CC BY
65
УДК 330.43
ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО STS-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФОНДОВЫХ ИНДЕКСОВ
О.А. Бельснер, О.Л. Крицкий
Томский политехнический университет E-mail: olegkol@mph.phtd.tpu.edu.ru
Рассмотрен модифицированный метод STS-GARCH(1,1). Модификация заключалась в отказе от предположения о нормальном законе распределения логарифмов дневных приращений временного ряда и в использовании для их описания Smoothly Truncated a-Stable (STS)-распределения (гладко усеченного a-устойчивого). Параметрыi метода найденыi методом максимального правдоподобия. Проведено статистическое исследование надежности предложенного алгоритма и показано уменьшение автокорреляции в структуре данных, использованных для анализа. Метод применен для прогнозирования цен акций РАО ЕЭС РТС с лагом 5.
1. Введение
Изучение свойств, вычисление параметров и определение вида распределения некоторого стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуаций, является центральной задачей эконометрики. Знание распределения необходимо при конструировании эконометрических методов (ARCH, GARCH, EGARCH, FIGARCH, FIE-GARCH и др., подробнее о методах см. [1]), при оценке предельной величины риска VAR, при расчетах вероятных в будущем значений временных рядов и при определении асимптотического поведения плотностей функций распределений. Последнее особенно важно, так как редкие события, определяющие форму и вид их хвостов, соответствуют получению наибольшей возможной прибыли или несению наибольшего вероятного убытка.
В преобладающем большинстве случаев логарифмы дневных приращений котировок финансовых инструментов (акций, облигаций, свопов, опционов и т. п.) не имеют нормального распределения [2-4]. Это связано с тем, что у эмпирической функции плотности распределения, построенной на основе таких логарифмов, существует ненулевой эксцесс и асимметрия, присутствует вытяну-тость функции плотности в s-окрестности точки математического ожидания, а также наблюдаются так называемые «толстые хвосты», когда вероятность значительных изменений цен выше, чем для нормального распределения. Все эти факторы усложняют или делают невозможным применение известных эконометрических методов: ARCH(^), GARCH(p,#) и др., которые изначально были построены на допущении о нормальном распределении приращений и остатков.
Неудовлетворенность практических участников финансового рынка результатами, полученными на основе нормального приближения, заставила исследователей искать новые распределения и разрабатывать новые подходы для обработки эмпирических финансовых данных. Так, в работах [5-7] для описания временных рядов было использовано обобщенное распределение Парето, в [8, 9] - обобщенное /-распределение Стьюдента, в [3] - распределение Лапласа, в [10] - а-устойчивое распреде-
ление. Однако в настоящее время все большее развитие получает идея комбинирования вышеперечисленных распределений с нормальным (см., например, [11]). Идея заключается в отсечении хвостов исходной функции плотности и в замене их на хвосты нормального распределения.
В данной работе рассматривается модифицированная модель GARCH(1,1). Модификация заключалась в отказе от предположения о нормальном законе распределения логарифмов дневных приращений временного ряда и в использовании для их описания Smoothly Truncated a-Stable (STS)^-спределения [11]. Построение STS-распределения осуществляется нахождением параметров нормальных распределений, формирующих хвосты, и вычислением первого и второго начальных моментов. Эффективность предложенной модификации STS-GARCH(1,1) показана с помощью имитационного моделирования цен акций РАО ЕЭС РТС. При этом было использовано 371 значение долларовых котировок за период с 4 января 2003 г. по 30 июня 2004 г. (данные предоставлены компанией РТС, http://www.rts.ru).
2. Общие положения
Рассмотрим классический метод GARCH(1,1) [12]. Пусть hn, и=1,2,..., - некоторый временной ряд. Допустим, что справедлива авторегрессионая зависимость:
ol = + auh +pah = m + aun2_, + Polu (1)
где y>0, a>0, p>0 - некоторые коэффициенты модели, V>0 - долговременное среднее отклонение в структуре данных, у+а+в = 1, m=yV, M„=ln(h„)-ln(hn-1) - логарифмы приращений значений временного ряда hn, on - дневная волатиль-ность, n=1,2,...
Вместо M„=ln(h„)-ln(hn-1) можно использовать, например, оценку M„=ln(h„-h„-1)h-:11. В обоих случаях un будут зависимыми случайными величинами. Поэтому для un потребуем существования по крайней мере двух первых условных начальных и центральных моментов. Для корректного вычисления последних предположим, что на вероятностном пространстве (Q,F,P), где F - о-алгебра под-
множеств О, задана фильтрация /=(/„)„>0, состоящая из ст-подалгебр ¥п таких, что если т<„. При этом события из ¥п будем интерпретировать как доступную на момент времени (и—1) информацию.
Пусть далее и Д и^-О^^и2^-:)--2,
/=1,2,... Если предположить, что ип~Щап,сти), то в соответствии с методологией GARCH(1,1) выполнено соотношение:
ип =ст„8„ + ап ,п = 0,1,2,..., (2)
где £„-N(0,1) - стандартная нормальная случайная величина. Это позволяет производить имитационное моделирование будущих значений временного ряда к„ по вычисленным согласно (1) волатильно-стям ст„+1:
^+1) = ^) + •стп+1£п+1 + ^ п = ОДА-
Однако в произвольном случае, если закон распределения ии неизвестен, использовать формулу (2) затруднительно. Построим для ии функцию распределения, предположив, что она относится к классу STS-распределений с некоторыми параметрами.
Определение. Пусть 1 да
(х) = — [ ехр[/ х(¡-0] х 2п J
х ехр
-с ■ Л
1 -Р^ I ■ 8ЩЦ(0 ■ tg\ —
па
Ж
- функция плотности а-устойчивого распределения с вектором параметров (а, в, с, ¡л), где а - характеристическая экспонента, в - коэффициент асимметрии, с - масштаб, ¡л - среднее. Пусть к1(х), к2(х) - плотности нормального распределения с параметрами (а,ст2), /=1,2. Пусть выбраны два действительных числа а, Ь, причем а<л<Ь, и выполнены соотношения:
К(а) = gв (а), И2(Ъ) = gвф),
а а да да
| Н1(х)ёх = | gв(x)dx, |Н2(ху}х = |gв (х)с!х. (3)
—да —да Ъ Ъ
Назовем плотностью STS-распределения функцию /х) вида:
к1( х), х < а; /(х) = \ gв (х), х £ [а, Ъ];
к2( х), х > Ъ. (4)
Математические ожидания и дисперсии (а;,ст;2), =1,2 однозначно определяются из равенств (3).
Поэтому 5"(х) =| /^^ = Б(х, а,Ъ, а, в, с, ¡л) будет
—да
зависеть от шести параметров: а, Ь, а, в, с, ¡л. Различные возможные параметризации рассмотрены в монографии [13], где обсуждаются их преимущества и недостатки.
Обозначим через р и р2 вероятности отсечения:
р1 = | к1 (/) dt; р2 =| Н2 (/) dt.
—да Ъ
Для определения р1 и р2 необходимо пользоваться квадратурной формулой и вычислять соответ-
а да
ственно интегралы | gв (х^х, | gв (х)з?х.
—да Ъ
Вероятности р1 и р2 играют важную роль при детерминации параметров нормальных распределений с плотностями А:(х), к2(х). Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть 8(х,а,Ь,а,в,о,лЛ - функция STS-распределения с плотностью /(х), удовлетворяющей (4). Тогда параметры нормальных распределений с плотностями к[(х), к2(х) вычисляются по формулам:
Ст1 =Ф(Ф—1( д)) ■[ gв( а)]-1,
ст2 =ф(Ф—1( р2)) ■[ gв(й)]—1,
а1 = а — ст1Ф—1 (р1), а2 = Ъ + ст2Ф— 1 (р2), (5)
где ф(х), Ф(х) - плотность и функция распределения стандартной нормальной случайной величины соответственно.
Доказательство теоремы основано на использовании равенств (3) и выполнении соотношений:
р1 =| h1(t)dt = Ф
—да да
р2 = | h2(t ^ = 1 -Ф
^ а - а1 ^
Г Ъ - а2 Л
Для задания в (2) стандартной STS-распределенной случайной величины е„ требуется знать первый и второй начальные моменты. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть £~£(х,а,Ь,а,в,с,л). Тогда первый и второй начальный моменты вычисляются по формулам:
ЕЕ, = арх —ст^ф-11( рх) рх +ф(Ф—1( д))] +
Ъ
+| xgв (х) dx+Ър 2 +СТ2[Ф-1(р2) р2 +Ф(ф-1(р2))],
а
Ц2 = (ст* + а?) - ст1 (а + а1) ф(Ф-1 (А)) +
Ъ
+| х2 gв (х) dx + (ст22 + а2) р2 +ст2(а2 + Ъ )ф(Ф—1(р2)).
а
Доказательство теоремы основано на непосредственном интегрировании равенства (4).
Проведем сравнение построенной по (3)-(5) плотности ЗТЗ--распределения с плотностями нормального и а-устойчивого распределения с идентичными параметрами, для чего изобразим их на рис. 1.
Как следует из анализа рис. 1, плотности а-устойчивого и STS-распределений совпадают друг с другом при хе [а,Ь]. Кривая 2 отличается от
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 тт
Рис. 1. Плотности нормального, a-устойчивого и STS-распределения при a=-0,1, b=0,1 (p=p2=0,105), a=1,5, в=0,1135, с=0,05, /1=0,00191:1) плотность STS-распределения; 2) плотность нормального распределения с математическим ожиданием /1=0,00191 и дисперсией 0,004761; 3) плотность a-устойчивого распределения
■0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 ТТ
"-Л
Рис. 2. Плотности БТБ-распределения при а=1,5, р=0,1135, с=0,05, /=0,00191 и функция плотности нормального распределения с математическим ожиданием / и дисперсией 0,00476:1) плотность нормального вероятностного закона; 2) плотность 5Т5-распределения при а=-0,1, Ь=0,1, р1=р2=0,105; 3) плотность БТБ при а=-0,2, Ь=0,2, р1=р2=0,031; 4) плотность 5Т5-распределения при а=-0,3, Ь=0,3, р=р-2=0,015
кривых 1, 3 вследствие ненулевого коэффициента асимметрии Д Кроме того, характеристическая экспонента а не равна двум (случай нормального вероятностного закона). Далее, для х>шах{|а|,|Ь|} хвосты кривой 1 находятся между кривыми 2 и 3. Это говорит о том, что редкие события при их описании с помощью STS-распределения происходят с более высокой вероятностью, чем при использовании нормального закона.
Зависимость плотности STS-распределения от параметров а, Ь приведена на рис. 2. Как следует из анализа рис. 2, с ростом абсолютного значения уровня отсечения а толщина хвостов падает, а функция плотности концентрирует свои значения около моды /. Кроме того, при определенных значениях параметров плотность STS-распределения может иметь более толстые хвосты, чем плотности нормального и а-устойчивого распределений. Поэтому можно утверждать, что построенная в соответствии с (3)-(5) функция /(х) обладает высокой адаптивной способностью к описанию эмпирических данных, достигаемой варьированием шести параметров.
3. Эконометрический анализ данных
Используем построенное выше STS-распреде-ление для модификации GARCH(1,1). Предположим, что в выражении (1) и„~8(х,а,Ь,а,р,с,/1). Выберем стандартную STS-распределенную случайную величину еп~Д(х;-5,92;3,33;1,85;0,6;-0,1;0), имеющую нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.
Предполагая независимость логарифмических приращений, .применим для оценивания коэффициентов у,а,в модели (1) метод максимального правдоподобия (вопросы применимости метода в случае условных плотностей подробно рассмотрены в [14]) и вычислим максимум функции Ь:
или функции ln L:
L = П f •
ln L = Х f,
(6)
где /=/(%1Р—1) - функции условной плотности STS-распределения, определенные равенством (4), т -число наблюдений, Ь - функция правдоподобия.
Поиск максимума (6) осуществляется в соответствии с выполнением необходимого условия существования экстремума функции трех переменных:
dL=о, —=о, dL=о.
dm да дв
(7)
Решение нелинейной системы (7) в предположении единственности экстремума в некоторой расчетной области может проводиться любым итерационным методом: методом наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и т. п.
После оценивания коэффициентов m,а,в и подстановки их в (1) остается провести статистическое исследование надежности предложенного метода GARCH(1,1) при прогнозировании волатильности. Для этого используем хорошо известную статистику Льюнга-Бокса проверки гипотезы H0 о равенстве нулю первых m автокорреляций [15], где m<n. Так как при условии существования четвертого начального момента Цип\<ж процесс GARCH(1,1) может быть записан в виде ARMA процесса с параметрами p=1 и q=1, то естественно рассмотреть нормированную выборочную автокорреляционную функцию остатков ап вида
Гк
= ^ a ta i+k ^ ai , к = 1,2,3,...
Далее, запишем статистику
»2
т г к
у = п(п + --,
£1 п - к
которая, как известно, при достаточно больших п будет иметь х2-распределение с (т-р-д) степенями свободы, если теоретические значения параметров модели (1) неизвестны. Наконец, вычисление гк следует проводить для остатков ап=и1 и ап=(ип-а)/а2„ соответственно до и после применения GARCH(1,1).
Гипотеза Н0 принимается, если У<%1-8(т—р—д), где ^ - уровень значимости критерия, и отвергается в противном случае. Соответственно, GARCH(1,1), определяемый выражением (1) с коэффициентами, удовлетворяющими (7), является статистически надежным с уровнем значимости д, если -<х?-5(т-р-д).
Для моделирования вероятных в будущем значений временного ряда кп вместе с вычислением статистики Льюнга-Бокса потребуется проверить, будут ли приращения ип, найденные в соответствии с (2), иметь STS-распределение. Подгонка эмпирического распределения к STS по выборочным данным может осуществляться различными методами, например, подгонкой характеристической функции или аппроксимацией плотности с использованием быстрого преобразования Фурье. В данной работе использовалась запись плотности STS-ра-спределения через интеграл Золотарева [13] с его последующим численным интегрированием квадратурной формулой Симпсона. Качество подгонки проверялось с помощью х2-теста [14].
4. Анализ эмпирических данных
Применим метод STS-GARCH(1,1) для моделирования временного ряда кп долларовых котировок акций РАО ЕЭС РТС, для чего используем 371 значение за период с 04 января 2003 г. по 30 июня 2004 г.
Отметим, что ип=1п(йп)-1п(йп-1), п=1,2,..., обладают следующими параметрами: среднее - 1,9.10-3, дисперсия - 8,2.10-4, третий центральный момент - 2,6.10-6, четвертый - 4,Н0-6, коэффициент асимметрии - 1,1-10-1, куртосис (эксцесс) - 6,15.
t=i
t=i
Проведенные численные расчеты показали, что ип~8(х,а,Ь,а,в,е,ц) с вероятностью 0,99, причем а=-4-10 2, Ь=4,5-10 2, а=1,9; 0=1,Н0-1, с=1,8-10-2, ^=1,9-10-3. При этом значение х2-теста было равно 21,67.
Дневная волатильность а„ в (1) вычислялась по последним к наблюдениям:
_ 1 к _ аП = 7-7 X (и -- и )2'
7 1 ,=1
_ 1 7
где и =—V ип_, - выборочное среднее, к - лаг (задержка) временного ряда. Коэффициенты модели (1) были оценены методом максимального правдоподобия с логарифмической функцией правдоподобия (6). Система (7) разрешалась методом наискорейшего спуска с погрешностью е=10-3. Начальное приближение выбиралось нулевым.
Величины параметров STS-GARCH(1,1) при различных лагах к приведены в таблице.
Таблица. Значения коэффициентов БТБ-вАНСН (1,1) при различных лагах
к ю а в У
2 10-4 0,20 0,77 0,03 310-2
5 10-4 0,21 0,78 10-2 10-2
10 10-3 0,16 0,83 10-2 10-1
Приведем значения статистики Льюнга-Бокса - до и после применения GARCH(1,1). Так, при к=3 до и после применения она была равна 29,58 и 0,09 соответственно, при к=5 - 48,6 и 1,11, при к=10 -60,13 и 6,78. Пороговые значения распределения Х?-5(т-2) при уровне значимости д=0,05 и т=3, т=5, т=10 равны 3,8414; 7,8147; 15,5073. Таким образом, метод STS-GARCH(1,1), построенный на основе (1) с коэффициентами из таблицы, является статистически надежным с вероятностью 0,95.
Применим STS-GARCH(1,1) для имитационного моделирования долларовых котировок акций РАО ЕЭС РТС. При этом используем найденные ранее волатильности оп и сгенерируем случайную последовательность £п={уп}п=0, имеющую STS-распре-деление с нулевым средним и дисперсией единица: еп ~ 5(х; -5,92; 3,33;1,85; 0,6; -0,1; 0).
Задание значений еп проводилось согласно классической схеме [17]: на интервале [0,1] генерировалась последовательность равномерно распределенных случайных величин {хп}п3=00, после чего при фиксированном п решалось трансцендентное уравнение относительно уп:
Х = 5 (у), (8)
У
где 5(у) = 5(у;-5,92;3,33;1,85;0,6; -0,1;0) = | /(/) Ж
— функция стандартного STS-распределения. Решение уравнения (8) осуществлялось методом касательных с нулевым начальным приближением и точностью 10-4. Относительная погрешность вычисления корней (8) не превосходила 10-6.
Последовательность е„ была использована в (2) для определения логарифмов приращений ип и для вычисления вероятных значений Н^ долларовых котировок акций РАО ЕЭС РТС:
С? = К • ехр(стп+1£п+1 + ап+1).
Полученные Н™, рассчитанные с лагом 5, и исходные исторические данные Нп приведены на рис. 3. Кроме того, на рис. 3 изображена относительная погрешность 8„ между ними:
5 = \нБТ5 - К \Н~\
п | п п | п
Как следует из анализа рис. 3, относительная погрешность 8„ не превосходила 5 %. Максимум 8„ достигался на 206 день торгов и был равен 4,8 %. Средняя величина погрешности составила 2,28 %.
31.01.C3 03.03.03 01.04.03 29.04.03 30.0S.03 30.06.03 28.07 03 25.08.03 22.09.03 20.10.03 18 11 03 17 1203 19.01.04 li.02.04 17.03.04 14.04.04 17.05.04 15.0А.04
Рис. 3. Сравнение исторических и модельных значений котировок акций РАО ЕЭС РТС за период с 04 января 2003 г. по 30 июня 2004 г.: 1) временной ряд исторических данных, 2) временной ряд, рассчитанный 5Т5-вАНСН(1,1) с лагом 5,3) относительная погрешность, %
Согласно рис. 3, наблюдаются три всплеска значений 8п: с 29.04.03 по 30.05.03, 20.10.03 и с 14.04.04 по 17.05.04. Это связано с резкими скачками котировок акций в данные промежутки времени, так как волатильность цен составляла от 7 до 15 % в день. Отметим, что такие резкие изменения цен являются одной из причин отказа от допущения о нормальном распределении е„ при вычислении ип в выражении (2). Как показывают расчеты, если вместо еп~£(х;-5,92;3,33;1,85;0,6;-0,1;0) взять ап~Щ0,1), то максимум относительной погрешности будет равен 17,1 % при средней величине погрешности 7,3 %. Вышесказанное дает основание сделать вывод о том, что STS-GARCH(1,1) удовлетворительно описывает исходные данные и позволяет моделировать их значения с небольшой погрешностью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ser-Huang P. A Practical Guide to Forecasting Financial Market Volatility. - Chichester: John Wiley & Sons, 2005. - 123 p.
2. Fama E. The behavior of stock market prices // Journal of Business. - 1965. - V. 38. - № 1. - P. 34-105.
3. Haas M., Mittnik S., Paolella M.S. Modeling and Predicting Market Risk With Laplace-Gaussian Mixture Distributions // Center for Financial Studies (J.W. Goethe University), 2005. - № 11. - P. 36.
4. Mantegna R.N., Stanley H.E. Introduction to Econophysics, Correlations and Complexity in Finance. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 148 p.
5. Basrak B., Davis R.A., Mikosch T. Regular variation of GARCH processes // Stochastic Processes and their Applications. - 2002. -V. 99. - P. 95-115.
6. Brooks C., Clare A.D. a. o. A comparison of extreme value theory approaches for determining value at risk // Journal of Empirical Finance. - 2005. - № 12. - P. 339-352.
7. Mittnik S., Paolella M.S., Rachev S.T. Stationarity of stable power-GARCH processes // Journal of Econometrics. - 2002. - V. 106. -P. 97-107.
8. Jondeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness, and kur-tosis: existence, persistence, and comovements // Journal of Economic Dynamics and Control. - 2003. - V. 27. - P. 1699-1737.
9. Wagner N., Marsh T.A. Measuring tail thickness under GARCH and an application to extreme exchange rate changes // Journal of Empirical Finance. - 2005. - V. 12. - P. 165-185.
5. Заключение
На основе одномерного STS-распределения построен модифицированный эконометрический метод STS-GARCH(1,1). Найдены аналитические выражения для первого и второго начальных моментов STS-распределения. Неизвестные параметры модели STS-GARCH(1,1) определены численно методом максимального правдоподобия. С помощью теста Льюнга-Бокса осуществлено статистическое исследование надежности предложенного эконометриче-ского алгоритма. Далее, метод STS-GARCH(1,1) был применен для имитационного моделирования цен обыкновенных акций РАО ЕЭС РТС с лагом 5. Показана более высокая точность вычислений по сравнению с классической моделью GARCH(1,1), в которой делается допущение о нормальности логарифмов дневных приращений.
10. Menn C., Rachev S.T. A GARCH option pricing model with alpha-stable innovations // European Journal of Operational Research. -2005. - V. 163. - P. 201-209.
11. Rachev S.T., Menn C., Fabozzi F.J. Fat-tailed and Skewed Asset Return Distribution. Implications for Risk Management, Portfolio Selection and Option Pricing - John Wiley & Sons, 2005. - 370 p.
12. Hull J. Options, futures and other derivatives - Prentice-Hall, 2002. - 745 p.
13. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. - М.: Наука, 1983 - 304 с.
14. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 - Т. 1. - 656 с.
15. Ljung G.M., Box G.E.P. On a measure of lack of fit in time series models // Biometrika. - 1978. - V. 65. - № 2. - P. 297-303.
16. Chernobai A., Rachev S.T., Fabozzi F. Composite Goodness-of-Fit Tests for Left-Truncated Loss // Samples Technical Report: Department of Statistics and Applied Probability, University of California, USA, 2005. - 23 p. http: // www.pstat.ucsb.edu/research/pa-pers/KSmissing20050604-JFE.pdf
17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1960. - 661 с.
