CC BY
7
Таблица
к П /V Gr ChT А1 А2 A3
2 50 200 55.2;1.47 54.1;1.44 52.8;0.94 53.1;1.18 50.9:0.55
2 100 50 108.9;2.1 106.7:2.2 104.6:0.9 104.6:1.2 101.8:0.7
3 50 100 60.5;1.55 77.4:1.01 77.5:1.03 75.1:0.34
лись алгоритмы А1, А2, АЗ с простым градиентным алгоритмом (Сг) и алгоритмом Черьяна-Таримелла (СЛГ)' Рассматривался случайк=2ип=50,100. И в случае к=3 и /1=50, сравнивались алгоритмы А1, А2, АЗ и
Сг.
Для эксперимента случайным образом генерировался граф, а затем он подавался на вход исследуемых алгоритмов. Результаты эксперимента сведены в таблицу. В таблице указаны средние значения и стандартные отклонения решений, полученных алгоритмами, Ы-количество просчитанных графов. Для расчета использовались следующие формулы:
где в, — реберно 2-связный остовный подграф, полученный алгоритмом в Ьом запуске.
- !>'
* = --среднее значение.
= У щ ] ~ стандартное отклонение.
Рассмотрев доверительные интервалы с доверительной вероятностью 99%, с уровнем значимости 2%
можно сделать вывод, что алгоритм A3 находит решение более точное, чем алгоритмы ChT, A i, А2, Сг в слу-чаеА=2, иболее точное, чем алгоритмы А1, А2, GrnpH к=3.
Библиографический список
1. ГэриМ., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно-решаемые задачи. — М.: Мир, 1982.
2. Мадер В. Минимальные n-связные графы с максимальным числом ребер. // Теория графов. Покрытия, укладки, турниры. - М.: Мир, 1974.
3. Cheriyan J., Thurimella R. Approximating Minimum-Size k-Connected Spanning Subgraphs via Matching // Electronic Colloquium on Computational Complexity (ECCC).- 1998/-Report No.25. - P. 1-36.
4. Vempala S., Vetta A. Factor 4/3 approximations (or minimum 2-connected subgraphs. - In Approximation algorithms for combinatorial optimization (Saarbrücken, 2000). Lecture Notes in Comput, Sei., 1913.- Springer, Berlin, 2000. -P. 262-273.
ВВЕДЕНСКИЙ Вячеслав Владимирович, аспирант кафедры прикладной и вычислительной математики.
уД" 5106 Г. Ч. МАВЛИКАСОВА
Омский государственный университет
НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ
КОЛЬЦА МАТРИЦ Мп(Р) В ПОЛЕ Р.
Построено отношение £°-олределимости алгебраических систем. На его основе определена трансляция, отображающая классы вычислимых функций в соответствующие классы другой системы. Рассмотрена £°-определимость для кольца матриц Мп(Я) и поля Р.
С развитием различных формализаций вычислимости в произвольных алгебраических системах возникла потребность в нахождении и изучении такого способа, который позволял бы сравнивать алгоритмические свойства алгебраических систем. В теории моделей одним из подходов для изучения сравнительных свойств алгебраических систем является определимость. Ю.Л. Ершовым введено отношение £-опре-делимости, которое позволяет транслировать классы 1-определимых функций [ 1 ]. Однако Х-определимость не сохраняет классы функций, вычислимых с помощью машин. В данной работе предлагается один вариант 1-определимости, позволяющий решить эту проблему посредством наложения дополнительных условий на используемые формулы.
Будем использовать язык 1яо, в котором разрешены счетные дизъюнкции по рекурсивно перечислимым множествам формул. Среди таких формул важную роль играют дизъюнкции вида V?*,, где <РХ - бескванторная формула. Такие формулы, например, описывают классы рекурсивных множеств в машинных вычислимостях[2]. Класс этих формул будем называть .
Определение 1. Формула Ф языка 1яо является £ "-формулой, если она построена по правилам: 1) если Ф — бескванторная,то Ф £°-формула.
2) если Ф, Е"-формулы, то ФлЧ", Е°- 5) для каждой пары формул Ф, и Ф, существует формулы. всюду определенная функция 1С :ик ->и,, график ко-
3) если (Ф,|/ е I) - рекурсивно перечислимое мно- торой определим Ф,, а дополнение к графику - Ф,. жество 2"-формул, то \/Ф, Е°-формула. При этом отношение Ед является строгой конгруэнцией относительно функций и предикатов /,иРс.
Определение 2. Функциональная X"-формула Фактор-систему <17;сс,Рс,Гс) по отношению Една-
Ф,{х,,...,х„,у.....,ук) - это Е "-формула вида где зовем результатом применения кода С к системе А.
<р. имеет вид .....х„МуУ7 = Обозначим ее С(А).
н
= 1.(х1,...,ха), где {. — термы, у, — атомарная формула .
Определение б. Система А сигнатуры а I -опре-
или отрицание атомарной, причем для существу-
ет атомарная формула в, которая входит в качестве сомножителя в формулу <р[ , а — в — в формулу <Pt, или наоборот.
Определение 3. Код сигнатуры <тв сигнатуре г размерности п — это набор формул и термов сигнатуры
т, включающий в себя: .
_ Доказательство. При построении кода исполь-
1) пару Г -формул Ф„(х.,...,хп) и Фо(х,,...,х„); ,
I п f 1 п »!,,»„/. зуем функцию, называемую проекцией:
2) пару Е -формул %(х,.....х„,у......у„) и
— m' 'Ä2' *" п' — Ol' HI, II — ...
Ix,,..., х„, у,,..., у J, Код C(F) Mn(F) в F имеет размерность лг и включает
делима в системе В (А ^ В), если существует код С сигнатуры о в сигнатуре г, который применим к системе В, причем С(В) = А-
Теорема 1. Система Мп^=<Мп^,+,-Л0,1> Е°-
определима в поле +,-,*,-!, 0,1 >.
Ф0(х) = (х = х)
3) для любой константы сеег кортеж замкнутых наб0р формул термов а,,...,^);
4) для каждого предикатного символа Рк еет пару Е"-формул Фр(х;...х'„,...,х!'...х!) нФр(х]...х[.....хк...хкп); Фа(х) = ^(х = х)
5) для каждого функционального символа е <т пару Е°-формул Фг(х!...х'„.....х,\..хп\у,...у„> и
Ф,.....х^...хкп,у1...уп), причем формула Ф, -
функциональная.
/Д\ X и V_. WIl^ » Vi'4 LH Л Я. N— Д11 ж Л. 1Д Л J ш W Л lU^PUi UV & Ч* i ^ Wt VII / 1 \
конгруэнцией, если: Ф J*. = { "^"'(г) = lf (х) + lf (уЖ
ФЛх, у, z) = ^ v (/;' Ы) ф If (х) + lf (уУjj Ф Jx,y,z) = ^ л (г;1 (z) = lf (х) - lf fyj j) Ф-(х, y,z) = ^ v(r(ni lz) * lf (xj - lf fyj)j
Определение 4. Отношение Ед на основном множестве системы А сигнатуры а назывется строгой
1) Ед — отношение эквивалентности.
2) Для любого функционального символа ео- и для любых а|,а2,...,ал,Ь1,Ь2,...,Ьп, таких, что <а1,Ь,>,...,<а„,Ь„>еЕд=><Г(а1,..,а„),Г(Ь1,..,Ь„)>еЕч.
3) Для любого функционального символа Р'"' е ег и для любых а1,аг,...,ап,Ь1,Ь1,...,Ь„, таких, что <а,,Ь, >,...,<а„,Ъп>б£д (Р(а1,...,а„)оР(Ь1,...,Ьв)).
Определение 5. Пусть С — код сигнатуры ив т. А = (А,т) алгебраическая система сигнатуры г. Код С
применим к системе А если: Фх(х,у,г) =
1) существует множество и с А", которое определимо в системе А формулой Ф0, а его дополнение - рде п[,^)/п]+^^1Ш_1)/а] + 1)в и к = 1езШ^п) +
формулой Ф„. +и-Ш-1)/п]п-Цп + 1,
2) существует отношение Ед с иг, которое является отношением эквивалентности на п-ках, причем гл,г ч
определяет Ед, а - дополнение к Ед. Фж(х,у,г) = V 1?'(г)*(х)' I;'(у)
3) для набора из С существуют элементы а,,...,ап е А, такие что (а[,...,а„)е и и Г,=а,. Обозна- где а[(1-1)/п]+1й ]й ([(¡-1)/а] + 1)а и к = гезШ-1,п) + чим сс=(а,,...,ап). ^ +Ц-[Ц-Ц/п]п-1)п + 1.
4) для каждой пары формул Ф, и ФР существует Константе 0 сопоставляется последовательность
отношение Рс с и", такое что Ф„ определяет Рг, а фор- /п П1 „„ ,
I _ " у /0,...,0). Константе 1 сопоставляется последователь-
I мула Фр — дополнение к Рс до множества и" . ' * '
ность 0,... ,0,1 Д... ,0,1,..., О,... ли, В которой в единиц
п п п
и (аЛ) участок из п нулей.
Поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно по одному элементу, то, очевидно, что отношение, определяемое Щ(х,у), является строгой конгруэнцией.
Библиографический список
1. АшаевИ.В., Беляев В. Я., Мясников А.Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости // Алгебра и логика. — 32. — № 4 (1993), - С. 349-386.
2. Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. — Новосибирск: Научная книга, 1996.
Изоморфизмом между системой Мп{¥) и кодом С (В) будет отображение, сопоставляющее матрице размерностью лхя последовательность, образованную строками данной матрицы.
МАВЛИКАСОВА Гульназ Чулпановна, ас систент кафедры математической логики и логического программирования.
Во время работы конференции.
