ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА, НЕЛИНЕЙНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_112

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА, НЕЛИНЕЙНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ

Мамазиаева Эльмира Амановна, к.ф.-м.н., доцент

mamaziaeva67@mail.ru Абдазова Угилхан Махамадюсуповна, магистрант,

Uabdazova@mail.ru

Ошский технологический университет им. М.М. Адышева

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В работе рассмотрено применение метода дополнительного аргумента к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, нелинейных относительно неизвестной функции. В этих исследованиях появились преимущества метода дополнительного аргумента перед другими методами исследования подобных уравнений, заключающиеся в том, что система интегральных уравнений, к которой приводится исходная задача, не содержит суперпозиции неизвестных функций.

Кроме того, решение исходной задачи получается из решения интегральных уравнений при помощи понижения размерности множества аргументов, а не при помощи обращения нелинейного алгебраического оператора. С использованием основных идей метода дополнительного аргумента были исследованы дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных типа Кортевега-де-Фриза, а также нелинейные волновые уравнения. Доказано существование единственного решения.

Ключевые слова: Дифференциальное уравнение, второй порядок, нелинейное, метод дополнительного аргумента, начальная задача, интегральное уравнение.

БЕЛГИСИЗ ФУНКЦИЯГА КАРАТА СЫЗЫКТУУ ЭМЕС, ЭКИНЧИ ТАРТИПТЕГИ ЖЕКЕ ТУУНДУЛУУ

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕЦДЕМЕЛЕРГЕ КОШУМЧА АРГУМЕНТ КИЙИРУУ МЕТОДУН КОЛДОНУУ

Мамазиаева Эльмира Амановна, ф.-м.и.к., доцент

mamaziaeva67@mail.ru Абдазова Угилхан Махамадюсуповна, магистрант

Uabdazova@mail.ru

М.М. Адышев атындагы Ош технологиялык университети

Ош, Кыргызстан

Аннотация: Бул эмгекте экинчи даражадагы жекече туундулуу дифференциалдык тецдеменин баштапкы маселеси сунушталган жацы ыкма менен кошумча аргумент kuU^yy методун колдонуу YЧYн ыцгайлуу формага келтирилген.

Мында алгачкы маселе келтирилген интегралдык тецдемелер системасы белгисиз функцияга карата суперпозицияны камтыбайт. Мындан сырткары, алгачкы маселенин чечими сызыктуу эмес алгебралык оператордун кайрылуусунун жардамында эмес, аргументтердин квптYгYHYн влчвмYHYн твмвндвлYШYHYн жардамында интегралдык тецдемелердин чечиминен алынат.

Кошумча аргумент кийирYY усулунун негизги идеяларын колдонуу менен Кортевега-де-Фриз тибиндеги жекече туундулуу дифференциалдык жана интегро-дифференциалдык тецдемелер, ошондой эле сызыктуу эмес толкундук тецдемелер изилденген. Баштапкы маселенин жалгыз чечиминин бар экендиги далилденген.

Ачкыч свздвр: Дифференциалдык тецдеме, экинчи тартиптеги, сызыктуу эмес, кошумча аргумент кийирYY методу, баштапкы маселе, интегралдык тецдеме.

APPLICATION OF THE METHOD OF AN ADDITIONAL ARGUMENT TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER, NONLINEAR WITH RESPECT TO AN UNKNOWN

FUNCTION

Mamaziaeva Elmira Amanovna, Ph.D., associate professor

mamaziaeva67@mail.ru Abdazova Ugilkhan Makhamadyusupovna Uabdazova@mail.ru Osh Technological University named after M.M. Adysheva,

Osh, Kyrgyzstan

Abstract: The paper considers the application of the additional argument method to

second-order partial differential equations that are nonlinear with respect to an unknown

113

function. In these studies, the advantages of the method of additional argument over other methods of studying similar equations appeared, consisting in the fact that the system of integral equations, to which the original problem is reduced, does not contain a superposition of unknown functions. In addition, the solution of the original problem is derived from the solution of integral equations by reducing the set dimension of the arguments, and not by inverting a nonlinear algebraic operator.

Using the basic ideas of the additional argument method, differential and integro-differential equations in partial derivatives of the Korteweg-de-Vries type, as well as nonlinear wave equations, were studied. The existence of a unique solution is proved.

Keywords: Differential equation, second order, nonlinear, method of additional argument, initial problem, integral equation.

Введение. Исследование решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка рассмотрены в работах [4, 5]. В настоящее время развивается метод изучения дифференциальных уравнений в частных производных под названием метод дополнительного аргумента. Иманалиев М.И., Панков П.С., Аширбаева А.Ж. внесли свой вклад в развитие этого метода [3, 6]. С помощью этого метода начальная задача для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных сводится к интегральному уравнению.

Постановка задачи. В данной работе метод дополнительного аргумента распространен для уравнений второго порядка, нелинейных относительно неизвестной функции вида:

D[-a(t, x)]D[a(t, x)]u(t, x) = F (t, x; u), (1)

(t,x) e G2 (T), a(t, x) e C(2) (G2 (TF(t, x, u) e C(G2 (T) x R2) n Lip(L\ u),

д д

G2(T)=[0, T]xR, D[a] = — +a—.

dt dx

Мы использовали классы функций C{k)(Q) , Lip(N\u,M\v,...) -из работы [3].

Оператор в (1) имеет вид:

D [-a(t, x)]D [a(t, x)]u(t, x) = utt (t, x) - a2 (t, x)uxx (t, x) + + ux (t, x)(at (t, x) - a(t, x)ax (t, x)).

Рассмотрим уравнение (1) с начальными условиями

u(0, x) = щ0( x), (2)

^ = Л( x), (3)

dt

V0(x), Л(x) e C(2\R).

Используя начальные данные, введем обозначение: D [a(t, x)]u(t, x)| /=0 = щ (x).

Обозначим через t, x), t, x) - соответствующие решения

интегральных уравнений:

t

p(s, t, x) = x + J a(v, p(v, t, x))dv, (4)

s t

q(s, t, x) = x -Ja(v, p(v, t, x))dv, (5)

s

(s, t, x) e Q2(T)

Qn(T) = {(t„t2,t2,..,tn,x)\ 0 < ti < t2 < t3 <... < tn < T, x e R}.

Следует отметить, (см. работы [1-3]) интегральные уравнения (4), (5) с a(t, x) e C m(G2 (T)) имеют единственные решения с условием

соответственно p(s, s, x) = x, q(s, s, x) = x.

Из (4) и (5) вытекают соответственно соотношения

D [-a(t, x)]p(s, t, x) = 0, (6)

D [a(t, x)]q(s, t, x) = 0, (7)

Лемма 1. Задача (1), (2), (3) эквивалентна интегральному уравнению

t

u(t, x) = (q(0, t, x)) + JVj (p(0, s, q(s, t, x))ds +

0 (8)

е s

+ j j F(t, p(t, s, q(s, t, x), u(t, p(r, s, q(s, t, x)))dTds.

0 0

Доказательство. Обозначая через

2(г,х;и) = Б[а(г,х)]и(г,х), Ь(г,х) = -а(г,х),

запишем уравнение (1) в виде:

ЦЬ(г, х)]2(г, х; и) = Е(г, х, и). (9)

Уравнение (9) с условиями (2), (3) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению

интегро-дифференциального уравнения

г

2 (г, х; и) = (р(0, г, х)) +1 Е (б, р(б, г, х),и(Б, р(б, г, х))^. (10)

о

В самом деле, дифференцируя (10), получаем (9):

Э[Ь(г, х)]2 (г, х; и) = р(0, г, х))0[Ь(г, х)]р(0, г, х) +

г

+ 1

о

дЕ дЕ ди +

Э[Ь(г, х)]р(Б, г, х))йБ + Е (г, х, и).

дх ди дх

Из последнего равенства в силу (6) получаем (8). Полагая г = 0 в

(10), получаем ^(0, х; и) = ^1( х).

Уравнение (10) с условиями (2), (3) сводится к решению интегрального уравнения (8). Из (8) имеем:

В[а(г, х)]и(г, х) = (д(0, г, х))Э[а(г, х)]д(0„ г, х) +

г др

+ \¥к( р(0, г, х)))—0[а(г, х)]ц(б, г, х)ск +

о дх

г б

+ 11

00

дЕ дЕ ди +

др

—Б[а(г, х)^(б, г, х)й тек +2(г, х; и). дх

дх ди дх

Следовательно, в силу (7) доказано выполнение (1). В (8) при г = 0, и(0, х) = у/0 (х).

Таким образом, по схеме применения метода дополнительного аргу-мента, приведенной в работе [1-3,6], задача (10), (2), (3) сводится к эквивалентному интегральному уравнению (8).

Лемма 2. Интегральное уравнение (8) имеет единственное решение. Доказательство. Введем обозначение

g (:, х) = (, :, х)) +(р(о, :, х))Ся, (11)

о

запишем уравнение (8) в виде оператора

t я

Аи = g(:,х) + | | Г(т,р,и(т,р))СтсСя.

о о

Покажем, что оператор является оператором сжатия. Пусть и1 (г, х), и2 (г, х) е С(02 (Т)). Тогда

|Аи2 - Аиг\

Ц Г (т, р, и2 (т, р))СтсСя -Ц Г (т, р, и (т, р))СтсСя

<

Ы:2

<-шах|и, (:, х) - и, (:, х)|.

2! о2(г^ 24 7 14

Т2

Тогда оператор А будет оператором сжатия Ы— < 1. По

обобщенному принципу сжимающих отображений уравнение (8) имеет одно и только одно решение.

Выводы. Начальная задача для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, нелинейного относительно неизвестной функции сведена к интегральному уравнению. По принципу сжимающих отображений доказано существование единственного решения. Результаты работы можно использовать при решении уравнений других классов.

Литература

1. Аширбаева А.Ж. Приведение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа к интегральному уравнению [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Э.А. Мамазияева // Материалове-дение. - Бишкек. - 2013. -№ 2. - С. 258-261.

2. Аширбаева А.Ж. Новый способ приведения дифференциального урав-нения в частных производных второго порядка гиперболического типа к интегральному уравнению [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Э.А. Мамазияева // Вестник ОшГУ. - 2013. - № 1. - Спец. выпуск. - С. 87-90.

3. Аширбаева А.Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро -

дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом

дополнительного аргумента [Текст] / А.Ж. Аширбаева - Бишкек: Илим, 2013. - 134 с.

117

о о

о о

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных [Текст] / А.В. Бицадзе. - Москва: Наука, 1981. - 448 с.

5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Текст] / В.С. Вла-димиров. - Москва: Наука, 1988. - 512 с.

6. Иманалиев М.И. Метод дополнительного аргумента в теории нелиней-ных волновых уравнений в частных производных [Текст] / М.И. Имана-лиев, П.С. Панков, Т.М. Иманалиев // Доклады Российской АН. -1995. - Т. 343. - № 5. - С. 596-598.