CC BY
42
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференциальные уравнения, 2008, Т. 44, № 2, С, 196—204,
2, Бурлуцкая М. Ш., Курдюмов В. П., Хромов А. П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака/ / Докл.АН. 2012. Т. 443. №4. С. 414-417.
3, Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М, : Наука, 1965. 445 с.
Д. С. Лукомский
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ ХААРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ КОШИ
Статья посвящена численному решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [0,1] с использованием разложения функций в ряд по системе Хаара [1]. Ранее, например, в работах [2, 3] рассматривалось применение функций Хаара для решения дифференциальных уравнений и вариационных задач. Однако в данной статье предложен другой подход. Ранее с помощью системы Хаара строилось само решение дифференциального уравнения. В этом случае приходилось вводить специальный оператор дифференцирования для кусочно-постоянных функций, что приводило к довольно громоздким вычислениям.
В данной работе по заданной ортогональной системе записывается разложение второй производной функции. И, после двойного интегрирования, искомое решение будет представимо в виде ряда по системе кусочно-квадратичных функций.
Рассмотрим задачу Коши на отрезке [0,1] следующего вида:
Запишем функции р(х) и /(х) в виде их разложения в ряд по системе
УДК 517.51
у"(х) + р(х)у(х) = /(х) У(0) = Уо у'(0) = У1
(1)
Хаара:
00
к=0
/(х) = ^ кк (х)
.X) = 'к Нк (X) к=0
где Нк (х) - функции Хаара, а рк и 1к соответствующие коэффициенты разложений.
Так же представим у"(х) в виде разложения по системе Хаара
00
у"(х) = ^ Ск Нк (ж), к=0
(2)
Ск
интегрируем равенство (2) от 0 до х на отрезке [0,1]
х то
/ /(*) (И = у/(х) - у/(0) = ^ Скщ(х),
к=0
где ^к (х) - функции Фабера — Шаудера, задаваемые равенствами
х _ 3 О/ 2" ч X Е 3 3+1/2 2", 2"
3+1 _ х 2" X Е "3+1/2 3+1"
2" , 2"
0, х Е '3 3+11 _2" , 2" ]
(х) =
Отсюда получаем выражение
то
У'(х) = У/(0) + ^ Ск ^к (х)-к=0
Еще раз проинтегрируем его от 0 до х на отрезке [0,1], получим
то
у (х) = у(0) + у/(0)х + ^ Ск фк (х),
к=0
где фк (х) задаются следующими равенствами
(3)
1 х2 _ 3Х + 32 2х 2" + 22п+1
х
Ф2" +3 (х) = <
— / 2 + 2"
(¿+1) 3 3
1
0,
22п+2
22" 22"+1 22"+2 , х Е
X Е х
3 3+1/2 2", 2"
3+1/2 3+1 2" , 2"
0 3
2"
3+1 1
2" , 1
Следовательно, функции фк(х) являются кусочно-квадратичными, и решение задачи Коши будем приближать с помощью квадратичных сплайнов.
2
1
Подставим полученные представления в уравнение (1), будем иметь
00 / 00
hk(x) + ^ Pkhk(x) I y(0) + y'(0)x + c3Фj (x) I = ^2 fkhk(x).
k=0 k=0 V j =0 J k=0
Выберем некоторое N = 2n — 1 и перепишем последнее равенство следующим образом:
N / N \
^2 hk (xn Ck + Pk y(0) + Pk y'(0)x + Pk^2 Cj фj (x) — fk I =0.
k=0 V j =0 J
Рассмотрим последнюю сумму в точках {xi}N=0, получим NN
^2 hk(xi) I Ck + Pky(0) + Pky'(0)xi + Pk ^2 Cj'j (xi) — fk J =0. (4) k=0 \ j =0 /
Таким образом, (4) - это система линейных алгебраических уравнений вида Ax = b относительно неизвестных Ck- Коэффициенты системы задаются следующими равенствами
N
aij = hj (xi) + 'j (xi) £ Pk hk (xi),
k=0
NN
bi = E fk hk (xi) — J2 Pk hk (xi)(y(0) + y'(0)xi). k=0 k=0
Ck
y(x)
По результатам данных исследований была написана программа и проведен ряд численных экспериментов, которые показали следующее. Если решением данной задачи Коши является квадратичная функция, то алгоритм дает точное решение уже при разбиении отрезка четырьмя точками. Если в качестве решения взять функцию y(x) = sin(x) то при разбиении четырьмя точками погрешность решения порядка 0(10-2), при увеличении количества точек в 2 раза погрешность составляет 0(10—3).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 10-01-00097-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кашин В. С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. 2-е изд., доп. М, : Изд-во АФЦ, 1999. 560 е.
2. Razzaghi Л/.. Ordokhani Y. An application of rationalized Haar functions for variational problems// ELSEVIER Applied Mathematics and Computation. 2001. Vol. 122. P. 353-364
3, Ohkita Л/.. Kobayashi Y. An application of rationalized Haar functions to solution of linear differential equations// IEEE Transactions on Circuit and Systems,1986, Vol, 9, P. 853-862.
УДК 517.51
P. В. Мартене
О ПОЛНОЙ МИНИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим систему функций Фабера — Шаудера (1, t, |gkj(t)}), где
gkj(t) = g(2kt - j)
при k > 0 0 < j < 2k — 1, а функция g(t), в свою очередь, определяется следующим образом:
!2t, при t Е [0,1/2], 2 — 2t при t Е [1/2,1], 0, при t Е [0,1].
Известно, что система Фабера — Шаудера является базисом в пространстве непрерывных функций C [0,1] , но при этом не является минимальной системой в пространствах Лебега L^[0,1], 1 < p < то . Линейные комбинации функций Фабера — Шаудера совпадают с множеством всех кусочно-линейных функций с узлами в двоично-рациональных точках. В данной статье строится полная минимальная система сжатий и сдвигов, для которой частные суммы биортогонального ряда по-прежнему представляют собой кусочно-линейные функции с двоично-рациональными узлами, но не исчерпывают множество всех таких функций. Именно, возьмем функцию
при t Е [0,1/4], при t Е [1/4,3/4], при t Е [3/4,1], при t Е [0,1].
Для n Е N по стандартному представлению n = 2k + j k > 0, 0 < j < 2k — 1, положим tyn(t) = (t) = 2k/2ty(2kt — j). Кроме того, ty0(t) = 1- Система функций называется системой сжатий и сдвигов, порожденной функцией ty. Нетрудно убедиться, что эта система состоит из попарных разностей функций системы Фабера — Шаудера tykj = 2k/2+1(gk+1,2j — gk+1,2j+1)-
ty(t) =
8t
4 — 8t 8t — 8 0
