Системы сжатий и сдвигов в задаче сжатия изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Bakhbukh M., Nikishin E. M. The convergence of the double Fourier series of continuous functions. Siberian Math. J., 1973, vol. 14, iss. 6, pp. 832-839. DOI: 10.1007/ BF00975888

5. Bakhvalov A. N. Divergence everywhere of the Fourier series of continuous functions of several variables. Sb. Math., 1997, vol. 188, no. 8, pp. 1153-1170. DOI: 10.1070/ SM1997v188n08ABEH000240.

6. Bakhvalov A. N. A-divergence of the Fourier series of continuous functions of several variables. Math.

Notes, 2002, vol. 72, iss. 3-4, pp. 454-465. DOI: 10.4213/mzm438.

7. Stepanec A. I. Estimates of deviations of partial Fourier sums on classes of continuous periodic functions of several variables. Math. USSR Izv., 1981, vol. 17, iss. 2, pp.369-403. DOI: 10.1070/IM1981v017n02ABEH 001364.

8. Zygmund A. Trigonometric series. Vol. 2. Cambridge Univ. Press, 1959.

УДК 517.51

СИСТЕМЫ СЖАТИЙ И СДВИГОВ В ЗАДАЧЕ СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

А. A Барышев1, Д. С. Лукомский2, С. Ф. Лукомский3

кандидат физико-математических наук, инженер-программист, ООО «Геофизтехника», Саратов, [email protected], 2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

3Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Рассматривается новый подход к построению двумерных p-ичных систем Хаара и Виленкина. Для полученных систем разработаны быстрые алгоритмы преобразования Фурье-Хаара и Фурье-Виленкина. Проведен сравнительный анализ разработанных алгоритмов в задаче сжатия изображения.

Ключевые слова: преобразование Хаара, преобразование Виленкина, компактная группа, сжатие изображений. ВВЕДЕНИЕ

В проблеме сжатия изображений можно выделить три направления — сжатие без потери данных, с потерями и смешанные методы. К первому направлению можно отнести RLE и LZW-алгоритмы, кодирование по Хаффману и т.д. [1]. Группа вторых методов основана на представлении исходного изображения как двумерного массива данных и разложения его по какой-либо системе функций. Из смешанных методов наиболее известен стандарт сжатия данных JPEG, где применяется дискретное косинус-преобразование, а затем кодирование по Хаффману. Основной вклад в таких смешанных методах дает сжатие с потерями, и задача поиска ортогональной системы, обеспечивающей наилучшее сжатие, по-прежнему привлекает внимание. Широкое распространение для решения этой задачи в последнее время получили вейвлет-базисы [2]. Настоящая работа посвящена сравнительному анализу алгоритмов сжатия изображений с помощью обобщенной системы Хаара и системы Виленкина. Функция Хаара на поле p-адических чисел впервые появилась в работе С. В. Козырева [3]. Обобщенные функции Хаара на нуль-мерных группах были введены в работе [4]. В статье [5] предложен способ построения функций Хаара на произведении нуль-мерных групп. Он основан на сведении произведения групп к новой группе с новой основной цепочкой подгрупп. Такую основную цепочку можно выбирать разными способами, в результате получаются различные двумерные системы Хаара. Каждая такая система определяется некоторыми целыми параметрами (v, s). В статье для любых допустимых значений этих параметров строится система Хаара, приводится быстрый алгоритм дискретного преобразования по этой системе. Приводится алгоритм быстрого дискретного преобразования Виленкина, основанный на той же идее сведения произведения групп к одномерной. Для сравнения алгоритмов сжатия по таким системам с косинус-преобразованием были написаны на языке СИ программы, реализующие эти алгоритмы, вычислены среднеквадратичное отклонение MSE (mean square error) и коэффициент PSNR (peak signal-to-noise ratio). Сравнительный анализ по этим системам и тригонометрической для традиционных изображений lenna и flowers приводится в последнем параграфе.

1. БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ-ХААРА НА КОМПАКТНОЙ ГРУППЕ

Пусть p — простое число, (G, +) — p-ичная компактная нуль-мерная группа, (Gn)%=0 — основная цепочка, gn <G Gn \ Gn+1 — базисная последовательность, — цепочка аннуляторов,

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2

гп е \ — функции Радемахера. Определим функции Хаара на нуль-мерной группе (С, +) [5] следующим образом:

Но = 1; Нрп+к (х) = гП (х- д)1Сп (х- д), к = 0,1,... - 1, з = 1, 2,...,р - 1, где к и д связаны соотношениями

к = а„_1 + а„-2Р ------Ь «1рп-2 + аор"_\ д = аодо+«1 д1 +... + ап_1 дта_ь

Пусть £р™+1 = ^ егН Ясно, что £р™+1 постоянны на смежных классах Сп+1 -¡-дп+ъ г=о

где дп+1 = ао до+аш + ... + а„ д„, аг = 0,р - 1, и пусть Ла^Й.а™ = £рп+1 (£„+1 + дп+1) = = £р™+1 (Сп+1 + аодо+а1 д1-- ... + ап дп) — значения £р™+1 на смежных классах по подгруппе Сп+1. Смежный класс £п+1+ дп+1 лежит внутри смежного класса += аодо+а1д1-- ... + ап-1 дп-1. Функции Хаара ^ при = аодо+ а1 д1 +... + ап-1дп-1 будем нумеровать векторным индек-

сом и писать Н-,р™,аоа1 ...а„-1. Функции Хаара Н^™,аоа1 ...ап-1 отличны от нуля на смежных классах += +аодо+а1 д1-+ ... +ап-1дп-1 и постоянны на смежных классах Сп+1 ++апдп, а именно

Н^',р",аоа1 ...а™_1 (Сп+1--+апдп) = , еа„ = е р .

Записывая равенство

£р™+1 (х) = (х) + егН (х)

г=р™

при х е Сп+1--дп+1, приходим к равенству

р_1

(«) ■ ^ е. „ .

Л(п+1) = Л(п) + е- ™ ■ е-7 (1)

Ла0а1 ...а„ Ла0а1 ...ап-1 ■ / у е,7,р" ,аоа1 ...а„_1 еа„ , V1/

5 = 1

в котором ла:0+11.).а„ = (Сп+1 + ао до-- а1 д1 + ... + а„ д„), Ла?0а1...а„_1 = (£„ + ао до + а1д1+ ... + +ап-1 дп-1). При каждом кортеже (аоа1... ап-1) равенства (1) есть система из р линейных уравнений (ап = 0,р — 1 — номера уравнений) относительно неизвестных

Лаоа1 ...а„_1 , е1,р™,аоа1...а™_1 , е2,р™ ,аоа1 ...а„_1, . . . , ер_1,р™,аоа1 ...а„_1 .

Матрица этой системы имеет вид Е = (е5)р_=о, причем матрица Е—р является унитарной, значит,

/ \ _1 -т

обратная (Е-И = Е-р .

Решая все системы (1) при фиксированном п находим коэффициенты Фурье-Хаара ,аоа1...а„_1 и значения Ла^^.а™^ частичной суммы (х) с номером в р раз меньше. Найденным коэффициентам е5,р™,аоа1 ...а„_1 присваиваем векторные номера (ао,а1 ,...ап_1 ,з) и помещаем в п + 1-мерный массив коэффициентов Фурье-Хаара е(зо,з1, ...,з'п_1 ,з+). Значения Ла'оа1...а„_1 помещаем в п + 1-мерный массив Л(зо,з1 ,...,зп_1,0) с номерами (ао,а1,...ап_1,0). Таким образом, после 1-го шага получаем массив е(п)(зо,з'15... ,зп_1,з +), в котором элементы с номерами зо,з1,... ,зп_1 = 0,р — 1,з + = 1,р — 1 есть найденные коэффициенты Фурье-Хаара, и массив значений Л(п)(зо,з'15... ,зп_1,0), в котором заданы элементы с номерами (зо,з'15.. .зп_1,0). Повторяя эти рассуждения, получаем после п + 1-го шага схему для нахождения коэффициентов Фурье - Хаара:

Л(п+1) Л(п) Л(п_1) Л(о) = е

Лаоа1 ...а™ -Лаоа1 ...а„_1 ,о -Лао а1 ...а„_2 ,о,о ... -Ло,о,...,о,о = ео

е(п) ^^^^ е(п_1) ^ <г

ао а1 ...а„_1,^ + ао а1...а„_2,^+ ,о 5+,о,...о,о

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ-ХААРА НА ПРОИЗВЕДЕНИИ КОМПАКТНЫХ ГРУПП

Пусть п £ N0, (Оп) — основная цепочка, (дп) — базисная последовательность. Для наглядности можно считать

Оп =0, - , = „II •

-п/ РП+1

Построим систему Хаара на произведении групп О х О. Для этого строим подгруппы

р-1 / 1 V \

02п+1 = \_\ (Оп+1 х Оп+1 Е2п+1 ), Е2п+1 = (£п, ^п) = ( ' "„ЙТ ) '

5=о V- - /

р-1

®2п = У(02„+1--^Е2п), Е2п = (д„, (V- в)д„), 5 = 1,-- 1. 5=0

Знак - в определении вектора g2n означает сложение по модулю -. Очевидно, что 02п = Оп х Оп. Известно [5], что подгруппы 0п образуют основную цепочку. На произведении О х О по цепочке подгрупп 0п построим функции

Г2п+1 (хо,Ж1) = Гп(7о,Хо) ■ Г„(71,Ж1), Г2п(хо,Х1) = Гп(£о,Хо) ■ Гп(£1 ,£1),

где 7о + = 1 шоё-, £0 + ^V = 0шоё-, ^5 = 1 шоё-, ^ = 0.

Теорема 1 [5]. Функции (г2п, г2п+1) образуют систему Радемахера и выполнены равенства

Г2п^2п) = Г2п(дп, (V + 5)д„) = г„(Со, дп)г„(£1, (V + 5)д„) = (Гп,дп)5о+51 = (Гп,д„) = е^,

Г2п+1^2п+1) = Г2п+1(дп, ^п) = Гп(7о, £п)гп(71, ^п) = (Гп, ^п)70 +71 * = (Гп, £п) = е^ •

Запишем функции Хаара на группе 0 = О х О с основной цепочкой подгрупп (02п, 02п!1)£=о, базисной последовательностью ^2п, g2n+1)^=0 и системой Радемахера (г2п(х0, х), г2п!1 (хо,х1))^=о в виде

+ к (х) = Гп (Х-я(х) = 1?- - 1).

Здесь я = ас^о+g1 + ••• -ъап-1 gn-1, число к определяется по элементу я равенством к = ап-1 + + ап-2- + • • • + ао-п-1. Поэтому функцию для удобства запишем в векторной нумерации:

Н5,рп,ао,а1 ,...,а„_1 (х) = Гп(х-я)1С„ + д (х) • р2п+2_1

Частичную сумму £р2™+2 = ^ сН (х) представим в виде суммы

г=о

р2™ + 1 -1 р2™+2_1 р2™+2_1

5р2™+2 = ^ сг#г (х) + ^ с Н (х) = 5р2™+1 (х) + ^ с Щ (x)• (2)

1=о г=Р2™+1 г=Р2™+1

Сумма 5р2™+1 (х) постоянна на смежных классах:

02п+1+ g2 а2 п -- g2 п—1а2п— 1 + ••• - glаl - gо ао = 02п+1-ъ (3)

Сумма 5р2™+2 (х) постоянна на смежных классах:

02п+2+ g2n+1 а2п+1+ g2n Й2п - • • • + glal - gо ао = 02п+2-ъ g2n+la2n+l4 Я- (4)

Обозначим

значения 5р2™+1 и 5р2™+2 на смежных классах (4) и (3) следующим образом: 5р2™ + 1 (02п+1 -g2na2n-ь • • • 4-gо ао) = АЙ!.1.^,

5р2™+2 (02п+2--&2п+1а2п+1 --g2nа2п-- • • • --g0ао) = А(2п+.2)а2„а2„ + 1 •

На смежном классе 02п!1 -g2na2n-4 • • • -g0а0 с учетом равенства (2) имеем:

Р_1

а (2п+2) = а (2п+1) - ^ (0 )_

Ааоа1 ...а2™ а2™+1 Аао а1 ...а2™ - / у с5,р2™ + 1,ао а1...а2™ Г2п+1^2п!1)

5 = 1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2 р_1

= Ла2о5а+.1)а2„ е5,Р2"+1 ,аоа1...а2™ г2п+1(«2п+2 - а2п+1ё2п+1) =

5 = 1

Р_1

= Ла2оПа!.1)а2„ е5,р2™ + 1 ,аоа1...а2„ (Г2п+1, ё2п+1 Г"^5' =

5 = 1

Р_1 _

= ЛаоП+1)а2„ + ^ е5,Р2™+1,аоа1...а2„ ^„ + 1 (а2п+1 = 0,Р — 1), (5)

5 = 1

2п1 а

здесь еа2„+1 = е р а2™+1.

Равенства (5) при фиксированных ао, а1?..., а2п есть система р линейных уравнений, относительно неизвестных Ла°сг+1?а2п, е5,р2™+1 ,аоа1 ...а2п (з = 1,р — 1). Решая системы (5) при фиксированном п, найдем коэффициенты р2™+1,аоа1...а2„ и значения Лаоа1 ..^2™ суммы на смежных классах

«2п+1 -ё2па2п- ... + ёоао.

Запишем смежный класс Ф2п+2+ё2п+1а2п+1--... + ёо ао как произведение одномерных смежных классов. Учитывая, что ё2к = (дк, (V+) и ё2к+1 = (дк, ^д^), имеем:

2п+1

«2п+2-Я = «2п+2 +^2 акёк = «2п+2-(дп, vgn)а2п+1 -(дп, (V -з)дп)а2п + ... к=о

(теп \

У^ дк(а2к-а2к+1) ^ дк ((V+^)а2к-vа2fc+l ) I . к=о к=о )

При переходе на отрезок заменяем дк на 1/рк+1 и получаем:

/ \

«2п+2 - Я = Сп+1 х Сп+1 +

..те ..те

11

к(а2к-а2к+1), ^2р" ^^а2к+1--(V-з)а2к)

рП + 1 / У ' рП

^ к=о ^ к=о

V =к(°) =к(1) /

1

0,

рп+1

1 \ /к(о) к(о) . ^-пл - -п+г ^-п+т . (6)

рП+1 I \ рП+1 ' рП + 1

На практике изображение задается матрицей интенсивностей пикселей, которые нумеруются по горизонтали и вертикали, т.е. заданы числа Л^2^^). Поэтому вначале надо от номеров пикселей (к(о), к(1)) перейти к кортежам ао, а15...,а2п, а2п+1. Для этого по р-ичным разложениям чисел к(о)

и к(1)

к(о) = воо) + в(о) р + ■ ■ ■ + вПо) рп , к(1) = во1) + в(1)р + ■ ■ ■ + вП1) рп,

получаем системы уравнений

Г а2к - а2к + 1 = ^ПЛ,

|^а2к + 1 --(V - 5)а2к = в^Л,

в которых операция - есть сложение по модулю р. Решая при каждом к такую систему, находим а2к и а2к+1. Решая систему (5), находим значения Ла°п+1.)а2п, т.е. значения суммы £р2™+1 на смежных классах (3) и коэффициенты е5,р2™+1 ,аоа1 ...а2п. Теперь мы должны найти значения суммы £р2™ на смежных классах (02п-ё2п_1 а2п_1-ё2п_2а2п_2- ... -ё1 а1-ёоао) и коэффициенты е^™^а1...а2п_1 . Обозначим

Зр2п

(«2 п 1 а2п 1 - ё2 п 2а2п 2- ... -ё1а1-ёоао) = Ла20'а)1...а2„а2„_1 .

Приравнивая значения на соответствующих смежных классах, получаем равенства, которые дают систему

Р_1

Л(2п+1) = Л(2п) , у^ 2 а __(7)

аоа1 ...а2™ /чаоа1 ...а2™а2„_1 ~ / у °5,Р,аоа1...а2„_1са2™ ' и'2те=о,р_1 V'/

5 = 1

X

с той же матрицей Е. Формулы для пересчета смежных классов я на отрезок [0,1] отличаются

от (6) и задаются следующим образом:

2п

02п+1 - Я = 02п+1-^ ак дк = 02п+1 -(^п, (V - 5)дп)а2п - (^п_1, Vgn_l)а2(n_1)+1 -к=0

-(дп_1, (V - 5)дп_1 )а2(п_1) ------- (до, ^0^1 - (до, (V-з)до)ао =

(п_1 п — 1 \

У^дк (а2к - а2к+1),^дк ((V - 5)а2к - va2fc+lm = к=0 к=0 ) р—1 п_1

= |_| (Оп+1 х Оп+1--а2п+1(дп, vgn)) - (дп, ^-^п^п - ^ дк(а2к - а2к+1),

2n+1\ynj^yn/J 1 v 1 a)iJn)"<2n

+ 1 =0 k=0

n— 1

,, ч 1 \

X

vv ' I_I у ' pn+1 у

k=0

n

n-1 p—1 /г 1 \ Г 1 \ / n

+ в)a2k + va2k+1 )gfc = У X + gk(a2k + a2k + 1),

k=0 =0 V L p / LP / V k=0

^ „ . , ^ i ,,1.1 „1 / k(0) k(1)

2^gk ((v + s)a,2fc + va2fc+1)

k=0

1

pn+1

1

pn+1

pn+1 ' pn+1

где k(0) и k(1) те же, что и в (6). Таким образом, мы перешли от массива размерности pn+1 х pn+1 к массиву размерности pn хpn и на этом первый шаг алгоритма закончен. После n + 1-го шага получаем матрицу из коэффициентов Фурье.

Аналогичным образом строятся одномерное и двумерное преобразования по системе Виленки-на. Только в этом случае, в отличие от преобразования Хаара, где большая часть коэффициентов находится после каждой итерации, здесь все коэффициенты получаются после последнего шага.

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

Приведем алгоритм сжатия, основанный на системах Хаара и Виленкина.

1. Исходное изображение разбивается на квадраты размерности pn х pn, где p — простое число, а n — натуральное. Затем выделяются цветовые каналы из RGB палитры и выполняются преобразования к каждому каналу для каждого квадрата в отдельности.

2. Проводится анализ коэффициентов, выделяется определенное количество наибольших по модулю, а остальные коэффициенты обнуляются.

3. К оставшимся массивам данных применяется обратное преобразование.

4. Для полученного изображения проводится сравнение с исходным и вычисляется погрешность отклонения.

Для оценки погрешности воспользуемся следующими критериями. Пусть K(i, j) — исходное изображение, N(i,j) — восстановленное изображение. Определим среднеквадратичное отклонение MSE (mean square error) между изображениями по формуле

1 m — 1n —1

MSE = — £ £ (N(i, j) - K(i, j))2 , mn

i=0 j=0

где m и n — ширина и высота картинки. Далее введем величину

/ 2552 \

PSNR = 10Io4 mse) •

PSNR (peak signal-to-noise ratio) — это соотношение между максимумом возможного значения сигнала и мощностью шума, искажающего значения сигнала. Таким образом, чем меньше MSE и чем больше PSNR — тем меньше отклонение восстановленного изображения от оригинала.

Для тестирования алгоритма рассматривались изображения lenna (табл. 1) и flowers (табл. 2). Кроме сравнения между собой преобразований Хаара и Виленкина было проведено сравнение с дискретным косинус-преобразованием. Рассматривались разные степени сжатия, т. е. различный процент обнуленных коэффициентов. Индекс MSE приводится для каждой цветовой компоненты отдельно.

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2

Таблица 1

Значения МББ и PSNR при сжатии изображения !еппа

Система, используемая для сжатия Сжатие в 38 раз Сжатие в 50 раз

PSNR MSE PSNR MSE

Дискретное косинус-преобразование 21.14 41.39 51.86 73.46 2.87 3953 2056 5193

Система Хаара 19.6 187.24 25.37 25.21 9.6 1876 3412 3215

Система Виленкина 24.02 61.26 12.24 12.32 23.66 61.26 15.99 16.07

Таблица 2 Значения MSE и PSNR при сжатии изображения flowers

Система, используемая для сжатия Сжатие в 38 раз Сжатие в 50 раз

PSNR MSE PSNR MSE

Дискретное косинус-преобразование 22.14 42.25 31.42 54.74 7.89 1422 818 1283

Система Хаара 20.76 138.36 29.23 13.76 15.6 876 734 628

Система Виленкина 24.88 55.52 10.27 4.68 24.19 55.52 18.38 8.62

Таким образом, сжатие с использованием системы Виленкина более эффективно, чем дискретное косинус-преобразование и преобразование по системе Хаара.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00102).

Библиографический список

1. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. М. : ДИАЛОГ-МИФИ, 2002.

2. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображения в действии. М. : Триумф, 2003.

3. Козырев С. В. Вейвлет анализ как р-адический спектральный анализ // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 2. С. 149-158. ЭО!: 10.4213/!ш381.

4. Лукомский С. Ф. О рядах Хаара на компактной нульмерной группе // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 1. С. 14-19.

5. Lukomskii S. F. Haar system on a product of zero-dimensional compact groups // Central Europ. J. Math. 2011. Vol. 9, № 3. C. 627-639.

Systems of Scales and Shifts in the Problem Still Image Compression A. A. Baryshev1, D. S. Lukomskii2, S. F. Lukomskii2

1LLC «Geofiztekhnika», 1, Lomonosovstr., Saratov, 410041, Russia, [email protected],

2Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, [email protected], [email protected]

A new approach to the construction of two-dimensional Haar and Vilenkin considered. To the obtained systems fast algorithms Fourier - Haar and Fourier - Vilenkin developed. Comparative analysis of algorithms developed in the problem still image compression performed.

Key words: Haar transform, Vilenkin transform, compact group, image processing.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00102).

References

1. Vatolin D., Ratushnyak A., Smirnov M., Yoockin V. Data compression methods. Structure of archivers, compression of images and video. Moscow, Dialog-MIFI Publ., 2002 (in Russian).

2. Welstead S. Fractal and Wavelet Image Compression Techniques. Bellinham, WA, SPIE Optical Engineering Press, 1999.

3. Kozyrev S. V. Wavelet theory as p-adic spectral ana-

lysis. Izv. Math., 2002, vol. 66, no. 2, pp. 367-376. DOI: 10.1070/IM2002v066n02ABEH000381.

4. Lukomskii S. F. Haar series on compact zero-dimensional abelian group. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2009, vol. 9, iss. 1, pp. 1419 (in Russian).

5. Lukomskii S. F. Haar system on a product of zero-dimensional compact groups. Central Europ. J. Math., 2011, vol. 9, no. 3, pp. 627-639.