—Cn\\ WL^—E = 1, и

u(n) - u

u(n) - u

L*

— о, n є N •

Кроме того, имеет место оценка

||A(P)||L ^e < c(p), реЛ;

(16)

(17)

(18)

где с(в) - непрерывная в области Л функция: с(в) = 1 + sup J | K(в, x, y) | dy.

xsQq

Из определения оператора An (в) вытекает, что

||An (в)||Сп —Cn < |И(в)Ц

пє N, вє Л^

(19)

Теперь можно заключить, что условие (12) выполняется в силу (16)-(19).

Проверим условие (13). P -компактность последовательности векторов {Anun }nejv означает, что для любого N' с N существует такое подмножество N" с N, что последовательность {Anun = un + Tnun}neN" P -сходится к некоторому w е E . Для un е Cn определим функцию u(n) е L(П) по формуле (10). Так как || un C ^ const, то || u(n) ||l ^ const при n е N" . Оператор

Т: (П) ^ Е вполне непрерывен [4, с. 14]. Следовательно, множество

вательность {Тпип }пеы"' Р -сходится к V е Е . Таким образом, последовательность {ип}пеы"' Р -сходится к вектору и = ^ —XVе Е, и условие (13) выполнено.

компакте Ло с Л . Справедливость этого утверждения непосредственно следует из оценок (18) и (19).

6. Множество р(А) не пусто, т.е. с(А) ^Л. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теоремы 3 [1]. Теорема доказана.

При теоретическом обосновании метода коллокации предполагалось, что интегралы в (5) и (11) вычисляются точно. В ходе реальных вычислений внедиагональных элементов матриц подынтегральные выражения аппроксимировались их значениями в точках коллокации. Интегралы, отвечающие диагональным элементам, имеют логарифмическую особенность. Поэтому подынтегральные выражения представлялись в виде суммы 1п |^г- — у| и непрерывной функции, которая аппроксимировалась ее значением в точке кол-локации. Для вычисления интеграла от 1п |^г- — у| по треугольнику П- последний разбивался на две области: Ц- = Бр- (^г-) и (П- \ Бр- (^г-)), где Бр- (^г-) -круг с центром в точке коллокации, радиус которого равен расстоянию от ^г-до ближайшей стороны треугольника. Интеграл от 1п |^г- — у | по Бр> (^г-) вычисляется аналитически, в интеграле по П- \ Бр- (^г-) расстояние |^г- — у|

приближенно полагалось равным р- .

Для каждого а> 0 оператор Т(а), определенный равенством (2), является самосопряженным, однако в силу того, что П- Ф П j при - Ф ] , матрица,

построенная описанным методом для решения задачи (5) получается несимметричной. Поэтому она дополнительно была симметризована умножением

на матрицу diag(| , Щ2,..., |Ц ^ )/Щ2, где Ц| - максимальная площадь

треугольника. Таким образом, задача (5) сводится к обобщенной линейной задаче на собственные значения вида Би = ХБА(а)и для симметричных положительных матриц. При каждом фиксированном а из некоторого интервала положительной полуоси вычислялись сразу несколько первых собственных значений и отвечающих им собственных функций методом Арнольди

{Ти (п)}пе Ы" относительно компактно. Значит, из любой последовательности {Ти( п)}пе Ы" можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {Ти(п)}пеы", т.е. Ти(п) — V ^ 0, пе Ы"", Vе Е. Отсюда в силу неравенства

\\Тпип - РиЛсп “II рЛЕ^сп Ти(И) - У Е и 1ЫЕ^Сп =1 слеДУет, что последо-

ограничены равномерно по п и в на каждом

3. Результаты численных экспериментов

[11].

Задача (11) при фиксированном Х>0 сводится к спектральной задаче вида А(в)и = 0, где А - матрица, элементы которой являются комплекснозначными функциями комплексного параметра в, и - вектор с комплексными компонентами. Для решения этой задачи использовался вариант метода обратных итераций с невязкой, предложенный в работе [12].

В ходе численных экспериментов задачи (5) и (11) решались для областей П двух форм: 1) единичный полукруг с центром в начале координат, лежащий на прямой Ь; 2) прямоугольник с отношением сторон 1/2, середина большей стороны которого совпадает с началом координат, а длина меньшей стороны равна единице.

На рис. 1 изображены дисперсионные кривые для поверхностных и вытекающих собственных волн полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве с постоянным показателем преломления. Поверхностным волнам соответствуют графики а = а(Х), 1т% = а>0. Значения X, при которых а = 0, называются точками отсечки. При переходе через точки отсечки поверхностные волны трансформируются в вытекающие, у параметра X появляется вещественная часть.

3

4

2

О

-2

■4

А

Рис. 1. Дисперсионные кривые для поверхностных и вытекающих собственных волн полукруглого (сверху) и прямоугольного (снизу) волноводов в полупространстве

На рис. 2 и 3 изображены линии уровня собственных функций задач о поверхностных и вытекающих собственных волнах для полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве.

Представим теперь результаты исследования зависимости точности вычислений от числа точек коллокации N . При с = 1 и разных N вычислялись

приближенные собственные значения X 6 задачи о поверхностных собственных волнах. Затем они сравнивались с Хб = 50,8596, вычисленном при N = 8096 для полукруглого волновода, и с Хб = 35,2225 , полученном при N = 8032 для прямоугольного волновода. Результаты вычислений представлены в табл. 1.

Таблица 1

Приближенные собственные значения X 6 задачи о поверхностных волнах для полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве; с = 1

Полукруглый волновод

N 61 240 506 1059 2024 4236

И 0,3531 0,1693 0,1210 0,0863 0,0605 0,0432

X 6 39,3336 48,0972 49,5528 50,2392 50,5952 50,7702

е 1,8172 1,8956 1,7561 1,6377 1,4209 0,9432

£ 0,2266 0,0543 0,0257 0,0122 0,0052 0,0018

Прямоугольный волновод

N 64 320 664 1280 2656 4800

И 0,3896 0,1598 0,1125 0,0799 0,0562 0,0454

X 6 29,4901 33,6530 34,4707 34,8661 35,0785 35,1684

е 1,0720 1,7450 1,6866 1,5850 1,2929 0,7459

£ 0,1627 0,0446 0,0213 0,0101 0,0041 0,0015

В табл. 1 приведена зависимость от N следующих величин: относительной ошибки £=| X —X6 | /Х6 и величины е = £/И2 , где И - максимальная длина стороны треугольника. Видно, что с увеличением числа N относительная погрешность £ убывает. Результаты аналогичного исследования сходимости для вытекающих волн приведены в табл. 2.

Таблица 2

Приближенные характеристические значения X 4 задачи о вытекающих волнах для полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве

Полукруглый волновод

N 240 506 1059 2024

И 0,1693 0,1210 0,0863 0,0605

X4 2,7616 - 0,9311/ 2,7897 - 1,0195/ 2,7978 - 1,0556/ 2,8020 - 1,0715/

е 1,8019 1,4209 1,1408 0,8241

£ 0,0516 0,0208 0,0085 0,0030

Прямоугольный волновод

N 320 664 1280 2656

И 0,1598 0,1125 0,0799 0,0562

X 4 2,6492 - 0,9372/ 2,6523 - 1,0056/ 2,6597 - 1,0224/ 2,6612 - 1,0389/

е 1,4703 1,0922 1,1777 0,5662

£ 0,0375 0,0138 0,0075 0,0018

32. (Ш К

1 0 1

Ля = 27.5:379

О 1-1 О 1

Ад = 20.9^3 Л 5 = 3-3.749:3

1

Щ 6®

Рис. 2. Линии уровня собственных функций задачи о поверхностных волнах для полукруглого (сверху) и прямоугольного (снизу) волноводов в полупространстве; 0=1

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика

Рис. 3. Линии уровня собственных функций задачи о вытекающих волнах для полукруглого (сверху) и прямоугольного (снизу) волноводов. В первом и третьем рядах показаны вещественные части функции г/, во втором и четвертом - мнимые

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Значение Х4 = 2,8042 -1,0803/, с которым сравнивались значения X4, полученные при меньшем количестве треугольников, вычислено для полукруглого волновода при N = 4236 и ^4 = 20,2. Для прямоугольного волновода X4 = 2,6630 -1,0437/ при N = 4800 и ^4 = 15,2.

Автор благодарит Е. М. Карчевского за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы

1. Даутов, Р. З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов / Р. З. Даутов, Е. М. Карчев-ский. - Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2009. - 271 с.

2. Карчевский, Е. М. Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабонаправляющих волноводах / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1. - С. 47-57.

3. Карчевский, Е. М. Собственные волны слабонаправляющего волновода в полупространстве / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1. - С. 22-30.

4. Vainikko, G. Multidimensional weakly singular integral equations / G. Vainikko. -Springer, 1993. - 159 p.

5. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.

6. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М. : Наука, 1968. - 344 с.

7. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, 1976. - 527 с.

8. Даутов, Р. З. Введение в теорию метода конечных элементов / Р. З. Даутов, М. М. Карчевский. - Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2004. - 239 с.

9. Вайникко, Г. М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра / Г. М. Вайникко, О. О. Карма // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1974. - Т. 14, № 6. - С. 1393-1408.

10. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - М. : Мир, 1972. -740 с.

11. Lehoucq, R. B. Deflation techniques for an implicitly re-started Arnoldi iteration / R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen // SIAM J. Matrix Analysis and Applications. - 1996. -V. 17. - P. 789-821.

12. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem / A. Neumaier // SIAM J. Numer. Anal. - 1985. - V. 22, № 5. - P. 914-923.

Фролов Александр Геннадьевич Frolov Alexander Gennadyevich

аспирант, Казанский (Приволжский) Postgraduate student, Kazan

федеральный университет (Volga region) Federal University

E-mail: ekarchev@yandex.ru

УДК 517.9 Фролов, А. Г.

Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов / А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2 (22). - С. 3-15.