CC BY
40
Осокин Илья Александрович
O sokinIlyaAl exandrovi ch ассистент кафедры «Мосты и транспортные тоннели» Уральского государственного университета путей сообщения assistant of "Bridges and transport tunnels" Ural State University of Railway Transport
Ассистент/ assi stant E-Mail: ilyanashivfinale@mail.ru
05.23.11, Проектирование и строительство дорог, метрополитенов, аэродромов, мостов и транспортных тоннелей
Применение теории оболочек вращения к расчету гофрированных
водопропускных труб
Application of the theory of shells of revolution to the calculation
of corrugated culverts
Аннотация: В статье приведен обзор методов, применяемых в настоящее время для расчета гофрированных водопропускных труб. Предложен метод расчета водопропускных труб, выполненных из гофрированных листов, основанный на теории гладких цилиндрических оболочек с адаптацией для расчета гофрированных цилиндрических оболочек.
The Abstract: The article provides an overview of the methods currently used to calculate the corrugated culverts. The method of calculation of culverts made of corrugated sheets, based on the theory of smooth cylindrical shells with adaptation for the calculation of corrugated cylindrical shells.
Ключевые слова: Водопропускная труба, расчет, гофрированный лист, оболочка вращения, гофрированная оболочка.
Keywords: Culvert, calculation, corrugated sheet, the shell of revolution, corrugated shell.
***
Введение
Водопропускные трубы являются весьма широко применяемыми конструкциями для обеспечения водоотвода на автомобильных и железных дорогах. Для их изготовления применяются различные материалы. Наиболее широко применяемым материалом для водопропускных труб является железобетон. Однако, ввиду того, что железобетонные водопропускные трубы в процессе эксплуатации подвергаются совместному воздействию и нагрузок (силовых воздействий), и агрессивных сред (средовых воздействий), а проблеме мониторинга и эффективной эксплуатации железобетонных конструкций на автомобильных дорогах России традиционно уделяется недостаточное внимание [1], то в конструкциях железобетонных труб появляются дефекты и повреждения и силового и коррозионного характера, приводящие к предаварийным и аварийным ситуациям. Как следствие нарушается целостность вышележащей земляной насыпи, разрушается дорожное полотно и в результате нарушается регулярное движение автотранспорта по автомобильной дороге.
Проблеме проектирования и расчета водопропускных труб с учетом реальных условий эксплуатации в последнее время начинает уделяться повышенное внимание. Отметим публикации, посвященные этой проблеме [2 - 5].
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
Из-за значительного сокращения долговечности железобетонных водопропускных труб в агрессивных условиях эксплуатации возникает вопрос о путях повышения долговечности таких конструкций.
Наиболее эффективными способами увеличения долговечности водопропускных труб является использование фибробетона для изготовления труб [6], а также применение гофрированного металла при изготовлении водопропускных труб.
В последние годы большую популярность среди строителей набрали водопропускные трубы и другие искусственные сооружения, выполненные из гофрированного металла. К неоспоримым преимуществам данных сооружений относятся: относительно небольшой вес элементов конструкции, относительная простота сборки, меньшие, по сравнению с железобетонными конструкциями, сроки возведения, привлекательный внешний вид. Помимо использования гофрированных водопропускных труб вместо традиционных железобетонных, сооружения из гофрированных листов открывают новые возможности перед проектировщиками и строителями. Используя сооружения из гофрированного металла, есть возможность перекрывать пролеты длиной до 30 м, возводить сооружения для пропуска автомобильных и железных дорог в разных уровнях (путепроводы), сооружения для защиты дорог от камнепадов и другие конструкции [7]. При этом цена строительства сооружений из гофрированного металла значительно ниже цены малых и средних мостовых сооружений, имеющих аналогичную область применения [8].
Несмотря на все преимущества сооружений из гофрированного металла, на пути их применения в России стоит существенная проблема - несовершенство нормативной базы РФ, регламентирующей проектирование и строительство сооружений данного типа. Подтверждают данное утверждение также результаты натурных обследований, представленные в [9]. При этом, согласно расчетам, выполненным по ОДМ 218.2.001-2009 «Рекомендации по проектированию и строительству водопропускных сооружений из металлических гофрированных структур на автомобильных дорогах общего пользования с учетом региональных условий (дорожно-климатических зон)» [10], повреждений трубы силового характера (прогибы, овализация тела трубы и т.д.) не должно было быть. Помимо расчетной методики, приведенной в ОДМ 218.2.001-2009, для проектирования металлических гофрированных сооружений данным нормативным документом допускается (а в некоторых случаях рекомендуется) применение моделирования конструкций с помощью метода конечных элементов.
Метод конечных элементов на настоящий момент успешно применяется в зарубежной практике проектирования металлических гофрированных конструкций и в нашей стране при проектировании технически сложных объектов с пролетами более 5,0 м, имеющих сложный гидравлический режим, высокую сейсмичность площадки строительства, а также иные сложные условия эксплуатации. Однако метод конечных элементов также не лишен недостатков, основными из которых применительно к моделированию конструкций данного типа являются: сложность моделирования в программе работы грунтового массива, сложность моделирования гофрированного листа формы, достаточно близкой к оригинальной, сложность моделирования взаимодействия гофрированной оболочки трубы с грунтовым массивом, сложность моделирования работы сооружения в условиях поражения конструкции агрессивными средами.
Для решения задач по расчету круглых металлических гофрированных конструкций (МГК), предлагается использовать уравнения оболочек вращения общего вида. Однако, в связи с математическими сложностями, связанными с применением теории расчета оболочек вращения общего вида для расчета гофрированных оболочек (появление двух и более точек на поверхности гофрированной оболочки, соответствующих одним полярным координатам),
предлагается применить теорию расчета круглой цилиндрической оболочки с некоторыми дополнениями.
В качестве базовых уравнений предлагается использовать уравнения равновесия и геометрические соотношения для расчета круглых цилиндрических оболочек. Данные уравнения представлены, например, в [11].
1. Основные уравнения
1.1. Система координат
В цилиндрической оболочке
± = 0А = К (1)
где йги й2- главные радиусы кривизны оболочки;
г - радиус цилиндрической оболочке по срединной поверхности.
Для удобства расчета цилиндрической оболочки от декартовой системы координат с
осями х, у, 2, где 2 - координата, нормальная к срединной поверхности оболочки, а х и у -
линии главных кривизн, перейдем к безразмерным^ и р:
>- X У
$ = ->р = -> (2)
при этом:
(йз)2 = (йх)2 + (йу)2 = (гй%)2 + (гйр)2-,А1 = гш,А2 = г. (3)
где А1 и А2 - метрические коэффициенты Ламе;
Для получения уравнений равновесия цилиндрической оболочки воспользуемся системой дифференциальных уравнений равновесия оболочки общего вида:
1.2 Уравнения равновесия
д(^1А21+д(5гА2)+51дА1_М2дА1$+01 + &1=о. (4)
1 даг 1 даг 2 да-^1 И1
А1Аг
1
А1Аг
1
А1Аг
да
д(%1Аг) . д(%гА
да1
д((гА1) . д(н1Аг)
+щат_"-±_!±+Чп = о-, (5)
да2 I Е, и2 нп ' '
д +дО)А1) + дОг _ +1201$ _ ,2=0 (6)
даг да; 2 да1 1 даг\ 2
Где Ы1, #2, ,1, ,2, !1, Б2 - продольные, поперечные и сдвигающие силы;
+1, М2, Н1, Н2 - изгибающие и крутящие моменты;
и &п - внешняя раномерно-распределенная нагрузка.
Исходя из уравнений (4) - (6) и имея в виду выражения для А1 и А2 согласно (3)
получим:
д# дБ2 дБ1 д#
ИГ+~дР + гЧ1 = 0'’~д^+~дР + ,2 + гЧ2 = 0'’
1^ + 1%г_#2+г&п = 0; д-^^-^_,2г = ° ^+ддг_,1г=0-’51_52_н-7=0. (7)
Для получения интересующих нас геометрических соотношений цилиндрической оболочки, обратимся к формулам параметров деформации срединной поверхности оболочки общего вида (8), приведенным в книге [11].
1.3 Геометрические соотношения
1 диг , 1 дАг , ю
01 — —^—+------^—2.9 Н—;
Аг даг АгА2 да2 Яг
1 ди2 , 1 дА2 , ю
02 — —------1----—21 Н—;
9 А2 да2 АгА2 даг 1 Я2
4 — А2 д 5и2\ + Аг д 5иЛ;
Аг даг \А2/ А2 да2 \Аг)’
_ 1 д / 1 дю иЛ 1 дАг ( 1 дю и2\
1 Аг даг \Аг даг Яг) АгА2 да2 \А2 да2 Я2/’
_ 1 д / 1 дю иЛ 1 дА2 / 1 дю иг\
2 А2 да2 \А2 да2 Я2) АгА2 даг\Аг даг Иг/’
— 1 ( д2з 1 дАг дю 1 дА2 дю 6 + 1 ( 1 диг 1 дАг и 6 +
АгА2\дагда2 Агда2даг А2дагда2) Иг\А2да2 АгА2да2 1)
-(—дг1-—да1и2) (8)
Я2 \Аг даг АгА2 даг )
Где01, 02 осевые деформации точки срединной поверхности оболочки;
4— сдвиг в точке срединной поверхности оболочки, возникающий в результате деформации;
х1, х2— величины, характеризующие изменения кривизн срединной поверхности оболочки;
т — величина, характеризующая кручение срединной поверхности оболочки;
и1, и2 и 8 — компоненты вектора перемещений точек срединной поверхности оболочки.
Геометрические соотношения (8) при учете (1) и (3) приобретают вид:
1 ди2 диг + 8);4—-\—+!/;}■
— — (д2з _ ди2) . — _1( д2з _ ди-Л (9)
г2 (д/2 д/ 6 ' г2 (д.д/ д. 6 ( )
1.4 Замечания о физических уравнениях
Соотношения упругости (физические уравнения) сохраняют свой общий вид (10), (11), при котором шестое уравнение равновесия (7) удовлетворяется автоматически, в связи с чем в дальнейшем рассматривать его не будем.
#1 — (01 + =02)' +1 — 12(1-ц2) &1 + =х2У; (10)
5 — -^ш'Н— ЕПЗ т (11)
2(1+<) 12(1+<) у ’
Где Е и = — модуль упругости и коэффициент Пуассона для данного материала.
1 диг 1 (ди2
01 г д. '02 = г\ д/
1 д2ю
х1 г2 д.2 ' Х2 —
1.5 Г раничные условия
Статические граничные условия на торцах % — %0 и % — ^замкнутой цилиндрической оболочки имеют вид:
1дН1 ,1+7-
Н1 Н1
Б1+ — — Б1+ —
г г
г дфЬ-.0 {0}
1дН1 ,1+7
{0}
г дф.
■ +1к-?„—м[01;
,1 +
1-Нл
г дф
1 дН1 ,1+7
г дф
т
!1 + т]?-?1 — [!1 + )] ■м1к-ь — +г)-
(12)
Вместо граничных условий (12) или части из них могут быть заданы кинематические условия — условия для функций и1, и2, ши М1, при этом нельзя задавать одновременно энергетически связанные усилия (момент) и перемещения (поворот).
1.6 Разрешающие уравнения в перемещениях
Будем следовать классической схеме получения разрешающих уравнений в перемещениях, а именно, выразим условия равновесия через параметры деформации, пользуясь физическими уравнениями, в результате чего получим уравнения равновесия в деформациях, справедливые для оболочки, материал которой подчиняется закону Гука.
Далее, используя геометрические соотношения (9), представим эти уравнения через перемещения. Сам факт использования уравнений (9) гарантирует совместимость деформаций, вследствие чего полученные уравнения в перемещениях выражают равновесие оболочки, материал которой подчиняется закону Гука и в которой соблюдается совместимость деформаций.
Предварительно упростим исходные уравнения равновесия — исключим из них ,1и ,2. Для этого найдем ,2 из четвертого, ,1 — из пятого уравнений системы (7) и подставим соответствующие выражения во второе и третье уравнения той же системы. Произведя эти операции и учитывая сказанное выше о шестом уравнении равновесия, получим систему уравнений равновесия в следующем виде[11]:
a-^ + a-S^ + г&—=0■,д|t + д^ + ^,^дlt + д/.) + гq2—0;
Ш + ^+Ш + ^б—^+г^О 03)
Для адаптации данного вида уравнений, к решению задач расчета цилиндрических гофрированных оболочек, введем следующие предположения:
1) в продольном направлении оболочку примем условно-гладкой. При этом кривизна образующей не учитывается, следовательно, радиус в продольном направлении равен бесконечности (Ю=го, 1/ Ю=0)
2) в поперечном направлении вместо величины г (радиус от центра окружности цилиндрической оболочки до ее срединной поверхности) вводится функцияг (х). Причем вид функции может быть различным и будет зависеть от формы образующей рассматриваемой оболочки.
2. Преобразуем приведенные выше уравнения (1-13) с учетом представленных предположений
2.1 Безразмерные координаты ^ и ф примут вид:
%—^-уФ=^-у (14)
2.2 Уравнения равновесия примут вид: д#1 д!2 д!1 д#2
~д1+~дф + г (х)-«‘ — 0;1%+аф + ,2 + г (Х)Ч2 = °'
д,1 д,2 дН1 дМ2
-дГ + 1ф_#2 + Г (Х)'Чп = 0'1)% + ~дф—,2']Г (Х) — 0'
а-дГ+д-^_ «'•г (Х)=0'!1_ !2_;)у—0- (15)
2.3 Геометрические соотношений примут вид:
1 ди1 1 /ди2 \ 1 (ди2 ди1
' 02
/ дщ \ 1 / ди2 дил \дф + 8)';4—77ХУ\дГ + ~дф)''
г (х) д% г (х) V дф 7 г (х) V д% дф
1 д2ш 1 (д2ш ди2
Х1 — ' Х2
г(х)2 д%2 ’ г (Х)2\дф2 дф) ’
-,- — 1 { д2ш ди2\ (Л(-Л
г (х)2 (д.д/ д. 6 ( )
2.4 Уравнения равновесия после исключения из них членов Q1и Q2 примут вид: д#1 д!2 1Г+1ф+Ч1^г(х) = 0; д!1 д#2 1 (дН1 дМ2>
д#2 1 /дН1 дМ2\
+ ~дф + ТТХ) Ш + ~дф) + &2 •г(х) — 0;
д% дф г (х) V д% дф
1 д /дМг д)2\ 1 д /дЯг дМ2\ .. , .. _
Г7Х)д? + ^/2) + Г7Х)д/ _ #2 + &” •г (Х) — 0 (17)
Рассмотрим дальнейший вывод разрешающих уравнений, представленный в [11] для гладких цилиндрических оболочек с учетом предлагаемых дополнений для гофрированных цилиндрических оболочек.
Выразим силы#]_, #2, !1, !2и моменты Н1, Н2, М1, М2через перемещения, пользуясь физическими уравнениями (10) и (11) и геометрическими соотношениями (9):
.. Е: а л Е: Гдит , ,ди2 ,
#1 = ~ (01 + =02) = (1-,2)г (х) [~ + =(~д/ + 8)] '
#2—-!:^(02 + =01)^_Е:_[51= + 8 +=£1.] ;
2 1-<2 2 (1-<2)г (х) |_д/ д. ]
! е: + е:> \ е: 1 (ди2 + диг) е:> 1 [ д (дю
1 2(1+<) 12(1+<) ] (х) 2(1+<) г (х) ( д. д// 12(1+<) (г (х))> [д. (д/
и2)] '
! __ е: _ е: 1 (ди2 + диг)
2 2(1+<) 2(1+<)г (х) ( д. д/) ’
н1 = н2 =
12(1+<)
-т =
е:>
1 д /дтз 12(1+<) (г (х))2 д. (д/
М1
М2
е:>
12(1-<2)
е:>
(Х1 + =Х2) = -
е:>
12(1-<2) (г(х))2
дз \
д/ и2)’
1 /д2ш | д2з ди2\
х))2 (д.2 = д/2 = д/ 6 ;
12(1-<2)
Подставляя (14) в (13), получим:
ЕЛ 1 (д2и1 д2и
(Х +ах) =________еЛ>____^(д13"ди1 + ид1з)
(Х2^ =Х1) 12(1-<2) (г(х))2 (д/2 д/ = д.2)-
2
д.
2
д/
=2 г
+ = ■
(хДд^2 ' ^дф • &1 = 0;
2 дш) ЕЛ 1 / д2и2 д2и
+ = д$ ) + 2(1 + =) г (х) \д$дф +
д2иЛ дф2 Х
(18)
+ г(х)
е:>
д.д/ зЗ,
-—(-
(х))З
дЗз
е: 1 (д2и2 | д2иг\
2(1+<) г (х) ( д.2 = д.д/6 12(1+<) (г(х))> \д.Зд/
д2иЛ |______е:> 1 ( дЗз д2и2
= д.д/6 г (х) I. 12(1+<) (г(х))2 (с
д212
д.2
) +--<
/ 1-<2
1 (д212 | дз |
■ (х) ( д/2 д/
' (х) I. 12(1+<) (г(х))2 \д.2д/
=з§У] + Г (х)-«2 = 0;
д.2
) е:> 1 (дЗю
6 12(1-<2) (г(х))З (д/З
д212
д/2
|
ЕНЗ
д-3 + 2 д'з
_д.4 д.2д/2 ' д/4
дЗ12
д.2д/ д/З
(19)
12(1-<2) (г (х))З
8 + =Щ) "Г (х) •&” = 0.
или, объединяя в каждом из уравнений члены по признаку операций отдельно над каждой из составляющих перемещений и1, и2и ш, получим:
( д2 , 1-< д2 \
( Т72 I-----^—2 ) и I
д.2 2 д/2 1
д.
1+< д2 2 д.д/
и
д/
1 | (
1+< д2 Э (г (х))2(1-<2)
---ТГ^и? + = 778 I----------- ---0-. = 0;
2 д.д/ 2 ^д. Е: “1
-< д2 11-< :
:2
(-1
-< :2
2 д.2 дЗ
д2 , _д^ , :2(1-<) д2 ,
12 (г (х))2 д.2 д/2 12(г(х))2 д.2 12(г(х))2 д/2 ^ ^2
и2 |
+ —
12 (г (х))2 д.2д/ д/
(г (х))2(1-<2)
1-< :2
:З
:2
12 (г (х))2 д.2д/ 12(г (х))2 д/З 12(г (х))2 д.2д/
= ■
е:
■02 = 0;
■ =
|
:2(1-<) дЗ
|
:2(1-<) дЗ
|
12(г (х))2 д.2д/ 12(г (х))2 д.2д/ 12(г (х))2 д.2д/ 12(г (х))2 д/З д/
-)
д/
и2 |
: =
:2(1-<)
12(г (х))2 д.4 12(г (х))2 д.2д/2 12(г (х))2 д.2д/2 12(г (х))2 д/'
1)8 + <Т<^^,л
= д.и1 = 0
(20)
12(г (х))2 д.2д/2 У Е:
Приведя подобные члены внутри каждой из скобок и введя обозначения для соответствующих операторов, получим:
д2 1
гдеа
С11 = 2 дд |
= 1 2 -3 С12; 2 2
С23 = д д/ а2
С31 = С13; С32
:2
12(г (х))2
= д2 ^ 1 + = д2 ^ д
“дф2;С12 = 2 д^дф; 113 = =д|;
|
| а2
1 — = д2 2 д^2 ' дф2
2 — ^ дЗ , _дЧ _
2 д.2д/1 д/З$;
С23; С33 = 1 + а2У2У2,
д2 д2 2(1 — =) +
д^2 дф2
(21)
(22)
Введем также следующие обозначения:
_ 1 - =2
/1 = -(г(х)У /з = -(г (х))
2 1-<2 е:
* /п^1-=2 &1, /2 = -(Г(Х)Ь ^ &2,
(23)
Получим решающую систему уравнений для гофрированной цилиндрической оболочки в перемещениях:
С11и1 1 С12и2 1 С138 = /1,
С21и1 1 С22и2 1 С238 = /2,
С31и1 1 С32и2 1 С338 = /3. (24)
Операторная матрица системы уравнений (24) симметрична. Принимая операторы в линейных дифференциальных уравнениях (24) в качестве коэффициентов, эти уравнения можно решить на определенном этапе расчета формально как линейные алгебраические уравнения. В матричной форме (24) записывается так:
С11 С12 С13 21 /1
С21 С22 С23 • 22 = /2 1 В II > (25)
С31 С32 сзз 2з /з
Вид матрицы 1 и столбцов и и / очевиден из сопоставления двух вариантов записи матричного уравнения в (25). Общее решение системы уравнений (24) или, что то же самое, уравнения (25) складывается из какого-либо частного решения этой системы и из общего решения соответствующей однородной системы уравнений:
2 = 2(1) і 2(0).2 = 2(1) і 2(0). 8 = 8(і) і 8(о)
21 — 2і “Г 2і ; 22 — 22 “Г 22 ,8 — 8 “Г Ш .
(26)
Верхний индекс (1) относится к частному решению неоднородной системы, а индекс (0) - к общему решению однородной системы. Частное решение найдем в форме
В11 В21 В31 В12 В22 В32 В13 В23 В33
Ре1(Ь)
П;
(27)
здесь С*--миноры определителя det(1), а матрица этих миноров - союзная матрица.
Обратим внимание на различие операторов С*- и С—. Вследствие симметрии матрицы Асимметрична и союзная матрица, следовательно С*- = С—. В развернутом виде частное решение неоднородной системы выглядит так:
2
(1)
2
(1)
(1)
где:
/і
С11Ф1 Г С21Ф2 Г С31Ф3; С12Ф1 Г С22Ф2 Г С32Ф3; С13Ф1 Г С23Ф2 Г С33Ф3;
Фі (і = 1,2,3)
Реі(Ь)
(28)
(29)
Миноры С*- определяются по следующим формулам:
С11 = С22С33 — С32С23; С21 = —(С12С33 — С13С32);
С12 = —(С21С33 — С23С31); С22 = С11С33 — С31С13;
С13 = С21С32 — С22С31; С23 = —(С11С32 — С12С31);
С31 = С12С23 — С13С22;
С32 = —(С11С23 — С13С21);
С33 = С11С22 — С12С21,
или, учитывая (25), в развернутом виде получим:
Сц = (1 — =)а2 (1 + 2а2)д.-+ а2[(2 — =) + а2(1 -=2)] д
г2
=
)]
д.2д/'
д/6
. 1+< 2 д-=—а2д?гд/
д.6
+ а€ + 2а2 (2 — =)
д.2д/2
+ 2а2 д/' + (1 — =) (1 + 2а2) -2 + а2 -Э^;
д/' 4 \2 / д.2 д/2
(1 + =)а2-дй/З-^
д/'
1+< 2 д6 —— а2----------
2 д.д/5
а2(2
д2 д/2
(30)
а2=(2 — =)
д.Зд/
а2=
д.д/З
1-< д2 2 д.д/;
1+< 2.„ л дь
^13 =-а2(2 — =) „„^ 2
13 2 д.Зд/2
-1Та2 - (1 - =)= й + 2а2) I? + (1т - =а2)
С22 = а2^ + ^(5-=)
а
2
д.'д/2
+ а2(2 — =)
д.д/2
+ а2(1^^ + (1 - =2) Л. + .
- д/6 (± = )д.2 2 д/2;
С23 = а2(2 — =)
I----(4 — 3= + =2)
д.'д/ 2
д.2д/' 2
д5 , 1-< 2 д5
1-< 2 д5 1 2Л дЗ
д.2-/ + 2 а д/5 2 (2 = = ^д.2д/
1-< дЗ 2 -/З ;
Сзз = (1-=)(- + 2а2)--'+[(1-=) + а2(2-2= + =2)]^i-/7 + --^(1 + а2)-/I. (31)
Обозначим оператор det(1) символомЛ. Для отыскания функции Ф* имеем уравнения (24), которые запишем так:
ЛФ* = / (32)
В иной форме эти уравнения выглядят так:
С11 С12 С13
С21 С22 С23
С31 С32 С33
(33)
или
(С11С22С33 1 2С12С23С31 С22С13 С33С12 С11С32)Ф1 = /£-
Учитывая (21), получим:
,2(1-<)
{(1 + 4а2)
д8Ф;
-.8 +4(1 + а2)д.-д/2
|6т. Лб
-8Ф( +[6 + а2(1-=2)ГЭ8ф(
Э.4Э/4
+
. э8ф . э8ф . (0 2 =2) Збф> | о Э<5ф; . 2Э<5ф( . (1 =2) 5 1 . .
4 Э.2Э/} + Э/8 + (0 - 2= ) э.'Э/ + 0 а.2Э/4 + 2 3/6 + (1 - = ) 5„2 + 46 +
Э.2Э/} Э/8
4 Э'ф; . Э4ф;
Э.2Э/2 Э/'
Э.'
(34)
Общее решение 2®, и20), 8(0) однородной системы уравнений, соответствующей (24), получаем из (29) заменой фъ ф2, ф3 на ф^,0, где ф^,0 является решением однородного уравнения, соответствующего уравнению (32), т.е. решениям уравнения:
С11 с12 с13
С21 С22 С23
С31 С32 С33
ф£,0 = 0,
(35)
тогда
(0) _
(0)
— С12ф1,0 1 С22ф2,0 1 С32ф3,0; С13ф1,0 1 С23ф2,0 1 С33ф3,0-
При этом можно положить:
2Ф
Ф1,0 = 0; Ф2,0 = 0; Ф3,0 = 1 ,
Отсюда:
(0)
с311—; и20) 311_< 2
С32 —; ш(0) 32 1_<
33
2Ф
1_<
(36)
(37)
(38)
Заметим, что при использовании формул (38), в которых из трех функции Ф10, Ф2,0,
2Ф
Ф3,0сохранена лишь Ф3,0 =---------, теряются некоторые решения, например решение,
Л.
соответствующее простому растяжению: и1 = —, и2 = 0, ш = Л.
Эти перемещения удовлетворяют однородным уравнениям, соответствующим (24). В каждом из выражений (38) содержатся свои постоянные интегрирования. Учитывая (25), разрешающему уравнению в однородной задаче придадим вид:
С11 с12 с13
С21 С22 С23
С31 С32 С33
1_<
Ф = 0.
(39)
Запишем это уравнение в развернутой форме
и + 4а2)^Ф + 4Ц-а2)-
Э8Ф .г,- . 7,л Э8Ф , . Э8Ф , Э8Ф ,
2гл — ■■2^1---------------------------------------------Ъ 4-I-Ъ
1 1 г-О О 1 О 1
+ [6 + а2(1 -=2)]
Э.'Э/'
4п
Э.2Э/8 Э/8
'т Я'<\
Э.8 ’ у у Э.}Э/2
2л Э6Ф , _ Э6Ф , „Э6Ф , , ЛЭ'Ф . Э'Ф , Э'Ф
(8-2= )Э^ + 8Э^ + 2Э/} + (1- = )5,2 + 4)э^ + 4^^ + ^ 0.
(40)
1.
Упрощенные формы разрешающего уравнения
В формулах (21) члены, содержащие а2, малы по сравнению с остальными (исключение составляют члены, входящие в выражение С33). В связи с этим Л. Доннелл пренебрег ими и получил упрощенное по отношению к (34) уравнение:
,2(1_<)
------ -|- ------ -I- Г1 --- -I- М- -- -I- -- -1-11 — и I
а2 Э.'.
Э.}Э/2
Э.'Э/'
Э.2Э/} Э/8
+ (1-=2):1г1гп1] = /1 (41)
или
,2(1_<)
у2у2у2у2Ф, +
1_<2 Э'Ф а2 Э.'
!] = л-
(42)
Аналогично уравнение (38) приобретает вид:
у2у2у2у2ф + — 0. (43)
а2 Э.4 4 '
Соответственно упрощаются и формулы для миноров , через которые выражаются перемещения и в частном решении неоднородной системы уравнений, и в общем решении соответствующей однородной.
ЛУ2У2ш — У.ф — &п; —У2У2ф + — 0 .
9:
—Ч1^28 + 5Н+0*1+0*2 + ,„ — 0. (44)
Или:
ЯУ2У28 - У2ф -&п = 0; V2 = к-^ + ^ (45)
Уравнение (43) может быть получено и из системы уравнений теории пологих оболочек. Действительно, рассмотрим систему (44), предполагая ее однородной (&п = 0). С учетом формул (45), (1) и (3) система приобретает вид:
ЯУ2У2ш --Щ = 0, — У2У2Ф = 0. (46)
г(х) Эх2 9: г (х) Эх2
Совершим операцию У2У2 над вторым уравнением системы (46):
— у2у2у2у2Ф + —-Э22 У2У2ш = 0. (47)
9: г (х) Эх2 4 7
2 2 1 Э2Ф
Подставляя сюда:г™№ = ( ) д , получим упрощенное уравнение (48):
У2У2у2У2Ф + 12(1;<2) Э'Ф = 0 (48)
(г (х))2:2 Эх'
Это уравнение аналогично (49), если положить = 0, как и должно быть на основании статико-геометрической аналогии. Переходя к безразмерным координатам и используя формулу для а2, получим (43).
-Эт(—= У2У2&"- (49)
-2 Ч (х) Эх| ] ™ ’
ОУ2У2У2У2ш +
.г (х) Эх2 г (х) Эх2
Уравнение (43) дает приемлемые результаты в тех случаях, когда напряженное состояние хорошо описывается гармониками с большими номерами,и менее удачные результаты - в случае медленно меняющихся по пространственной координате напряжений. В этом смысле лучшей является аппроксимация точного уравнения, предложенная Л.С.Д. Морли:
У2У2(У2 + 1)2Ф + 12(1-?г (х))2ЭФ = 0. (50)
Использование этого уравнения позволяет получить достаточно хорошие результаты как при быстро, так и медленно изменяющихся напряжениях по пространственной координате.
3. Моментная теория осесимметричной деформации гофрированной цилиндрической оболочки
Рассмотрим общие уравнения осесимметричной деформации гофрированной цилиндрической оболочки. Вследствие осевой симметрии деформации ,2 = 0 и производные всех функций по ф обращаются в нуль ввиду их независимости от ф. Тогда общие уравнения равновесия (7) гофрированной цилиндрической оболочки разделяются на две системы и приобретают следующий вид:
^р + г(Х) ■ &1 = 0;“|-—#2 + г(х) ■ Чп = 0;“(-- С1 ■г(х) = 0; <51)
+ г(х) ■ &2 = 0; = 0; !1 — 52 — г)) = 0. (52)
При этом система (52) соответствует кручению оболочки. Геометрические уравнения также распадаются на две системы:
__ 1 _ 3 _ 1 ^3 /-с->\
01 = г(х) “. ; 02 = 7(0); Л'1 = — (г(х))2 й.2 ; (53)
= 1 “12 ; = 1 “212 (54)
4 = г(х) ; 7 = (г(х))2 й.2 ' (54)
Система (50) соответствует кручению оболочки.
Выводы.
1. Приведенные в настоящей работе уравнения могут быть использованы для моделирования поведения водопропускных труб круглого очертания из гофрированного металла.
2. Для решения полученных уравнений могут быть использованы либо вариационные, либо численные методы (метод конечных разностей, метод ортогонализации С.К. Годунова).
3. Применение полученных полных и упрощенных уравнений гофрированных цилиндрических оболочек позволит проанализировать их поведение с учетом реальных схем нагружения и граничных условий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Овчинников И.Г., Овчинников И.И. Анализ причин аварий и повреждений транспортных сооружений// Транспортное строительство. М. 2010, №7. с.2-5.
2. Иванов А.В., Овчинников И.Г. Моделирование напряженно-деформированного состояния осесимметрично загруженной железобетонной цилиндрической оболочки в условиях хлоридной коррозии// Региональная архитектура и строительство. 2007 №1(2), с. 43 -52.
3. Овчинников И.И., Калиновский М.И Модель деформирования железобетонной водопропускной трубы при действии на нее произвольной нагрузки и агрессивной хлоридсодержащей среды// Дороги и мосты. Сборник статей ФГУП РосдорНИИ. М. 2009. -вып. 22/2. - С. 186-200.
4.Калиновский М.И., Овчинников И.И. Напряженно деформированное состояние и долговечность прямоугольной железобетонной трубы при действии карбонизации и хлоридсодержащей среды // Строительные материалы. 2010. №10. С.15-17.
5.Овчинников И.И., Мигунов В.Н., Овчинников И.Г. Цилиндрический изгиб железобетонной пластины на упругом основании в условиях хлоридной агрессии// Жилищное строительство. 2012. №10. с. 6-8
6. Калиновский М.И., Овчинников И.И. Построение модели деформирования сталефибробетона в плоском напряженном состоянии применительно к расчету водопропускных дорожных труб // Транспортное строительство. 2009. №6. С.28-30.
7. Петрова Е.Н.. Проектирование и строительство транспортных сооружений из металлических гофрированных элементов. : учеб.пособие / Е.Н. Петрова. - М. : МАДИ, 2012.
- 56 с.
8. Лебедева Т.Б., Селина Т.Л., Беляев В.С. и др. Практика применения металлических гофрированных конструкций в хабаровском филиале ОАО «ГИПРОДОРНИИ»: сб. науч. тр. / Вопросы проектирования и строительства автомобильных дорог: опыт и инновации. Екатеринбург, 2010. №1. С. 162-175.
9. Осокин И. А., Пермикин А. С. О проблемах эксплуатации гофрированных водопропускных труб под насыпями автомобильных и железных дорог уральского региона. :Материалы международной конференции «Сучасніметодипроектування, будівництва та експлуатації систем водовідводунаавтомобільних дорогах» (1 - 2 березня 2012 року). - Киев: НТУ, 2012
10. ОДМ 218.2.001-2009. «Рекомендации по проектированию и строительству водопропускных сооружений из металлических гофрированных структур на автомобильных дорогах общего пользования с учетом региональных условий (дорожно-климатических зон)».
- Введ. 2009-06-21. - М. : Изд-во стандартов, 2009. - 201 с.
11. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - 3-е изд., перераб. и доп. - Л.: Стройиздат. Ленингр. отд-ние, 1987. -384 с.
Рецензент:Кочетков Андрей Викторович, председатель Поволжского отделения Российской академии транспорта, академик РАТ, д.т.н., профессор
