CC BY
26
3, Ohkita Л/.. Kobayashi Y. An application of rationalized Haar functions to solution of linear differential equations// IEEE Transactions on Circuit and Systems,1986, Vol, 9, P. 853-862.
УДК 517.51
P. В. Мартене
О ПОЛНОЙ МИНИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим систему функций Фабера — Шаудера (1, t, {gkj-(£)}), гДе
gkJ (t) = g(2kt - j)
при k > 0 0 < j < 2k — 1, а функция g(t), в свою очередь, определяется следующим образом:
!2t, при t G [0,1/2], 2 — 2t при t G [1/2,1], 0, при t G [0,1].
Известно, что система Фабера — Шаудера является базисом в пространстве непрерывных функций C [0,1] , но при этом не является минимальной системой в пространствах Лебега L^[0,1], 1 < p < ж . Линейные комбинации функций Фабера — Шаудера совпадают с множеством всех кусочно-линейных функций с узлами в двоично-рациональных точках. В данной статье строится полная минимальная система сжатий и сдвигов, для которой частные суммы биортогонального ряда по-прежнему представляют собой кусочно-линейные функции с двоично-рациональными узлами, но не исчерпывают множество всех таких функций. Именно, возьмем функцию
при t G [0,1/4], при t G [1/4,3/4], при t G [3/4,1], при t G [0,1].
Для n G N по стандартному представлению n = 2k + j k > 0, 0 < j < 2k — 1, положим ^n(t) = ty?k,j(t) = 2k/2^(2kt — j). Кроме того, ^o(t) = 1- Система функций называется системой сжатий и сдвигов, порожденной функцией Нетрудно убедиться, что эта система состоит из попарных разностей функций системы Фабера — Шаудера Vk,j = 2k/2+1(gk+1,2j — gk+1,2j+1)-
^(t) =
8t
4 — 8t 8t — 8 0
Лемма 1. Справедливо представление
(X 2к-1
<Р = X - £ 2"3к/2+1 £ е,X,,
к=2 , =0
где {хп}(-0 _ классическая система функций Хаара и
!1 при 3 = 0,..., 2к-2 - 1, -1 при 3 = 2к-2,..., 3 • 2к-2 - 1, 1 При 3 = 3 • 2к-2,..., 2к - 1.
Каждому числу п € N по стандартному представлению п = 2к + 3 поставим в соответствие набор а = (а1,... , «к) коэффициентов двоичного
(
разложения числа 3 = ^ а^2к-^. Через |а| обозначим длину набора а,
V =1
в данном случае |а| = к.
Следуя работе [1], введем в рассмотрение операторную структуру мультисдвига {У0,У1}7 полагая
Уо<р(г) = 21/2^>(2£), УМг) = 21/2^(2£ - 1),
где функция имеет носитель на [0,1]. Далее, положим
У >(*) = Уа1 ...Уак
где первым действует оператор Уак, последним — Уа1. Нетрудно проверить, что
У>(0 =
Теорема 1. Система {^>п(£)}п>0 сжатий и сдвигов функции, является полной в пространстве Ь2[0,1].
Доказательство. Пусть функция / ортогональна системе {^>п(£)}п>0, то есть Vп € N (/, фп) = 0. Покажем, что тогда / = 0. Преобразуем разложение функции по системе Хаара:
х 21 -1
„ = X - £ 2-3|/2+1 £ с,х, =
1=2 , =0
(
= X - 2 £ 2-3|/2 £ ее Ув X.
1=2 |в|=1
Далее рассмотрим скалярные произведения
(f, ) = (f, v v) =
то
= (f, Vах) - 2 £ 2-31/2 £ (f, VaVeх) = 0, 1=2 |в|=2
откуда
то
(f, Vax) = 2 £ 2-31/2 £ (f, VаVех). 1=2 101 =2
Обозначим через /а коэффициенты Фурье — Хаара функции /, то есть /а = (/, Xn) = (/^а) = (/, Уа X) Рассмотрим 2-мерное евклидово пространство, состоящее из векторов
f — {fa}|a|=k
(\ 1/2 / \ 1/2 |fa|2)• Обозначим Sk — ( jfaj2) • В при-
|a|=k |a|=k '
пятых обозначениях
1=2 |в |=1 Оценим по неравенству Коши — Буняковского
то
1/112 < 2 £ 2-31/2 £ 1 J/||2 <
1=2 |в|=1
< 2£2-31/2(£ 12)1/2(£ £ |(f, vaveх)|2)1/2 —
1=2 |в|=1 |в|=1 |a|=k то
— 2 £ 2-1 Sk+1 < sup Sk+1 • 1.
t? ^
Получили, что Sk < sup Sk+1- Аналогичными рассуждениями продол-
1>2
жим цепочку неравенств
Sk < sup Sk+1 — sup Sk+1X < sup sup Sk+11+12 < 1>2 11>2 11>2 12>2
• • • < sup ... sup Sk+1i+...+1s — sup Sk+m ^ 0
11>2 1s>2 m>k+2s
при в ^ то. Итак, Sk = 0 и поэтому функция f = 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект МД-300.2011.1) и РФФИ (проект 10-01-00097).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Терехин П. А. О сходимости биортогоиальиых рядов по системе сжатий и сдвигов функций в пространствах Ьр[0,1] // Математические заметки, 2008, Т. 83, Вып. 5. С.'722 710.
УДК 519.713.2, 512.534
В. А. Молчанов
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ КЛАССА УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ В КЛАССЕ ПОЛУГРУПП
Под плоскостью [1] будем понимать систему вида П = (X, Ь), где X- непустое множество точек иЬ - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (А1) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в мпожестве X есть три точки, не лежащие па одной прямой. В частности, плоскость П = (X, Ь) является проективной, если любые две ее прямые имеют общую точку, и аффинной, если для любой прямой / £ Ь и любой точки х € X \ / существует единственная прямая удовлетворяющая условиям х € /'и / П /' = 0.
По определению [2] планарные автоматы являются структурированными автоматами А = ^^ 5*, X2, 6, А) с множеством состояний XI и множеством выходных сигналов X2, наделенными структурами плоскостей П1 = (XI, Ь1) и П2 = ^2,Ь2), полугруппой входных сигналов 5*, функцией переходов 6 : XI х S ^ XI и выходной функцией А : XI х S ^ X2, для которых при каждом фиксированном в € S преобразование 6(х, в) : XI ^ XI является эндоморфизмом плоскости П1 и отображение А(х, в) : X! ^ X2 вляется гомоморфизмом плоскости П1 в плоскость П2.
Для любых плоскостей Щи П2 автом ат А = (П1, П2, 6, А) с полугруппой входных сигналов состоящей из всех пар в = эндоморфизмов ^плоское ти П1 и гомоморфи змов ^ плоское ти П1 в плоское ть П2, функцией переходов 6(х, в) = ^(х) и выходной фупкцией А(х, в) = ^(х)
