CC BY
51
Д. С. Лукомский и др. Применение системы Хаара к численному решению задачи Коши
References
1. Vagabov A. I. Vvedenie v spektral’nuiu teariiu dif-ferentsial’nykh aperatarav [Introduction to spectral theory of differential operators]. Rostov-on-Don, Rostov Univ. Press, 1994, 160 p. (in Russian).
2. Djakov P, Mityagin B. Instability zones of periodic 1-dimensional Schrodinger and Dirac operators. Russian Math. Surveys, 2006, vol. 61, no. 4, pp. 663-776. DOI: 10.1070/RM2006v061n04AB EH004343.
3. Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators. Math. Nachr., 2010, vol. 283, no. 3, pp. 443-462. DOI: 10.1002/mana.200910003.
4. Baskakov A. G., Derbushev A. V., Shcherbakov A. O. The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izv. Math., 2011, vol. 75, no. 3, pp. 445-469. DOI: 10.1070/ IM2011v075n03ABEH002540.
5. Savchuk A. M., Sadovnichaya I. V. Asymptotic formulas for fundamental solutions of the Dirac system with complex-valued integrable potential. Dif-
fer. Equations, 2013, vol. 49, no. 5, pp. 545-556. DOI: 10.1134/S0012266113050030.
6. Savchuk A. M., Shkalikov A. A. Dirac operator with complex-valued summable potential. Math. Notes, 2014, vol. 96, no. 5-6, pp. 777-810. DOI: 10.1134/S0001434614110169.
7. Burlutskaya M. Sh., Kurdyumov V. P., Khro-mov A. P. Refined asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the Dirac system. Doklady Math., 2012, vol. 85, no. 2, pp. 240-242. DOI: 10.1134/S1064562412020238.
8. Burlutskaia M. Sh., Kurdiumov V. P., Khro-mov A. P. Refined Asymptotic Formulas for Eigenvalues and Eigenfunctions of the Dirac System with Nondifferentiable Potential. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, no. 3, pp. 56-66 (in Russian).
9. Khromov A. P. The behavior of the formal solution of the mixed problem for wave equation. Comput. Math. Math. Phys., 2016, vol. 56, no. 2. pp. 239251. DOI: 10.7868/S0044466916020149.
УДК 519.62
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ ХААРА К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Д. С. Лукомский1, С. Ф. Лукомский2, П. А. Терехин3
1 Лукомский Дмитрий Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Лукомский Сергей Федорович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]
3Терехин Павел Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории приближений функций, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Рассмотрена задача приближенного решения задачи Коши для уравнения первого порядка. Для этого производную решения мы ищем в виде суммы рядаХаара. Получены оценки погрешности приближенного решения. Приведены результаты численного эксперимента. Примеры показывают, что в некоторых случаях погрешность предлагаемого метода намного меньше, чем в методе Рунге-Кутта второго порядка.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, численные методы, приближенное решение, оценка погрешности, система Хаара.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-2-151-159
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1-3] и других были рассмотрены методы численного решения дифференциальных уравнений с использованием системы Хаара. При этом искомая функция представлялась приближенно в виде частичной суммы ряда по системе Хаара. Так как в уравнении присутствуют производные неизвестной функции, то приходилось вводить оператор дифференцирования ступенчатой функции, что сразу делает проблематичной оценку погрешности рассматриваемого метода. В работе Д. С. Лукомского [4] была рассмотрена задача Коши для линейного уравнения второго порядка, и многочленом
© Лукомский Д. С., Лукомский С. Ф., Терехин П. А., 2016
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2
Хаара заменялась не сама искомая функция, а ее вторая производная и был указан алгоритм получения решения. Оценки погрешности этого метода были приведены без доказательств в работе [5]. В настоящей работе приводятся доказательства оценок погрешности в случае решения уравнения 1-й степени. Приведены результаты численного эксперимента.
1. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА
Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка:
у' + a(x)y = b(x), 0 ^ x ^ 1,
У(0) = Уо-
(1)
Предполагаем, что a(x),b(x) <G C[0,1] — непрерывные функции. Будем искать приближенное решение yn(x) задачи (1), представляя его производную в виде полинома по системе Хаара {хп}^=0 порядка не выше 2n:
2n_1
уП (x) = yn,k Xk(x)-
k=0
Такой полином является ступенчатой функцией:
yn(x) yn,k,
k2-n <x< (k + 1)2-n, k = 0,..., 2n - 1,
которая во внутренних точках разрыва равна полусумме своих односторонних пределов, а в граничных точках 0 и 1 — своему пределу изнутри отрезка [0,1], т. е. y'n(0) = yn,о, уП(k2-n) = (yn,k_1 + yn,k)/2 При k = 1,..., 2n - 1, уП (1) = yn, 2--1. n
Сразу заметим, что переход от набора {yn,k}k=-1 значений ступенчатой функции к набору {yn,k}k=01 ее коэффициентов Фурье-Хаара (и обратно) может быть осуществлен с использованием быстрого преобразования Хаара.
Восстановим функцию yn(x) по ее производной:
k-1
Уп(x) = уо + 2_n Уп,3 + yn,k(x - k2-n), k2-n ^ x ^ (k + 1)2-n,
j=0
где k = 0,..., 2n — 1. Функция yn(x) является кусочно-линейной с узлами в двоично-рациональных точках k2-n. Фиксируем набор промежуточных точек xn,k = (k + 0n,k)2-n, 0 < 0n,k < 1,
k = 0,..., 2n — 1. Потребуем, чтобы функция yn(x) удовлетворяла дифференциальному уравнению (1) на множестве точек {xn,k}k=0 . Получим систему уравнений
yn(xn,k) + a(xn,k)yn(xn,k) b(xn,k)? k ° . . . , 2 1.
С учетом представления функций yn(x) и y'n (x), обозначив для краткости an,k bn,k = b(xn,k), будем иметь:
/ k_1
yn,k + an,k ( y0 + 2 'У 'y yn,j + yn,k@n,k2 ' j=0
bn,k,
k = 0,..., 2n - 1.
a(xn,k) и
(2)
Из системы линейных алгебраических уравнений (2) величины {yn,k}k=_1 определяются рекуррентно и однозначно, если только 1 + an,k9n,k2_n = 0 для всех k = 0,..., 2n - 1, что заведомо выполняется
для достаточно Больших n, а именно при 2n ^ IIah = max |a(x)|.
xe[0,1]
2n__1
Можно избежать произвола при выборе множества промежуточных точек {xn,k}k=0 полагая, например, 0n,k = 1/2. В таком случае каждая точка xn,k будет серединой отрезка [k2_n, (k + 1)2_n]. Далее мы покажем, что от выбора промежуточных точек принципиально не зависят аппроксимативные свойства приближенного решения yn(x) задачи (1). Для этого определим новые величины
г т2"_1
{zn,k}k=0 с помощью рекуррентных соотношений:
k_ 1
zn,k + an,k | у0 + 2 Zn,j j — bn,k, k — 0, . . . , 2 1.
j=0
(3)
152
Научный отдел
Д. С. Лукомский и др. Применение системы Хаара к численному решению задачи Коши
Очевидно, что из уравнений (3) величины {zn,k}k=—1 определяются рекуррентно и однозначно для любого натурального числа п. По построенным величинам {zn,k}k=—1 определим функции z'n(x) и zn(x) равенствами zn(x) = zn,k, где k2—n < x < (k + 1)2—n, k = 0,..., 2n — 1, и
k —1
zn(x) = yo + 2—nJ^ znj + zn,k (x — k2—n), k2—n ^ x ^ (k + 1)2—n. (4)
j=o
Функцию zn(x) нетрудно определить из рекуррентных соотношений (3) по входным интерполяционным и начальным данным: {an,k}k=0 , {bn,k}k=0 и y0.
2. СВОЙСТВА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Введем следующие характеристики задачи (1):
C = |yo| ||a|| + ||b||, Qn = |yo|w(a, ^)+ w(b, ^), Qn = w(a, ^,
где w(f,S) = sup |f(x1) — f (x2)| — равномерный модуль непрерывности, а также характеристики
|Х1— Ж2|^5
входных интерполяционных и начальных данных:
An — max |an,k ^ Bn — max |bn,k ^ Cn — |y0 |An + Bn
0^k^2™—1 ’ 0^k^2™—1 ’
и приближенных решений
Yn = max |yn,k |, Zn = max |zn,k |, Л = max |yn,k — zn,k |.
0^k^2™—1 ’ 0^k^2™ — 1 ’ 0^k^2™ —1 ’
Лемма 1. Справедливы неравенства
Zn ^ CneAn ^ Cel|a|1, n = 1, 2,....
Неравенства из сформулированной леммы 1 дают, во-первых, оценку для приближенных решений zn(x) через введенные характеристики входных данных и, во-вторых, показывают равномерную ограниченность функций zn(x) и их производных.
Лемма 2. Имеет место оценка
2An Cn e3An 2C ||a||e3||a|l
2n
2n
n
n ^ log2 ||a| + 1.
Оценка леммы 2 показывает, что Лп = O(2—n) при достаточно Больших п. Следовательно, переход от приближенного решения yn(x) к zn(x) оправдан, и независимость аппроксимативных свойств приближенного решения от выбора промежуточных точек {xn,k}k=—1 обоснована. Из лемм 1 и 2 также вытекает равномерная ограниченность функций yn (x) и их производных, поскольку
Yn ^ Zn + Лп ^ Ce||a|(1 + O(2—n)).
Обозначим через y(x) точное решение задачи (1).
Теорема 1. Для любого п = 1, 2,... выполняется неравенство
||y' — znII ^ e||a|(Qn + Ce||a|Qn). (5)
Неравенство (5) можно записать в виде
||y' — zn|| = O(w(a, ) + w(b, ) + 2n), n = 1, 2,....
Такое же соотношение будет иметь место для нормы ||y' — уП|| для достаточно Больших п. Постоянные в O-соотношениях зависят от величин ||a|, ||b|| и |y0|.
Следует заметить, что оценка для уклонения ||y — zn|| повторяет оценку (5). Улучшения порядка сходимости, как это имеет место для интерполяционных сплайнов в нашем случае, вообще говоря, не происходит. Простым примером служит случай a(x) = 0, когда теорема 1 дает нам оценку
Математика
153
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2
\\у' — z'nII ^ ^(b, 2n) и при этом оценка ||у — zn\\ ^ ш(Ъ, ) не улучшаема на классе всех непрерывных функций Ъ(х) <G C[0,1]. В самом деле, при a(x) = 0 имеем y(x) = у0 + /0Х b(t) dt и zn,k = bn,k, откуда 1 2™-1
у(1) — zn(1) = f0 b(x) dx — 2-n bn,k. Соотношение
k=0
fo b(x) dx ,
SUP /1 M = 1
(b(x)eC[0,1]:b(x„jfc)=0, ^(b, 2™ )
k=0,...2™-1}
показывает неулучшаемость оценки ||y — zn\| ^ w(b, 2П).
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММ И ТЕОРЕМ
Лемма 3. Если набор неотрицательных чисел {fk}N=0 удовлетворяет с некоторыми посто-
янными а,в> 0 условию
то выполняется неравенство
k-1
fk ^ , k = 0,...,N,
j=0
fk ^ aeek, k = 0,..., N.
Доказательство. Из условия леммы следует оценка
fk ^ а(1+ e)k, k = 0,..., N,
которая легко проверяется по индукции
k
fk +1 ^ а + Р ^ fj ^ 3=0
а
1+(1+в)3
j=0
а(1 + в )k+1.
Следовательно, имеем fk ^ а(1 + в)k ^ aeek. □
Лемма 3 является дискретным вариантом леммы Гронуолла (точнее, ее простейшего частного случая).
Лемма Гронуолла. Если неотрицательная непрерывная функция f (х), х0 ^ x ^ X, удовлетворяет с некоторыми постоянными а, в > 0 условию
f (x) ^ а + в f f (t) dt, x0 ^ x ^ X,
J xo
то выполняется неравенство
f (x) ^ аев(х-Х0), X0 ^ x ^ X.
Нам потребуется непосредственно вытекающая из леммы Гронуолла
Лемма 4. Если неотрицательная функция f (х), х0 ^ x ^ X, имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода {xk}k=1 С (x0,X), в которых f(xk) ^ max{f(xk — 0),f (xk +0)}, k = 1,... ,N, и удовлетворяет с некоторыми постоянными а, в > 0 условию
f (x) ^ а + W* f (t) dt
xo
хотя бы во всех точках непрерывности (а тогда и вообще во всех точках отрезка [x0,X]), то при x0 ^ x ^ X выполняется неравенство
f (x) ^ аев(х-Х0). (6)
154
Научный отдел
Д. С. Лукомский и др. Применение системы Хаара к численному решению задачи Коши
Доказательство. Пусть x0 < x1 < ■■■ < xN < xN+1 = X. При x0 ^ x < x1 неравен-
ство (6) выполняется в силу классической леммы Гронуолла. Теперь предположим, что (6) верно При xo ^ x < xi, . . . , xfc-1 < x < xk.
При xk < x < xk+1 по условию имеем:
/•x r- xk r- x
f (x) ^ a + P f (t) dt = a + в / f (t) dt + в / f (t) dt,
Jx0 j xo Jxk
откуда снова в силу классической леммы Гронуолла находим
f (x) ^ ^a + в ^ " f (t) d?j ee(x-xk). (7)
Рассуждая более строго, следовало бы сначала вместо xk взять xk + е, е > 0, применить лемму Гронуолла, потом устремить е ^ 0 и получить (7).
Далее подставим в интеграл из (7) оценку f (t) ^ aee(t-xo), t = x1, ...,xk, которая верна по нашему предположению. Будем иметь
f (x) ^ ^a + в^ к aee(t-xo) d^ee(x-xfe) = aee(x-xo).
Таким образом, неравенство (6) доказано по индукции для всех x = x1 ,...,xN. Тогда в точках разрыва первого рода f (xk ± 0) ^ aee(xk-xo) и, следовательно,
f (xk) ^ max{f (xk - 0), f (xk + 0)} ^ aee(xk-xo), k = 1,..., N.
(Точно так же проверяется утверждение из формулировки леммы, заключенное в скобки). □
Доказательство леммы 1. Из рекуррентных соотношений (3) для всех k = 0,..., 2n — 1 получаем оценку
k-1 k-1
|zn,k 1 ^ М |an,k 1 + |bn,k 1 + |an,k | 2 |zn,j 1 ^ Cn + An2 |zn,j\.
j=0 j=0
По лемме 3 отсюда следуют неравенства
Zn — max \zn,k \ ^ Cne
0<k<2"-1
A™2-n(2n-1) ^
^ Ce"a
□
A
e
Доказательство леммы 2. Сравним рекуррентные соотношения (2) и (3), причем последние запишем в виде
zn,k + an,k ( У0 + 2 zn,j + zn,k@n,k2 ) bn,k + an,kzn,k^n,k 2 .
j=0
При k = 0,..., 2n — 1 находим
|yn,k zn,k \ ^ |an,k\2 f ^ ^ |yn,j zn,j \ + |yn,k zn,k\^n,k + |zn,k \^n,k ) ^
j=0
^ An2 |yn,j zn,j \ + |yn,k zn,k \ + Zn^ .
Поскольку 1 — An2 n ^ 1 — ||a^2 n ^ 1 при n ^ log2 ||a|| + 1, то
k-1
|yn,k zn,k \ ^ 2AnZn2 + 2An2 |yn,j zn,j \
j=0
По лемме 3 отсюда следуют неравенства
д . . 2 An Zn e2A™ 2AnCne3A™ 2C ||a||e3IHI
лп = max \yn,k— zn,k \ ^ ^ ^ ———
0^k^2n-1
Учли оценку Zn ^ CneAn из леммы 1
□
Математика
155
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2
Доказательство теоремы 1. При k2 n < x < (k + 1)2 n, k = 0,..., 2n — 1, для производных точного и приближенного решений будем иметь
y'(x) — z'n (x) = b(x) — a(x)y(x) — zn,k =
= b(x) — a(x) ^yo + J y'(t) dt^ — bn,k + an,^yo + 2—n^2 Zn,/j
zn,j ) =
j=0
r-x r- k2-n
= b(x) — bn,k — yo(a(x) — an,k) — a(x) y'(t) dt + an,k / z'n(t) dt.
oo
В последнем выражении отдельно оценим неинтегральные разности
|b(x) — bn,k — yo(a(x) — an,k)| ^ |yo|w(a, 2n) + u)(b, 2П) = Qn и после преобразования
-k2-
a(x) y'(t) dt — an,k z'n (t) dt =
n,k n
o
x
px px px
= a(x) (y'(t) — z'n(t)) dt + (a(x) — an,k) z'n(t) dt + an,k / z'n(t) dt
Jo Jo Jk2-n
оценим разность интегралов
k2-
a(x) y'(t) dt — an,k zn' (t) dt
o
r x /* 1 г (k + 1)2
^ ||a|| / ly'(t) — z'n(t)| dt + ix(a, 2^) |zn(t)| dt + ||a||
Jo Jk2-n
Wn (t)| dt-
o
Теперь заметим, что по лемме 1
г (k+1)2-
Jk 2-n
В результате получаем:
|zn(t)| dt = 2-4zn,k| « 2—nCe»a», / |zn(t)| dt ^ Ce»'
W(x) — z'nMl ^ Qn + Ce»a»Qn + M / W(t) — z'n(t)| dt.
Функция f (x) = |y'(x) — z'n(x)| имеет разрывы первого рода в точках k2 n, к = 1,..., 2n — 1, в которых
f( £) =
k \ 2
у' () —
z'n ( — 0) + z'n ( + 0)
^ max{f (2n — 0), f (2n + 0)}.
x
o
x
1
o
o
2
По лемме 4
ly'(x) — z'n(x)| ^ e»a»x(Qn + Ce»a»Q^), 0 ^ x ^ 1. □
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Рассмотрим алгоритм решения задачи (1).
Зафиксируем n ^ 2 и построим систему узлов xn,k = (k + 0n,k)2-n, 0n,k = 1/2, k = 0,..., 2n — 1.
ВычиСляем an,k = a(xn,k) и bn,k = b(xn,k)-
Используя рекуррентные соотношения
zn,k + an,k\ yo + 2
k-1
j=o
zn,j
=b
'n,k,
n
k = 0,..., 2n — 1.
r 12"—1
находим величины {zn,k}k=o
156
Научный отдел
Д. С. Лукомский и др. Применение системы Хаара к численному решению задачи Коши
Восстановим функцию zn(x) по ее производной:
k-1
Zn(x) = Уо + 2-n Zn,j + Zn,k(x - k2-n), x = (k + l/2)2-n,
j=0
где k = 0,..., 2n — l. Функция zn (x) является кусочно-линейной с узлами в двоично-рациональных точках k2-n.
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши (1), где
a(x)
x, x G [0, l/2], l — x, x G (1/2, l],
b(x) = 4cos(4x) + a(x) * sin(4x),
с начальным условием y(0) = 0.
Очевидно, что точное решение данной задачи есть y(x) = sin(4x).
В табл. 1 приведено точное решение, а также погрешность решения, полученного методом Хаара и методом Рунге-Кутта второго порядка для 32 точек разбиения отрезка [0, l]. Точки выведены через одну для краткости изложения.
Таблица 1
x Y (x) |Y(x) - H(x)| |Y(x) - RK(x)|
0.07813 0.30744 0.00021 0.06260
0.14063 0.53330 0.00012 0.06248
0.20313 0.72601 0.00015 0.06209
0.26563 0.87357 0.00048 0.06143
0.32813 0.96683 0.00078 0.06049
0.39063 0.99997 0.00089 0.05928
0.45313 0.97093 0.00071 0.05780
0.51563 0.88153 0.00014 0.05610
0.57813 0.73732 0.00069 0.05443
0.64063 0.54726 0.00157 0.05294
0.70313 0.32318 0.00239 0.05161
0.76563 0.07901 0.00304 0.05045
0.82813 -0.17008 0.00347 0.04949
0.89063 -0.40859 0.00365 0.04874
0.95313 -0.62170 0.00362 0.04822
Таким образом, максимальные погрешности для метода Хаара (Rh) и для метода Рунге - Кутта (Rrk) составляют соответвтенно
Rh = 0.00366032835420937, Rrk = 0.0625980949896783.
Данный пример показывает, что в определенных случаях метод Хаара дает погрешность на порядок лучше, чем метод Рунге-Кутта.
Пример 2. Рассмотрим задачу Коши:
{y' + sin(x)y = (2x + l + sin(x)(x2 + x)), 0 ^ x ^ l,
y(0) = 0.
Точное решение данной задачи имеет вид y(x) = x2 + x.
В табл. 2 приведено точное решение, а также погрешность решения, полученного методом Хаара и методом Рунге-Кутта второго порядка для 32 точек разбиения отрезка [0, l].
Математика
157
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2
Таблица 2
x Y (x) |Y(x) - H(x)| |Y(x) - RK(x)|
0.07813 0.08423 0.00030 0.01582
0.14063 0.16040 0.00043 0.01571
0.20313 0.24438 0.00065 0.01554
0.26563 0.33618 0.00097 0.01531
0.32813 0.43579 0.00141 0.01502
0.39063 0.54321 0.00196 0.01468
0.45313 0.65845 0.00265 0.01430
0.51563 0.78149 0.00346 0.01387
0.57813 0.91235 0.00440 0.01341
0.64063 1,05103 0.00548 0.01292
0.70313 1,19751 0.00668 0.01241
0.76563 1,35181 0.00800 0.01188
0.82813 1,51392 0.00944 0.01134
0.89063 1,68384 0.01098 0.01079
0.95313 1,86157 0.01263 0.01025
Таким образом, максимальные погрешности для метода Хаара (RH) и для метода Рунге-Кутта (Rrk) составляют соответственно
Rh = 0.0134854117964, Rrk = 0.015869140625.
В данном случае погрешности методов Хаара и Рунге-Кутта практически идентичны.
Работа подготовлена частично в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки
России (проект № 1.1520.2014/К), а также при 00152).
Библиографический список
1. Ohkita М., Kabayashi Y. An application of rationalized Haar functions to solution of linear differential equations // IEEE Transactions on Circuit and Systems. 1968. Vol. 33, iss. 9. P. 853-862.
2. Razzaghi М., Ordakhani Y. Solution of differential equations via rationalized Haar functions // Mathematics and computers in simulation. 2001. Vol. 56, iss. 3. P. 235-246.
3. Razzaghi М., Ordakhani Y. An application of rationalized Haar functions for variational prob-
финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-
lems // Applied Mathematics and Computation. 2001. Vol. 122, iss. 3. P. 353-364.
4. Лукомский Д. С. Применение системы Хаара для решения задачи Коши // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 14. С. 47-50.
5. Лукомский Д. С., Терехин П. А. Об оценке погрешности решения задачи Коши с помощью систем сжатий и сдвигов// Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2015. Т. 51. С. 295-297.
Solution of Cauchy Problem for Equation First Order Via Haar Functions
D. S. Lukomskii1, S. F. Lukomskii2, P. A. Terekhin3
1 Dmitry S. Lukomskii, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected] 2Sergey F. Lukomskii, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected] 3Pavel A. Terekhin, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]
In this article we consider a Cauchy problem for the first order differential equation and are looking for its numerical solution. For this aim we represent the derivative of the solution as Haar decomposition. We also obtain estimates of approximate solution. The method is computationally simple and applications are demonstrated through illustrative examples. These examples show that in some cases the error of the proposed method is much less, than in second order Runge - Kutta method.
Keywords: differential equations, numerical methods, approximate solution, approximation error, Haar system.
The work has been prepared partially in the framework af the state task Russian Ministry af Education and Science (project na. 1.1520.2014/K) and with the financial support af the Russian Foundation far Basic Research (project na. 16-01-00152).
158
Научный отдел
Н. Р. Перельман. Об одном случае явного решения трехэлементной задачи типа Карлемана
References
1. Ohkita М., Kobayashi Y. An application of rationalized Haar functions to solution of linear differential equations. IEEE Transactions an Circuit and Systems, 1968, vol. 33, iss. 9, pp. 853-862.
2. Razzaghi М., Ordokhani Y. Solution of differential equations via rationalized Haar functions. Mathematics and computers in simulation, 2001, vol. 56, iss. 3, pp. 235-246.
3. Razzaghi М., Ordokhani Y. An application of rationalized Haar functions for variational problems. Applied Mathematics and Computation, 2001, vol. 122, iss. 3, pp. 353-364.
4. Lukomskii D. S. Primenenie sistemy Haara dlya resheniya zadachi Koshi [Application of Haar sys-
УДК 517.968.23
tem for solving the Cauchy problem]. Matemati-ka. Mehanika [Mathematics. Mechanics], Saratov, Saratov Univ. Press, 2014, iss. 14, pp. 47-50 (in Russian).
5. Lukomskii D. S., Terekhin P. A. Ob ocenke pogreshnosti resheniya zadachi Koshi s pomosch’yu sistem sjatiy i sdvigov [An error estimate for the Cauchy problem by using compression systems and shifts]. Trudy Matematicheskogo centra imeni N. I. Lobachevskogo [Proceedings of the Mathematical Centre named N. I. Lobachevsky]. Kazan, Kazan Matnematical Society, 2015, vol. 51, pp. 295-297 (in Russian).
ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ЯВНОГО РЕШЕНИЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ ЗАДАЧИ ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
Н. Р. Перельман
Перельман Наталья Романовна, ассистент кафедры математики и информатики, Смоленский государственный университет, [email protected]
Статья посвящена исследованию трехэлементной краевой задачи типа Карлемана в классе аналитических функций, непрерывно продолжимых на контур в смысле Гельдера, в случае, когда эта задача не редуцируется к двухэлементным краевым задачам. В качестве контура рассматривается единичная окружность. Для определенности исследуется случай обратного сдвига контура. В этом случае решение рассматриваемой задачи сводится к решению системы из двух интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода; при этом существенным образом используется теория Ф. Д. Г ахова краевой задачи Римана для аналитических функций. На основании этого результата построен алгоритм решения исследуемой задачи. Далее в статье доказывается, что если в краевом условии коэффициенты являются рациональными функциями, а функция сдвига дробно-линейная, то исследуемая краевая задача решается в явном виде (в квадратурах). Затем рассмотрен более простой случай явного решения задачи, когда, кроме вышеуказанных ограничений на коэффициенты и функцию сдвига, требуется еще и аналитическая продолжимость некоторых функций, заданных на контуре, внутрь области. Этот случай иллюстрируется на конкретном примере.
Ключевые слова: краевая задача, сдвиг Карлемана.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-2-159-165
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время важным направлением в исследованиях краевых задач являются многоэлементные краевые задачи для аналитических и полианалитических функций, в том числе и задачи со сдвигом. В статье [1] исследовалась одна из таких задач — трехэлементная задача типа Карлемана для бианалитических функций. В частности, там было показано, что решение такой задачи в случае круговой области сводится к решению двух трехэлементных краевых задач типа Карлемана для аналитических функций (обозначим их для краткости задачи К3).
Для задачи К3 достаточно подробно была исследована ее разрешимость при различных предпо-ложених относительно исходных данных (см., например, [2]).
Однако до недавнего времени не существовало конструктивного алгоритма решения задачи К3 в случае, когда она не редуцируется к двухэлементной задаче. Поэтому разработка такого алгоритма и выявление случаев, когда задача К3 решается в явном виде, является актуальной проблемой.
© Перельман Н. Р., 2016
