CC BY
54
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2004. №1. С. 28-30. © Омский государственный университет
НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ
ад в нь{$)
Г.Ч. Мавликасова
Омский государственный университет кафедра математической логики и логического программирования 644077, Омск, пр. Мира, 55а1
Получена 28 октября 2003 г.
This work introduces the notion of E°-definability of algebraic structures. The introduced ratio allows us to transfer the classes of computable functions of one structure to the appropriate classes of another structure. It has been established that the ring of polynomials over a field $ is E°-definable in the hereditarily finite list superstructure HL($) over the field
С развитием различных форматизаций вычислимости в произвольных алгебраических системах возникла потребность в нахождении и изучении такого способа, который позволял бы сравнивать алгоритмические свойства алгебраических систем. Ю.Л. Ершовым было введено отношение Е-определимости, которое позволяет транслировать классы Е-определимых функций [1]. Однако Е-определимость не сохраняет классы функций, вычислимых с помощью машин. В данной работе предлагается один вариант Е-определимости, позволяющий решить эту проблему посредством наложения дополнительных условий на используемые формулы.
Будем использовать язык Ьдх>; в котором разрешены счетные дизъюнкции по рекурсивно перечислимым множествам формул. Среди таких формул важную роль играют дизъюнкции вида
Y ipi, где Lpi - бескванторная формула. Такие
iei
формулы, например, описывают классы рекурсивных множеств в машинных вычислимостях [2]. Класс этих формул будем называть Е°.
Определение 1. Формула Ф языка L а I) является Е°-формулой, если она построена по правилам:
1) если Ф - бескванторная, то Ф - Е° -формула;
2) если Ф, Ф - Е° -формулы, то Ф V Ф, Ф А Ф - Е°-формулы;
3) если < Ф j | г G I > — рекурсивно перечислимое множество Е° -формул, то V - Е°-фор-
iei
мула.
1 e-mail: [email protected]
Известно, что график вычислимой функции есть множество, рекурсивно перечислимое, поэтому определяется Е°-формулой. Обратное неверно, есть примеры функций, у которых график рекурсивно перечислим, но сами они не являются вычислимыми [2]. Можно выделить подкласс Е° -формул, которые описывают в точности графики вычислимых функций. Такие формулы будем называть функциональными.
Определение 2. Е° -формулу назовем функциональной, если она имеет вид V ^ , где ^ -
¿е/
КОНЪЮНКЦИЯ '01 (;Г1 . . . 4'п)& ■ ■ ■ &4'т(х 1 • • • Фп)& к
V у2 = ... х„), в которой ^ - термы, 4'о
3 = 1
- атомарная формула или отрицание атомарной, причем для г ^ ] существует атомарная формула в, которая входит в качестве сомножителя в формулу , —¡6 — в формулу (р^ , или наоборот.
Определение 3. Код сигнатуры а в сигнатуре г размерности п - это набор термов и формул сигнатуры г, включающий в себя:
1) пару Е°-формул Фо(х1,..., х„) и Ф0(.гь ... ,х„);
2) пару Е° -формул Фх (.г 1,..., хп/г/1,..., у„) и
Ф1(.Гь ..., Х„ /г/1,..., Уп);
3) для каждой константы с € а кортеж замкнутых термов (¿1,..., 1п);
4) для каждого предикатного символа Рк € а пару Е°-формул Фр(х}... х*,..., хк ... хк) и Фр(.^1 • • • хп,..., XI ... х„),
5) для каждого функционального символа /к £ а пару Е°-формул
Ф/(х} ... х.1,..., х^ ... х£, г/1 ... уп) и
Ф/(х} ... х* ,...,х^ ... хкп, г/1 ... уп), причем фор-
TP -определимость кольца многочленов в HL($)
29
мула Ф/ — функциональная.
Определение 4. Пусть С — код сигнатуры а в т, 21 = (А, т) алгебраическая система сигнатуры г. Код С применим к системе 21, если выполнены следующие условия:
1. Существует множество U С А" , которое определимо в системе 21 формулой Фо, а его дополнение — формулой Фо .
2. Существует отношение ECU2, которое является отношением эквивалентности на п-ках, причем формула Фх определяет Е, а Фх — его дополнение Е.
3. Для набора (ti,... ,tn) из С существуют элементы а\,..., ап G А, такие, что (а\,..., ап) G U и ctj = ti. Обозначим сс = (а\,..., ап).
4. Для каждой пары формул Фр и Фр существует отношение Рс С Uk, такое, что Фр определяет Рс, Фр — дополнение Рс.
5. Для каждой пары функциональных формул Ф/ и Ф/ существует всюду определенная функция /с : Uk —>■ U, график которой определим Фу, а дополнение к графику — формулой Фf.
При этом отношение Е является строгой конгруэнцией относительно функций /с.
Фактор-систему (U;cc,Pc,fc) по отношению Е назовем результатом применения кода С к системе 21. Обозначим ее С(21).
Определение 5. Система 21 сигнатуры а Е°-определима в системе (21 <vo 03), если существует код С сигнатуры а в сигнатуре г, который применим к системе причем С(93) =21.
Напомним определение списочной надстройки, введенное в [3]. Пусть задана система 21 = (А, а). Для множества А" через F(X) будем обозначать множество всех списков (конечных последовательностей) элементов А". Положим
оо
Lo = A, Ln+1 = F(Ln){jLn, HL(A) = (J Ln.
n=0
Множество HL(A) называется списочным расширением множества А. Элементы множества А называются праэлементами. Расширим сигнатуру а до сигнатуры
ань = о" U {nil, heaS1\taili'1\ cons
Константа nil обозначает пустой список. Операции head и tail есть взятие первого элемента списка и списка оставшихся элементов. Операция cons (а, 13) добавляет список /3 в список а в качестве последнего элемента. Сигнатурные операции и предикаты доопределяются на множество HL(A) значением nil и нулем соответственно. Система HL(21) = (HL(A), ань) есть списочная надстройка над системой 21.
Теорема 1. Система = +, —, *, 0,1), гДе Ъ — произвольное поле, Е°-определима в НЩ).
Доказательство. Нам потребуются термы: Listi(a 1,а-2,... ,ац) = = cons(... cons (cons (nil, o.i), a-2), ■ ■ ■ , оц)
4 /
I
— создает список из элементов а\, a-i,..., 04 ;
Si(a) = head(tail(... tail(a)))
ч /
¿-1
— выдает г -ый элемент списка;
tail1 (а) = tail(tail... (tail(a)))
i
— к списку a i раз применяется операция tail. Определим формулы:
Ur(x) = (cons(x, х) = nil)
— формула истинна, если х — праэлемент;
Ur(x) = (tail(x) ф nil)
— данная формула означает, что х — не праэлемент.
п-1
Lenn(a) =
Д (taiP(
а) ф nil)k(tailn = nil)
¿=1
— истинна, если длина списка а равна п.
Так как данные формулы бескванторные, то они являются Е° -формулами. Код C(HL(1F)) имеет вид:
i
Фо (у) = \J [Ьещ(у)к Д Ur(Si(y))]
lEui i= 1
I
Фо (у) = V [Lem(y)k \J m(S(i,))} V Ur(y)
lEui i= 1
Ф1(.г, у) = \J [Ьещ(х)кЬещ(у)к
l£ui
I
& Д Si(x) = Si(y)] ¿=1
V [Lenh(x)kLenh(y)k(h + b)]v (hM
1
V \J [Ьещ(х)кЬещ(у)к \J S^x) ф ¿'¿(у)]
IEoj г=1
eni(x)kLeni(y)kz =
l£ui
30
Г.Ч. Мавликасова
Ызи(51 (.г) + 51 (у), 52(.г) + 52(у),...
5г(.г) + 5г(у))] V \/ [Ьещ, (х)кЬещ2(у)к
(к,Ь) к>1-2
кг = Ыз11г (51 (.г) + Бх(у), 52(.г) + 52(у) ..., 5г2 (.г) + 5г2 (у), 52+1 (.г),..., 5г1 (.г)]'V
V [Ьеп11(х)кЬещ2(у)кг =
(ЬМ 11<г2
= (51 (.г) + 51 (у), 52(.г) + 52(у),
. . . , 5;1 (.Г) + 5;1 (у), 51 + 1 (.Г), . . . , 52 (.Г)]
Ф+(х,у,г) = \/ [Ьещ(х)кЬещ(у)к
1£и
к \/ ВД ^ 5Д.Г) + ВД] V V [Ьеггг, (х)к
¿=1 (¡1,г2)
¡1 <г2
Е
<¿4) 1<г<г1 1<^<г2 ¿+¿=3
аф
1<з<12 ¿+3=2
5» (.г) * 5,- (у),..., 5» (.г) * 5,- (у))]
Нф 1 <¿<¡2
Ф*(ж, г/, г) = \/ [Ьеп11(х)кЬещ2(у)к (гьг2)бш
¡1+г2-1
¿+¿=«+1 1 <г<гх
1<^<г2
Константам 0 и 1 сопоставляются 0 и 1 соответственно.
Поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно по одному элементу то, очевидно, что отношение, определяемое Ф^.г, у), является конгруэнцией.
Изоморфизмом между системой и кодом С(НЬ($)) будет отображение, сопоставляющее каждому многочлену список, составленный из коэффициентов при степенях, начиная с коэффициента при старшей степени.
кЬеп12(у)к(\/ ± 5Д.г)
¿=1
V V V [ЬеП11{х)к
3=11+1 (ЬМ
к >г2
кЬеп12(у)к(\/ ± 5Д.г) ¿=1
[1] Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. Новосибирск: Научная книга, 1996.
[2] Aiua.ee И.В., Беляев В.Я., Мясников А.Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости / / Алгебра и логика. 32. № 4 (1993). С. 349-386.
[3] Гончаров С. С., Свириденко Д.И. Логико-математические проблемы МОЗ // Вычислительные системы. Новосибирск, 1985. Вып. 107. С. 3-29.
V V ЗД^-Ы)]
3=Ь +1
Формулы Ф_ и Ф_ строятся аналогично Ф+ и
Ф+.
Ф*{х,у,г)= \/ [Ьещ1(х)кЬещ2(у)кг = (ЬМ
