CC BY
13
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2003. №3. С. 10-12.
© Омский государственный университет УДК
ПРИНЦИПЫ РЕДУКЦИИ И УНИФОРМИЗАЦИИ В ОБОБЩЕННОЙ ВЫЧИСЛИМОСТИ
И.В. Ашаев
Омский государственный университет кафедра математической логики и логического программирования 644077, Омск, пр. Мира, 55A1
Получена 26 июля 2001 г.
We study computability over algebraic structures with the help of abstract computing device like as Blum-Shub-Smale model. It is proved that reduction principle is valid and constructed an example of a structure uniformization principle fails over.
Машинная вычислимость в алгебраических системах активно изучается начиная с публикации [3]. Суть этого подхода состоит в том, что в качестве обобщенного алгоритма рассматривается абстрактное вычислительное устройство, работающее с элементами алгебраической системы A = (A, и), причем элементарным шагом работы считается вычисление значения операции, константы или предиката системы. Кроме этого устройство должно быть снабжено конечной, но неограниченной памятью, а также возможностью хранить натуральные числа и проводить арифметические операции.
В [1] в качестве такого абстрактного вычислителя предложено использовать машину над списочной надстройкой системы A, а затем на его основе введено понятие функции, вычислимой в системе A. Списочная надстройка над системой A (см. работу [4]) строится следующим образом. Для множества M обозначим через Fin(M) совокупность всех конечных последовательностей (списков) элементов M. Положим
Fo = A, Fn+i = Fin(Fn) U Fn,
CCi
HL(A) = U Fn.
n=0
Множество HL(A) будет состоять из элементов двух сортов: праэлементов a G A и наследственно конечных списков a G HL(A) \ A. Сигнатура и системы A обогащается до сигнатуры uhl путем добавления константы nil, обозначающей пустую последовательность, и естественных операций для работы со списками:
1 e-mail: ashaev@math.omsu.omskreg.ru
head(x) - взятие первого элемента списка x, tail(x) - удаление из списка первого элемента, cons(x,y) - добавление в конец списка x элемента y.
Кроме этого списки разрешено сравнивать на равенство. Операции сигнатуры и доопределяются на множестве HL(A) \ A значением nil, предикаты сигнатуры и считаются ложными на списках.
Машина из [1] имеет конечный набор регистров, которые могут хранить элементы HL(A) , таким образом обеспечивается потенциально бесконечная память. Кроме этого в списочной надстройке над любой системой интерпретируется арифметика, так как можно считать, что
0 = nil, n + 1 = (0,... ,n).
Операция прибавления единицы к числу n реализуется как добавление списка n самого к себе в качестве нового последнего элемента.
Частичные функции f : An ^ A, вычислимые такой машиной, называются вычислимыми в системе A. Далее можно ввести аналоги основных понятий теории алгоритмов. В частности, множество X С An рекурсивно в системе A, если его характеристическая функция вычислима в A, множество X С An рекурсивно перечислимо в A, если оно является областью определения некоторой вычислимой в A функции. В [1] доказан ряд утверждений, обобщающих результаты классической теории алгоритмов, однако отмечен и ряд отличий. Например, рекурсивно перечислимые множества уже не могут быть охарактеризованы как совокупности значений вычислимых функций, последний класс множеств шире.
Принципы редукции и униформизации.
11
Заметим также, что машина в списочной надстройке системы (ЛГ; +, х, 0,1) ( N — множество натуральных чисел) порождает тот же самый класс вычислимых функций, что и обычная машина Тьюринга.
В данной работе изучается возможность переноса двух результатов классической теории алгоритмов на случай произвольной алгебраической системы, а именно принципов редукции и униформизации.
Будем предполагать, что сигнатура а рассматриваемой алгебраической системы А конечна. Тогда формулы сигнатуры а можно эффективно перенумеровать натуральными числами. Будем считать, что некоторая гёделева нумерация множества формул выбрана и зафиксирована.
Кроме обычной логики предикатов первого порядка нам понадобится более мощный логический язык ЬШ1Ш, в котором разрешены конъюнкции и дизъюнкции по счетным множествам формул. Мы будем использовать счетные дизъюнкции вида У </?г(ж 1,...,.т„) бескванторных формул, для которых множество чисел
{?г £ N \ п — номер формулы , % €Е 1}
рекурсивно перечислимо в смысле обычной теории алгоритмов. Такие формулы назовем рекурсивными дизъюнкциями.
Доказательство опирается на следующий факт из [1]: множество А' С А" рекурсивно перечислимо в А тогда и только тогда, когда А' определяется в системе А рекурсивной дизъюнкцией У ..., х„) бескванторных формул сигна-
ле/
туры а.
Теорема 1. Для любых множеств X, У С А" , рекурсивно перечисли,.мы,х в системе А, существуют такие рекурсивно перечисли,.мы,е в А .множества X' С А и V С У, что А'и У = АиУ и X' П У = 0 .
Доказательство. Пусть Ф = У <Pi и Ф =
У чД,- - рекурсивные дизъюнкции, определяющие множества А' и У. Можно считать, что I и J - рекурсивно перечислимые множества гёделевых номеров слагаемых, входящих в Ф и Ф. Зафиксируем эффективные пересчеты чисел, входящих в эти множества:
I = {¿1, ¿2 ,г3,...}и1 = {л, к, , • • •}•
Идея алгоритмов, областями определения которых будут требуемые множества X' и У очень простая. Для набора входных элементов а =
(ai,..., ап) G А" надо перебирать попарно формулы Lfik, tpjk и проверять их истинность на наборе a (в [1] построена машина, проверяющая по номеру бескванторной формулы и элементам истинность этой формулы в системе А). Если первая истинная формула имеет вид ip¡k(a), то относим а ко множеству X'. Если же обнаруживаем, что истинна формула tpjk (a), но при этом ложна парная ей ip¡k(a), то считаем набор a элементом Y'.
Формальное построение лучше всего провести опираясь на вышеупомянутое формульное описание рекурсивно перечислимых множеств. Рассмотрим формулы:
ос
ф'= v^& д^& Д^а-к=1 1<к 1<к
оо
ф' = Д Д -тфь-
к=1 ¡<fe+l 1<к
Это - счетные дизъюнкции бескванторных формул. Так как гёделева нумерация позволяет по номерам формул fi и (fio эффективно вычислить номера </?i&</?2 и "Vi' то множества номеров слагаемых, входящих в эти дизъюнкции, рекурсивно перечислимы в смысле обычной теории алгоритмов. Таким образом, формулы Ф' и Ф' определяют рекурсивно перечислимые в системе А множества X' и Y', причем по построению X' С X и Y' С Y.
Докажем, что AU1' = А'иУ. Рассмотрим набор элементов системы а = (ai,..., а„) £ X. Выберем наименьшее число к, для которого слагаемое if¡k истинно на а. Тогда формулы </?;г(а), I < к ложны. Если а £ X \ Y, то ложны и все формулы ipj (а), тогда на таком наборе a истинно слагаемое
fik & Д -"fi, & Д i'n ■ 1<к 1<к
При a G Y выберем наименьший номер т, для которого истинна формула tpjm (а). Если к < т, то снова получаем истинность к-го слагаемого рекурсивной дизъюнкции Ф'. В случае к > m аналогичное рассуждение доказывает истинность слагаемого
i'jm & Д -«fu& Д ^Фл
£<?r? + l 1<т
формулы Ф'. В любом случае a G X' U Y', то есть А' С X' U Y'. Симметричным образом Y С X' U Y'.
Допустим теперь, что найдется элемент a G X' П Y'. Снова выберем наименьшие номера к и т, для которых истинны к-е слагаемое
12
И.В. Ашаев
формулы Ф' и т-е слагаемое Ф'. При к > т из истинности формулы
& Л ч & Л 1<к 1<к
получаем, что (а) ложна, что противоречит выбору т. Аналогично при к < т будет ложна формула (а) - противоречие с выбором к. Значит, X' П У = 0. □
Принцип униформизации утверждает, что для любого рекурсивно перечислимого отношения К С А2 найдется вычислимая функция / (так называемая селекторная функция), для которой область определения есть множество {ж | 3у (х,у) €= К}, и для всех значений х из области определения выполнено (х,/(х)) 6 И.
Примером системы, в которой это утверждение нарушено, является множество вещественных чисел в сигнатуре упорядоченных полей. Тогда множество К = {(х,у) | х = у2 & у > 0} рекурсивно, но для него селекторная функция }(х) = ^х невычислима (см. [1]).
Существуют и другие подходы к определению вычислимости в алгебраических системах. Широко известен подход, идущий от работ Дж. Барвайза, и развиваемый ныне Ю.Л. Ершовым (см. [2, 5]). Его идея в том, что вычислимость функции отождествляется с ее определимостью в допустимом множестве. И в этом случае возникает нетривиальная теория, подобная классической теории алгоритмов. Принципы редукции и униформизации при таком подходе изучались Ю.Л. Ершовым и его учениками - В.Г. Пузаренко и А.И. Стукачевым. Оказалось, что для произвольного допустимого множества оба эти утверждения не верны, однако есть примеры теорий, над моделями которых эти утверждения выполняются (см. [5,6]).
[5] Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. 2-е изд. М.: Экономика, 2000.
[6] Stukachev A.I. Uniformization property in heredidary finite superstructures // Siberian Advances in Mathematics. 7, № 1 (1997). 123132.
[1] Ашаев И.В., Беляев В.Я., Мясников А.Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости / / Алгебра и логика. 32. № 4 (1993). С. 349-386.
[2] Barwise J. Admissible sets and structures. Springer, Berlin, 1975.
[3] Blum L., Shub M., Smale S. On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines // Bull. Amer. Math. Soc. 1989. V. 21. № 1. P. 1-46.
[4] Гончаров С.С., Свириденко Д.И. S-программирование // Логико-математические проблемы МОЗ (Вычислительные системы. Вып. 107). Новосибирск, 1985. С. 3-29.
