Применение обобщенных символов Кронекера в теории поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

К. В. Полякова

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ СИМВОЛОВ КРОНЕКЕРА В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрены два подхода к заданию индуцированной линейной связности на поверхности проективного пространства.

Ключевые слова: поверхность проективного пространства, линейная связность, гиперплоскость Борто-лотти, обобщенные символы Кронекера.

Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу, инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

ёЛ=вЛ + ю1 Ль dЛ1=вЛ1+ ю1 Л + ю] Л3 (1,3,... = 1,п),

а базисные формы ю1, ю1, ю] проективной группы ОР(п), действующей в пространстве Рп, удовлетворяют структурным уравнениям Картана [1, с.173]

Вю1 = ю3 аю],

Вю] = ю3 Аю1 + Аюк + 5]юК аюк , Вю1 = ю] А ю3 .

Поверхность Хт (1 < т<п), рассматриваемая в пространстве Рп как многообразие точек [2; 3], задается системой уравнений

юа = А^ю1 (1, ],... = 1,т ; а, Ь,... = т + 1,п ),

причем

АД +< = Д а],

где АЛ« =а Д + Да" - Л]П/ , П] = а] + Л^а .

С поверхностью ассоциируется главное расслоение линейных реперов со структурными уравнениями

Ба' = а] лП], (1)

Ба^а1} ла^+а' ла, , (2)

где

а1,' = - д, (а' +Лаа) -а,(д' + «а Л, (3)

причем д, — обычный, дд, — обобщенные символы Кро-некера [4]. Распишем подробно уравнения (2), чтобы не использовать обобщенные символы в обозначении (3):

Б а] = а* ла'к + аа л а" +ак л а']к ,

Оаа = аа лак + аа лаЬ +а лаа] ,

Баа =а/ лааа + а,Ь ла£ +а] л аа, (4)

тл a г a , c a , г a

Dab = сь лсг + сь лсс + с л сьг ; обозначения (3) при этом принимают вид:

С = (ск + ^kCa) - S'kCj , < = -S)Ca ,

С = -л]Щ, соаы= -sa(oi + 4®c) - Аа®ь •

Линейную связность в расслоении (1, 4) зададим с помощью форм

С =ас-ГС, с = С]-Г\с , с; = С]-Г;С , а =а-ГС.

Дифференцируя эти формы внешним образом и применяя теорему Картана — Лаптева, получаем, что система уравнений на компоненты объекта линейной связности имеет вид:

л) -г>а} +3 = Г6,

ЛГ) + ))-Г)3а +( = Г)к3,

ЛГ) +гЦф'а + з) =Г)как , (5)

лгьа +)-г;®) +( =Гьау.

Записывая [2] уравнения расслоения в компактном виде (1, 2), а формы связности в виде = з(%— Гл 3, получаем, что объект линейной связности удовлетворяет уравнению

ЛГ^_=Г% 3, (6)

которое в подробной записи совпадает с системой (5). Структурные уравнения для форм 3), 3га, (3°, За также являются

подробной записью структурных уравнений для форм . Очевидно, это верно и для выражений компонент объекта линейной кривизны. Для нахождения уравнений на объект линейной кривизны (в подробной и компактной форме) надо предварительно найти уравнения на компоненты пфаффовых производных объекта линейной связности, т. е. продолжить уравнения (5) и (6). В уравнениях (5) нет обобщенных символов Кронекера, а в (6) дифференцирование их (как констант) дает нули, что не приводит при продолжении к другому результату. Это же подтверждается установленным псевдотензорным характером объекта линейной кривизны Я1%1) в компактной форме [3], т. е. ЛЯ1%)) =0.

Зададим гиперплоскость Бортолотти точками В% = А% + А% А, причем

ЛЯ% +т% =Лп 3 , (7)

где ЛА% = с1А% - .

Используя для символа Кронекера равенство

¿4

Ад, = ¿д, + дКаК -дКаК =а, -а, = 0 ,

найдем соотношения, которым удовлетворяют обобщенные символы

а - «а=о, А за - заа=о. (8)

При I = ] и I = Ь соотношения (8) в подробной записи становятся очевидными равенствами, например,

¿д/+дкак - за - заа =

о

= 0 + д] а I + за - да =а/ - а а = 0 .

о

Однако соотношения (8) оказываются полезны при нахождении охвата объекта линейной связности Г . Рассмотрим (6) с учетом (3):

А Г - д1(аг +Лаа) + а(д! + дД), (9)

где символ - означает сравнение по модулю базисных форм а1. Анализируя сравнения (9), можно предположить, что объект Г имеет вид [2]:

Г =-д!М' , (10)

где

! = А+Л^а , м! = д ] + да Л , (11)

причем

Ам +а' +Лаа - о , Ам! - 0 . (12)

Применяя дифференциальный оператор А к выражению

(9), учитывая обозначения (11) и сравнения (12), получим сравнения (6), что подтверждает правильность гипотезы

(10).

Избегая обобщенные символы Кронекера, мы вместо уравнения (6) для объекта rji получаем более подробные уравнения (5), которые сложнее для нахождения охватов. Подробная запись охвата (10) верна с точки зрения системы уравнений (5).

Вывод. Обобщенные символы Кронекера S¡, SIa, удовлетворяющие соотношениям (8), представляют собой удобные понятия, которые существенно упрощают формулы и выкладки, что не приводит к ошибкам и противоречиям (ср. [5; 6]).

Список литературы

1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.

2. Шевченко Ю. И. Об оснащении многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 8. Калининград, 1977. С.135—150.

3. Полякова К. В. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Там же. Вып. 30. С. 64—68.

4. Golab St. Tensor calculus. Warszava, 1974.

5. Малаховский В. С. Об особенностях применения ковариантно-го дифференцирования к обобщенным символам Кронекера // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 41. Калининград, 2010. С. 85—87.

6. Столяров А. В. Замечания к применению в научных исследованиях дифференциалов обобщенных символов Кронекера // Там же. С. 144—145.

K. Polyakova

APPL^ATION OF GENERALIZED KRONECKER SYMBOLS IN SURFACE THEORY

Two approach to giving induced linear connection on a surface of projective space are considered.