CC BY
45
УДК 539.3
А. В. Лопатин, А. Н. Демин
ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОЙ АНИЗОТРОПИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ КОМПОЗИТНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Рассматривается задача устойчивости композитной цилиндрической оболочки, стенка которой состоит их слоев одинаковой толщины, армированных под углом ±ф к образующей. Показано, что при определенном отношении толщины стенки к толщине слоя структуру стенки необходимо считать анизотропной. Исследовано влияние структурной анизотропии на устойчивость оболочки, нагруженной осевой сжимающей силой.
Рассмотрим слоистую цилиндрическую оболочку, нагруженную осевыми сжимающими усилиями Т (рис. 1). В качестве носителя формы оболочки примем ее срединную поверхность. Отнесем эту поверхность к системе криволинейных координат а0у Направим ось а по образующей, ось в - по окружности цилиндра, образованного срединной поверхностью, а ось у - по нормали к срединной поверхности. Обозначим через I длину оболочки, через R - радиус срединной поверхности оболочки.
Типичной структурой стенки композитной цилиндрической оболочки является система слоев одинаковой толщины, армированных под углом к образующей цилиндра. Как правило, слою с углом армирования +ф соответствует
Рис. 1. Нагружение оболочки
Г
-<р \
+<Р
-<Р
+<р
-<р
+(р
а.
Рис. 2. Схема армирования стенки оболочки
Подобные слоистые структуры принято считать ор-тотропными. Однако это утверждение является справед-
ливым только в том случае, когда число слоев, формирующих стенку оболочки, велико. При определенном отношении толщины стенки к толщине слоя структура стенки, состоящая из слоев с углами армирования ±ф, должна рассматриваться как анизотропная. Для доказательства этого утверждения выполним анализ жест-костных параметров в физических соотношениях, записанных в характерном для анизотропных оболочек виде:
= В11 6а + В12 6р + В13 6ар + С11Ха + С12 Хр + С13 Xар ,
^Р = В21 6а + В22 6р + В23 6ар + С21Ха + С22 Хр + С23 Хар ,
^ар = В31 6 а + В32 6р + В33 6 ар + С31 Ха + С32 Хр + С33 Х ар Ма = С11 6а + С12 6р + С13 6ар + В11 Ха + В12 Хр + В13 Хар Мр = С216а + С22 6р + С23 6ар + В21 Ха + В22 Хр + В23 Хар ,
Мар = С31 6а + С32 6р + С33 6 ар + В31Ха + В32 Хр + В33 Хар ■
Здесь Ма, N, #ар - мембранные усилия; Ма, Мр - изгибающие моменты; Ма|3 - крутящий момент; 6а, 6р, 6ар - компоненты мембранной деформации;Х а , Х р - компоненты изгибной деформации;Х - компоненты крутильной деформации; В,С,В - мембранные, смешанные и изгибные жесткостые параметры стенки оболочки.
Жетскостные параметры стенки оболочки определяются по формулам [1]
(1)
Вт„=\Amndу, Cm„=jAmn уdу, Dmn= JAmn у2 dу, (2)
(п = 11,12,13, 21, 22, 23, 31, 32, 33), где h - толщина оболочки; Атп - коэффициенты жесткости слоев. Для слоя, армированного под углом ф к оси а, величины Атп определяются следующим образом:
А11 = Е1 с4 + Е2 54 + 2Е12 с 252,
А13 = с 5 [ с2 - Е2 52 - Е12 (с2 - 52)]
А23 = с 5 [Е1 52 - Е2 с2 + Е12 (с2 - 52 )]
А12 = Е1 ц12 + (Е1 + Е2 - 2Е12 )с2 52,
A22 = E1 54 + E2 c4 + 2E12 c2 52
A21 = A12
A33 = (E1 + E2 - 2E12 ^12 )c252 + G12 (c2 - 52 )
[32 = A23, E12 = E1 Ц12 + 2
E,
(3)
A31 = A13,
E1=■
E2 =
E
1 Ц12 M 21 1 Ц12 M 21
c = cos Ф, 5 = sin ф.
Здесь E1, E2 - модули упругости в направлении армирования и направлении, перпендикулярном ему; G12 - модуль сдвига; ц12, ц21 - коэффициенты Пуассона.
Коэффициенты жесткости Атп рассматриваемой слоистой структуры (см. рис. 2) являются кусочно-постоянными функциями координаты у Выполняя в формулах (2) интегрирование по слоям для жесткостных параметров B, C, В, получим выражения
Bmn = 2(о An’) C—п = (-1)' 4-(- аЄ-+аЄ,’)
2 4 k
D = ((-) + A(+))
mn 2^ n >en p
h1
(4)
(п = 11,12,13, 21, 22, 23, 31, 32, 33),
где к - число слоев; А^ - коэффициент жесткости слоя с углом армирования -ф; А^^ - коэффициент жесткости слоя с углом армирования +ф.
Вернемся теперь к формулам (3), определяющим для заданного материала зависимость коэффициентов жесткости от угла армирования. Подставляя в них углы -ф и +ф и сравнивая величины А^ и а£^, получим следующие соотношения:
Атп = 42, если тп = 11, 12, 21, 22, 33;
Атп=-А,(+г}, если тп=I3,23, з1,32.
Преобразуем далее равенства (4). С учетом соотношения (5) будем иметь
Г^А,(+г}, если тп = 11,12,21,22,33,
|о, если тп = 13, 23, 31, 32,
B=
с=
D =
mn
k и1 (-1)2 hkAm
если
mn = 13, 23, 31, 32, О, если mn = 11, 12, 21, 22, 33,
(6)
hi А( 12 є
если mn = 11, 12, 21, 22, 33,
Nа = B11 Єа + B12Єр + C13Хар ,
M а = C13 Єар + D11Х а +
М а
Np B21Eа + B22Єр + C23Хар ,
M р = C23 Є ар + D21Х а + D22 Х р,
(7)
(В)
д N д Nа
+
д а д p
= О,
д-No д N
ар
+
д а д p
= О,
(9)
д 2М а
да2
+2
д^Мар д Мр Np
t-о д2 w
д а д p д p
R
+N =0; (іо)
а да2
геометрические соотношения:
д2w д 2w , д2w
Xа =-^“^, Xр = -Ч7ГТ, Xар =-^^-1п ; (11)
да2
д p2
уравнение совместности деформаций
д 2є а +д 2£р
д 2Є а
і д2 w
д p д а д а д p R д а
д а д p
= 0.
(12)
В уравнениях (9).. .(12) не оговоренные ранее обозначения имеют следующее значение: w - прогиб оболочки, N° - мембранное усилие, соответствующее докри-тическому состоянию оболочки. Примем, что исходное напряженное состояние является безмоментным. Тогда для мембранного усилия N° будем иметь
n а=-т.
(13)
В соответствии с традиционной схемой решения задач устойчивости цилиндрических оболочек в рамках технической теории введем функцию напряжений / (а, Р )по формулам
N=
д 2f
N=
д 2f
д 2f
N =----------—
ар да дp.
(14)
Эр 2 ’ р д а2
Подстановка усилий (14) в уравнение устойчивости (9) приводит к их тождественному удовлетворению. Получим разрешающую систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных прогиб оболочки и функцию напряжений. Первоначально разрешим физические соотношения (7) относительно мембранных деформаций. В результате преобразования получим
0, если тп = 13,23,31,32.
Подведем некоторые итоги. В физических соотношениях (1) подчеркнутые члены в соответствии с равенством (6) обращаются в ноль. Однако смешанные жесткости С13, С23, С31, С32 для рассматриваемой слоистой структуры отличны от нуля. Их величина, как это следует по формулам (6), обратно пропорциональна числу слоев к. Только при достаточно больших значениях к смешанные жесткости С13, С23, С31, С32 можно рассматривать как малые величины, а слоистую структуру стенки - как ор-тотропную. Таким образом, физические соотношения (1) принимают следующий вид:
Є а = E11 N„ + E12 NP - F13 X „p , Єр = E21 N„ + E22 Np - F23 X„p , Є ар = E33 Nар - F31 X а - F32 Xp ,
(15)
где
E = ^22' 11 B ;
En = £21 =- Bp
B22 CB Bi2 C23 .
F =--------B-------•
F„ =
B11C23 B21C13 ,
B ’
C
_____ F = -31; F3i R ;
B33 C
F32 = C2; B = BiiBn - Bi22.
B
(16)
'ар = С31£ а + С32 £р + В33 Хор ■
Оценим влияние смешанных жесткостей С13, С23, С31, С32 на несущую способность оболочки. Воспользуемся для решения задачи устойчивости цилиндрической композитной оболочки уравнениями технической теории. В рамках этой теории система уравнений, описывающая потерю устойчивости оболочки, помимо физических соотношений (7), (8) включает линеаризованные уравнения устойчивости:
Исключим далее мембранные деформации из физических соотношений (8). Подставляя (15) в (8), будем иметь
M а = G13 Nap + Нц X а + Н12 X р ,
Mр = G23 Nар + Н21Xа + Н22 Xр , (17)
Mар = G31 Na + G32 Np + Н33 X ар ,
где
а, = С13£33; G23 = C23£33; G3l = C„En + C32Ea; G32 = C31E12 + C32£22;
H =D - C F ■ H = H =D - C F
11 -^11 V~'13J 31’JJ12 21 -^12 V~'13J 32
(1В)
Затем, последовательно подставляя (17), (15), (14) и (13) в уравнения устойчивости (10) и совместности деформаций (12), получим
NаP = B33 Єар + C 31Х а + C32
H =D -C F ; H =D -C F -C F
її и -‘—‘^22 ^-'21 И’11! ^31^ 13 ^32^ 23
E,, ^1 (2E121E33) Э2-/ 2 і E22 ^і 11 Эр4 V 12 33' da2dp2 22 da4
/ \ Э4w / \ Э 4w 1 Э2w
+ (2F,3 - F32)^^ і (2F,3 - F3l )^~— ——г - О.
V 13 32'3a3p^ 23 31 'da3Эр R da2 '
( r ) d V і (r r )d V 1 d 2/ (19)
(2Г”-Г,‘' «г+( “-r”'W-r 5?-
Э 4w , ч d w d w
Hu—-t + 2(Я„ + 2H33) , , + H„^—r
11 da4 V 12 33'da2Эр2 22 Эр4
- T 0 - О.
лочки
; f(v).w(v)(v- 1. 2)’ J mn ’ mn\ ’ J
неизвестные числа.
a /« + _!^(1)-У b I w(2) - О.
nm nm nm nm1 mm1 nm1
R
2
a / И + ^)w (2)-У b I w(1) - О.
nm nm nm nm1 mm1 nm1
R m -1
m 1 -1
Л 2 „ 1
C w(l) - -m /(1)-У d I f(2) - T12 w 1 - О. (21)
n n n n 1 1 n 1 n
2
(2) - Ьш. /-(2) -У d I f11 - T12 w(2)- О.
nm nm1 mm1 nm1 m nm
c w .
nm nm R nm
m 1 -1
где
і ГО. если m ± m, четно,
I шш, - -j\sin * ш И COs ^щИ ^-r4 m
Исключим из уравнений (21) неизвестные ) (у = 1 , 2). В результате преобразований получим следующую систему уравнений:
р w2 ^ — У г w2 ^ — У $ ^(2^ — Т w2 ^ = 0
г тп пт пшщ пт1 птт1 ищ пт
т1 =1 /щ =1
р w^'2) + У $ w2 ) — У г w^'2) — Т w^'2^ = 0, (23)
п п п 1 п 1 п 1 п 1 п
тщ =1 т1 =1
2т = 1, 2, к, ^,п = 2, 3, к,<х>\
где
к
- enm . - gnmm, . S -
. о ■> . о ■> nmm, л 2
p - і r -
nm 2 nmm1 2
1m 1m
- С_ +
nm nm 2
R2a
R
12b 12 b
k -У -nm^ I I (24)
nmm1 mm2 m2 m1
Удержим в бесконечных рядах (23) і членов по продольной координате а и у членов по окружной координате р . Перепишем систему (23) для выбранных і и у в виде матричных уравнений
(р - к )^П1)-^2)-т^!1)=о, - Д, )^2)-т^2)= о,
(25)
(n - 2. 3. к. j )!
где
Предполагая, что на краях оболочки выполняются условия шарнирного закрепления, представим решение уравнений (19) в виде тригонометрических рядов
w = X ( cosX n Р + sin ь n p)sin ь m a
m=1
/ = X (/nm) COsb n Р + /nm sinb n p)sinb m a (20)
m=1
(n = 2, 3, k, ^),
где X m = mn/1; X n = n/R; да - число полуволн вдоль образующей оболочки; n - число волн по окружности обо-
W^-
wn: у n pn О .. О '
w(: > ■;Pn -< n О n2 pn n О
nw n и • О • О "sS M pn
rn11 rn12 if sn,, Sn,2 ' " sn„
R n-^ r n21 r n22 • • r n2i ■; Sn -< S»2i sn22 : •• sn?
r n„ M rni2 Mrnii •• sn„
Подставляя разложения (20) в равенства (19), получим однородную систему линейныгх алгебраических уравнений:
х 2
(26)
( -1.2).
Объединяя уравнения (26), окончательно получим
(Zn - TE) - О. ( - 2.3. к. j) (27)
где
\W (і)
Z - J Pn - Rn Zn J Sn
- Sn
P - R
(28)
(да -1. 2. к. ^. n - 2. 3. к. ^), a^ - E,A n+ (2E,2 + E33 )1 n 1 m+ E221 m.
bnm, - 1 n 1 ш,[із - F32 )12+ (2F23 - F31 )1 m, ]
Cnm - Hi,1 m+ 2(1,2+2 H33 )1 n 1 m+ h 221 n;
dnm, -1 n 1 „[2 - [3 )1 m+(2Г3 1 - Г23) n;[(22)
Здесь Е - единичная матрица. Критическая нагрузка соответствует минимальному собственному числу однородной системы уравнений (27).
В качестве примера определим критическое усилие Т для слоистой оболочки, изготовленной из углепластика типа Р313 [2]. Радиус оболочки - 0,5 м, длина - 1 м, толщина - 0,002 м. В расчетах варьировалось число слоев к и угол армирования ф. Рассматривались структуры стенки оболочки (см. рис. 2) с к = 2, 4, 6, 10, 20. Угол ф изменялся от 0° до 90°. При решении в рядах (20) удерживалось 50 членов по продольной координате и 20 членов по окружной координате (рис. 3).
TIT*
Рис. 3. Изменение величины Т / Т20 (Т20 - максимальное критическое усилие оболочки с к = 20) в зависимости от числа слоев и угла армирования
Число слоев к, а значит, и смешанные жесткости С 13, С23, С31, С32 оказывают значительное влияние на величину критического усилия. Только при к = 20 критическое усилие практически совпадает с критическим уси-
m -1
я m - ш
m
4
I
h
m
a
a
nm
nm
лием, найденными по расчетной модели, в которой структура стенки является ортотропной.
Таким образом, анизотропия стенки оболочки, у которой структура армирования традиционно считается ортотропной, должна, как показал приведенный выше анализ, учитываться при расчете критических усилий.
Библиографический список
1. Васильев, В. В. Механика конструкций из композиционных материалов / В. В. Васильев. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.
2. Композиционные материалы: справ. / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др.; под общ. ред.
В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.; ил.
A. V. Lopatin, A. N. Demin
BUCKLING OF AN ANISOTROPIC CYLINDRICAL SHELL LOADED BY AXIAL COMPRESSIVE FORSES
The solution of the buckling problem of a composite cylindrical shell with antisymmetric wall structure loaded by axial compressive forces is presented.
