CC BY
46
раздел МАТЕМАТИКА и ФИЗИКА
УДК 519.853
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫБОРА НОМИНАЛОВ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© Д. А. Салимоненко
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (347) 273 68 80.
В статье рассматривается методология выбора номиналов элементов электрических цепей, описывающихся линейными уравнениями. В качестве элементов схемы могут фигурировать: резисторы, диоды, источники электродвижущей силы (ЭДС). На примере разветвленной электрической цепи продемонстрировано применение разработанной нами методики анализа электрических цепей, базирующейся на методе линейного программирования с переменными коэффициентами для целей определения конкретных значений номинальных параметров элементов, входящих в состав соответствующей цепи. Достоинство предлагаемого подхода состоит в том, что использование других многочисленных методов анализа электрических цепей, известных автору настоящей работы, для целей подбора параметров элементов, наталкивается на значительный объем аналитической работы, которую необходимо будет проводить вручную. Тогда как применение методов линейного программирования позволяет существенно упростить и ускорить процесс анализ электрической цепи. Разработанная нами методика анализа электрических цепей на основе методов ЛППК позволяет подбирать, на основе расчетов, номиналы элементов схемы таким образом, чтобы в процессе функционирования схемы токи (проходящие через все или только через некоторые элементы схемы), не выходили бы за рамки установленных ограничений. В качестве элементов схемы могут фигурировать резисторы, диоды, источники ЭДС. На номиналы элементов схемы, так же, как и на токи, могут быть наложены соответствующие ограничения. Так, напряжения источников ЭДС, действующих в схеме, могут находиться, в общем случае, в заданных интервалах неопределенности. То же самое относится к сопротивлениям резисторов, а также к величинам токов, вообще говоря, в каждой из ветвей.
Ключевые слова: электрическая цепь, сопротивление, резистор, диод, подбор параметров цепи, линейное программирование с переменными коэффициентами.
До сих пор параметрическая диагностика (за- славливается тем, что существует ряд задач, кото-
дача определения номиналов элементов) линейных рые решаются только при помощи СТМ. Это, в
электрических цепей развивалась преимуществен- частности, задачи существования схемных реали-
но на матрично-численной базе в работах отече- заций и передаточных параметров многополюсни-
ственных (К. С. Демирчяна, Н. В. Киншта, П. А. ков, структурного вырождения анализируемой или
Бутырина, С. А. Курганова и др.) и зарубежных (F. диагностируемой цепи, задачи диагностируемости
Constantines^, C. V. Marin, М. Nitescu, D. Marin) ЛЭЦ. СТМ схемных определителей является уни-
исследователей [1-17]. версальным инструментом для доказательства и
Кроме того, в работах Н. В. Киншта, Н. Н. уточнения границ применения топологических
Петрунько, S. P. Shary и др. рассматривается кван- преобразований активных линейных электрических
торная интерпретация интервального описания па- цепей [9-11, 14]. Перечисленное является несо-
раметров и режимов электрических цепей, осно- мненным достоинством этих методов. ванная на современных тенценциях математиче- Общим недостатком вышеназванных подхо-
ской теории интервального анализа. Используются дов является невозможность их практической реа-
подходы, основанные на интервальной математике, лизации для решения задач (на компьютере) даже
а также, как одном из направлений ее развития - относительно небольшой размерности, не говоря
интервальной арифметике Каухера [8, 17]. Опти- уже о ситуациях, когда необходимо проводить ана-
мальное решение в рамках методологии, основан- лиз линейной электрической цепи, содержащей
ной на математике Каухера, осуществляется путем многие сотни и тысячи параметров, не говоря уже о
перебора возможных решений этой задачи при раз- цепях с дискретно распределенными параметрами
личных предположениях относительно кванторных [6]. Дело в том, что в настоящее время отсутствует
свойств интервальных констант задачи. сколько-нибудь эффективный алгоритм итераций
Относительно новыми являются схемно- вычислительного процесса (для целей получения
топологические методы (СТМ), которые не требу- оптимального решения), сводящий к минимуму
ют как формирования уравнений линейных элек- объемы вычислений. Поэтому на практике задачи
трических цепей, так и перехода к отображающему решаются методом перебора. Этот метод практиче-
графу. Традиционный интерес к этим методам обу- ски невозможно реализовать при размерности зада-
чи, равной 20...30 и более, по крайней мере, на типичных современных компьютерах.
В одной из наших работ [4] предложена методика анализа электрических цепей, описывающихся линейными уравнениями, базирующаяся на линейном программировании с переменными коэффициентами. В качестве методологии решения применен симплекс-метод, что позволяет решать задачи размерностью 10000 и даже более.
Методика позволяет осуществить расчет параметров цепи при заданных режимах ее функционирования. Ее особенностью является тот факт, что она позволяет осуществлять расчет в условиях неопределенности значений параметров (номиналов элементов электрический цепи, а также токов, протекающих в ветвях цепи), причем размерность задачи может быть достаточно высокой. Например, величины сопротивлений резисторов, напряжений источников ЭДС могут находиться в соответствующих интервалах, типа
Я Г < Я, < Я
Е-< Е,< Е+, (1)
IГ < I,< I+.
где , - номер ветви электрической цепи.
Аналогичные ограничения могут налагаться и на токи в каждой из ветвей цепи. Обычно бывают известны граничные значения (обозначенные индексами «-» и «+»), а не сами значения параметров. Предложенная нами методика позволяет определить параметры электрической цепи с учетом границ их неопределенности.
На наш взгляд, интересным является практическое применение данной методики для целей выбора номиналов элементов. Каждый элемент электрической цепи характеризуется, в общем случае, своим набором номиналов. Например, для резистора в качестве номиналов выступают, в частности, величина его сопротивления и максимально допустимая тепловая мощность, которую он в состоянии рассеивать (или максимально допустимый ток). Для диода - в этом качестве выступают, в первую очередь, максимальное значение прямого тока, который способен выдержать диод, а также максимальное значение обратного напряжения, прикладываемого к нему.
Итак, пусть есть конкретная электрическая схема, параметры которой могут быть: известны точно, известны в виде соответствующих интервалов (1) или неизвестны.
В качестве параметров могут выступать значения сопротивлений резисторов, величины токов в соответствующих ветвях схемы, а также напряжений источников ЭДС и/или иных элементов схемы.
Задача: необходимо определить значения параметров схемы.
Подобная задача возникает, в частности, при подборе (номиналов) элементов, входящих в состав электрической схемы. Например, требуется подобрать диод (по прямому току и обратному напря-
жению). Или требуется подобрать резистор (по максимальному току или максимальной рассеиваемой мощности).
Рассмотрим общую постановку такой задачи. На основе двух законов Кирхгофа, для любой электрической цепи, описывающейся линейными уравнениями, можно написать соотношения вида [6]:
Е I = 0 (2)
Е 1Я,=Е Е
где I - ток, Я, - сопротивление и - напряжение источника ЭДС, характеризующих -ю ветвь цепи. Число соотношений (2) обычно равно числу неизвестных токов. Величины токов, сопротивлений резисторов и ЭДС источников напряжения в общем случае являются переменными.
Требуется найти максимальные значения токов в соответствующих ветвях (если необходимо подобрать резистор по мощности или диод по прямому току), а также максимальное значение обратного напряжения на диоде. Зная найденные расчетные величины, можно подобрать стандартные, среди имеющихся в продаже, элементы (стандартные резисторы и диоды с номиналами не ниже, чем расчетные).
В общем случае постановка задачи формулируется следующим образом:
тах (тт) Б (3)
Е1= 0
Е I Я ,= Е Ег
Я г < Я, <Я,+ (4)
Е г < Е, < Е,+, I - < I, <!
, = 1,..., п
где п - число независимых переменных (токов) электрической цепи.
В качестве целевой функции Я может выступать, например, ток Я в к-й ветви (если необходимо определить максимальную мощность резистора или максимальный прямой ток диода). Если необходимо определить максимальное обратное напряжение на диоде, то в качестве Я будет выступать напряжение между соответствующими узлами цепи (т.е. между точками, к которым подключен диод).
Таким образом, новым в настоящей работе является применение метода линейного программирования для целей подбора номиналов элементов электрических цепей, описывающихся линейными выражениями. При этом значения номиналов могут находиться в соответствующих интервалах неопределенности, известны точно или неизвестны вообще. В качестве элементов цепи могут фигурировать не только резисторы, но и диоды.
В целях наглядности рассмотрим демонстрационный пример - тот же самый (см. рис. 1), что и в наших предыдущих работах [12, 15]. Задача: определить мощности сопротивлений и подобрать стандартные ее значения. Диодом на первом этапе расчетов пренебрегаем, считая его короткозамкнутым.
Задаемся номиналами элементов схемы. Для примера, сопротивления резисторов, источников ЭДС и величины токов /\ и /3 полагаем находящимися в следующих ограничениях:
\ < Я\ < 6; 2.5 < Яг <8; 0 < Яз < \0; 6 < Я4 < 7; 3 < Я5 < 3; \\ < Яб < \2 Ом; -2 < Е\ < 2; -\2 < Ег < \2 В (5)
0 < 1\ < 5; -3 < 1з <7 А
Рис. 1. Схема разветвленной электрической цепи.
На остальные токи ограничений не налагаем (хотя, без ограничения общности, такие ограничения могли бы быть наложены; это никак не повлияет на методологию решения задачи).
Записываем уравнения Кирхгофа для данной схемы:
^/4 + 1з = /\
¡2 + /3 = /5 (6)
,/\ = ¡3 + ¡6
По второму закону Кирхгофа: Г Я\/\ + Я3/3 + Я 5/5 = Е\ ^ Я2/2 - Я3/3 + Я6/6 = Е2 (7)
Я2/2 — Я4/4 + Я5/5 = Е2.
В выражениях (7) величины неизвестных сопротивлений играют роль переменных коэффициентов:
@4\ = Я\; й43 = Я3; Я45= Я5; а52 = Я2; 053 = —Я3; а 56 = Яв; (8)
а62 = Я2; а64 = —Я4; а65 = Я5; а47 = —Е\; а57 = —Е% а67 = —Е2.
С учетом условий (5)—(8) можно сформулировать задачи линейного программирования с переменными коэффициентами (ЛППК) для поиска максимальных значений токов в каждой из ветвей цепи:
тах /,, / = 1,...,6 (9)
—/\ + /4 + /5 = 0
/2 + /3 — /5 = 0
/\ - /3—/6 = 0
а4\/\ + а43/3 + а45/5 + а47/7 = 0 (Ш)
а52/2 + а53/3 + а56/6 + а57/7 = 0
а62/2 + а64/4 + а65/5 + а67/7 = 0
/7 = \
/\ < 5
/3 < 7
<
Ij > 0, j = 1,...,7. ^ а43 + а53 = 0
Я52 — Яб2 = 0 Я45 — Об5 = 0 Я57 — аб7 = 0
-2 < а47 < 2 -12 < а57 < 12
1 < а41 < б (11)
2.5 < а52 < 8
0 < а43 < 10
-7 < аб4 < -б 11 < а5б < 12
а45 = 3
Замечания:
1. Отметим, что, согласно (5), токи /2.../б могут принимать и отрицательные значения, но на данном этапе расчетов принимаем предварительно Ii > 0, i = 2, ... ,6. Дело в том, что одним из условий сходимости симплекс-метода, использованного нами для решения получившейся задачи, является неотрицательность искомых переменных.
2. Переменная I7, конечно, не является током. Она представляет собой фиктивную переменную, тождественно равную 1. Использование ее в задаче ЛППК обусловлено тем фактом, что величины напряжения источников ЭДС Е\ и Е2 могут принимать, в частности, отрицательные значения. Поэтому целесообразнее использовать Е1 и Е2 в качестве соответствующих переменных коэффициентов (а не в качестве переменных). Однако у каждого (переменного) коэффициента должна быть «своя» неотрицательная переменная. Ею и является фиктивная переменная I7.
3. На данном этапе все токи являются неотрицательными, ибо таково требование симплекс-метода. Если же окажется, что какая-либо переменная (ток I) может принимать отрицательные значения, то тогда знаки всех коэффициентов при этой переменной необходимо будет сменить на противоположные и вновь повторить решение задачи с той же самой целевой функцией. Это мы называем процедурой изменения знаков коэффициентов.
Задача решалась при помощи симплекс-метода линейного программирования с переменными коэффициентами (ЛППК) на базе генерации вариантов переменных столбцов [12, 13, 15]. Для этой цели нами было разработано соответствующее программное обеспечение.
Последовательно проводилось решение шести задач (9) вида max Ii, i = 1..., 6. Т.е. в качестве целевой функции последовательно выбирались переменные Ii. В целях проверки в процессе решения каждой из этих задач, если оказывалось, что значение какой-либо переменной (тока Ik) получалось равным нулю, то производилась процедура изменения знаков коэффициентов у этой переменной и решение повторялось вновь. Если значение целевой функции улучшалось, то такое изменение признавалось целесообразным.
Указанная методология применялась до тех пор, пока в оптимальном решении не оказывалось нулевых значений переменных (токов I,), изменение знаков коэффициентов при которых не улучшало бы целевую функцию. Подобная процедура позволяла выявлять отрицательные значения соответствующих переменных.
Таким образом, первый этап заключался в реше-
нии задачи (9)-(11). В результате получены следующие результаты, которые представлены в табл. 1.
Данные табл. 1 дают возможность подобрать номиналы резисторов для анализируемой схемы. Можно видеть, что значения всех рассчитанных параметров (как коэффициентов, так и переменных) получились, вообще говоря, различными при решении задач с разными целевыми функциями.
Таблица 1
Результаты решения задачи (9)-(11)
Целевая функция: тах 11
Ток А Сопротивление Ом Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях Вт Напряжение В
II 0.42 Я1 1.00 Р1 0.2 Е1 2.00
Я 1.35 Я2 2.50 Р2 4.5 Е2 12.00
Ь -0.19 Яз 10.00 Рз 0.4
!4 -0.74 Я4 7.00 Р4 3.8
Ь 1.16 Я5 3.00 Р5 4.0
!б 0.61 Яб 11.00 Р6 4.1
Целевая функция: тах 1г Ток А Сопротивление
Ом
Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях
Вт Напряжение В
II 0.00 Я1 1.00 Р1 0.0 Е1 2.00
Я 1.57 Я2 2.50 Р2 6.2 Е2 12.00
!з -0.67 Яз 1.03 Р3 0.5
и -0.90 Я4 6.00 Р4 4.8
Ь 0.90 Я5 3.00 Р5 2.4
к 0.67 Я6 11.00 Р6 5.0
Целевая функция: тах 1з Ток А Сопротивление
Ом
Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях
Вт Напряжение В
II 1.46 Я1 1.00 Р1 2.1 Е1 2.00
!2 -1.93 Я2 2.50 Р2 9.4 Е2 -12.00
Iз 2.11 Я3 0.00 Р3 0.0
I4 1.28 Я4 6.00 Р4 9.9
Я 0.18 Я5 3.00 Р5 0.1
-0.65 Я6 11.00 Р6 4.7
Целевая функция: тах 14 Ток А Сопротивление
Ом
Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях
Вт Напряжение В
Л 1.47 Я1 1.00 Р1 2.2 Е1 2.00
!2 -1.90 Я2 2.50 Р2 9.0 Е2 -12.00
й 2.08 Я3 0.00 Р3 0.0
I4 1.30 Я4 6.00 Р4 10.1
я 0.18 Я5 3.00 Р5 0.1
-0.60 Я6 12.00 Р6 4.4
Целевая функция: тах 15 Ток А Сопротивление
Ом
Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях
Вт Напряжение В
Л 0.39 Я1 1.00 Р1 0.2 Е1 2.00
!2 1.40 Я2 2.50 Р2 4.9 Е2 12.00
й -0.20 Я3 10.00 Р3 0.4
I4 -0.81 Я4 6.00 Р4 4.0
I5 1.20 Я5 3.00 Р5 4.3
I6 0.59 Я6 11.00 Р6 3.8
Целевая функция: тах 1б Ток А Сопротивление
Ом
Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях
Вт Напряжение В
Л 0.00 Я1 1.00 Р1 0.0 Е1 2.00
!2 1.52 Я2 2.50 Р2 5.8 Е2 12.00
£ -0.70 Я3 0.65 Р3 0.3
I4 -0.82 Я4 7.00 Р4 4.7
I5 0.82 Я5 3.00 Р5 2.0
I6 0.70 Я6 11.00 Р6 5.4
Исходя из этого, рекомендации к подбору номиналов резисторов являются следующими:
\. Величины сопротивлений должны находиться в пределах минимальных и максимальных расчетных границ;
2. Мощности резисторов следует выбирать не менее, чем максимальные их значения, имеющиеся в табл. \
На основе данных рекомендаций была составлена табл. 2 с номиналами резисторов. Т.е. стало возможно произвести подбор их номиналов.
Итак, на основе результатов проведенных расчетов можно утверждать, что гарантией работоспособности схемы, приведенной на рис. 1, при условии, что величины сопротивлений резисторов, напряжений источников ЭДС, а также токов /\, /3 соответствуют ограничениям (5), является факт соответствия номиналов резисторов данным табл. 2.
Таблица 2
Рекомендуемые номиналы резисторов в анализируемой схеме (по рис. \)
Резистор Сопротивление резистора, Ом Мощность резистора, Вт (не ниже)
Минимальное Максимальное
R1 R2
R3 R4 R5
R6
1
2.5
0 6 3 11
1
2.5 10 7 3 12
2.2
9.4 0.5 10.1
4.3
5.4
Отметим, что подобный подбор, конечно, можно реализовать, используя имеющиеся программные пакеты, предназначенные для расчета электрических цепей. Однако, при этом пришлось бы вручную (методом перебора, как это предлагается в методах СТМ и иных [2, 3, 7—П, \6, П]) устанавливать значения параметров задачи. А именно, для поиска максимального значения каждого из токов необходимо было бы вручную задавать следующие значения следующих параметров:
If. Ii*
1, 3.
Итого (2+2)-6+2-2=28 вариантов перебора. И это при решении каждой (!) задачи. Всего у нас есть шесть задач вида (9), поэтому потребовалось бы 28-6=168 вариантов перебора — даже для такой несложной схемы. Теоретически, конечно, для решения поставленной нами задачи (в начале настоящей статьи) можно использовать и уже имеющиеся программные пакеты, но в данном случае эффективность их будет низкой. А если число элементов (резисторов) и, соответственно, ветвей схемы, существенно увеличится, например, составит несколько сотен, то понятно, что решение поставленной задачи имеющимися на сегодняшний день средствами будет, по существу, невозможным. Тогда как предла-
гаемый нами метод позволяет выбор оптимальных значнеий параметров автоматизированно при помощи достаточно эффективной процедуры ЛППК.
Видно, что для многих резисторов интервалы неопределенности сузились. Отметим также, что на остальные токи (кроме I1, I3) никаких ограничений не накладывалось. Это означает, что значения всех остальных токов, по крайней мере, не превысят максимальных, окторые получились в процессе расчетов (табл. 1), при этом работоспособность схемы сохранится.
Мощности некоторых резисторов получились достаточно большими. Это является следствием того, что интервалы неопределенности анализируемой задачи весьма широки; к тому же, ограничения на токи I2, I4, I5, I6 не заданы вообще. Т.е. получившиеся значения мощностей резисторов - это гарантия того, что они не выйдут из строя в условиях (неконтролируемого) изменения величин их сопротивлений, а также величин токов и напряжений источников ЭДС в рамках (5).
Следует сказать, что если использовать какие-либо дополнительные критерии в целевой функции, то интервалы величин сопротивлений резисторов и, соответственно, значений токов могут дополнительно сузиться. Здесь все зависит от назначения, режимов и условий функционирования конкретной электрической схемы.
Теперь проводим второй этап расчетов по схеме, представленной на рис. 1: учитываем диод (отметим, что без ограничения общности можно проводить расчеты с любым количеством диодов, расположенных в любых ветвях схемы; здесь один диод используется для целей наглядности). Его предполагаем идеальным (в целях упрощения постановки задачи). Поэтому сопротивление диода выразится следующим образом:
Г 0, если I 2 > 0
■ = ^ (12)
[ да , если I 2 < 0
Это означает, что при I2 > 0 постановка задачи (9)-(11) поиска максимальных значений токов (и, соответственно, номиналов резисторов) будет применима в данном случае без изменений; это соответствует случаю, когда через диод протекает ток I2 в прямом направлении. Соответственно, максимальная величина прямого тока через диод уже была определена выше при расчете max I2.
Но для того, чтобы учесть ситуацию, когда к диоду приложено напряжение в обратном направлении, т.е. определить обратное напряжение на диоде, задачу (9)-(11) необходимо видоизменить. На наш взгляд, здесь возможны несколько вариантов. Рассмотрим наиболее простой для целей программной реализации.
При этом задача анализа схемы, представленной на рис. 1, примет почти точно такой же вид, как (9)-(11), изменятся, в частности, ограничения, составленные на основе II закона Кирхгофа, в которые входит резистор R2 и диод VD1:
R2I2 - R3/3+R6/6 - иобр - £2=0 (14) R2I2 - R4/4+R5/5 - иобр - £2=0 (15)
R,-. R+, i = 1.....6;
Ei~, Et. i = 1.....6;
(ранее принималось и обр = 0, сравн. с (7)).
Кроме того, так как диод не проводит ток в обратном направлении, необходимо дополнительно потребовать
Ь = 0 (16)
Так как диод предполагается идеальным, то необходимо, чтобы
иобр > 0 (17)
В самом деле, если допустить, что может иметь место иобр< 0, то это означало бы, что напряжение к диоду приложено в прямом направлении (а оно равно нулю, так как диод считается идеальным).
Итак, добавление в схему диода УО повлекло за собой:
1. Корректировку выражений II закона Кирхгофа для тех контуров, в которые входит диод (см. (14), (15)),
2. Добавление в исходную систему ограничений (9)-(11) дополнительных ограничений
(16), (17).
Более никаких изменений не требуется. Переобозначая, в целях формализации иобр путем ввода новой переменной !8 = иобр, получаем преобразованную постановку задачи анализа схемы, приведенной на рис. 1, с учетом функционирующего диода:
тах 18 (18)
-I + Д + Я = 0 к + Я - Я = 0 I - и - Я = 0
а^Ь + а43/3 + а45/5 + а^Ь = 0 а52/2 + а5з/з + абв^ + а^Ь - Л = 0 (19)
а62к + а64!4 + aв5/5 + авlIl - I8 = 0 IV = 1
I! < 5 Я < 7 I2 = 0
I- > 0, - = 1,..., 8.
а43 + а53 = 0 а52 - а62 = 0
а45 - а65 = 0 а57 - а67 = 0
-2 < а47 < 2 -12 < а57 < 12 ^ 1 < а41 < 6 (20)
2.5 < а52 < 8 0 < а43 < 10
-7 < а64 < -6
11 < а56 < 12
а45 = 3
Задача (18)-(20) позволяет определить макси-
мальное значение переменной !8, т.е. максимум обратного напряжения на диоде иобр. Решать ее можно различными методами. Нами, как и выше, был выбран метод ЛППК на базе симплекс-метода генерации вариантов переменных столбцов.
Решение поставленной задачи приведено в табл. 3.
Оказалось, что при ограничениях на величины сопротивлений резисторов, токов в ветвях и напряжений источников ЭДС (5), (16), (17) (на основе которых сформулирована система (1 9)-(20)) значение обратного напряжения на диоде не может составлять более, чем 1 2.91 В. Эмпирически видно, однако, что если бы интервалы неопределенности значений сопротивлений резисторов (или величин токов) были шире, в общем случае максимальное обратное напряжение должно бы равняться 14 В. В самом деле, вероятно, могут существовать такие значения сопротивлений резисторов, когда выполняется:
иобр = -Е2,шт + Е1,тах = -(-12) + 2=14 В (21) Это предположение было подтверждено путем расчетов. Так, положив в (5), в целях примера, нижние границы интервалов неопределенности значений сопротивлений резисторов равными нулю (соответствующим образом произведя корректировку системы ограничений (20), нами получено следующее решение, представленное в табл. 4.
Видно, что три резистора (Я\, Я3, Я4) имеют расчетные сопротивления, равные нулю. При этом максимум обратного напряжения на диоде составил 14 В. Тем самым, предполагаемые значения сопротивлений резисторов, такие, что выполняется (21), действительно, существуют.
Таким образом, методология ЛППК позволила определить максимальное значение напряжения на диоде в электрической схеме, а также максимальный ток через диод в прямом направлении (при выполнении (5)):
!уо1,тах = ^тах = 1.57 А (см. табл. 1), иобр, тах = 12.91 В (см. табл. 4). На основе полученных расчетных данных можно подобрать стандартный диод, например, КД226А, для которого [1]: !кД226А ,тах 1.7 А, иобр,тах = 100 В.
Нужно сказать, что использование других многочисленных методов анализа электрических цепей (том числе и на основе компьютерных программ
Решение задачи (18)-(20) (поиска максимума обратного напряжения на диоде УР1)
Таблица 3
Ток А Сопротивление Ом Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях Вт Напряжение В
к 0.56 Я1 1.00 Р1 0.3 Е1 2.00
к 0.00 Я2 6.95 Р2 0.0 Е2 -12.00
к 0.48 Я3 0.00 Р3 0.0 иобр 12.91
и 0.08 Я4 7.00 Р4 0.0
I5 0.48 Я5 3.00 Р5 0.7
к 0.08 Я6 12.00 Р6 0.1
Таблица 4
Решение задачи (18)-(20) (поиска максимума обратного напряжения на диоде) в условиях равенства нулю нижних границ __ интервалов значений сопротивлений резисторов___
Ток А Сопротивление Ом Мощности, выделяющиеся на сопротивлениях Вт Напряжение В
I1 0.83 R1 0.00 Р1 0.0 Е1 2.00
I2 0.00 R2 3.03 Р2 0.0 Е2 -12.00
I3 0.67 R3 0.00 Р3 0.0 Цобр 14.00
I4 0.17 R4 0.00 Р4 0.0
I5 0.67 R5 3.00 Р5 1.3
I6 0.17 R6 12.00 Р6 0.3
типа MicroCap, Elektrik, shemebuilder и др.), известных автору настоящей работы, для целей подбора параметров диода даже в такой несложной схеме, как представленная на рис. 1, наталкивается на значительный объем аналитической работы, которую необходимо будет проводить вручную. В частности, необходимо будет (к сожалению, только вручную, компьютерная программа сама этого не сделает) на основе подбора установить, каковы должны быть значения сопротивлений R\, ..., R6 с тем, чтобы величина напряжения на диоде VD1 была максимальной (а это представляет собой нетривиальную задачу). И только после этого появится возможность воспользоваться одним из известных методов анализа и определить величину этого напряжения. Если же резисторов и диодов в схеме будет гораздо больше, направления токов через них будут априори неизвестны, то анализ электрической цепи на предмет поиска максимумов обратных напряжений на каждом из диодов будет представлять собой сложную задачу даже с использованием доступных на сегодняшний день компьютерных программ, имеющих, казалось бы, большие возможности, удобный интерфейс. Тогда как методология ЛППК позволяет справиться с подобной проблемой очень легко -автоматически. Необходимо будет только составить соответствующую систему ограничений на основе законов Кирхгофа, включить в нее интервалы неопределенности (если они известны априори) и последовательно решать задачи (типа (18)) максимизации обратных напряжений на каждом из диодов в отдельности. Последовательность можно, разумеется, запрограммировать.
В заключение целесообразно сделать выводы. Разработанная нами методика анализа электрических цепей на основе методов ЛППК позволяет подбирать, на основе расчетов, номиналы элементов схемы таким образом, чтобы в процессе функционирования схемы токи (проходящие через все или только через некоторые элементы схемы), не выходили бы за рамки установленных ограничений. В качестве элементов схемы могут фигурировать резисторы, диоды, источники ЭДС.
На номиналы элементов схемы, так же, как и на токи, могут быть наложены соответствующие ограничения. Так, напряжения источников ЭДС, действующих в схеме, могут находиться, в общем
случае, в заданных интервалах неопределенности. То же самое относится к сопротивлениям резисторов, а также к величинам токов, вообще говоря, в каждой из ветвей. При этом методология ЛППК позволяет определить:
1. Для резисторов: величину сопротивления, максимальную рассеиваемую мощность;
2. Для диодов: максимальный ток, максимальное обратное напряжение.
Данная методика выгодно отличается от методик анализа линейных электрических цепей, предлагаемых отечественными и зарубежными исследователями, тем, что она вполне может быть реализована для задач достаточно высокой размерности (10000 и даже выше).
Однако, недостатком предложенной нами методики является то, что она, в отличие от СТМ, в общем случае, не приспособлена для решения задач существования схемных реализаций и определения передаточных параметров многополюсников, структурного вырождения анализируемой или диагностируемой цепи. Ее применение, по-видимому, возможно для решения подобных задач лишь в ряде частных случаев. Хотя, подробно этот вопрос нами не исследовался.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бутырин П. А., Васьковская Т. А. Принципы декомпозиции сложных электрических цепей при их диагностике по частям // Электричество. 2001. №6. С. 41-48.
2. Головинский И. А. Методы анализа топологии коммутационных схем электрических сетей // Электричество.
2005. №>3. С. 10-18.
3. Демирчян К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В., Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники: В 3 т. СПб.: Питер, 2004. Т. 1. 463 с.
4. Диоды. Справочник. М.: Радио и связь, 1990. 336 с.
5. Егоров А. А. Принцип структурной определенности при расчетах стационарных режимов электрических цепей // Электричество. 2005. №4. С. 47-52.
6. Касаткин А. С., Немов М. В. Электротехника. М.: Высшая школа, 2000.
7. Киншт Н. В., Кац М. А. Интервальный анализ в задачах теории электрических цепей // Электричество. 1999. №10. С. 45-57.
8. Киншт Н. В., Петрунько Н. Н. // Моделирование систем. 2011. №3(29). С. 9-17.
9. Курганов С. А. Символьный анализ и диакоптика линейных электрических цепей: дис. ... д-ра т.н. Ульяновск,
2006. 331 с.
10. Курганов С. А., Филаретов В. В. Схемно-алгебраические тождества топологических функций для линейных электрических цепей // Схемно-алгебраические модели актив-
ных электрических цепей: Синтез, анализ, диагностика: Тр. международ. конф. КЛИН—2005. Ульяновск: УлГТУ, 2005. Т. 4. С. 95—\06.
\\. Курганов С. А., Филаретов В. В. Формирование передаточных функций электронных цепей по частям методом неравновесных двоичных векторов // Схемно-алгебраические модели активных электрических цепей: Синтез, анализ, диагностика: Тр. международ. конф. КЛИН—2005. Ульяновск: УлГТУ, 2005. Т. 4. С. \06— \\6.
\2. Мартынов А. П., Салимоненко Д. А., Салимоненко Е. А. Применение методов линейного программирования с переменными коэффициентами при проектировании и анализе электрических цепей, описывающихся линейными уравнениями // Электротехника. \998. №2. С. 59—62.
\3. Мартынов А. П., Салимоненко Е. А., Амиров Я. С., Абы-згильдин А. Ю., Теляшев Э. Г., Сайфуллин Н. Р., Давлет-кулов Р. Г. Системное моделирование производственных процессов (на базе метода генерации столбцов). Уфа: Ги-
лем, 1998. 211 с.
14. Миланцей Т., Филаретов В. В. От идеального усилителя Теллегена до многомерного неудаляемого управляемого источника // Схемно-алгебраические модели активных электрических цепей: Синтез, анализ, диагностика: Тр. международ. конф. КЛИН-2005. Ульяновск: УлГТУ, 2005. Т. 3. С. 140-154.
15. Салимоненко Д. А. Математическая обработка эксперимента методами линейного программирования с переменными коэффициентами: дис. ... канд. физ-мат. наук. Уфа, 1999.
16. Constantinesсu F., Marin C. V., Nitescu M., Marin D. A new approach to parameter identification of linear circuits // IEEE Proc. of the international conference on signals, circuits and systems. Romania, 2003. P. 457-460.
17. Shary S. P. A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity // Reliability Computing. 2002. Vol. 8. No. 5. P. 321-418.
Поступила в редакцию 07.02.2014 г. После доработки - 30.09.2014 г.
MATHEMATICAL METHOD OF THE CHOICE OF FACE VALUES OF ELEMENTS OF LINEAR ELECTRIC CHAINS IN THE CONDITIONS OF UNCERTAINTY
© D. А. Salimonenko
Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (347) 273 68 80.
In the article, the methodology of choice of face values of elements of the electric chains described by the linear equations is considered. As elements of the scheme can appear resistors, diodes or EMF sources. On the example of a branched electric chain, application of the technique of the analysis of the electric chains developed by us, based on the method of linear programming with variable coefficients for determination of concrete values of nominal parameters of the elements that are the parts of the corresponding chain, is shown. The advantage of offered approach is that use of other numerous methods of the analysis of the electric chains, known to the author of the work, for selection of parameters of elements, encounters the considerable volume of analytical work, which will need to be carried out manually. Whereas application of methods of linear programming makes the analysis of an electric chain more simple and significantly accelerates the process. The technique of the analysis of electric chains developed by us on the basis of the LPPK methods allows selection, on the basis of calculations, of face values of scheme elements.
Keywords: electric chain, resistance, the resistor, the diode, selection ofparameters of a chain, linear programming with variable coefficients.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Butyrin P. A., Vas'kovskaya T. A. Elektrichestvo. 2001. No. 6. Pp. 41-48.
2. Golovinskii I. A. Elektrichestvo. 2005. No. 3. Pp. 10-18.
3. Demirchyan K. S., Neiman L. R., Korovkin N. V., Chechurin V. L. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki: V 3 t.[Theoretical Basis of Electrical Engineering: in 3 Vol.] Saint Petersburg: Piter, 2004. Vol. 1.
4. Diody. Spravochnik [Diodes. Reference Book]. Moscow: Radio i svyaz', 1990.
5. Egorov A. A. Elektrichestvo. 2005. No. 4. Pp. 47-52.
6. Kasatkin A. S., Nemov M. V. Elektrotekhnika [Electrical Engineering]. Moscow: Vysshaya shkola, 2000.
7. Kinsht N. V., Kats M. A. Elektrichestvo. 1999. No. 10. Pp. 45-57.
8. Kinsht N. V., Petrun'ko N. N. Modelirovanie sistem. 2011. No. 3(29). Pp. 9-17.
9. Kurganov S. A. Simvol'nyi analiz i diakoptika lineinykh elektricheskikh tsepei: dis. ... d-ra t.n. Ul'yanovsk, 2006.
10. Kurganov S. A., Filaretov V. V. Skhemno-algebraicheskie modeli aktivnykh elektricheskikh tsepei: Sintez, analiz, diagnostika: Tr. mezhdunarod. konf. KLIN-2005. Ul'yanovsk: UlGTU, 2005. Vol. 4. Pp. 95-106.
11. Kurganov S. A., Filaretov V. V. Skhemno-algebraicheskie modeli aktivnykh elektricheskikh tsepei: Sintez, analiz, diagnostika: Tr. mezhdunarod. konf. KLIN-2005. Ul'yanovsk: UlGTU, 2005. Vol. 4. Pp. 106-116.
12. Martynov A. P., Salimonenko D. A., Salimonenko E. A. Elektrotekhnika. 1998. No. 2. Pp. 59-62.
13. Martynov A. P., Salimonenko E. A., Amirov Ya. S., Abyzgil'din A. Yu., Telyashev E. G., Saifullin N. R., Davletkulov R. G. Sistemnoe modelirovanie proizvodstvennykh protsessov (na baze metoda generatsii stolbtsov). Ufa: Gilem, 1998.
14. Milantsei T., Filaretov V. V. Skhemno-algebraicheskie modeli aktivnykh elektricheskikh tsepei: Sintez, analiz, diagnostika: Tr. mezhdunarod. konf. KLIN-2005. Ul'yanovsk: UlGTU, 2005. Vol. 3. Pp. 140-154.
15. Salimonenko D. A. Matematicheskaya obrabotka eksperimenta metodami lineinogo programmirovaniya s peremennymi koeffitsien-tami: dis. ... kand. fiz-mat. nauk. Ufa, 1999.
16. Constantinessu F., Marin C. V., Nitescu M., Marin D. IEEE Proc. of the international conference on signals, circuits and systems. Romania, 2003. Pp. 457-460.
17. Shary S. P. Reliability Computing. 2002. Vol. 8. No. 5. Pp. 321-418.
Received 07.02.2014. Revised 30.09.2014.
