CC BY
7
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS AND COMPLEX PROGRAMS
1.2.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS AND COMPLEX PROGRAMS
DOI: 10.33693/2313-223Х-2022-9-3-37-44
Применение систем компьютерной математики при решении задач контактной геометрии
Я.В. Славолюбова ©
Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф. Горбачева, г. Кемерово, Российская Федерация
E-mail: slavolubovayav@kuzstu.ru
Аннотация. Задача. Развитие исследований в области контактной геометрии невозможно без применения систем компьютерной математики. Проведение вычислительного эксперимента позволяет получить не только численные результаты, аналитические выражения, но и выделить верное и перспективное направление в получении теоретических результатов. Цель работы: рассмотреть применение систем компьютерной математики к решению задач контактной геометрии. Достижение поставленных целей в работе осуществляется на основе комплексного использования методов компьютерной алгебры, математического моделирования, теории дифференциальной геометрии и тензорного анализа. Выводы. В данной работе представлены схемы исследований контактных групп Ли произвольной нечетной размерности. Разработаны алгоритм и комплекс программ в системе компьютерной математики Maxima для моделирования доказательства существования сасакиевых структур. Практическое значение. Данный алгоритм может быть использован для исследования контактных структур на однородных пространствах. Предложенные схемы представляет научно-практический интерес для специалистов в области дифференциальной геометрии и методов ее применений, а также для решения задач разработки квантовых вычислительных устройств.
Ключевые слова: системы компьютерной математики, контактная геометрия, контактные структуры, группы Ли
ССЫЛКА НА СТАТЬЮ: Славолюбова Я.В. Применение систем компьютерной математики при решении задач контактной геометрии // Computational nanotechnology. 2022. Т. 9. № 3. С. 37-44. DOI: 10.33693/2313-223X-2022-9-3-37-44
V J
DOI: 10.33693/2313-223X-2022-9-3-37-44
Application of Computer Mathematics Systems for Solving Problems of Contact Geometry
Ya.V. Slavolyubova ©
T.F. Gorbachev Kuzbass State Technical University, Kemerovo, Russian Federation
E-mail: slavolubovayav@kuzstu.ru
Abstract. Task. The development of research in the field of contact geometry is impossible without the use of computer mathematics systems. Carrying out a computational experiment allows not only obtaining numerical results, analytical expressions, but also highlighting the correct and promising direction in obtaining theoretical results. Purpose of the work: to consider the application of computer mathematics systems to solving problems of contact geometry. Achieving the goals set in the work is carried out on the basis of the integrated use of computer algebra methods, mathematical modeling, the theory of differential geometry and tensor analysis. Findings. In this paper, we present schemes for studying contact Lie groups of arbitrary odd dimension. An algorithm and a set of programs have been developed in the Maxima computer mathematics system for modeling the proof of the existence of Sasakian structures. Practical value. This algorithm can be used to study contact structures on homogeneous spaces. The proposed schemes are of scientific and practical interest for specialists in the field of differential geometry and methods of its applications, as well as for solving the problems of developing quantum computing devices.
Key words: computer mathematics systems, contact geometry, contact structures, Lie groups
FOR CITATION: Slavolyubova Ya.V. Application of Computer Mathematics Systems for Solving Problems of Contact Geometry. Computational Nanotechnology. 2022. Vol. 9. No. 3. Pp. 37-44. (In Rus.) DOI: 10.33693/2313-223X-2022-9-3-37-44
ВВЕДЕНИЕ
Современная математика является о сновой всех точных и прикладных наук. Контактная геометрия имеет общемировое значение, вызывает интерес зарубежных и отечественных ученых [Dacko, 2018; Marin-Salvador, 2021; Becker, Min, Dattin, Teruya, 2022], и применяется при решении задач классической и квантовой механики, гидромеханики, теории сплошных сред, полной интегрируемости уравнений с частными производными, теории относительности, электродинамики, геомет-родинамики, теории струн и др. Объекты контактной геометрии выступают в качестве геометрического инструментария при решении и исследовании различных прикладных задач. Контактная геометрия позволяет создавать теоретические модели для проектирования множества технологических систем в промышленности. Также в экономических моделях при расчете инфраструктуры туристических комплексов в условиях горной местности при сильно искривленном рельефе используются лежандровы геодезические на трехмерных контактных многообразиях.
1. ОБЗОР СИСТЕМ
КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Развитие исследований в области контактной геометрии, и любой другой науки, невозможно без применения систем компьютерной математики [Славо-
любова, 2014, 2018; Киренберг, Славолюбова, 2019]. Проведение вычислительного эксперимента позволяет получить не только численные результаты, аналитические выражения, но и выделить верное и перспективное направление в получение теоретических результатов. Наиболее распространенными системами компьютерной математики являются следующие: Matlab, Mathcad, Maple, Maxima и Mathematica. Выбор одной из указанных систем осуществляется в зависимости от круга решаемых задач. Выполним их краткий обзор.
Система Matlab в большей мере имеет популярность в области решений задач технических вычислений, численных решений дифференциальных уравнений, визуализации полученных результатов.
Система Maple позволяет проводить аналитические (символьные) вычисления. Инструменты системы Maple ориентированы в основном на профессиональных математиков ввиду того, что требуются знания методов решения, заложенных в используемых функциях. Кроме средств символьных вычислений Maple содержит немало средств для численных решений прикладных задач, включающих в себя более 4000 специализированных процедур и функций.
Система Mathematica, как и Maple, также позволяет проводить аналитические вычисления, решать разный спектр прикладных задач и визуализировать полученные результаты. Функциональные возможности
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ КОНТАКТНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Славолюбова Я.В.
системы включают даже синтезирование звука. К недостаткам системы можно отнести требование от пользователя знания достаточно необычного языка программирования.
Система Mathcad применима в основном для численного решения математических задач, для решения задач инженерного характера. На основе данной системы можно получить результат без углубления в математическую суть задач.
Система Maxima позволяет проводить, как численные, так и аналитические расчеты. Данная система полезна в компьютерных исследованиях и разработке алгоритмов, наделена средствами визуализации [Дьяконов, 2014].
При решении задач контактной геометрии наиболее лучшими вариантами являются системы Maxima и Maple.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ КОНТАКТНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В основе методов исследования лежат теоретические положения, приведенные в работах [Diatta, 2008; Blair, 2010]. Напомним определение контактного многообразия [Blair, 2010]. Контактным многообразием называют многообразие M2n + 1 класса гладкости C", если на нем определена дифференциальная 1-форма q: п л (dq)n * 0 для всех векторных полей X на M2n + 1. Форму п называют контактной формой или контактной структурой. Контактное многообразие имеет поле Риба £ п© = 1, dnß, X) = 0, VX е TM2n + 1. Исследование контактных многообразий связано с изучением следующих тензоров:
N(1)(X, Y) = [ф, ф](Х, Y) + dn(X, УК;
N(2)(X, Y) = (Lxn)X - (Ьфуn)Y;
N (3)(X) = (L^)X; N (4)(X, Y) = (L^)X.
В случае рассмотрения в качестве многообразия группы Ли естественным является рассмотрение лево-инвариантных контактных структур. В ходе изучения свойств и геометрических характеристик левоинва-риантных контактных структур используется пакет Maxima, который позволяет оперировать матрицами и тензорами, решать задачи линейной алгебры.
3. РАЗРАБОТАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТАКТНОЙ ГЕОМЕТРИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ
В работе [Diatta, 2008] приведены методы контак-тизации и классификация контактных групп Ли (G, п), G - группа Ли нечетной размерности, п - левоинвори-антная контактная структура. Примером контактной структуры на 3-мерном евклидовом пространстве является 1-форма п = dz - хdy [Blair, 2010]. На контактных группах Ли [Славолюбова, 2018] можно задать ле-воинвариантные контактные метрические структуры
(г|, ф, д), которые могут принадлежать одному или нескольким классам контактных структур: эйнштейновым, г|-эйнштейновым, К-контактным, сасакиевым структурам, или не принадлежать ни оному из перечисленных классов. В случае групп Ли касательное пространство в единице группы Ли О изоморфно ее алгебре Ли ЦО). Любая левоинвариантная 1-форма П на группе Ли определена своим значением в единице группы Ли. Поэтому достаточно рассмотреть контактную форму на касательном пространстве в единице к группе Ли, а именно на алгебре Ли. То есть проводить исследование контактных структур можно на уровне алгебр Ли, а результаты для групп Ли получаются левыми сдвигами данных структур из единицы по соответствующим группам Ли. Наибольший интерес вызывают класс структур Сасаки, т.к. они непосредственно связаны с интегрируемыми почти комплексными структурами.
Рассмотрим применение систем компьютерной математики к решению задач контактной геометрии.
Для решения задачи о существовании структуры Сасаки на группе Ли О необходимо реализовать схему (рис. 1), содержащую описание математической модели задачи, метода решения и техники проведения расчетов.
Чтобы решить задачу исследования (г|, ф, д)-структур Сасаки необходимо реализовать схему (рис. 2), содержащую описание математической модели задачи, метода решения и техники проведения расчетов.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Приведем основные результаты вычислений и проведем их анализ.
Результат 1. В качестве объекта исследования рассмотрим контактную алгебру Ли 1^(О) = ^ И ^аПа, 2008] с контактной формой в адаптированном базисе {Е} (г = 1, ... , 5): г| = Е5. Ненулевые структурные константы алгебры в базисе {ЕД: С12 = 1, С12 = -1, С1 = -1 С3 = -1 С5 = 1
С 14 1, С 34 1, С 34 1
Параметры Ь.. при выполнении условий ассоциированности и почти комплексности (в ходе применения схемы рис. 1) ассоциированного аффинора
o^ о
ф = Ь24 Ь14 Ь33 Ь34 0
0 0
удовлетворяют системе уравнений (1):
Ьц + ьиь21 + bi3b24 - bi4b23 = -i; b12b23 + b13 (b11 + b33 ) + b14b43 = 0 b12b24 + b13b34 + b14 (b11 - b33 ) = 0 b13b21 - b23 (b11 - b33 ) + b24b43 = 0
bii b12 bi3 bl4
b21 -bii b23 b24
b24 -bl4 b33 b34
b23 bi3 b43 -b33
0 0 0 0
b14b21 + b23b34 - b24 ((
11 + b33 ) = 0
(1)
b33 + b34b43 + b13b24 - b14b23 = -1
Задача [A task]:
Решить вопрос существования структуры Сасаки на нечетномерной группе Ли G [Solve the question of the existence of a Sasaki structure on an odd-dimensional Lie group G]
Математическая модель [Mathematical model]:
G- контактная группа Ли произвольной нечетной размерности n с контактной формой г| [G is a Lie contact group of arbitrary odd dimension n with contact form r|];
J - ассоциированная почти комплексная структура на симплектической алгебре Ли L(G) х R [J is the associated almost complex structure on the symplectic Lie algebra Ли L(G) х R];
Ф = JG, ф - ассоциированный аффинор на группе Ли G [ф = JG, ф is the associated affinor on the Lie group G];
C.k- структурные константы алгебры Ли L(G), i, j, k = 1, ..., n [Ck are the structure constants of the Lie algebra L(G), i, j, k = 1, ... , n].
Требование условия Сасаки: обращение в нуль всех компонентов тензора Нейенхейса, Nkrj = 0, i, j, k = 1, ..., n [Requirement of the Sasaki condition: vanishing of all components of the Nijenhuis tensor, Nkrj = 0, i, j, k = 1, ... , n].
Применение систем аналитических вычислений [Application of systems of analytical calculations]:
1. Загрузить массивы: структурных констант Ck, начальной естественной почти комплексной структуры J0, многопараметрического семейства ассоциированных почти комплексных структур Jb общего вида
[Load arrays: structural constants Ck, initial natural almost complex structure J0, multiparameter family of associated almost complex Jb general structures].
2. Определить параметры b.. из условия ассоциированности [Determine the parameters b.. from the association condition]:
dnJ. = Jkdnkj + dnisJs = 0, i, j, k, s = 1, ..., n.
3. Определить параметры b.. из условий интегрируемости и почти комплексности [Determine the parameters b.from the conditions of integrability and almost complexity]:
Nk = JlJmCk - JmCl Jk- JlCmJk- Ck = 0, i, j, k, l, m = 1, ..., n.
ij i j lm j im l i lj m ij //.*/// ' '
J2 = -I: bpb' = -6P, p, s = 1, ... , n - 1, i = 1, ... , n.
! S S' ' ' ' ' '
4. Вывести матрицу J, в случае ее существования существует структура Сасаки [Output the matrix J, if it exists, there is a Sasaki structure].
Рис. 1. Схема исследования группы Ли G2n + 1 Fig. 1. Scheme of studying the Lie group G2n + 1
Рис. 2. Схема исследования (п, 5, Ф, 9)-структуры Сасаки Fig. 2. Scheme of the study of the Sasaki (п, 5, Ф, g)-structure
В результате применения схемы (см. рис. 1), реализующей выполнение всех условий (ассоциированности, почти комплексности, интегрируемости) получена матрица JG:
bi+1
b21 ibii + l) + b223b3.
b21 ((1 + l) + b223b3. 2b23b11 -b„
-bii b23 — J.J. / 2b23b11 0
bi2i +1 b23 b11 b34 0
0 0 -bu 0
0 0 0 0 ,
* 0, bu * 0. (2)
( bii 0 0 b121 +1 b23
Ь 21 -b11 b b21 23 Ьц + 1) + 2b23b11
b21 (b121 + l) + b223b34 - b121 +1 b11 b34
2b23b11 b23
-b23 0 0 -b11
1 0 0 0 0
b23b34
g =
b21 (bU + l) + b2 3b3' 2b23b11
b21 (b1
-b11 0 0
b23 0 0
\ + 1) + b223b34 b121 +1 b
2b23b11 b23 b11
0 0 0
34 0
где b * 0, b11 * 0;
2. Выражения матрицы оператора Риччи, скалярной и секционных кривизн, квадратов норм тензоров Римана и Риччи:
Ric =
— 0 -2b-,-
2b,.
_ 1 -2
0 0
0 0
0
_ 1 2
S = -1, K12 =-
4bi
Ki.3 = K2A = 0;
Ki,4 =
4b23b11b21
Из существования матрицы (2) следует существование структуры Сасаки.
По результатам применения схемы, показанной на рис. 2, приведены основные геометрические характеристики (г|, ф, д)-структуры Сасаки на группе, соответствующей алгебре Ли L(D4^ х Я.
1. Выражения многопараметрических семейств ассоциированного аффинора и метрики:
b21 (bi2i +1) + b223b34 (( - 2 b2i (bi2i -1))
3
Кз,4 =
4b2
K1,5 = K 4,5
= ± \\R\I2 = 17, llRid2 = 2. 42
На основе полученных выражений видим, что исследуемая (г|, ф, д)-структура Сасаки ни при каких значениях параметров Ь„ не относится к классам эйнштейновых, п-эйнштейновых и К-контактных структур.
Результат 2. В качестве объекта исследования рассмотрим другую контактную алгебру Ли L(G) = т2т2 х Я [Diatta, 2008] с контактной формой в адаптированном базисе {Е.} (г = 1, ... , 5): п = Е5. Ненулевые структурные константы алгебры в базисе {ЕД: С2 = 1 С5 = -1 С4 = 1 С5 = -1
12 ' 12 ' 34 ' 34
В результате применения схем, представленных на рис. 1 и 2, получили следующий результат.
Теорема 1. Левоинвариантная контактная метрическая структура (п, ф, д) на алгебре Ли L(G) = т2т2 х Я является структурой Сасаки при аффиноре вида:
Ф =
bii b12 0 0 01
bi2i +1 bi2 -bii 0 0 0
0 0 b33 b34 0
0 0 Ь2З +1 b34 -b33 0
0 0 0 0 0,
b12 * 0, b34 * 0.
b
0
11
b
23
0
0
0
0
23
Выражение многопараметрического семейства ассоциированной метрики:
(
g =
bn +1 b12 -bii 0 0
-bii b12 0 0
0 0 b¡3 +1 b34 -b33
0 0 -b33 b34
0 0 0 0
л
0
b12 Ф 0,
Ьз4 Ф 0.
Построенная (п, ф, д)-структура Сасаки при всех значениях параметров относится к классам эйнштейновых и К-контактных структур.
Результат 3. Рассмотрим контактную алгебру Ли L(G) = т2т3 х Я [Diatta, 2008]. В результате применения схем, представленных на рисунках 1 и 2, получили следующий результат:
I Теорема 2. Левоинвариантная контактная метрическая структура (п, ф, g) на алгебре Ли L(G) = тт3 _1 х Я не является структурой Сасаки ни при каких значениях параметров.
Таким образом, приведены результаты нескольких вычислительных экспериментов. Каждый эксперимент проводится на конкретной алгебре Ли классификационного списка, приведенного в работе [Diatta, 2008]. Количество проведенных экспериментов соответствует количеству контактных алгебр Ли соответствующей размерности классификационного списка. Проведенные компьютерные исследования позволили получить теоретические результаты в области контактной геометрии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработанные схемы, алгоритмы и комплекс программ в системе компьютерной математики Maxima позволили смоделировать доказательство существования сасакиевых структур и провести их исследование. Данный алгоритм может быть использован для исследования однородных пространств. Предложенные схемы представляет научно-практический интерес для специалистов в области дифференциальной геометрии и методов ее применений, а также для решения задач разработки квантовых вычислительных устройств.
0
Литература
1. Blair D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds. In: Progress in Math. Birkhauser, 2010. 203 p.
2. Becker T. Geodesic and conformally Reeb vector fields on flat 3-manifolds [Electronic resource]. URL: https://arxiv. org/abs/2207.03274 (data of accesses: 12.07.2022).
3. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // Diff. Geom. аnd its Appl. Vol. 26. Iss. 5. Pp. 544-552. DOI: https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2008.04.001.
4. Marin-Salvador A. On the canonical contact structure of the space of null geodesics of a spacetime [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/2109.03656 (data of accesses: 12.07.2022).
5. Min H. The contact mapping class group and rational unknots in lens spaces [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/ abs/2207.03590 (data of accesses: 12.07.2022).
6. Dacko P. Rank of Jacobi operator and existence of quadratic parallel differential form, with applications to geometry of almost Para-contact metric manifolds [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/1806.05604 (data of accesses: 12.07.2022).
7. Dattin C. Sutured contact homology, conormal stops and hyperbolic knots [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/ abs/2206.07782 (data of accesses: 12.07.2022).
8. Teruya M. Almost contact structures on the deformation space of rational curves in a 4-dimensional twistor space [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/2206.13151 (data of accesses: 12.07.2022).
9. Дьяконов В.П. Новые системы компьютерной алгебры MAXIMA и wxMAXIMA // Компоненты и технологии. 2014. № 2. С. 117-126.
References
1. Blair D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds. In: Progress in Math. Birkhauser, 2010. 203 p.
2. Becker T. Geodesic and conformally Reeb vector fields on flat 3-manifolds [Electronic resource]. URL: https://arxiv. org/abs/2207.03274 (data of accesses: 12.07.2022).
3. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups. Diff. Geom. and its Appl. Vol. 26. Iss. 5. Pp. 544-552. DOI: https:// doi.org/10.1016/j.difgeo.2008.04.001.
4. Marín-Salvador A. On the canonical contact structure of the space of null geodesics of a spacetime [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/2109.03656 (data of accesses: 12.07.2022).
5. Min H. The contact mapping class group and rational unknots in lens spaces [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/ abs/2207.03590 (data of accesses: 12.07.2022).
6. Dacko P. Rank of Jacobi operator and existence of quadratic parallel differential form, with applications to geometry of almost Para-contact metric manifolds [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/1806.05604 (data of accesses: 12.07.2022).
7. Dattin C. Sutured contact homology, conormal stops and hyperbolic knots [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/ abs/2206.07782 (data of accesses: 12.07.2022).
8. Teruya M. Almost contact structures on the deformation space of rational curves in a 4-dimensional twistor space [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/2206.13151 (data of accesses: 12.07.2022).
9. Dyakonov V.P. New computer algebra systems MAXIMA and wxMAXIMA. Components and Technologies. 2014. No. 2. Pp. 117-126. (In Rus.)
10. Киренберг А.Г., Славолюбова Я.В. Реальная и прогнозная оценка степени влияния зашумленности радиоканала на скорость передачи данных в беспроводных сетях Wi-Fi // Comp. Nanotechnol. 2019. Т. 6. № 1. С. 53-59.
11. Славолюбова Я.В. Ассоциированные левоинвариантные контактные метрические структуры на семимерной группе Гейзенберга H7 // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2018. № 54. С. 34-45.
12. Славолюбова Я.В. Контактные метрические структуры на нечетномерных единичных сферах // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2014. № 6. С. 46-54.
10. Kirenberg A.G., Slavolyubova Ya.V. Real and predictive assessment of the degree of influence of radio channel noise on the data transfer rate in Wi-Fi wireless networks. Comp. Nanotechnol. 2019. Vol. 6. No. 1. Pp. 53-59. (In Rus.)
11. Slavolyubova Ya.V. Associated left-invariant contact metric structures on the 7-dimensional Heisenberg group H7. Tomsk State University. Journal of Mathematics and Mechanics. 2018. No. 54. Pp. 34-45. (In Rus.)
12. Slavolyubova Y.V. Contact metric structures on odd-dimensional unit spheres. Tomsk State University. Journal of Mathematics and Mechanics. 2014. No. 6. Pp. 46-54. (In Rus.)
Статья проверена программой Антиплагиат. Оригинальность - 89,13%
Рецензент: Хромова О.П., кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры математического анализа Института математики и информационных технологий Алтайского государственного университета
Статья поступила в редакцию 22.07.2022, принята к публикации 26.08.2022 The article was received on 22.07.2022, accepted for publication 26.08.2022
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Славолюбова Ярославна Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры прикладных информационных технологий Кузбасского государственного технического университета имени Т.Ф. Горбачева. Кемерово, Российская Федерация. РИНЦ Author ID: 591047; Web of Science Researcher ID: Q-6998-2017; E-mail: slavolubovayav@kuzstu.ru
ABOUT THE AUTHOR
Slavolyubova Yaroslavna Viktorovna, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor; associate professor at the Department of Applied Information Technologies of the T.F. Gorbachev Kuzbass State Technical University. Kemerovo, Russian Federation. Author ID: 591047; Web of Science Researcher ID: Q-6998-2017; E-mail: slavolubovayav@kuzstu.ru
