CC BY
12
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2004. № 3. С. 51-53. © Омский государственный университет
ПРИМЕР НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Г.Ч. Тюменцева
Омский государственный университет, кафедра математической логики и логического программирования 644077, Омск, пр. Мира, 55а1
Получена 23 марта 2004 г-
One example of the £°-definable structures is considered in this work. The author proves that the hereditarily finite set superstructure over an arbitrary algebraic structure 21 is £°-definable in the hereditarily finite list superstructure HL(21).
Ю.Л. Ершовым разработана теория E-вычислимости и связанное с ней понятие Е-определи-мости систем, которое позволяет транслировать классы £-определимых функций [4]. Отношение £°-определимости, введенное в работе [5], является одним вариантом £-определимости, сохраняющим классы функций, вычислимых с помощью машин. Пример, приведенный в этой работе, показывает различие между данными интерпретациями.
Напомним определение списочной надстройки, введенной в [3]. Пусть задана система 21= (А, а).
Для множества А" через F(X) будем обозначать множество всех списков (конечных последовательностей) элементов А". Предположим, Lо =
оо
A, Ln+1 = F(Ln)[jLn, HL(A) = (J Ln. Множено
ство HL(A) называется списочным расширением множества А. Элементы множества А называются праэлементами. Расширим сигнатуру а до сигнатуры
ань = о" U {nil, heaS1\taili'1\ cons
Константа nil обозначает пустой список. Операции head и tail есть взятие первого элемента списка и списка оставшихся элементов. Операция cons (а, /3) добавляет список /3 в список а в качестве последнего элемента. Сигнатурные операции и предикаты доопределяются на множество HL(A) значением nil и нулем соответственно. Система HL(21) = (HL(A), ань) есть списочная надстройка над системой 21.
Понятно, что HL(21) содержит множество ДХ(0) — всевозможные списки, порожденные пу-
1 e-mail: mavlika@univer.omsk.su
стым списком nil. Списками из ДХ(0) можно интерпретировать натуральные числа следующим образом: 0 = nil, п+1 = (0,1,..., п) = cons(n, п). Множество таких списков обозначим Пусть
ань(9) = {iiil,headl'1\taill'1\cons1'2^.
Напомним определение наследственно конечной надстройки. Пусть А — произвольное множество. Определим наследственно конечную надстройку над этим множеством:
HF0(A) = A, HFn+1(A) = Vu(HFn(A) U A) U HFn(A), new,
где VU(S) - семейство всех конечных подмножеств множества S. Пусть
HF(A) = (J HFn(A).
■n^OJ
Пусть 21 = {А, а) - произвольная модель сигнатуры а. Определяем модель HF(21) как модель сигнатуры <jhf = <tU (0, U1, £2) с основным множеством HF(A), где 0 есть пустое множество из HF(A), U - множество праэлементов, £ - естественное отношение принадлежности.
Модель HF(21) назовем HF-надстройкой модели 21.
Известно, что если 21 - произвольная алгебраическая система сигнатуры а, то система HL(21) Е-определима в системе HF(21) и наоборот. Покажем, например, что списочная надстройка системы 21 £-определима в Д^-надстройке 21, выписав набор Е-формул, определяющих первую систему во второй.
При написании формул потребуются А-функции Pi((x,y)) = X, Pr((x,y)) = у и А-предикаты Nat(x) («множество» х является натуральным числом), card(x) = п (мощность «множества» х равна п), введенные в [4] и [6] соответственно.
Фо(.г) = Vz £ х £ z 3lü £ z(v,lü) = z$¿Nat(v)8¿
52
Г.Ч. Тюменцева
kVv' < vNat(v')k3z' G .r 3u' G z'{v\u') = z'k k(\/zi G xVz-2 G x ¿1 ^ z-2 —pi{z\) ^ pi(z2)); Ф1 (x,y) = (x = y);
3>head(x, y) = (x = 0 & у = 0) V (U(x)k у = 0)V G x z = (0, i/));
*tau(x, У) = (.r = 0 & у = 0) V №) & у = 0)V v(V.s G у Зг> G £ 3uj G zNat(v)k(v, ui) = zk k3z' G X 3v' G z'Nat(v')k(v',uj) = z'kv' = v + 1& kVz G x3v G G zNat(v)k(v,Lo) = zk(v ->■ Зг' G i/3i/ G z'{v',uj) = z'kNat(v')kv' + 1 = v));
^c.ons(x, y, z) = (U(x)kz = 0) V (V« G X'it G zk k3n Nat(n)kn = card(x)k3u G £ 'it = (n, г/)& &Vu G G x V 3?г Nat(n)kn = card(x)k ku = (n,y)));
Ф/(.гь ... ,.rfc,y) = (г/ = /(.rb... ,xfc));
Фр(.ГЬ ... ,xk) = P(xu.. .,xk).
Покажем, что £°-определимость для этих же систем имеет место только в одну сторону.
Ниже потребуются понятия структуры и носителя списка, которые были введены в [2]. Носитель supp(a) списка а - это все праэлемен-ты, из которых строится а. Структура struct(a) списка а - это терм сигнатуры а\нх(0), который получается заменой всех праэлементов на переменные. Функция G : Nhl х Nhl —t(ahl^) определяется индукцией по построению списка следующим образом: пусть к - номер структуры i(xi,..., хп), которая рассматривается как список из HL(X).
Если j > п, то G(k,j) = nil, иначе если t = nil, то G(k,j) = nil; если t - переменная, то G(k,j) = х; если t = (ti,... ,tm) , ki - номер терма ti, то выберем наименьшее 1 < г < m, такое, что терм ti зависит от переменной Xj, и положим G(k,j) = Cjm\G(ki, j)), где
¿m\x) = head{tail{... tail(x) ...))
V
¿-1
- j-я компонента списка длины m.
Пусть Sjk\x) = G(k,j),j = 1,... ,11 — j-я компонента носителя списка со структурой номера к.
Для любого списка а с номером структуры к, supp(a) = (cii,..., а„) имеет место
аз = sf\a)J =
Понятно, что количество переменных в терме struct(a) равно длине носителя а, то есть длину носителя а можно найти по struct(a). Занумеровав эффективно все термы сигнатуры стнцЧ), получим эффективную нумерацию всевозможных
структур списков. Таким образом, длину носителя т(к) списка а можно вычислить по номеру к структуры списка.
Определим формулу
п-1
Lenn(a) а) nil)k(taUn = nil),
¿=1
которая истинна, если длина списка а равна п. Нам потребуется также формула Structn(a) «а - элемент со структурой
номера п», введенная в работе [2].
Теорема. Пусть 21 - алгебраическая система сигнатуры а. Тогда HF(21) <so HL(21), но НЦЩ HF(21).
Доказательство. Код сигнатуры o~hf в сигнатуре ань имеет вид: Фо(.г) = (.г = х); Фо(х) = —i(x = х);
Ф^(х,у) = \J (Structk(x)kStructk(y)k k
m{k) m{k)
& A №)= V
i=1 j=1
у) = \/(Structk(x)kStructk(y)k k
m{k) m{k)
& V Д 4(i/)))v
¿=1 j=i
V Y (Structm(x)kStructk(y));
тфк
Ф6(х,г/)= \j (Structm(x)kStructk(y)k
■тфк
к\/(Ьещ(у)к V Ф1(х, с\(у))));
IEoj г=1
Фе(х,у) = У (Structm(x)$zStructk(y)$z
тфк
к V (Lem(y) к Д Ф!(.г,4(y))))V
IEoj г=1
V Y(Structrn(x)SzStructm(y)y^
т
Фр(.Г1,... ,хк) = Р(.гь ... ,хк); Фр(.Г1,... ,хк) = -нР(;п, ...,хк); ^fixi,... ,хк,у) = (y = f(x1,...,xk)); Ф/(.Г1, ...,хк,у)= -п(у = /(;П, . ..,хк)). Константе 0 сооветствует константа nil. Остальные константы соответствуют самим себе.
Покажем, что введенное отношение Е, определяемое формулой Фх, является строгой конгруэнцией. Очевидно, что Е - отношение эквивалентности. Покажем, что Е - конгруэнция, то есть
E(xi,yi) = 1 =Ф B(/(.ri,...,.rfc),/(yi,.../i/fc)) = 1,
где г = 1, к.
Возможны два случая:
1. Пусть xi,..., xk, yi,... , ук - праэлемен-ты. Из истинности формулы Ф1 (xi, yi) следует, что хi = yi, i = I, к. Тогда /(xi,..., хк) =
ПримерУ,0 -определимых систем
53
= Дз/ь • • • ,Ук) • Отсюда получаем
НЦ21) |= Ф1(/(^1 ,...,xk),f(yi,...,yk)).
2. Пусть .Г!, х-2,..., хк ,у\,у-2,..., у к не праэле-менты. Тогда /(xi,хк) = 0, /(¿л,..., ук) = 0
НЦ 21) ■■.,№))•
Покажем, что отношение Е строгая конгруэнция, то есть если Е(х¿, ¡/¿) = 1, г = 1, к, то для любого Р £ &нь
Р(.ri,...,.rfc) •^>P(i/1,...,i/fc). (*)
Рассмотрим два случая:
1. Если Р £ а, то требуемое свойство выполняется.
2. Пусть Ре - это отношение принадлежности
и пусть E(xi,yi) = 1, г = 1,2. Можем запи-
2
сать, HL(21) |= Д Ф1 (.?г, ¡/¿)- Покажем, что для
¿=1
предиката Ре выполняется свойство (*). Пусть Ре(.Г1,.Г2) = 1 или HL(21) |= Ф6(;г1,;гг). Это означает, что и х-2 — списки с разными структурами и
i
НЦЩ \= У(Ьещ(х2)& У ^.(xuc1^))).
lEui i= 1
Тогда Ф1(.Г1, с'о(.гг)) = 1 для некоторого ¿0 = 1,L Понятно, если ^(xi/i/i) = 1, то
УгЗ^Ф^сК.п),^^)) =1, (**)
где I — длина списков ,ri и у\. Так как
(х2, у2) = 1, то, согласно (**), для любого г и, в частности, для ¿о найдется fco, такое, что: Ф1(с'о(.Г2), с1ко(у2)) = 1. В силу транзитивности получаем, что ФДг/ь с1ко(у2)) = 1. Из истинности Ф1(.Г2,уг) = 1 следует, что длины .г 2 и у2 совпадают. Значит, справедливо
i
НЦЩ \= У (Lem(y2)k у ^i(yi,c\(y2))).
lEui i = 1
Из того, что ,ri и Х2 — списки с разными структурами, следует, что у\ и у2 также имеют разные структуры, причем номер структуры списка ,ri совпадает с номером структуры списка у\, а номер структуры списка Х2 с номером структуры списка у2■ Таким образом, получаем HL(21) |= Фе (¿/1, у2)■ В обратную сторону рассуждения аналогичные.
Изоморфизмом между системами HF(21) и HL(21) будет отображение, сопоставляющее множеству класс списков, состоящих из его элементов.
Покажем теперь, что HL(21) HF(21).
Предположим противное, пусть
НЦЩ <Ео HF(21).
Попробуем получить противоречие, пользуясь тем, что в HF(21) нет функций. Из построения кода следует, что для любой операции из а # £ существует пара формул Ф/ и Фу, причем формула Ф/ функциональная. Возьмем списочную операцию head. Тогда $head(x,y) = \J (pi(x)ky = ti(x).
i
Пусть .г, у — последовательности из HF(A), соответствующие спискам ((nil)), (nil). Выберем г о £ I '■ HF( 21) |= <f>io&i/ = tio(x). Рассмотрим три случая:
1) tio = /(*1, •••,*»), /ест. Тогда tio = 0. Получили противоречие, так как у ^ 0;
2) ti0 = с, с £ o~hf- Противоречие, так как
3) ti0 = х. Получаем противоречие, так как
* + У-
Таким образом, НЦЩ HF(21).
[1] Aiua.ee И.В., Беляев В.Я., Мясников А.Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости // Алгебра и логика. 32. № 4(1993). С. 349-386.
[2] Aiua.ee И.В. Теорема о разложении в обобщенной вычислимости: Препринт № 96-01. Омск: ОмГУ, 1996. 24 с.
[3] Гончаров С. С., Свириденко Д.И. Логико-математические проблемы МОЗ // Вычислительные системы. Новосибирск, 1985. Вып. 107. С. 3-29.
[4] Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. Новосибирск: Научная книга, 1996.
[5] Мавликасова Г. Ч. -определимость кольца многочленов в ЛХ(5) II Вестн. Ом. ун-та. 2004. № 1. С. 28-30.
[6] Пузаренко В. Г. Об алгоритмических и структурных свойствах вычислимости над моделями: Дис. ... канд. физ.-мат. наук // Новосибирский Государственный университет, 2000. 105 с.
