CC BY
42
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10061
Арутюнян Тигран Робертович,
Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, [email protected]
Некрасов Сергей Александрович,
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Россия, [email protected]
Ключевые слова: электрические цепи, переходные процессы, двусторонний метод, интервальный метод, погрешности, гарантированная точность.
Проведено исследование проблемы решения с гарантированной точностью ряда актуальных задач теоретической электротехники. В качестве основного средства решения данной проблемы использован математический аппарат интервального анализа и двусторонних методов. Рассмотрены эффективные методы для решения с гарантированной точностью систем уравнений состояния нелинейных электрических цепей: методы Мура и его модификация - двухстадийный интервальный метод. По свойствам точности и устойчивости данный метод существенно превосходит метод Мура при практически одном порядке объема вычислительных затрат на шаге интегрирования. В рассматриваемой модификации метода Мура на каждом шаге интегрирования вместо априорной оценки - глобального интервала для решения задачи Коши, подставляется на порядок более точная оценка решения на каждом интервале разбиения оси времени, получаемая согласно рекуррентной формуле, аналогичной схеме неявного метода Эйлера. Данная рационализация позволяет за счет весьма небольшого усложнения схемы вычислений повысить точность метода на порядок. Приводятся примеры расчетов для электрических цепей, содержащих генератор синусоидальных колебаний и паратрансформатор. Переменные состояния (токи и напряжения) в цепи генератора описываются дифференциальным уравнением второго порядка, известным в литературе как уравнение Ван-дер-Поля. Также использовано дифференциальное уравнение, описывающее переходные процессы в электрической цепи паратрансформатора, для случая кубической аппроксимации кривой намагничивания.
Обоснованные в работе методы позволяют осуществлять расчет с гарантированной точностью переходных процессов в нелинейных электрических цепях в случае больших промежутков интегрирования. Показано, что рассмотренные двусторонние и интервальные методы могут применяться для решения краевых задач теории электромагнитного поля. Рассмотрен двусторонний метод решения краевых задач на основе метода стрельбы и его применение для расчета переменного электрического поля в диэлектрическом слое. Отмечены условия сходимости двустороннего варианта метода стрельбы.
Информация об авторах:
Арутюнян Тигран Робертович, магистр, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия Некрасов Сергей Александрович, д.т.н., профессор кафедры прикладной математики, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Россия
Для цитирования:
Арутюнян Т.Р., Некрасов С.А. Расчет переходных процессов в электрических цепях интервальными методами // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №4. С. 23-28.
For citation:
Arutyunjan T.R., Nekrasov S.A. (2018). Calculation of transients in electrical circuits interval method. T-Comm, vol. 12, no.4, pр. 23-28.
(in Russian)
7TT
Введение
Переходные процессы в электрических цепях, как правило, описываются системами в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений, вид которых зависит от выбора переменных. Для динамических цепей в качестве переменных обычно выбираются напряжения или заряды емкостных или поток« с не плен и я индуктивных ветвей, которые приводят к так называемым уравнениям состояния [1, 2]. Уравнения состояния представляют собой систему ОДУ в нормальной форме, состоящую из уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных переменных состояния. В правой части уравнений находятся функции переменных состояния и выражения, описывающие действующие в цепи источники. Вместе с начальными условиями ОДУ состояния образуют так называемую задачу Коти или начальную задачу [1,3].
Во многих практически важных случаях расчет стационарных режимов в электрических цепях может эффективным образом осуществляться методом установления при помощи численного интегрирования задачи Кош и для системы уравнений состояния. На практике основным методом решения системы ОДУ состояния нелинейной электрической цепи является метод численного интегрирования. Традиционным (вещественным) методам расчета переходных процессов в электрических цепях посвящена обширная литература. Па практике наиболее употребительны конечно-разностные методы Рунге-Кутта и Гнра [3]. Их основной недостаток - отсутствие гарантий точности численного решения.
В связи с повышением требований к надежности проектных и поверочных расчетов современной электро- и радиотехнической аппаратуры существует практическая потребность в методах расчета электрических цепей с контролем точности вычислений. К таким методам относя тся интервальные и двусторонние методы [4-11 ].
Длина интервала времени, на котором осуществляется вычисление характеристик переходных процессов, может принимать на практике самые различные значения. По этой причине характеристики сходимости и устойчивости используемых методов численного интегрирования задачи Коши имеют первостепенное значение. Как отмечено в [4] для пошаговых интервальных и двусторонних методов в силу "эффекта раскрутки", расходимости фазового потока системы ОДУ и других причин существуют проблемы сходимости и устойчивости. При решении многих практически важных задач этими методами имеет место экспоненциальное нарастание погрешности приближенного решения с увеличением длины промежутка интегрирования. Для традиционных (вещественных) мегодов подобное нарастание погрешности происходит пе всегда, а только в некотором смысле для наихудших случаев. Отмеченный недостаток интервальных и двусторонних методов [4, 6] существенно ограничивает область их возможных практических приложений.
Практическое решение проблемы сходимости для случая больших интервалов интегрирования, а также другие вопросы повышения вычислительной эффективности интервальных и двусторонних методов интегрирования уравнений состояния электрических цепей рассматриваются в [8-111.
В [9] обоснован двухстадийный интервальный метод, представляющий собой усовершенствование известного ме-
тода Мура и отличающийся от него большей вычислительной эффективностью. В [11] описываются двусторонние методы на основе апостериорного оценивания погрешности, которые позволяют успешно решить проблему сходимости метода интегрирования для практически важного класса задач Коши.
Для относительно малых длин промежутков интегрирования, как правило, предпочтительнее являегся первый метод. При больших значениях длины промежутка интегрирования проявляются преимущества методов, описанных в [11]. Для расчета переходных процессов в случаях, когда постоянные времени цепи различаются по порядку величины, может быть целесообразным применение интервального метода для решения жестких систем ОДУ, который описан в [11 ]. В [111 рассматриваются методы расчета переходных процессов в электрических цепях с учетом неустранимой погрешности.
1. Математическая формулировка задачи
и описание метода
Рассмотрим задачу Коши для ОДУ уравнений состояния нелинейной электрической цепи:
МЖ = /(.V,/), Г е (0, /р), д-(0) =.\-0: {I)
где х и /- вектор-функции: л' = (л'......*,„),/= (/¡, ••• ,ЛХ
.Гц - вектор начальных условий: Л'н = (хщ, ... , 11ри помощи введения дополнительной переменной .т,„+|= /, удовлетворяющей дифференциальному уравнению ёх^Ш = 1, можно перейти от неавтономной системы (1) к автономной. Поэтому далее без ог раничения общности будем рассматривать только автономные системы уравнений состояния: тт =Лх),' е (0, ^);х(0) = хо.
Рассмотрим производные решения, вычисляемые с учетом правой части уравнения: Л/я/ = /Ц)(л-(0), к = 0,1, ...; /"'(х) = - х. Тогда Р(А)(Х) - интервальное расшире-
ние/4^), то есть :/%■) е если л" е X.
Классическая разностная схема интервального метода Мура /7-го порядка имеет вид [4,6]:
Ху+] = ХУ + Р|П(Х;)/?У + Ра\Х;)И,2/1+...+ Р(р+П(А уГЧр\, где j — номер шага интегрирования; Xj — [лс/, д-,"] — интервал, включающий решение задачи при / = (*(/,) е ХД | +/),-; Х(|- Интервал для начального условия {*(/») е Х0); Л - интервал, включающий решение па всем промежутке интегрирования (0, ¡р).
В модифицированном методе Мура на каждом шаге интегрирования вместо интервала А подставляется на порядок более точная оценка X решения на каждом /-ом интервале Ту = [I) \ , /у], получаемая согласно рекуррентной формуле, аналогичной схеме неявного метода Эйлера [9]:
Х/=[Хм+Н/"(Х/)]пА,Н,= Р>,А,],У= 1,2,...;
Щ £ X*, . / £ Т,.
Данная рационализация позволяет за счет небольшого усложнения схемы вычислений повысить точность метода на порядок.
2. Расчет переходного процесса в цепи генератора
синусоидальных колебаний
Вели индуктивную связь в генераторе учесть зависимым источником напряжения, управляемым током и = -М Шг/Ф, а триод - зависимым источником тока г = Дн), то в
7ТЛ
т = 45 , у = I, л-|(0) = 0, л-:(0) = 1, представлены в г рафической форме па рис. 3. В таблице 2 представлены данные по зависимости ширины интервального решения от длины промежутка интегрирования. Время вычислений, необходимое для достижения точности г — 2,5-10 2 составило 3,7 мин.
Таблица 2
t vv(X,) и(Х:)
0,5 5,58-10 14 1,41-10 "
1,5 7,48-10"13 1,39- 10"u
2,5 4.00'10 !3 5,19-10"12
3,5 1,39.10"" 1,9610 "
4,5 7,02.10"п 1,14-10 10
5,5 2,86-Ю"10 3,55-10 1(1
7,0 2,45.10"' 3,84 Ю4
8,0 1,02-10"а 1,30-10"®
9,0 3,73 10 s 5,18-10"®
10,0 1,55-10"7 2,1510"7
12,0 1.98-1СГ6 2,60 Ю"'*
14,0 2,36-IO"s 2,77 Ю-5
16,0 0,00026 0,00029
18,0 0,0026 0,003 i
20,0 0,023 0,026
22,0 0,227 0,239
Рис. 3. Графики интервального решения и логарифма его ширины для метода [91: 1 - Х,(0, 2 -Хг(/)> 3 - 1о§[\у(Х2(г))]~'
Данные таблицы 2 и рис. 3 показывают, что при I ~ 20 ширина интервального решения экспоненциально возрастает (расходимость интервальных оценок становится визуальной).
4. Двусторонний метод решения краевых задач на основе метода стрельбы и его применение для расчета переменного электрического поля в диэлектрическом слое
Рассмотренные в статье методы могут использоваться для интегрирования двухточечных краевых задач при помощи интервального варианта известного метода стрельбы [3]. Рассмотрим краевую задачу:
йШ =Ах, 0,' €(0,1), X = (х!,*2),/= (Л,/2);
х,(0)=*3(1) = 0. (2)
Сопоставим (2) задачу Коши:
¿Хс/Ж-АХа, г), «=(0,1), ха = (х^са); Х<д(0) = 0,
хАО)=ща,а £(Дг)5(-¿2, я/2). (3)
Обозначим через ^(i, а. а) двусторонние оценки решения xj{t) задачи Коши (3), получаемые по схемам ранее рассмотренных методов, где
t е(0,1), а<а<а, .-сДО, а, а) = 0, х2 (0, а, а+) = tg or, = хаХ{ 1).
Если решена задача отыскания корней скалярного уравнения <р(а) = 0, то тем самым будет решена исходная задача (2). Введем аналогичные обозначения: </f (а) - Х|"(1, а, а). Предположим, что на интервале (Ду) с (-л/2, я/2) функции (f{a) и (¡г (а) непрерывны, причем
Vict!, о-} с (Р,у) (а, < а2) {(xj_t),t), (At, Ль <*г№ £ &в,' е(0-1).
Будем решать уравнения (/г (а) - 0 методом бисекций. Точные решения данных уравнений обозначим через (¿. Методом бисекций находятся их оценки of mi„ < of < of тах. Поскольку Voce (/3,у), то (р(а) <(р (а) - 0, т.е. на отрезке [а„ aj, где а, = rnin/afmin, amivJ, а2 = maxf'a'max.a+rajJ, функция (р{а) обращается в нуль. В силу того, что <pia) непрерывна, искомый корень уравнения принадлежит отрезку [a,, aj. Зная aj и щ, согласно пп.1-3, можно найти равномерные двусторонние оценки точного решения краевой задачи x(i) = xaT(t) на интервале (0,1). Действительно, в силу следствия 2.3 в [11J
х~Сг, «л аг) <x~(t, ат. aj <x(t) Sx+(t, ат aj <x*(t, a,, a2). где учтено, что a, e [щ aj.
Сходимость к точному решению следует непосредственно из непрерывной зависимости функций х±/1, ф, ат) от начальных условий, т.е. от параметров а, и а2, а также сходимости соответствующих двусторонних методов решения задачи Коши.
5. Пример применения двустороннею метода для расчета переменного электрическою поля в диэлектрическом слое
Рассмотрим случай, когда вектор переменного электрического поля Е имеет одну отличную от нуля составляющую Е.-Е.(х), значения которой заданы на границах слоя:
ЕМ =Ег1, ЕМ =Еа, (4)
где а - толщина диэлектрического слоя, Ег), Ez2- некоторые комплексные значения.
После ряда стандартных преобразований из системы Максвелла при условиях р = const, у = 0, е = s{x), где е(х) -скалярная вещественная функция переменной х, получается следующее уравнение для функции Е::
c?Ez /dx~ = -krE., 0 < х < а, (5)
где к2 — © - угловая частота поля.
Так как параметр к принимает только действительные значения, то в силу линейности дифференциального уравнения и краевых условий действительная и мнимая части ком-плекснозначной функции Е,(х) являются решениями краевых задач, аналогичных (4-5). В результате замены переменных ^ — х/а, и, - Ег , и2 — dE.Jdi, задача (4-5) приводится к виду:
dujdt, = щ, du2ld% = - X2 и,, 4 е (0,1), «,(0) = £.,, «|{ 1) = Ел, X2 = к2а2 .
Результаты решения модельной задачи при Ег\ = Еа=-1, X2 = ехр(З^) методом стрельбы на основе двухстадийно-го интервального метода [9J первого порядка точности с □тагом h = 0,001 представлены на рис. 4 и в табл. 3, 4.
Интервальные оценки значения априорно неизвестного параметра р = 112(0) вычислялись посредством решения уравнения Н|(1) = Е-2 методом половинного деления и имеют вид:
/?~€[-3.940Е+0000,-3.938Е+00001( погрешность 6.198Е-0002%) /р+е[-4.097Е+0000,-4.094Е+0000](погрешность 5.961Е-0002%) р 6 [-4.097Е+0000,-3.938Е+0000] (погрешность 3.950Е+0000%),
Погрешность интервальных оценок параметров р~ и р определяется точностью вычислений по методу бисекций, а погрешность итоговой интервальной оценки искомого параметра зависит дополнительно от точности применяемого метода интегрирования задачи Коши. При практических расчетах следует иметь ввиду, что целесообразно согласовывать порядок точности в процедурах метода бисекций и численного интегрирования.
Таблица 4
Результаты численного интегрирования системы ОДУ при значении параметра р , = -4.094
-O.SO--
Рис. 4. Графики решения я коэффициента краевой задачи
Таблица 3
Результаты численного интегрирования системы ОДУ при значении параметра р'. = -4.097
5 "1 "i и21
0,1 -1,40343 -1,40325 -3,95568 -3,95478
0,2 -1.78764 -1,78705 -3,70341 -3,70109
0,3 -2,13892 -2,13758 -3,28483 -3,28030
0,4 -2,43718 -2,43457 -2,62680 -2,61888
0,5 -2,65413 -2,64949 -1,63916 -1,62605
0,6 -2,75196 -2,74422 -0,22457 -0,20349
0,7 -2,68386 -2,67149 1,69277 1,72723
0,8 -2,39886 -2,37949 4,10528 4,16486
0,9 -1,85517 -1,82500 6,81185 6,91845
1,0 -1,04731 -1,00005 9,25303 9,44810
£ "Г «i иг 1Í7*
0,1 -1,40319 -1,40300 -3,95326 -3.95235
0,2 -1,78716 -1,78657 -3,70104 -3.69872
0,3 -2,13821 -2,13686 -3,28259 -3,27806
0,4 -2,43625 -2,43364 -2,62480 -2,61688
0,5 -2,65302 -2,64838 -1,63755 -1,62445
0,6 -2,75072 -2,74298 -0,22358 -0,20251
0,7 -2,68256 -2,67020 1,69286 1,72731
0,8 -2,39761 -2,37825 4,10415 4,16371
0,9 -1.85410 -1,82395 6.80924 6,91579
1,0 -1,04658 -0,99934 9,2489 9,44388
Выводы
Проведено исследование проблемы решения с гарантированной точностью ряда актуальных задач теоретической электротехники. В качестве основного средства решения данной проблемы использован математический аппарат интервального анализа и двусторонних методов. Рассмотрены эффективные методы для решения с гарантированной точностью систем уравнений состояния нелинейных электрических цепей: методы Мура и его модификация - двухста-дийный интервальный метод [9]. ] lo свойствам точности и устойчивости метод [9] существенно превосходит метод Мура при практически одном порядке обьема вычислительных затрат на шаге интегрирования. Обоснованные в работе методы позволяют осуществлять расчет с гарантированной точностью переходных процессов в нелинейных электрических цепях в случае больших промежутков интегрирования, а также краевых задач для электромагнитных полей в слое.
Литература
1. Зевеке Г.В.. Панкин ПЛ., Нетушш A.B., Страхов C.B. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1975. 752 с.
2. Мамедов И.Д. Условие самовозбуждения параметрического трансформатора с взаимно ортогональными Mai ни го проводам и // Изв. вузов. Электромеханика, 1984, №7. С. 54-57.
3. Хайрер 3. Нерсетт С.. Виппер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.; Мир, 1990.512 с.
4. Добронец B.C.. Шайдуров В.В. Двусторонние методы, Новосибирск: Наука. I99Ü. 208 с.
5. Ляефельд Г.. Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М,: Мир, 1987. 360 с.
6. Moore RE. Interval analysis. En ule wood Cliffs. N.J.: Prentice-Hal I, 1966.
7. Киншт N.B., Кац M.А. Интервальный анализ н задачах теории электрических цепей И Электричество, №10/99. С. 45-57.
8. Некрасов С.А. Двусторонние методы численного интегрирования начальных и краевых задач И Изв. вузов. Электромеханика. 1993. №1. С. 75-78.
9. Некрасов С.А. Двусторонние методы интегрирования начальных и краевых задач /I Журнал вычислительной математики и математической физики. Т.35, № 10, 1995. С. 1189-1202 .
10. Некрасов С.А. Интервальные методы расчета нелинейных электрических цепей. Теория ценен и сигналов: Тезисы докладов третьей Всероссийской научно-технической конференции с международным участием. Россия, Таганрог, 11-15 сентября 1996 г. Новочеркасск 1996. С. 41-42.
11. Некрасов С.А. Интервальные и двусторонние методы для расчета с гарантированной точностью электрических и магнитных систем. Дисс. на соискание уч. ст. д-ра техн. наук. Новочеркасск. ЮРГТУ(МПИ). 2002.
7Тл
CALCULATION OF TRANSIENTS IN ELECTRICAL CIRCUITS INTERVAL METHOD
Tigran R. Arutyunjan, Moscow Technical University of communications and Informatics (MTUSI), Moscow, Russia, [email protected] Sergej A. Nekrasov, South-Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia, [email protected]
Abstract
The study problem solutions with guaranteed accuracy the number of actual problems of theoretical electrical engineering. As the primary means of addressing this problem, we use the mathematical technique of interval analysis and two-sided methods. Considered effective techniques for dealing with guaranteed systems accuracy of equations of state in nonlinear electric circuits: Moore's methods and its modification - interval two-stage method. The properties of stability and accuracy of this method is significantly superior to Moore's method with almost the same order of the volume of the computational cost of the integration step. In this modification of the method of Moore at every integration step, instead of a priori estimates, the global interval for the solution of the Cauchy problem, is substituted for the more accurate estimation of the solution on each interval of the partition of the time axis, obtained according to the recurrence formula, similar to the scheme the implicit Euler method. This rationalization allows for the very small complexity of the computational scheme to improve the accuracy of the method.
Examples of calculations for electric circuits containing a generator of sinusoidal oscillations and pretransformation. State variables (currents and voltages) in the circuit of the generator is described by the differential equation of the second order, known in the literature as the equation of van der Pol. Also used the differential equation describing the transient processes in the electric circuit of pretransformation, for the case of a cubic approximation of magnetization curve. Grounded in the work methods allow to carry out calculation with guaranteed accuracy of transients in nonlinear electric circuits in the case of large intervals of integration. The article also shows that the bilateral and interval methods can be used to solve boundary value problems of the theory of electromagnetic field. Considered a bilateral method for solving boundary value problems based on shooting method and its application to calculate the electric field in the dielectric layer. Marked conditions for the convergence of the bilateral variant of the method of firing.
Keywords: electric circuits, transients, bilateral and interval methods, computational error, guaranteed accuracy.
References
1. Zeveke G.V., lonkin P.A., Netushil A.V., Strahov S.V. (1975). Fundamentals of the theory of circuits. Moscow: Energy. 752 p.
2. Mamedov I.D. (1984). Condition of self-excitation of the parametric transformer with mutually orthogonal magnetic cores. Electrical engineering. No. 7, pp. 54-57.
3. Hairer E., Norsett S., Wanner G. (1990). Solution of ordinary differential equations. Non-rigid tasks. Moscow: Mir. 512 p.
4. Dobronets, B.S., Shaidurov V.V. (1990). Bilateral methods. Novosibirsk: Science. 208 p.
5. Alefeld, G., Herzberger J. (1987). Introduction to interval computations. Moscow: Mir. 360 p.
6. Moore R.E. (1966). Interval analysis. Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall.
7. Kinsht N. Oh. Katz M.A. (1999). Interval analysis in problems of the theory of electric circuits. Electricity. No. 10, pp. 45-57.
8. Nekrasov S.A. (1993). Bilateral methods for the numerical integration of initial and boundary value problems. Electromechanics. No. 1, pp. 75-78.
9. Nekrasov S.A. (1995). Bilateral methods of integration of initial and boundary value problems. J. Comput. mod. and math. Phys. Vol. 35, No. 10, pp. 1189-1202.
10. Nekrasov S.A. (1996). Interval methods of calculation of nonlinear electric circuits. Theory of circuits and signals: Abstracts of the third all-Russian scientific and technical conference with international participation. Russia, Taganrog, September 11-15, 1996. Novocherkassk, pp. 41-42.
11. Nekrasov S.A. (2002). Interval and bilateral methods for calculation with guaranteed accuracy of electric and magnetic systems. Diss. on competition Dr. Technical sciences. Novocherkassk. YURGTU(NPI).
Information about authors:
Tigran R. Arutyunjan, master, Technical University of communications and Informatics (MTUSI), Moscow, Russia
Sergej A Nekrasov, doctor of technical Sciences, Professor of applied mathematics, Department of Applied Mathematics of the South-Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia
