CC BY
59
Вычислительные технологии
Том 3, № 2, 1998
МЕТОД ГЕНЕРАЦИИ СТОЛБЦОВ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ВЗАИМОЗАВИСИМЫМИ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А. П. МАРТЫНОВ Уфимский государственный авиационный технический университет
Россия
e-mail: ramazanov@imat.rb.ru
The linear programming problems class with interdependent interval coefficients placed both in separate columns and in various colunms is considered. Columns generation method substantiation for solving and a practical application review is given.
Рассматривается класс задач линейного программирования с взаимозависимыми переменными коэффициентами
при основных условиях
max clj a.j Xj j=1
n
a'j xj ^b>
j=1
Xj ^ 0, j = 1, ..., и ограничениях на переменные коэффициенты
(1) (2)
п, (3)
п, (4)
(5)
(6)
ъ = , то
: — т-мерные
векторы, ] = 1, ..., п; Т(3) — матрица размерности (mj хт), ] = 1, ... , п; Ь^ — вектор размерности mj, ] = 1, ... , п; 5^ — матрица размерности т0хт, ] = 1, ... , п; г — вектор размерности т0.
aij ^ aij ^ aij
i = 1, ..., m, j = 1, . T(j)a.j ^ L(j), j = 1, . ..,n,
n
Y, S(j)a.j = r, j=1
где [ aij ,aij] — интервал изменения переменного коэффициента aij, (если a,
коэффициент aij — постоянный), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n; b, c,
T(j)
j, a*?
© А.П. Мартынов, 1998.
n
В условии (5) задаются системные ограничения на переменные коэффициенты отдельных столбцов. В условие (6) включаются системные ограничения на переменные коэффициенты, расположенные в различных столбцах. Ограничения (4) в общем случае могут входить в состав ограничений (5).
В задаче (1) - (6) искомыми величинами являются Ху и агу, г = 1, ..., т, ] = 1,..., п. (Как было отмечено, некоторые коэффициенты агу могут быть постоянными, то есть известными.)
В случае отсутствия ограничения вида (6) генерирование текущего варианта ]-го переменного столбца производится решением вспомогательной задачи линейного программирования (1 ^ ] ^ п)
т
- суау) (7)
г=1
при условиях (4) - (5).
Целевая функция (7) выражает текущую оценку ]-го столбца. Традиционно для ввода в базис в симплексном методе выбирается столбец с минимальной оценкой. Поэтому текущие варианты переменных столбцов, полученные решением задачи (7), будут удовлетворять этому основному принципу симплексного метода. Теоретические основы такого подхода рассмотрены в [1] и [2], в которых дополнительно предполагается, что целевая функция не зависит от переменных коэффициентов.
В работах [3-5] изложены первые результаты теоретических и практических исследований автора в моделировании нефтеперерабатывающего производства. Во-первых, поскольку решения задачи (7) определяют угловые точки области допустимых значений переменных столбцов и внутренние точки в случае их оптимальности могут быть выражены через линейные комбинации базисных угловых точек, разработаны правила представления (усреднения) переменного столбца одним вариантом
кз
а.у = £ А3кау), (8)
к=1
где
А ук = хук /^Хук, если ^Хук = 0,
к=1 к=1
к]
Аук = 1/ку, если = 0.
к= 1
Во-вторых, разработаны и исследованы, с вычислительной точки зрения, различные схемы генерирования текущих вариантов переменных столбцов. В первой схеме на каждой итерации симплексного метода для задачи (7) генерируется вариант каждого переменного столбца и среди них выбирается один столбец в качестве главного. Во второй схеме на определенных этапах решения задачи (1)-(5) производится генерация вариантов переменных столбцов, и при помощи этих вариантов происходит оптимизация целевой функции (1). В обоих случаях процесс продолжается до получения общего признака оптимальности решения задачи (1)-(5). В-третьих, разработаны различные модификации мультипликативного алгоритма симплексного метода, связанные с учетом вычислительной погрешности и блочной структуры основных условий (2), а также вспомогательной
задачи (7). Полное описание алгоритмического и программного обеспечений автоматизированного формирования условий задачи (1)-(5) и деловой документации на основе оптимального решения задачи (1)-(5) содержится в [6].
В работах [7-11] постановка задачи (1)-(6) рассматривается полностью. Разработаны вычислительные схемы генерации текущих вариантов переменных столбцов в случае наличия ограничения (6). То есть задача (7) решается при условиях (4)-(6). На каждом этапе генерации определяются взаимосвязанные варианты переменных столбцов. Однако в оптимальном базисе могут оказаться варианты переменных столбцов, которые после их усреднения по условию (8) могут не удовлетворять условиям (4)-(6). В связи с этим нами разработан метод двухэтапной линеаризации задачи (1) - (6), в котором интенсивности использования взаимосвязанных вариантов различных переменных столбцов должны удовлетворять дополнительным условиям вида
х1к — х^к = 0, ф € [ ,ф ], 3 = 2, ..., п, к = 1, ... ,
(9)
где — переменный коэффициент, для которого известны лишь границы его изменений и dj.
Ограничения (9) присоединяются к условию (2). Отсюда следует, что в процессе использования взаимосвязанных вариантов переменных столбцов задача (1)-(6) превращается в задачу вида (1)-(5), которая решается с применением метода генерации столбцов. Если в процессе решения задачи (1)-(6) некоторые базисные взаимосвязанные варианты переменных столбцов становятся небазисными, то соответствующие ограничения вида (9) можно исключать из состава условий (2). Полное математическое обоснование такого подхода приведено в работе [11]. Постановка задачи (1)-(6) может быть использована в следующих направлениях.
1. Оптимизация коррекции несобственных задач линейного программирования в оптимальном управлении производством, рассматриваемых в работе [12]. Могут быть различные варианты корректировок таких задач: поиск более экономичных значений нормативных коэффициентов, дополнительное вовлечение компонентов ресурсов или сдвиги в ассортименте конечной продукции. В зависимости от выбранных вариантов корректировки несовместной задачи линейного программирования определяются управляемые параметры, для которых формируются ограничения типа (1)-(6). При этом очень важно использование структурных соотношений условий взаимозависимости и взаимозаменяемости компонентов сырья, конечной продукции и в нормативном составе. Для исследования взаимозависимых приращений компонент вектора правой части постановка задачи (1) - (6) записывается в виде
п+1
ша^^ е~13 а, j=1
,j xj,
при основных условиях
х-
п+1
j=1
хп+1 = 11, > 0, 3 = 1, ..
п
и ограничениях на переменные коэффициенты
aij ^ aij ^ aij ,
1,
т,
п + 1,
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
1
3
Т(3)а.з ^ Ь(3), ] = 1 ,...,п +1, (15)
п+1
= г, (16)
3 = 1
где в отличие от постановки задачи (1)-(6) а.п+1 = —8Ь, 5Ь — вектор приращений правой части условия (11).
Введение п + 1-го столбца позволяет формировать ограничения взаимозависимых приращений компонент вектора правой части по тем же правилам, что и для других столбцов левой части, то есть при помощи ограничений (14)-(16)
В результате решением задачи (10)-(16) определяются оптимальные значения параметров управления, при которых исходная несовместная задача линейного программирования становится совместной. Может возникнуть ситуация, когда принятый вариант корректировки, то есть система интервальных представлений параметров управления в соответствии с условиями (14) - (16), не обеспечивает совместность. В таких случаях нужно рассматривать другие варианты корректировок.
2. Решение задачи линейного программирования в условиях неопределенности с использованием методики формирования зоны неопределенности [13-14]. Постановка задачи (10)-(16) позволяет наиболее полно решать вопросы на всех этапах формирования и исследования зоны неопределенности. Во-первых, вместо дискретного множества сочетаний условий применяются непрерывные модели возможных изменений столбцов со случайными коэффициентами. Во-вторых, точно определяются границы области неопределенности с использованием двух режимов генерирования вариантов столбцов с взаимозависимыми интервальными коэффициентами. В первом случае они генерируются при помощи задачи (7) при условиях (14)-(16) и используются лучшие варианты переменных столбцов. Во втором случае варианты переменных столбцов генерируются при помощи задачи
т
та- счач) (17)
г=1
при условиях (14)-(16), ] = 1, ... , п +1. Указанные режимы генерирования вариантов переменных столбцов представляют позиции крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. И, в-третьих, открываются широкие возможности системного анализа зоны неопределенности и выбора решений. Формирование условий (14)-(16) для параметров управления производится на основе использования экспертных оценок, методов статистики и теории вероятности. Следует заметить, что при таком подходе к исследованию зоны неопределенности кроме двусторонней оценки значения целевой функции определяются группы основных переменных задачи линейного программирования, имеющие различную степень устойчивости. Например, в задаче оптимизации работы Ново-Уфимского НПЗ в рамках постановки (10)-(16), где ограничения (11) имели размерность (2000x6000) (с учетом разбивки годового задания на квартальные), применение указанного метода исследования зоны неопределенности показало, что около 40 % основных переменных не зависят от изменения условий, то есть имеют степень устойчивости, равную 1.
3. Моделирование распределительных задач с интервальными нормативными параметрами. Например, в работе [15] автором разработана системная модель распределения капитальных вложений и инвестиционных потоков с переменными нормативными коэффициентами для развития социально-экономической сферы региона.
4. Задачи оптимального управления сельскохозяйственным производством районов и регионов. В качестве взаимозависимых интервальных коэффициентов принимались нормативы расхода компонентов кормов на единицу вида скота в животноводстве. Системные ограничения на интервальные коэффициенты формируются в рамках задачи (1) - (6). Результаты практического применения задачи (1)-(6) в управлении сельскохозяйственным производством четырех районов Башкортостана и Самарской области совместно со специалистами института Волгогипрозем приведены в работе [16].
В заключение следует заметить, что вычислительная эффективность применения методов генерации текущих вариантов переменных столбцов задачи (1)-(6) достигается за счет минимизации размерности основных условий (2) - (3) и обеспечения необходимой гибкости модели при помощи ограничений на интервальные коэффициенты вида (4)-(6). Использование в целевой функции переменных коэффициентов позволяет учитывать ценности, связанные с выбором способов организации модели и их интенсивностей при практическом применении в современных условиях.
В настоящее время в Центре информационных технологий и АСУ АО Ново-Уфимский НПЗ разрабатывается автоматизированная подсистема управления основным производством, в которой, как ив [6], задача (1) - (6) формируется автоматически на основе описания способов производства (технологических установок) с взаимозависимыми интервальными параметрами управления. Решение задачи (1) - (6) и исследование ее устойчивости ориентированы на использование мультипликативного алгоритма симплекс-метода с генерацией текущих вариантов столбцов с взаимозависимыми интервальными коэффициентами.
Список литературы
[1] ГольштЕйн Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в ЛП. Сов. радио, М., 1996.
[2] Клнторович Л. В., Ромлновский И. В. Генерирование столбцов в симплекс-методе. В "Экономика и матем. методы", 21, вып. 1, ЦЭМИ АН СССР, М., 1985, 128-138.
[3] Мартынов А. П., Афанасьев А. С. Оптимизация производственной программы при переменных коэффициентах выпуска и затрат на НПЗ. В "Моделирование производственных процессов", Изд. СО АН СССР, Новосибирск, 1977, 60-76.
[4] Мартынов А. П., Резванов Р. Г. Программа УНИ-25 мультипликативного алгоритма симплекс-метода для ЭВМ М-222. В "Оптимизационные экономико-математические задачи", Изд. СО АН СССР, Новосибирск, 1978, 111-133.
[5] Мартынов А. П. Вычислительные схемы линейного программирования с переменными коэффициентами и их применения: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук, ЛГУ, Л., 1983.
[6] Пакет прикладных программ для планирования производства отрасли. Науч. рук. Мартынов А. П., М., ОФАП ГИВЦ Миннефтехимпрома СССР, 1985.
[7] Мартынов А. П. Методы линейного программирования с переменными столбцами в задачах принятия решений. В "Принятие решений в условиях неопределенности'', УАИ, Уфа, 1990, 58-65.
[8] А. П. Мартынов Задачи ЛППК в методах коррекции противоречивых моделей оптимального планирования. В "Математическое программирование и приложения": Мат. науч конф. Изд. ИММ УрО РАН, Свердловск, 1991, 103-104.
[9] Мартынов А. П., Мартынова Е. А. Анализ погрешности при обработке химических измерений методами линейного программирования. Баш. хим. журн., 1, вып. 4, 1994, 44-53.
[10] Мартынов А. П. Об одном методе разложения задачи линейного программирования с взаимозависимыми переменными коэффициентами. В "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. VI. Применения численных методов. Геометрические задачи", ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа, 1996, 91-96.
[11] Мартынов А. П., Салимоненко Е. А., Салимоненко Д. А. Пути совершенствования в моделировании производственных процессов нефтепереработки. В "Баш. хим. журн.", 4, вып. 1, 1997, 72-77.
[12] Еремин И. И. Противоречивые модели оптимального планирования. Наука, М., 1988.
[13] Макаров А. А., Мелентьев Л. А. Методы исследования и оптимизации энергетического хозяйства. Наука, Новосибирск, 1973.
[14] Калика В. И., Мартынов А. П. Об учете неопределенности исходной информации в задачах оптимального планирования. В "Матем. методы в эконом. исследованиях", БашФАН СССР, Уфа, 1975, 5-56.
[15] Мартынов А. П., Салимоненко Е. А., Салимоненко Д. А. Системная модель оптимизации в развитии социальной инфраструктуры региона в современных условиях. В "Стратегия предпринимательства", Восточный ун-т, Уфа, 1997, 10-20.
[16] Мартынов А. П., ИвонинА Г. Д., СтАфийчук И. Д. Оптимизация сельскохозяйственного производства с помощью математических методов при обосновании проектов землеустройства в границах административных районов Башкирской АССР. Передовой опыт в землеустройстве: Экспресс-информация, №12, МСХ СССР, М., 1979, 21-23.
Поступила в редакцию 25 сентября 1997 г.
