CC BY
95
УДК 519.853
СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ВИДЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
© Д. А. Салимоненко
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (347) 273 68 80.
В статье показан способ решения задачи линейного программирования в случае, когда коэффициенты матрицы ограничений являются функциями параметров. Каждый коэффициент может являться функцией не более одного параметра. Предлагаемый способ основан на использовании симплекс-метода.
Ключевые слова: задача линейного программирования с переменными коэффициентами, симплекс-метод, метод генерации столбцов, функция, производная, параметрическое программирование.
Общая постановкам задачи линейного программирования с переменными коэффициентами (ЛППК) имеет следующий общий вид [5, 8]:
max F = max ^
j=i
при условиях
(1)
(2)
I = 1, ..., m,
х > 0, (3)
р = 1, ..., п.
где m - число ограничений (2), п - число переменных (3). Дополнительные ограничения на переменные (в общем случае) коэффициенты:
aij <fi,ai,<ai.
Sk-<2
< Sk+, k=1,
, K
E P«ja,j =ri, 1=1,.., L i = 1
Cf<fijCj<Cj+
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
В системе ограничений (4) все параметры af, /р, ар+, sf, dьj, Sk+, plij, п, cj~, р представляют собой некоторые постоянные величины, которые задаются, как правило, на стадии формулирования задачи ЛППК.
В качестве метода решения задачи ЛППК (1)-(4) часто используется симплекс-метод. Достоинство этого метода заключается в том, что он позволяет, во-первых, решить подобного рода задачу за конечное число итераций. Во-вторых, по сравнению с другими методами решения задачи ЛППК он требует минимальный объем вычислений.
В случае, если переменные коэффициенты ар, коэффициенты целевой функции ср, члены правой части bi являются зависимыми от одного или нескольких параметров и, ..., tk, то задача (1)-(4) называется параметрической.
В научной литературе разработаны подходы к решению задачи линейного программирования, когда имеются параметрические зависимости ко-
эффициентов целевой функции и членов правой части от параметра [5, 8]. Тогда как зависимость коэффициентов ар от параметров исследована мало, исследователями отмечаются сложности анализа и решения параметрической задачи линейного программирования в общем случае [1, 6, 7, 9].
Известен, в частности, подход, который предусматривает параметрическую зависимость коэффициентов задачи линейного программирования вида
ар ар +ta1j ,
где ар и ар" - некоторые числа (константы), которые считаются известными на этапе постановки задачи, t - параметр.
Подобный подход используется в основном в целях анализа устойчивости задачи линейного программирования. Кроме того, он используется в случаях, изменение коэффициентов а^ в зависимости от параметра t является малым и может быть аппроксимировано линейной моделью. В этой связи нельзя говорить об универсальности указанного подхода.
В настоящей работе предлагается более общий подход к решению задачи линейного программирования для случая, когда ее (переменные) коэффициенты являются однозначными дифференцируемыми функциями соответствующих параметров, т.е. выражаются следующим образом:
ар = ар(р (5)
Например, в качестве параметра tр может выступать время, ставка банковского процента, уровень инфляции и т.д. - в зависимости от характера решаемой задачи. Отметим, что этот параметр может, в свою очередь, являться функцией одного или нескольких параметров цр 2р= 1, ..., 2р\ tр = ¡р(и, Ц2,..., №р), где 2р - количество параметров, от которых зависит параметр р
Ограничение: следует отметить, что не все коэффициенты задачи ЛППК могут быть переменными, поэтому условие (5) может применяться не ко всем коэффициентам. Так, если какой-либо коэффициент зависит от параметра (т.е. является функцией параметра вида (5)), то он не должен входить в состав ограничений (4.2), (4.3). Это является ограничением предлагаемого подхода.
a x
i=1
Докажем, что задача ЛППК (1)-(4) при дополнительном условии (5) может быть, с учетом обозначенного ограничения, решена при помощи симплекс-метода. Иными словами, докажем, что справедлива следующая
Лемма. Пусть в задаче линейного программирования (1)-(4) имеются переменные коэффициенты, имеющие зависимость от параметра вида щ=щ(Ь), имеющие область определения на некотором отрезке [оо,-; РУ] и, желательно (но необязательно), непрерывно дифференцируемые на нем. Тогда симплекс-метод, примененный для решения такой задачи, сходится, если выполняются вышеприведенные ограничения.
Доказательство носит конструктивный характер, в том смысле, что обосновывает выполнение всех этапов реализации симплекс-метода с учетом условия (5).
1. На первом этапе симплекс-метода определяются базисные столбцы и из них составляется базисная матрица В. (На самой первой итерации базисная матрица составляется из столбцов искусственных переменных, впоследствии в нее входят столбцы, соответствующие переменным ху, улучшающие значение целевой функции). Этот этап не зависит от условия (5), следовательно, он может быть реализован без ограничений на базе симплекс-метода.
2. На втором этапе рассчитывается матрица, обратная базисной, В4. Она является единственной и существует тогда и только тогда, когда В является квадратной невырожденной матрицей [1, 2].
Известно, что для того, чтобы матрица В задачи линейного программирования стала вырожденной, необходимо наличие в исходной системе ограничений, как минимум, двух линейно зависимых столбцов [2].
Если (некоторые) коэффициенты задачи ЛППК зависят от параметра, т.е. являются переменными величинами (5), то это означает, что в ряде случаев может присутствовать определенная вероятность того, что базисная матрица на, по крайней мере, одной из итераций алгоритма симплекс-метода может стать вырожденной. Например, рассмотрим следующую базисную матрицу ( 12 ^
"12< 41 где te [0; 2] - параметр.
Т.е. зависит от параметра всего один коэффициент, он же и является переменным. Очевидно, что при t = 1 (и только при этом условии) мы получим вырожденную матрицу.
Однако, методы решения задач линейного программирования с вырожденными матрицами являются, на наш взгляд, достаточно разработанными (см., например, [3]) и мы на них не будем останавливаться в настоящей работе.
Отметим, однако, что ситуация, когда параметры ^ являются зависимыми друг от друга, не ведет автоматически к вырожденности матрицы В. В случае же, когда, матрица В будет вырожденной, можно будет, не нарушая общности, исключить из
исходной системы ограничений любой из линейно -зависимых столбцов (и соответствующую ему переменную), надлежащим образом скорректировав эту систему.
3. На третьем этапе рассчитывается вектор симплекс-множителей. Он вычисляется по формуле и = свЕт\ где сВ - соответствующие коэффициенты целевой функции при базисных переменных, В4 -матрица, обратная матрице коэффициентов, составленной из базисных столбцов. Если существует обратная матрица В4, то вектор симплекс -множителей может быть рассчитан вне зависимости от наличия условия (5).
4. На четвертом этапе определяется номер столбца, входящего в базис на следующей итерации путем вычисления оценок.
Оценка любого, например, у-го столбца, вычисляется так [7]:
4= X
а..и. — с .
(6)
где и - г-я компонента вектора симплекс-множителей ит=(ы\,..., ит).
Компоненты вектора и представляют собой некоторые действительные числа (константы), вообще говоря, различные на каждой итерации.
С учетом (5) условие (6) запишется, очевидно,
как
^ = X ац(^ — с ,у = 1,., т
г=1
Затем определяется
(7)
(8)
Д = {л]} ,
3
При переменных коэффициентах ау в отсутствии условия (5) выражение (8) - целевая функция задачи линейного программирования с постоянными коэффициентами при условиях (4)-(5) на переменные коэффициенты.
Решая получившуюся задачу, можно найти Д. Если Д = у ^ 0, то оптимальное решение получено. Т.е. дальнейшее решение не требуется. Предположим, что оптимальное решение еще не получено. Тогда Д < 0. Следовательно, уо - разрешающий столбец, входящий в базис на следующей итерации.
Но при наличии условия (5) выражение (8) может представлять собой задачу нелинейного программирования, непосредственно решение которой симплекс-методом не всегда возможно.
Поэтому предлагается следующий способ. Допустим, в выражение для у-й оценки присутствует один коэффициент а такой, что для него имеется зависимость от параметра вида (5). Имеем
шт ^ = шт (
X
) =
= шт (X а3('3) ■ и,) — с3 =
г = 1
= шт (ауи\+а2,и2+...+а (Уи +.+ащЦт) - с =
=1
а.и. — с .
г] г 3
г = 1
= min (a1jU1+a2jU2+...+\ tl \ t, + + a^tJ ukttj +.+amjUm+ a,j (tj)) - Cj Пусть t-e [a--; ßy], где ap, ßp - некоторые действительные числа, задающие отрезок, в пределах которого лежит значение tp.
С учетом сделанного выше замечания о том,
что коэффициент a не входит в состав ограниче-
l0 j
ний (4.1)-(4.2) можно утверждать, что он не является зависимым от остальных коэффициентов (доказательство этого очевидного утверждения опустим). Следовательно
(ayu\+a2ju2+...+a.
min dj = min
. u, . + a . . u ,
0.,J +.+amjUm) + ( a^ (tj) uv) - С, = (9)
= тш Р,(1) + Р,(2) - с
' [ а/, Р1] р
То есть минимум оценки dj можно искать по частям, решая, по существу, две задачи минимизации. При этом минимум выражения Ер(1) определяется по обычной методологии задачи ЛППК (т.е. как отдельная задача линейного программирования), тогда как минимум выражения Ер(2) необходимо определять из других соображений.
Заметим, что в (5) предусмотрена зависимость от одного параметра, а выражение Е'(2) является функцией одной переменной.
Допустим, что выражение (5) представляет собой функцию, непрерывно дифференцируемую в каждой точке отрезка [ар; Рр]. Известно, что в таком случае экстремум (в частности, минимум) достигается либо на одной из границ этого отрезка, либо в точке, где производная этой функции равна нулю [3].
Приравнивая нулю выражение для производной функции ЕрХр по р получаем:
г1 Иа а
"ГР/2)(а,; «¡)) = ~Т ^а,; ^ =
а1 аг аа
da,
dt.
= 0
(10)
Если существует, по крайней мере, одно число tр(Э) е [ар; Рр], являющееся решением уравнения (10), это означает, что на отрезке [ар; Рр] может присутствовать, по крайней мере, один экстремум, который, в свою очередь, может быть минимумом функции Ер(1)(^).
Поэтому для определения функции Е/2) необходимо определение:
1) Е/2)(а^ (ар)),
2) Е/2)( а ^, (Рр)), (11)
3) Ер(2)( а^ (рЭ))) (если существуют 1р(Э))
После чего следует выбрать минимальное значение из этих трех чисел. С учетом (9) можно переписать (11) в следующем виде:
[ a : ß ,]
(aH1 (tj)uv ) =
m in
[ a ß ,]
J ß,>,
(t (Э} >,( если сущ ествуют t (Э> e [ a ;ß ], = 0 >
(12)
Аналогично следует поступить со всеми коэффициентами a-, зависящими от параметра согласно выражению вида (5). Исходя из известных значений //(Э) (вообще говоря, различных для разных столбцов), рассчитываются соответствующие переменные коэффициенты, зависящие от этих параметров. Тогда как остальные переменные коэффициенты определяются в результате решения задачи min Fpr). Тем самым, в итоге получаются определенные значения коэффициентов по каждому из столбцов.
На основе этого возможно определить минимум p-й оценки, т.е. min dp. Таким образом, при наличии зависимости переменных коэффициентов от параметров необходимо в формулу (9) для нахождения оценок внести изменение в виде (12). Решая получившуюся задачу, можно будет определить номер po (разрешающего) столбца, который войдет в базис на следующей итерации.
Замечание 1. Итак, если в обычном алгоритме симплекс-метода решения задачи ЛППК [5, 8] для минимизации оценок используется только методология линейного программирования с постоянными коэффициентами, тогда как в предлагаемом нами алгоритме, помимо нее, используется еще способ минимизации (12) для тех коэффициентов, которые удовлетворяют (5). В любом случае, как результат данного этапа, будут определены минимальная оценка и соответствующий ей номер разрешающего столбца.
Замечание 2. Поправка (12) к алгоритму минимизации оценок требует обеспечения непрерывной дифференцируемости выражения (5) по параметру tp, что необходимо для вычисления производной и последующего решения полученного уравнения и нахождения параметров (,(Э) (если они существуют на отрезке [ a j; ßj ] ). Конечно, подобные расчеты можно производить и на основе соответствующих численных методов, но последние являются приближенными, и к тому же могут существенно увеличить время решения задачи. Поэтому предлагается для всех коэффициентов, зависящих от параметра, находить производные и, если это возможно, вручную определять аналитические выражения для расчета параметров (,(Э) заранее, до решения задачи симплекс-методом, если аналитические выражения для таких коэффициентов являются известными и из их производных можно выразить (/(Э) явным образом. Тогда в процессе вычисления (12) останется только подставить числа в эти аналитические выражения и получить величины t}3\ что можно легко запрограммировать и автоматизировать. Однако, в общем случае (если выражение (5) не является непрерывно дифференцируемым или невозможно в явном виде
m i n
+
[ a ; ßj ]
=u
m in
получить аналитическое выражение для tfJ)), конечно, необходимо будет использовать численные методы нахождения экстремумов (минимумов) функций. Такие методы являются, на наш взгляд, общеизвестными. Правда, их применение может существенно увеличить длительность решения задачи (хотя, в условиях наличия современных суперкомпьютеров последнее уже не представляет собой серьезной проблемы). Именно поэтому в условии леммы оговорена непрерывная дифференцируемость переменных коэффициентов по соответствующим параметрам.
5. На пятом этапе осуществляется преобразование разрешающего столбца по формуле
а ' = В-1 а
!0 3 г0 3
Эта операция производится обычным образом, уже без учета (5), так как на данном этапе известны (текущие) числовые значения всех коэффициентов задачи (\)-(4). То же самое относится и ко всем оставшимся этапам симплекс-метода, относящимся к текущей итерации.
В конце текущей итерации в качестве выходных параметров будут фигурировать:
1) номера столбцов, содержащихся в текущем базисе,
2) величины всех коэффициентов по каждому из базисных столбцов,
3) преобразованный столбец правой части,
4) текущее значение целевой функции.
Отметим, что аналогичные параметры получаются и в результате решения задачи ЛППК, не содержащей условия (5). Следовательно, исходя из всего вышесказанного, можно сделать вывод, что, за исключением поправки, вносимой выражением (12), общеизвестная [5, 8] процедура симплекс-метода остается без изменений. Но и выражение (12) не меняет сути этой процедуры, а лишь вносит поправку в расчет оценок обобщая его методологию на случай присутствия параметрической зависимости (5).
Известно, что алгоритм симплекс-метода позволяет получить оптимальное решение задачи ЛППК (\)-(4) за конечное число итераций, что доказывает его сходимость [5]. Как выяснилось, условие (5) (и вытекающая из него поправка (12)) не вносят никаких изменений в суть этого алгоритма, несколько изменяя лишь методологию минимизации оценок, что не влияет на его сходимость. Ибо расчеты в соответствии с (12) могут быть, в случае непрерывно дифференцируемых зависимостей (5), сделаны за конечное число этапов. Следовательно, алгоритм симплекс-метода с поправкой (12) также сходится. Лемма доказана.
Выводы
В настоящей работе предложен алгоритм решения задачи ЛППК в случае, когда ее коэффици-
енты могут зависеть от параметров. При этом существенными являются следующие ограничения:
1. Переменные коэффициенты в каждом из столбцов могут зависеть только от одного и того же параметра (который, в свою очередь, может зависеть от одного или более параметров),
2. Те коэффициенты, которые зависят от параметра, не могут входить в состав ограничений (4.2)-(4.3), устанавливающих их (этих коэффициентов) взаимосвязь с другими переменными коэффициентами,
3. Аналитические выражения для переменных коэффициентов, зависящих от параметров, должны быть известными до начала решения задачи.
Лучше, если аналитические выражения для переменных коэффициентов, зависящих от параметров, представляют собой непрерывно дифференцируемые функции, позволяющие аналитически (явным образом) определять их экстремумы. Это позволит существенно повысить скорость решения задачи ЛППК по сравнению со случаем, когда параметрические зависимости переменных коэффициентов заданы неявно или не являются непрерывно дифференцируемыми. Хотя, решение задачи ЛППК вполне возможно даже и в этих случаях. Правда, при этом в целях определения минимума оценок необходимо будет использовать численные методы определения экстремумов (минимумов) функций, причем на каждой итерации симплекс -метода, что даже для задач сравнительно небольшой размерности и небольшом количестве переменных коэффициентов, зависящих от параметра, потребует, вероятно, применения очень мощного компьютера.
ЛИТЕРАТУРА
\. Акулич И. Л. Математическое программирование. М.: Лань, 2011.
2. Гасс С. Линейное программирование. М.: Физматгиз, 1961.
3. Бахшиян Б. Ц., Матасов А. И., Федяев К. С. О решении вырожденных задач линейного программирования. Автоматика и телемеханика. 2000. №1. С. 105-117.
4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.
5. Мартынов А. П., Салимоненко Е. А., Амиров Я. С., Абы-згильдин А. Ю., Теляшев Э. Г., Сайфуллин Н. Р., Давлет-кулов Р. Г. Системное моделирование производственных процессов (на базе метода генерации столбцов). Уфа: Ги-лем, 1998. 211 с.
6. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984. 224с.
7. Палий И. А. Линейное программирование. Учебное пособие. М.: Эксмо, 2008.
8. Салимоненко Д. А. Математическая обработка эксперимента методами линейного программирования с переменными коэффициентами: дис. ... канд. физ-мат. наук. Уфа, 1999.
9. Тынкевич М. А., Речко Г. Н. Параметрическое линейное программирование. Кемерово, 2004.
Поступила в редакцию 11.12.2014 г.
ISSN 1998-4812
BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2015. T. 20. №1
29
WAY OF THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF LINEAR PROGRAMMING WITH VARIABLE COEFFICIENTS IN THE FORM OF PARAMETRICAL FUNCTIONS
© D. A. Salimonenko
Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (347) 273 68 80.
The way of the solution of a problem of linear programming is shown in article in a case when coefficients of a matrix of restrictions are functions of parameters. Each coefficient can be function no more than one parameter. The offered way is based on use a simplex method. Parametrical dependence in linear programming can arise at statement and the solution of absolutely various tasks: in economy, the electrician, the circuit designer and others. Very often time acts as parameter (when coefficients of a problem of linear programming are time-dependent). In the standard statement, the simplex method of the solution of a problem of linear programming does not allow to carry out the solution of parametrical tasks. Approaches, known from scientific literature, assume to some extent linearization, i.e. representation of the variable coefficients depending on parameters in the form of linear functions. Whereas in the real work, approach, which is not connected with need of such linearization, is usually offered. The essence is that on each iteration of the simplex method, optimum value of each of variable coefficients (which, of course, can change on the subsequent iterations) is defined. If the variable coefficient is not parametrically dependent, it is necessary for determination of its optimum size (on each iteration) to solve only a standard problem of linear programming with constant coefficients. If there is a parametrical dependence, it is necessary to define optimum value of this coefficient with its account. It can be made by preliminary (the solution of a task by simplex method) calculations of expressions for derivatives and the subsequent their substitution in a task. Or, if parametrical dependence is not continuously differentiable, it is necessary to carry out search of extreme values of variable coefficients on each iteration of the solution of a task on a basis a simplex method. With use of any of known methods of numerical definition of extrema. It is clear that the last will significantly complicate calculations. However, first, as a rule, at practical tasks there is a continuous differentiability of variable coefficients in parameter. Secondly, on a measure as there is a continuous development of the computer equipment, the similar difficulty is temporary.
Keywords: problem of linear programming with variable coefficients, a simplex method, a method of generation of columns, the function derivative, parametrical programming.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Akulich I. L. Matematicheskoe programmirovanie [Mathematical programming]. Moscow: Lan', 2011.
2. Gass S. Lineinoe programmirovanie [Linear programming]. Moscow: Fizmatgiz, 1961.
3. Bakhshiyan B. Ts., Matasov A. I., Fedyaev K. S. O reshenii vyrozhdennykh zadach lineinogo programmirovaniya [On the solution of degenerate problems of linear programming]. Avtomatika i telemekhanika. 2000. No. 1. Pp. 105-117.
4. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Spravochnik po matematike. Dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [Handbook of mathematics. For engineers and students of technical colleges]. Moscow: Nauka, 1986.
5. Martynov A. P., Salimonenko E. A., Amirov Ya. S., Abyzgil'din A. Yu., Telyashev E. G., Saifullin N. R., Davletkulov R. G. Sistemnoe modelirovanie proizvodstvennykh protsessov (na baze metoda generatsii stolbtsov) [System modeling of production processes (based on the method of generation of columns)]. Ufa: Gilem, 1998.
6. Murtaf B. Sovremennoe lineinoe programmirovanie [Modern linear programming]. Moscow: Mir, 1984. 224s.
7. Palii I. A. Lineinoe programmirovanie. Uchebnoe posobie [Linear programming. Textbook]. Moscow: Eksmo, 2008.
8. Salimonenko D. A. Matematicheskaya obrabotka eksperimenta metodami lineinogo programmirovaniya s peremennymi koeffitsien-tami: dis. ... kand. fiz-mat. nauk. Ufa, 1999.
9. Tynkevich M. A., Rechko G. N. Parametricheskoe lineinoe programmirovanie [Parametric linear programming]. Kemerovo, 2004.
Received 11.12.2014.
