CC BY
81
УДК 519.853
раздел МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА и ФИЗИКА
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ, ЧАСТЬ 1
© Д. А. Салимоненко
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (347) 273 68 80.
В статье рассматривается применение методов линейного программирования с переменными коэффициентами для анализа электрических цепей. Предлагаемая методика позволяет решать как прямую задачу электротехники (определять токи и напряжения в цепи при известных величинах параметров - сопротивлений, диодов, ключей, которые могут находиться в заданных интервалах допустимых значений), так и обратную задачу (подобрать величины параметров цепи при заданных величинах токов и/или напряжений на, вообще говоря, каждом из ее элементов; причем как величины токов и напряжений, так и искомых параметров могут находиться в определенных интервалах или даже быть взаимозависимыми). Методика позволяет решить как прямую, так и обратную задачу электротехники, в том числе, при использовании любого линейного критерия оптимизации. Таким критерием может быть, например, максимум (минимум) напряжения, тока, суммы напряжений и т.п. Данная методика позволяет также проводить анализ экстремальных состояний (критическихрежимов) электрических цепей, т.е. таких состояний, в которых параметры цепей принимают значения, обуславливающие возникновение повышенных напряжений или токов на соответствующих элементах цепей. Это является актуальным для выяснения, в какой мере элементы электрических цепей подвержены опасности выхода из строя. Иллюстрация методики реализована в виде численного расчета (при помощи компьютера) экстремальных состояний несложной электрической цепи с использованием методологии линейного программирования с переменными коэффициентами. Для этой цепи сформулирована соответствующая модель линейного программирования в виде системы уравнений и неравенств, описывающих состояние электрической цепи.
Ключевые слова: электрическая цепь, электрический ток, напряжение, сопротивление, диод, ключ, подбор параметров цепи, линейное программирование с переменными коэффициентами, неединственность решения, сходимость, итерация, критический режим, оптимизация.
Одной из характерных задач анализ электрических цепей, их технической диагностики, является интервальная неопределенность численных параметров задачи [11]. В целях анализа электрических цепей применяются различные методы. На наш взгляд, представляют большой интерес методы линейного программирования, позволяющие получить «точное» решение (т.е. такое, погрешность которого зависит только от погрешности вычислений). В этом смысле методы линейного программирования можно приравнять к аналитическим методам решения задач анализа линейных электрических цепей (ЭЦ) с той лишь разницей, что аналитическое решение представляет собой весьма и весьма трудоемкую процедуру для задач даже относительно небольшой размерности, тогда как решение при помощи методов линейного программирования (на базе симплекс-метода) осуществляет компьютер, что на много порядков снижает трудоемкость. Сам по себе симплекс-метод является «точным» (детерминированным) методом и не содержит в себе погрешностей, чем выгодно отличается, к примеру, от итерационных, стохастических методов, а также методов классической интервальной математики.
Конечно, сама идея применения методов линейного программирования для целей анализа электрических цепей (ЭЦ) не является новой. Известны работы В. К. Безрукова, Н. В. Киншта, Г. Н. Герасимовой, Н. Н. Петрунько, М. А. Кац, П. Г. Рагулина, С. А. Курганова, В. В. Филаре-това, Салимоненко Д. А., Мартынова А. П., Салимоненко Е. А. и др. [3-13, 16-18] и многих других авторов.
Например, С. А. Курганов предложил метод схемно-алгебраического выделения многополюсников, который исключает повторяющиеся операции выделения двухполюсных ветвей и сокращает объем схемно-ал-гебраических выкладок при анализе и диагностике ЭЦ. При этом метод линейного программирования упоминается им косвенно, он отмечает возможность его примене-
ния для целей решения уравнений, получающихся в результате схемно-алгебраического анализа электрических цепей [10]. Но сама методология анализа ЭЦ с использованием симплекс-метода в его работе не приводится.
Работы таких исследователей, как Н. В. Киншт, М. А. Кац, П. Г. Рагулин и др. представляют собой достаточно обширную область исследований, связанных с диагностикой и анализом ЭЦ. В частности, в работе [5] рассматриваются возможности эвристического построения матриц основных сечений и контуров, ассоциируемых с деревьями графа ЭЦ специального вида, построенных с учетом интервальных характеристик режимов и параметров ветвей. По их мнению, «утверждать что-либо относительно качества решения задачи анализа ЭЦ при произвольно назначенных матрицах независимых сечений и контуров D и В в настоящее время пока не представляется возможным» [5, с. 44.]. Опираясь на мнение авторов цитируемой работы, целесообразно признать, что предложенный ими метод не годится в общем случае для нахождения «точного» решения задачи анализа линейных ЭЦ.
Тогда как симплекс-метод решения задачи анализа ЭЦ не накладывает никаких ограничений на матрицы независимых сечений и контуров и является «точным» методом.
Квалифицированные специалисты в области анализа и диагностики электрических цепей Н. В. Киншт, Г. Н. Герасимова, М. А. Кац [4] рассматривают две модели диагностируемой электрической цепи: модель в виде пассивного многополюсника, тестовое диагностирование которого проводится со стороны доступных зажимов, и (базисная) модель однократного диагностического эксперимента, не накладывающая ограничений на количество одновременно действующих источников и измеряемых параметров. Задачи анализа ЭЦ представлены ими в виде задач линейного (и линейного параметрического) программирования.
Так как параметры ЭЦ могут находиться в определенных интервалах, то для решения получающейся задачи можно, как предлагает Н. В. Киншт, использовать методы интервального анализа, разработанные, в частности, широко известным в мире специалистом в области интервального анализа систем С. П. Шарым [14, 15].
В теории решения интервальных систем линейных алгебраических уравнений, развитой С. П. Шарым [14], существенную роль играют построения формулировок задач, основанные на логике кванторов всеобщности и существования. Н. В. Киншт делает вывод, что формулировки задач зависят от их технического содержания и содержательной природы интервальности параметров ЭЦ [6]. Он считает, что при некоторых вариантах кванторного описания задач интервальных систем алгебраических уравнений - «описания соответствуют различным формализациям описания технических задач (например, формализации описания вписанного в множество решений или же описанного вокруг множества решений гиперпараллепипеда)». С ним солидарен и сам С. П. Шарый, по мнению которого в процессе решения систем интервальных уравнений методами интервального анализа возможно получить лишь оценки решения сверху или снизу, т.е. supremum или тйпит (внешнее или внутренне оценивание в терминологии С. П. Шарого) на базе использования объединения брусов [14, с. 189]. С. П. Шарый также указывает, что в задачах большой размерности возникает необходимость «как-то огрублять точные описания множеств решений», иначе получение даже оценочного (не говоря уже о «точном») решения даже при помощи современных ЭВМ является проблематичным [14, с. 183].
Видимо, поэтому Н. В. Киншт (с соавторами) отмечает, что «применение классической интервальной арифметики недостаточно конструктивно и необходимо искать некие общие подходы к решению таких задач» [6]. Как раз один из таких подходов и предлагается нами (см. ниже).
Потом, в процессе использования методов интервального анализа, с точки зрения С. П. Шарого, «некорректно говорить о решении интервальных уравнений вообще» [14, с. 13], что, на наш взгляд, является ограничением методологии интервального анализа. Ибо это ограничивает общность анализа и вызывает необходимость дополнительной аналитической работы для решения конкретной системы интервальных уравнений.
Таким образом, мы полностью солидарны с цитируемыми выше исследователями. На наш взгляд, действительно, методы интервального анализа являются весьма действенным средством приближенного (оценочного) решения систем интервальных уравнений и, без всякого сомнения, могут быть эффективно применены для целей анализа и диагностики ЭЦ, что и продемонстрировано процитированными выше публикациями. Характерно, что, судя, например, по работам Н. В. Киншта, методы интервального анализа позволяют осуществлять диагностику и анализ не только линейных, но и нелинейных ЭЦ, причем даже с учетом переходных процессов, в чем видится очевидное преимущество этих методов по сравнению, например, с методами линейного или квадратичного программирования.
Однако, чем более высоким будет требуемое качество (точность) решения, тем более длительным будет являться процесс решения. Если же необходимо получить «точное» (в обозначенном выше смысле) оптимальное решение систем линейных уравнений и неравенств, здесь методы интервального анализа (в изложении С. П. Шарого) помочь не смогут.
Кроме того, методы интервального анализа не позволяют получать «точное» оптимальное решение линейных систем уравнений или неравенств, в которых содержатся взаимозависимые параметры. А это является актуальным для целей анализа ЭЦ, например, в случае, когда одно и то же сопротивление входит в разные уравнения (неравенства).
Правда, С. П. Шарый проводит анализ интервальных уравнений со связанными (взаимозависимыми) параметрами, но, во-первых, он при этом отмечает, что для решения подобных задач, имеющих даже не слишком большую размерность, наблюдается «огромная трудоемкость», поэтому «задача практического вычисления оценок множеств решений ИСЛАУ с симметричными, кососимметричными и т.п. матрицами со связанными элементами стоит весьма остро» [14, с. 251] решения. Во-вторых, опять же, невозможно получить «точное» решение, как и в случае отсутствия взаимозависимых параметров.
Наконец, параметры могут испытывать зависимость от времени, температуры и т.д. Т.е. когда они являются уже не только интервальными, но и переменными.
Подытоживая вышесказанное, следует сказать, что указанные недостатки методов интервального анализа ограничивают их применение в области анализа сложных ЭЦ, описывающихся линейными уравнениями и неравенствами в случаях, когда:
1. Необходимо получить «точное» решение,
2. Необходимо получить оптимальное решение (например, такое решение, которое дает максимумы напряжений на одном или нескольких элементах схемы); причем имеется возможность применить не только один, но и несколько критериев оптимизации одновременно,
3. В задаче имеются взаимозависимые интервальные (или переменные) параметры,
4. Некоторые параметры являются не только интервальными, но и переменными (т.е. зависят от времени, температуры и т.п.),
5. Электрическая цепь является сложной, так что размерность задачи является достаточно высокой.
Как следует из вышеизложенного, перечисленные условия являются ограничениями методологии интервального анализа, разработанного С. П. Шарым (например, применительно к задаче о допусках [14]).
Тогда как симплекс-метод не содержит в себе отмеченных выше ограничений и может быть использован для решения любых систем линейных интервальных уравнений и неравенств, т.е. в общем случае. При этом симплекс-метод позволяет получить «точное» оптимальное (в смысле того или иного критерия) решение (что невозможно сделать, используя методы интервального анализа), в том числе и при наличии взаимозависимых параметров. Если, конечно, решение существует.
Все вышесказанное указывает на целесообразность разработки методологии анализа ЭЦ, описывающихся линейными уравнениями, на базе методов линейного программирования с переменными коэффициентами. Отметим, что подобная терминология «линейное программирование с переменными коэффициентами» не является новой; она достаточно давно и широко применяется, к примеру, в работах А. П. Мартынова, Я. С. Амирова, А. Ю. Абызгильдина, Э. Г. Теляшева, Н. Р. Сайфуллина, Р. Г. Давлеткулова [11-13] и ряда других исследователей. Термин «переменный коэффициент» возможно, неудачен, но является более общим, чем термин «интервальный коэффициент».
В одной из наших работ [12] на примере разветвленной электрической цепи была поставлена и решена обратная задача электротехники - расчет параметров цепи при заданных режимах ее функционирования. На примере цепи, приведенной на рис. 1, определены величины токов, протекающих по каждой из ветвей, при условии, что сопротивления цепи, а также источники ЭДС, могут находиться в некоторых интервалах возможных значений; они могут также зависеть, например, от времени, температуры или иных факторов. Кроме того, постановка задачи учитывает ограничения, налагаемые и на сами токи.
Задача решалась на основе методологии линейного программирования с переменными коэффициентами (ЛППК) [11, 13]. Применение симплекс-метода позволяет ускорить процесс вычислений, что является актуальным, так как известные в настоящее время аналогичные методики требуют существенных временных затрат. К тому же, в отличие от известных нам методов расчета электрических цепей, в данном случае нет необходимости использовать процедуру перебора возможных вариантов величин исходных данных (в рамках области допустимых значений), ибо названная методология позволяет выявлять их автоматически. Наконец, известные нам методы анализа электрических цепей, в общем случае, имеют проблемы со сходимостью вычислительного процесса, что в ряде случаев влечет необходимость осуществлять решение заново при новых начальных условиях расчета, а то и видоизменить вычислительную схему (например, заново составить уравнения Кирхгофа при другом наборе независимых контуров), в чем совершенно нет потребности при применении методологии ЛППК на основе симплекс-метода [11]. Сходимость и устойчивость методов ЛППК, насколько нам известно, не подвергается сомнению [11, 13].
Последнее является особенно важным в случае анализа критических состояний электрической цепи, а также при наличии неединственности решения и ее влияния на функционирование цепи.
Отметим, что известные нам методы анализа электрических цепей позволяют найти решение; но при этом неизвестно, является ли это решение оптимальным, существуют ли (в случае неединственности) еще другие оптимальные решения. Кроме того, в результате того, что практически все электронные компоненты, в том числе и сопротивления, диоды изготавливаются с определенным допуском, а также в результате того, что в процессе работы цепи возможно (неконтролируемое) изменение ее параметров (по разным причинам [2]), можно сказать, что любой электронный компонент имеет параметры, которые равны не конкретным (точечным) значениям, а которые находятся в определенном интервале. Этот интервал может называться, к примеру, интервалом погрешности или интервалом неопределенности [13].
Например, в результате изменения температуры (температурный дрейф) величина активного сопротивления (резистора) имеет тенденцию к изменению. Конечно, существуют специальные прецизионные резисторы с очень малым уровнем температурного дрейфа, но их широкому применению препятствует дороговизна. К тому же и они со временем подвержены небольшому изменению своих параметров (старение). Таким образом, необходим такой метод анализа электрической цепи, который бы позволял автоматически учитывать погрешности исходных данных - параметров ее компонентов. И был бы лишен перечисленных недостатков известных методов (см. выше).
Рис. 1. Схема разветвленной электрической цепи (сравн. с [12]).
Метод ЛППК как раз и является таковым [11]. Разработанная нами методика анализа экспериментальных данных с учетом их погрешностей, является детерминированным методом анализа. Что выгодно отличает ее от других аналогичных методик (за исключением, разумеется, аналитических, при помощи которых получают решение задачи электротехники вручную), которые имеют недетерминированный характер.
В настоящей работе осуществляется дальнейшее развитие отмеченных идей. В целях наглядности, пример, на котором проводились расчеты [4], оставлен тем же самым.
В методику анализа электрических цепей вносятся следующие дополнения:
1. Возможность анализа при наличии в схеме механических, тиристорных или иных ключей, реле,
2. Возможность анализа при наличии в схеме диодов,
3. Возможность учета критических функциональных параметров каждого из элементов цепи.
Перечислим эти параметры (основные):
- для ключей таковым параметром служит максимально допустимый ток,
- для диодов таковыми параметрами являются, в частности, максимальное обратное напряжение и максимально допустимый ток в прямом направлении,
- для резисторов таковым параметром является максимальная мощность,
- для источников ЭДС таковым параметром является максимально допустимый ток.
Сформулируем общую постановку обратной задачи электротехники применительно к данному случаю: определить величины активных сопротивлений и максимально допустимые уровни напряжений источников ЭДС в схеме электрической цепи при следующих требованиях:
1. Цепь должна функционировать как на постоянном, так и на переменном токе низкой частоты;
2. Цепь должна функционировать при любом положении ключей (в данном случае, для примеры, имеется один ключ),
3. На ток каждого из элементов цепи наложены ограничения, исходя из соответствующих требований.
Таким образом, новым в данной работе (по сравнению с [12]) является наличие ключей, диодов, а также возможность учета ограничений по мощности элементов электрической цепи. Равно как и параметры сопротивлений и источников ЭДС, параметры ключей и диодов также могут иметь переменный характер. Методология анализа, основанная на ЛППК, позволяет получать значения искомых переменных (например, токов)
в виде интервалов, а не в виде точечных значений, что выгодно отличает ее от других методик расчета электрических цепей, известных нам [2-10].
Источники ЭДС полагаем низкочастотными, синусоидальными, синфазными:
Е1=|Б1|8т(ю1), Е2=|Е2|8т(ю1) (1)
Источники выбраны синфазными, поскольку в таком случае максимальные напряжения будут присутствовать на них в фазе, т.е. одновременно. Однако, не нарушая общности, отметим, что если они не будут синфазными, это не внесет в процесс расчетов никаких затруднений.
Диод и ключ полагаем идеальными. Задаемся предварительно номиналами элементов схемы. Для примера, резисторы R4^R5 полагаем мощностью Р=10 Вт. Мощность остальных резисторов на данном этапе полагаем любой (т.е. такой, какая получится в результате расчетов).
Диод, например, типа КД208А со следующими параметрами: [1]:
Максимальное обратное напряжение: ишахобр= 100 В, Максимальный обратный ток: 1тахобр=0. 1 мА, Средний прямой ток: 1тах српр= 1... 1.5 А. Максимальный ток, на который рассчитан ключ, принимаем равным 5А.
Отметим, что параметры диода, ключа, равно как и мощность резисторов R4...R6 выбрана произвольно, в целях демонстрации возможностей методики.
Записываем уравнения Кирхгофа для рассматриваемой цепи. По первому закону Кирхгофа: 14+15=11
12+13=15 (2)
11=13+16 По второму закону Кирхгофа: Г Я1-11+Я3-13+Я5-15=Е1
\ (К.2+Яув0-12-Я3-13+Я6-16=Е2 (3)
[ (К2+Яув1)-12-(К4+Я81)-14+Я5-15=Е2. Здесь сопротивление ключа S1 выражается следующей функцией:
10, если ключ включен (вкл.),
Я81= (4)
да, если ключ выключен (выкл.). Сопротивление диода VD1 (для диода 2Д108) в целях упрощения в прямом направлении принимаем равным нулю (хотя, если была бы необходимость, можно было бы взять фактическое значение его статического сопротивления). В обратном направлении его (статическое) сопротивление составляет не менее [1]:
ЯуВ1обр > итх°брЛтах°бр = 100/(0.1-10-3) = 106 Ом. Итак,
I" 0, если 12 >0
\ Яув1= (5)
[ > 106 Ом, если 12<0 В связи с тем, что в схеме ток источников ЭДС является переменным, целесообразно решать задачу в два этапа: при прямом прохождении токов (когда напряжения Е1, Е2 неотрицательны, т.е. 0<<вКя:) и при обратном. Отметим, что подобное делается лишь с целью облегчения компьютерного расчета и с целью наглядности демонстрации эффективности методики ЛППК. Очевидно, выбор рода и направления тока можно осуществлять и автоматизированно.
При прямом прохождении тока (направления токов соответствуют рис. 1) задача (2)-(3), с учетом вышесказанного, будет выглядеть следующим образом: 14-9(81) +15=11
12+13=15 (6)
11-=13+16
По второму закону Кирхгофа:
(R1-I1+R3-I3+R5-I5 - E1 18=0 (R2-I2 - R3-I3+R6-I6+UvdiI7 - E2-I8 =0 (7) R2-I2 - R4-8(S1)-I4+R5-I5+UvdiI7 - E2-I8 =0 UvdiI7 - Rvd1-I2=0 I8=1; I7=1
где 8(S1) = 1, если ключ включен, 0 в противоположном случае.
Здесь I7, I8 - фиктивные переменные, которые тождественно равны 1. Использование I8 обусловлено тем, что параметры Е1, Е2 могут принимать, в частности, отрицательные значения. Именно поэтому они в (7) перенесены в левую часть, превратившись из компонентов столбца правой части в переменные коэффициенты при фиктивной переменной I8. С аналогичной целью применена и фиктивная переменная I7.
Ограничения задачи (6)-(7) имеют вид:
Rj"<Rj<Rj+, J=1,..., 6,
0<I2<1.5 А (для прямого направления),
0<Ij<Ij max, j = 1,..., 6
0<E1<|E1|
0<E2<|E2|
где Rj-, Rj+, j=1,..., 6 - границы возможных изменений сопротивлений схемы.
Ij max - границы возможных изменений токов. Сопротивление диода RVD1=0 (в прямом направлении), RVD1>106 Ом (в обратном направлении) Напряжение на диоде UVD1<100 В (в обратном направлении). Для определения ограничений на токи необходимо учесть, что максимальные мощности всех выбранных сопротивлений составляют Р=10 Вт. Исходя из этого, по формуле Ij max=^P / R = / R в процессе
решения можно будет, основываясь на полученных значениях сопротивлений, определять максимально допустимые их токи и, тем самым, уточнить соответствующие ограничения.
На токи, если есть необходимость, можно наложить дополнительные ограничения (помимо ограничений по мощности). Например, можно использовать такие ограничения:
I1<4 A; I2< 1.5 A; I3<1.8 A; I4<2 A, I5<2A; I6<4 A. В приведенных неравенствах числовые значения выбраны произвольно.
Минимальные сопротивления резисторов R4.R6 определялись, исходя из условия их максимальной
мощности (например, равной 10 Вт): R =рд 2
Rj тах P/ Ij max
R4<2.5 Ом; R5< 2.5 Ом; R6<2.5 Ом; Поскольку в задаче (6)-(7) величины неизвестных сопротивлений играют роль переменных коэффициентов, то для составления задачи линейного программи-ровани с переменными коэффициентами основными условиями будут ограничения на них, поэтому используем обозначения для переменных коэффициентов, а затем будем составлять необходимые функциональные зависимости для них: a14 = 8(S1)
a41=R1; a43=R3; a45=R5; a52=R2; a53=-R3; a56=R6; a62=R2; a64=-R4-8(S1); a65=R5; a72= -RVD1 (если I2<0) a72= 0 (если I2>0) а48=-Е1; а58=-Е2;
а58-аб8=0.
a57=UVD1 (если I2<0).
а57=0 (если I2>0).
а57=аб7=а77
Отсюда следует система ограничений на переменные коэффициенты (8).
Отметим, что система ограничений (8) содержит в себе выражения, обозначающие взаимную зависимость параметров задачи ЛППК. Например, выражение a43+a53=0 обозначает взаимозависимость параметра а43 (равного R3) и параметра а53 (равного -R3).
Верхние ограничения на сопротивления R1...R3 пока не заданы, ибо неизвестны токи, протекающие через них.
Г a43+a53=0 a52-a62=0 a45-a65=0 a57-a67=0 a67-a77=0
0<a48<|E1|=200 В
0<a58<|E2|=200 В (8)
a72= -106 (если I2<0) a72= 0 (если I2>0)
а58-а68=0
a57<100 (если I2<0).
а57=0 (если I2>0). V а64>-2.5; а56<0.63; а65<2.5; a41>0, a43>0, a52>0, a45>0, a67>0.
В настоящей работе рассмотрим только первую часть поставленной задачи - расчет и подбор параметров цепи для прямого направления токов. Расчеты для обратного направления будут представлены немного позже. Иначе объем настоящей работы будет, как видится, большим.
С учетом условий (6)-(8) можно сформулировать задачу ЛППК для прямого направления токов:
- I1 +ai4l4 +I5 =0
I2 +I3 - I5 =0
I1 - I3 - I6 =0
a4iI1 +a43I3 +a45I5 +a48I8 =0 +a52I2 +a53I3 +a56I6 +а57I7 +a58I8 =0 a62I2 +a64I4 +a65I5 +ав7П +a68I8 =0 a72I2 +а77I7 =0 (9)
I1 < 4
12 < 1.5
13 < 1.8
14 < 2
15 < 2
16 < 4
17 = 1
18 = 1
Ij>0, j=1,., 8.
При ограничениях на переменные коэффициенты
(8).
В качестве целевой функции можно выбрать различные критерии. Применительно к поставленной задаче были выбраны критерии:
max E1 (10)
max E2 (11)
или
max E2 (10')
max E1 (11')
Тем самым, получена стандартная многокритериальная задача ЛППК с числом критериев, равным двум. Отметим, что порядок перечисления критериев в (10)-(11) имеет существенное значение.
Критерии (10)—(11) позволяют определить максимально допустимые значения напряжений источников ЭДС с учетом:
1. Ограничений на токи в каждой из ветвей, в том числе с учетом максимальной мощности сопротивлений, подключенных к этим ветвям и с учетом максимально допустимых токов диода VD1 и ключа S1,
2. Ограничения на напряжение диода в обратном направлении,
3. Ограничения на ток через контакты ключа.
При этом, в процессе решения задачи, будут определяться возможные (допустимые) значения токов, ЭДС и сопротивлений.
Однако, остается еще одна небольшая сложность. Рассматриваемая электрическая цепь содержит диод VD1, величина тока через который зависит, в частности, от его направления. Причем заранее направление этого тока неизвестно. Кроме того, оно может меняться в зависимости от состояния ключа S1.
Поэтому, если в результате расчета получится 12=0 (а отрицательным ток быть не может - таково ограничение, налагаемое симплекс методом, который используется нами для решения задачи ЛППК), то целесообразно изменить знаки всех коэффициентов перед 12 в системе ограничений (9), т.е. знаки всех коэффициентов аа, 1=1, ..., 7 на противоположные; остальные параметры не менять. И заново решить задачу (т.е., по сути, осуществить дополнительный этап оптимизации параметров). Если ток 12 увеличится, следовательно, на самом деле реальное его значение (с учетом направления, выбранного на рис. 1), является отрицательным. Если в схеме будет содержаться не один, а несколько диодов, то такой подход можно использовать для всех соответствующих ветвей схемы. Подобный алгоритм может быть автоматизирован без особых затруднений.
Что же касается величины параметра 0^1), то целесообразно осуществлять перебор его значений, благо, их всего два: 0 и 1. Следовательно, если в схеме будет z ключей, то потребуется осуществить 22 вариантов перебора, соответственно, решив 22 задач ЛППК. Конечно, при большом количестве ключей (при z>10.. .15) время решения задач ЛППК, полученных путем перебора, будет большим. Поэтому данный алгоритм может быть реально осуществлен лишь при относительно небольшом количестве ключей в схеме.
Задачу (8)-(11) целесообразно решать как многокритериальную при условии неединственности решения задачи (8)-(10). В противоположном случае целесообразно решать две задачи с отдельными критериями
(9) и (10).
Теперь можно перейти к решению поставленной задачи. Задача решалась с применением метода генерации переменных столбцов при помощи симплекс-метода. В оптимальных решениях генерировалось по несколько вариантов столбцов, которые впоследствии усреднялись для каждого переменного столбца в отдельности, в соответствии с рекомендациями [11].
Предварительные расчеты показали, что если не ограничивать величины остальных (трех) сопротивлений, то решение задачи неограничено. Это вызвано тем фактом, что для сколь угодно большого напряжения Е1 (или Е2) всегда можно подобрать сопротивления так, чтобы токи находились в заданных пределах. На теоретическом доказательстве данного утверждения останавливаться не будем, ибо оно очевидным образом следует
из известных методов анализа электрических цепей, например, на основе законов Кирхгофа или метода контурных токов.
Поэтому введем дополнительные ограничения на остальные сопротивления, исходя из значений максимально допустимых токов, протекающих через эти сопротивления и условия максимальной мощности, не превышающей 10 Вт:
Я1<0.625 Ом; К2< 4.4 Ом; Я3< 3.1 Ом.
Соответствующие переменные коэффициенты в задаче (8)-(11) получат дополнительные ограничения.
Результаты максимизации напряжений Е1, затем Е2 (анализ показал, что решение задачи является неединственным, поэтому следующим этапом, после максимизации Е1 решалась задача максимизации напряжения Е2) представлены в табл. 1.
Получилось, что 12>0, тем самым, нет необходимости проводить оговоренный выше дополнительный этап расчетов. Размыкание ключа S1 создает гораздо более щадящие условия по току для диода.
Расчет мощности, выделяемой на сопротивлениях, показал, что только на R1, R4, R5 она соответствует максимально допустимой (в нашем случае 10 Вт). Это вызвано тем, что соответствующие токи установились равными их максимальным (граничным) значениям. Тогда как мощности, выделяющиеся на остальных сопротивлениях, меньше, чем максимальная.
_Результаты max Е1, max E2
| Ключ S1 замкнут_
Со- Мощности,
про- выделяю-
Ток А тив- Ом щиеся на Вт
ле- сопротивле-
ние ниях
I1= 4.00 R1= 0.63 Р1= 10.0
I2= 1.33 R2= 4.40 Р2= 7.8
I3= 0.67 R3= 3.10 Р3= 1.4
I4= 2.00 R4= 2.50 Р4= 10.0
I5= 2.00 R5= 2.50 Р5= 10.0
I6= 3.33 R6= 0.63 Р6= 6.9
Ключ S1 разомкнут
Со- Мощности,
про- выделяю-
Ток А тив- Ом щиеся на Вт
ле- сопротивле-
ние ниях
I1= 2.00 R1= 0.63 Р1= 2.5
I2= 0.76 R2= 4.40 Р2= 2.6
I3= 1.24 R3= 3.10 Р3= 4.7
I4= 0.00 R4= 2.5 Р4= 0.0
I5= 2.00 R5= 2.50 Р5= 10.0
I6= 0.76 R6= 0.62 Р6= 0.4
Е1= Е2=
10.08 0.00
Далее была решена вторая многокритериальная задача - с критериями (10')—(11'). Ее результаты (максимизация напряжений Е2, затем Е1) представлены в табл. 2.
Оказалось, что напряжения Е1 и Е2 изменились. Тем самым, доказано, что если решать многокритериальную задачу ЛППК в целях анализа электрических цепей, следует признать, что порядок применения критериев, имеющихся в целевой функции, может иметь существенное значение.
При этом возрос ток 12, достигнув своего максимального значения. Следовательно, можно сделать вывод, что диод подвергается наибольшей перегрузке по прямому току в том случае, когда Е2 стремится к максимально допустимой величине 8.79 В.
Таким образом, величины максимально допустимых (критических) напряжений Е1 и Е2 зависят от положения ключа S1.
Нарис. 2 приведены диаграмма, задающая область допустимых значений Е1 и Е2. С целью выяснить, по возможности, все допустимые наборы максимальных напряжений Е1 и Е2 были проведены расчеты при промежуточных значениях напряжений в областях неединственности решений. Результаты расчетов отображены на рис. 2.
Если ключ может находиться в любом положении (т.е. заранее его положение неизвестно), то с целью сохранения работоспособности диода и сопротивлений, следует принять величины напряжений, находящиеся в заштрихованной - гарантированной - области на рис. 2, ограниченной сверху нижней кривой. Отметим, что фактически эта область представляет собой не что иное, как симплекс. Горизонтальная граница этой области (Е2=7.54 В) представляет собой область неединственности решения задачи ЛППК. На этой области Е1 может изменяться в следующих пределах: 0<Е1<6.25 В, при этом значения целевой функции (max E2) остается неизменным.
Результаты max Е2, max E1
Таблица 2
Со- Мощности,
Таблица 1 Ток А про-тивле- Ом выделяющиеся на сопро- Вт Напря жение В
ние тивлениях
Нап I1= 4.00 R1= 0.63 Р1= 10.0 Е1= 7.50
I2= 1.50 R2= 4.40 Р2= 9.9 Е2= 8.79
ря- В I3= 0.50 R3= 0.00 Р3= 0.0
же- I4= 2.00 R4= 1.41 Р4= 5.6
ние I5= 2.00 R5= 2.50 Р5= 10.0
Е1= 9.58 I6= 3.50 R6= 0.63 Р6= 7.7
Е2= 5.85 Ключ S1 разомкнут Со- Мощности,
Ток А про- тивле- ние Ом выделяющиеся на сопротивлениях Вт Напря жение В
I1= 2.00 R1= 0.62 Р1= 2.5 Е1= 6.25
Нап I2= 1.50 R2= 4.40 Р2= 9.9 Е2= 7.54
I3= 0.50 R3= 0.00 Р3= 0.0
ря- В I4= 0.00 R4= 2.5 Р4= 0.0
же- I5= 2.00 R5= 2.50 Р5= 10.0
ние I6= 1.50 R6= 0.62 Р6= 1.4
Ключ замкн КпючпязпмкнУт
Гарантированная область допустимых значений напряжений
Рис. 2. Область допустимых значений напряжений Е1, Е2.
Функционирование цепи в гарантированной области допустимых значений (заштрихованная область на
4
10
12
Е1, В
рис. 2) напряжений источников ЭДС (при неотрицательных значениях их напряжений) обеспечит работоспособность всех ее элементов при любом положении ключа, а также при выходе из строя (в виде короткого замыкания по выходу) любого из источников.
Если будут приняты меры по обеспечению надежной работоспособности ключа, то гарантированная область допустимых значений будет определяться верхней кривой. В этом случае последняя увеличивается (она ограничена верхней кривой на рис. 2). Напряжения источников ЭДС могут быть любыми - в рамках этой области. Однако, если нет уверенности в том, что ключ не будет размыкаться, то, в целях надежности, целесообразнее использовать область, ограниченную нижней кривой.
В заключение, можно сформулировать методику анализа ЭЦ, описывающихся линейными уравнениями и неравенствами. ЭЦ могут содержать резисторы, диоды и ключи (в качестве ключей могут выступать, например, тиристоры, транзисторы). С теоретическим обоснованием данной методики можно ознакомиться в [13]. Методика представляет собой краткое перечисление последовательности действий по достижению обозначенной выше цели:
1. Задаются известные параметры ЭЦ в виде точечных значений или интервалов;
2. Составляются уравнения и неравенства, полностью описывающие состояние и функционирование цепи на основе одного из известных аналитических методов (например, на основе законов Кирхгофа); при этом в их состав могут входить, в частности, ограничения на максимальные (и/или минимальные) значения токов, напряжений, сопротивлений. Если полученные уравнения и неравенства носят линейный характер, переход к следующему пункту, иначе - решение невозможно,
3. Формулируются (один или несколько) критерии оптимизации - в зависимости от поставленной задачи,
4. На основе п.п. 1 -3 формулируется задача ЛППК,
5. Производится решение полученной задачи ЛППК при помощи симплекс-метода на базе генерации вариантов переменных столбцов; для каждого из ключей производится перебор решений для двух его состояний: включенного и выключенного,
6. Проводится анализ полученного решения (если оно существует). В частности, анализируются значения полученных критериев, рассчитанных параметров ЭЦ, удовлетворяющих этим критериям; также осуществляется анализ решения на неединственность. В случае наличия неединственности определяется допустимый диапазон вариативности рассчитанных значений параметров ЭЦ,
7. Если же решение не существует, значит в сформулированной системе ограничений задачи (или в процессе ее решения) была допущена ошибка или ограничения несовместны. В любом случае, необходимо заново пройти п.п. 1-5.
Можно сделать выводы по проделанной работе. Предложенная нами методика анализа электрических цепей на основе методов ЛППК позволяет автоматически подбирать номиналы элементов схемы таким образом, чтобы в процессе функционирования схемы их токи, проходящие через эти элементы, не выходили за рамки установленных ограничений. При этом номиналы элементов также определяются с учетом имеющихся ограничений. В качестве элементов могут выступать не только резисторы, но и диоды (если токи через них протекают в прямом направлении), ключи.
Несмотря на то, что сам по себе метод линейного программирования применяется учеными для анализа ЭЦ уже давно, вплоть до настоящего момента он еще не применялся для определения экстремальных (максимальных или минимальных) значений токов и напряжений на одном или одновременно нескольких элементах ЭЦ в условиях неопределенности и взаимозависимости параметров задачи линейного программирования при том, что помимо сопротивлений и источников ЭДС, в состав анализируемой цепи могут входить диоды и ключи.
Данная методика, в отличие от других известных нам методов анализа ЭЦ, свободна от ограничений, присущих им (см. выше). Особенно эффектвна она для задач большой размерности. Правда, число ключей в схеме не должно превышать 10.15, иначе время решения задачи на компьютере существенно увеличится.
Недостаток методики состоит также в следующем: невозможность анализа нелинейных ЭЦ, а также переходных процессов в ЭЦ. Для этих целей, как уже отмечалось, целесообразно воспользоваться, например, методологией интервального анализа, методами диакоп-тики электрических цепей [3, 4, 11, 13, 14, 17-19].
Тем самым, методика позволяет определить область допустимых значений напряжений всех источников ЭДС схемы, что продемонстрировано расчетным примером (в данном случае - Е1 и Е2). Отметим, что применение других известных нам методов расчета электрических цепей (имеется в виду - других методов, не являющихся линейным программированием) в общем случае практически не позволяет решить данную задачу и получить «точное» решение, так как требует длительной процедуры перебора значений. Например, если осуществлять перебор значений напряжений Е1 и Е2 с шагом 0.1 В, то нетрудно убедиться, что число различных вариантов перебора напряжений составит не менее, чем (см. табл. 1, 2):
шт{8.7-7.5/0.12; 5.89.5/0.12} = 5510 вариантов. К тому же, при увеличении числа источников ЭДС в схеме и усложнении ее число вариантов перебора будет увеличиваться на порядки. В итоге время, необходимое для компьютерных расчетов, также существенно увеличится, что сделает подобный анализ просто нецелесообразным.
В следующей, 2-й части нашей работы, будет предложен анализ схемы (см. рис. 1), взятой в качестве примера, при напряжении источников ЭДС обратной направленности (т.е. при тс<юК2тс. Также будут предложены практические рекомендации для применения рассматриваемой методологии в такого рода электрических цепях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Диоды. Справочник / О. П. Григорьев, В. Я. Замятин, Б. В. Кондратьев, С. Л. Пожидаев. М. : Радио и связь, 1990. 336 с.
2. Касаткин А. С., Немов М. В. Электротехника. М.: Высшая школа, 2000.
3. Киншт Н. В., Кац М. А. Интервальный анализ в задачах теории электрических цепей // Электричество. 1999. №10. С. 45-47.
4. Киншт Н. В., Герасимова Г. Н, Кац М. А. Диагностика электрических цепей. М.: Энергоатомиздат, 1983. 192 с.
5. Киншт Н. В., Петрунько Н. Н. Возможности описания схемы соединения интервальной электрической цепи // Пятая международная конференция «Перспективы систем информатики». Рабочее совещание. Интервальная математика и методы распространения ограничений. докл. и тез., Новосибирск, Академгородок. 8-9 июля 2003 г. С. 43-46.
6. Киншт Н. В., Петрунько Н. Н. Современные тенденции формализации задач анализа интервальных электрических цепей // моделирование систем 2011. .№3(29). С. 9-17.
7. Киншт Н. В., Кац М. А., Рагулин П. Г. Диагностика линейных электрических цепей. - Владивосток: Изд-во Дальневосточного ун-та, 1987. 232 с.
8. Киншт, Н. В. О двух концепциях в теории диагностики электрических цепей [Текст] / Киншт Н. В., Петрунько Н. Н. // 14. Электричество. 2012. № 9. С. 59-64.
9. Курганов С. А., Филаретов В. В. Схемно-алгебраические тождества топологических функций для линейных электри- 15. ческих цепей // Схемно- алгебраические модели активных электрических цепей: Синтез, анализ, диагностика: Тр. меж- 16. дународ. конф. КЛИН-2005. Ульяновск. УлГТУ, 2005. Т. 4.
С. 95-106. 17.
10. Курганов С. А., Филаретов В. В. Комбинированный метод анализа электрических цепей // Электромеханика. 1984. №5. С. 63-67.
11. Курганов С. А. Символьный анализ и диакоптика линейных электрических цепей. дис. ... докт. тех. наук. Ульяновск. 18. 2006. 331 с.
12. Мартынов А. П., Салимоненко Е. А., Я. С. Амиров, А. Ю. Абызгильдин, Э. Г. Теляшев, Н. Р. Сайфуллин, Р. Г. Давлет-кулов. Системное моделирование производственных процессов (на базе метода генерации столбцов). Уфа: Гилем, 19. 1998. 211 с.
13. Мартынов А. П., Салимоненко Д. А., Салимоненко Е. А.
Применение методов линейного программирования с переменными коэффициентами при проектировании и анализе электрических цепей, описывающихся линейными уравнениями // Электротехника. 1998. N2. С. 59-62. Салимоненко Д. А. Математическая обработка эксперимента методами линейного программирования с переменными коэффициентами / Дис. ... канд. физ-мат. наук. Уфа, 1999. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. М.: XYZ, 2007. 700 с.
Шарый С. П. Решение интервальной линейной задачи о допусках // Автоматика и телемеханика. №10. 2004. Filaretov and K. S. Gorshkov. Topological analysis of active networks containing pathological mirror elements. In Proc. of IEEE XXXIII International Scientific Conference "ELECTRONICS AND NANOTECHNOLOGY" (ELNAN0-2013), Kiev, Ukrain, pp. 293-296, April 2013.
Filaretov V. V. and Gorshkov K. S. A circuit synthesis technique based on network determinant expansion. in Proc. of International Conference on Synthesis, Modeling, Analysis and Simulation Methods and Applications to Circuit Design (SMACD'12), Seville, Spain, pp. P. 293-296, Sept. 2012. Filaretov V. V. and Gorshkov K. S. The Generalization of the Extra Element Theorem for Symbolic Circuit Tolerance Analysis. Journal of Electrical and Computer Engineering, vol. 2011, Article ID 652706, 5 p, April 2011.
Поступила в редакцию 01.04.2015 г.
APPLICATION OF METHODS OF LINEAR PROGRAMMING FOR DETERMINATION OF PARAMETERS OF ELECTRIC CHAINS, PART 1
© D. А. Salimonenko
Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (347) 273 68 80.
In the article application of methods of linear programming with variable coefficients for the analysis of electric chains is considered. The offered technique allows solving both direct problem of electricity (defining current and voltage in a chain at known parameters - resistances, diodes and switches in the set intervals of admissible values) and the inverse problem (defining parameters of a chain at the set values of current and/or voltage; current and voltage also can be in certain intervals). The method also allows solving both direct and inverse problem of electrical chains when using any linear criterion of optimization. For example, Maximum (Minimum) of voltage, current, sum of voltage, etc. can be such criterion. This technique allows carrying out the analysis of extreme conditions (the critical modes) of electric chains, i.e. such states in which parameters of chains accept the values causing emergence of the increased voltage or current on the corresponding elements of chains. It is actual for examination, in what measure elements of electric chains are subject to danger of failure. The illustration of the technique is done in the form of numerical calculation (by means of a computer) extreme conditions of the simple electric chain with use of methodology of linear programming with variable coefficients. For this chain the corresponding model of linear programming in the form of system of the equations and inequalities describing a condition of an electric chain is formulated.
Keywords: electric chain, electric current, voltage, resistance, diode, disconnecting switch, selection of parameters of a chain, linear programming with variable coefficients, non-uniqueness of the solution, convergence, iteration, critical mode, optimization.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Diody. Spravochnik [Diodes. Guidebook]. / O. P. Grigor'ev, V. Ya. Zamyatin, B. V. Kondrat'ev, S. L. Pozhidaev. M. : Radio i svyaz', 1990.
2. Kasatkin A. S., Nemov M. V. Elektrotekhnika [Electrical engineering]. Moscow: Vysshaya shkola, 2000.
3. Kinsht N. V., Kats M. A. Elektrichestvo. 1999. No. 10. Pp. 45-47.
4. Kinsht N. V., Gerasimova G. N, Kats M. A. Diagnostika elektricheskikh tsepei [Diagnostics of electric circuits]. Moscow: Energoatomizdat, 1983.
5. Kinsht N. V., Petrun'ko N. N. Pyataya mezhdunarodnaya konferentsiya «Perspektivy sistem informatiki». Rabochee soveshchanie. Inter-val'naya matematika i metody rasprostraneniya ogranichenii. dokl. i tez., Novosibirsk, Akademgorodok. 8-9 iyulya 2003 g. Pp. 43-46.
6. Kinsht N. V., Petrun'ko N. N. modelirovanie sistem 2011. No. 3(29). Pp. 9-17.
7. Kinsht N. V., Kats M. A., Ragulin P. G. Diagnostika lineinykh elektricheskikh tsepei [Diagnostics of linear electric circuits]. - Vladivostok: Izd-vo Dal'nevostochnogo un-ta, 1987.
8. Kinsht, N. V. Elektrichestvo. 2012. No. 9. Pp. 59-64.
9. Kurganov S. A., Filaretov V. V. Skhemno- algebraicheskie modeli aktivnykh elektricheskikh tsepei: Sintez, analiz, diagnostika: Tr. mezhdu-narod. konf. KLIN-2005. Ul'yanovsk. UlGTU, 2005. Vol. 4. Pp. 95-106.
10. Kurganov S. A., Filaretov V. V. Elektromekhanika. 1984. No. 5. Pp. 63-67.
11. Kurganov S. A. Simvol'nyi analiz i diakoptika lineinykh elektricheskikh tsepei. dis. ... dokt. tekh. nauk. Ul'yanovsk. 2006.
12. Martynov A. P., Salimonenko E. A., Ya. S. Amirov, A. Yu. Abyzgil'din, E. G. Telyashev, N. R. Saifullin, R. G. Davletkulov. Sistemnoe modelirovanie proizvodstvennykh protsessov (na baze metoda generatsii stolbtsov) [System modeling of production processes (based on the method of generation of columns)]. Ufa: Gilem, 1998.
13. Martynov A. P., Salimonenko D. A., Salimonenko E. A. Elektrotekhnika. 1998. N2. Pp. 59-62.
14. Salimonenko D. A. Matematicheskaya obrabotka eksperimenta metodami lineinogo programmirovaniya s peremennymi koeffitsientami / Dis. ... kand. fiz-mat. nauk. Ufa, 1999.
15. Sharyi S. P. Konechnomernyi interval'nyi analiz [Finite-dimensional interval analysis]. Moscow: XYZ, 2007.
16. Sharyi S. P. Avtomatika i telemekhanika. No. 10. 2004.
17. Filaretov and K. S. Gorshkov. Topological analysis of active networks containing pathological mirror elements. In Proc. of IEEE XXXIII International Scientific Conference "ELECTRONICS AND NANOTECHNOLOGY" (ELNAN0-2013), Kiev, Ukrain, pp. 293-296, April 2013.
18. Filaretov V. V. and Gorshkov K. S. A circuit synthesis technique based on network determinant expansion. in Proc. of International Conference on Synthesis, Modeling, Analysis and Simulation Methods and Applications to Circuit Design (SMACD' 12), Seville, Spain, pp. Pp. 293-296, Sept. 2012.
19. Filaretov V. V. and Gorshkov K. S. The Generalization of the Extra Element Theorem for Symbolic Circuit Tolerance Analysis. Journal of Electrical and Computer Engineering, vol. 2011, Article ID 652706, 5 p, April 2011.
Received 01.04.2015.
