ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.928

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_119

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Мамазиаева Эльмира Амановна, к.ф.-м.н., доцент

[email protected] Абдазова Угилхан Махамадюсуповна, магистрант,

[email protected]

Ошский технологический университет им. М.М. Адышева

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В данной работе начальная задача дифференциального уравнения в частных производных второго порядка предлагаемым в работе новым способом приводится к виду, удобному для применения метода дополнительного аргумента. Этот метод разработан кыргызскими учеными. Использования этого метода рассмотреныв работах Иманалиева М.И., Панкова П.С., Аширбаева А.Ж. и другие ученых. Этот метод отличается от других методов введением новой дополнительной переменной, с помощью которой сводим задачу к системе интегральных уравнений. Существует много методов исследования решения системы интегральных уравнений.

В настоящее время использование метода дополнительного аргумента для класса новых уравнений, представляющих теоретической и практический интерес актуально. Доказано существование единственного решения начальной задачи.

Ключевые слова: Дифференциальное уравнение, гиперболический тип, частные производные, метод дополнительного аргумента, начальная задача, интегральное уравнение.

ГИПЕРБОЛАЛЫК ТИПТЕГИ ЭКИНЧИ ТАРТИПТЕГИ ЖЕКЕЧЕ ТУУНДУЛУУ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕЦДЕМЕНИН ЧЕЧИЛИШИН ИЗИЛДее

Мамазиаева Эльмира Амановна, ф.-м.и.к., доцент

[email protected]

Абдазова Угилхан Махамадюсуповна, магистрант

[email protected]

М.М. Адышев атындагы Ош технологиялык университети

Ош, Кыргызстан

Аннотация: Бул эмгекте экинчи даражадагы жекече туундулуу дифференциалдык тецдеменин баштапкы маселеси сунушталган жацы ыкма менен кошумча аргумент kuU^yy методун колдонуу YЧYн ыцгайлуу формага келтирилген.

Бул ыкманы кыргызстандык окумуштуулар иштеп чыгышкан. Бул ыкманы колдонууда Иманалиев М.И., Панков П.С., Аширбаева А.Ж. жана башка окумуштуулардын эмгектеринде каралган. Бул ыкма башка ыкмалардан жацы кошумча взгврмв киргизYY менен айырмаланат. Бул изилдввлврдв кошумча аргумент кийирYY усулунун башка ошондой тецдемерди изилдввЧYусулдардан взгвчвлYгY жацы кошумча аргументти киргизYY менен маселени интегралдык тецдемелер системасына келтирилет. Интегралдык тецдемелер системасынын чечимдерин изилдввнYн квптвгвн ыкмалары бар.

Азыркы учурда теориялык жана практикалык кызыкчылык туудурган жацы тецдемелердин классы YЧYн кошумча аргумент ыкмасын колдонуу актуалдуу болуп саналат. Баштапкы маселенин жалгыз чечиминин бар экендиги далилденген.

Ачкыч свздвр: Дифференциалдык тецдеме, гиперболалык тип, жекече туундулар, кошумча аргумент кийирYY методу, баштапкы маселе, интегралдык тецдеме.

INVESTIGATION OF THE SOLUTION OF A SECOND ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE

Mamaziaeva Elmira Amanovna, Ph.D., associate professor

[email protected] Abdazova Ugilkhan Makhamadyusupovna, master,

[email protected] Osh Technological University named after M.M. Adysheva

Osh, Kyrgyzstan

Abstract: In this paper, the initial problem of a second-order partial differential equation is brought to mind by the new method proposed in the paper to a form convenient for applying the method of an additional argument. This method was developed by Kyrgyz scientists. The use of this method is considered in the works of Imanaliev M.I., Pankov P.S., Ashirbaev A.Zh. and other scientists. This method differs from other methods by the introduction of a new additional variable, with the help of which we reduce the problem to a

system of integral equations. There are many methods for studying the solution of an integral equations system.

At present, the application of the additional argument method for a class of new equations of theoretical and practical interest is relevant. The existence of a unique solution to the initial problem is proved.

Keywords: Differential equation, hyperbolic type, partial derivatives, method of additional argument, initial problem, integral equation.

Введение. В данной работе начальная задача дифференциального уравнения в частных производных второго порядка предлагаемым в работе [1-3] новым способом приводится к виду, удобному для применения метода дополнительного аргумента. Использование метода дополнительного аргумента дает возможность исследовать новые классы задач для уравнений в частных производных.

Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение гиперболического типа вида

utt - a2(t, x)^ = b(t, x)u + c(t, x)ux + f (t, x), (1)

где (t,x) e G2(T), G2(T)=[0,T]xR, с начальными условиями д ku

dtk

k

t=0

uk (x), k = 0,1, x e R. (2)

Исследованию решения задачи (1), (2) методом характеристик, методом функции Римана рассмотрены в работах [4-5] и во многих других работах.

Пусть ик(X) е С {2-к)(Я), (к = 0,1), Ъ(Г,х), с(г,х)/(?,х) е СС2\02(Т)\

С(к) (О) - класс функций непрерывных и ограниченных в О. Обозначим через

р(з,I,х), д(з, I, х) - соответствующие решения интегральных уравнений:

í

р^, I, х) = х + | а(у, р(у, I, х))&, (3)

I

д(5,1, х) = х -1 а(у, р(у, I, х))&, (4)

(5, t, x) e Q2(T )

Qn(T) = {(t-,t2,t2,..,tn,x)| 0 < ti < t2 < t3 <... < tn < T, x e R}. Из (3) и (4) вытекают соответственно соотношения D [—a(t, x)]p(s, t, x) = 0,

D [a(t, x)]q(s, t, x) = 0,

nr T 0 0 D[œ\ = — + œ—.

ôt ôx

Воспользуемся следующими обозначениями:

3(t, x) = D[-a(t, x)]u(t, x), ^

g (t, x) = —1—[c(t, x) — at (t, x) — a(t, x)ax (t, x)], a(t, x) x

ß (t, x) = b(t, x) + g (t, x), ß2 (t, x) = b(t, x) — g (t, x), Д (t, x) = D[a(t, x)]ß1 (t, x).

Лемма 1. Задача (1)-(2) эквивалентна системе интегральных уравнений

1 1 11

3(t, x) = - (Pi (q(0, t, x)) + - ßi (t, x)u + - j ß2 (s, q)3(s, q)ds

2 2 2 о j t t --j ß3 (s, q)u(s, q)ds + j f (s, q)ds,

(6)

2 J ' 3

2 о 0

t

u(t, x) = u0 ( p(0, t, x)) + J$(s, p(s, t, x))ds, (7)

0

где

\l3(t, x) - Д (t, x)u(t, x)] i=0 = (px (x).

Доказательство. Пусть S(t, x), u(t, x) - решение системы

интеграль-ных уравнений (6)-(7).

Непосредственным дифференцированием из (6) имеем:

3t (t, x) + a(t, x)3x (t, x) = b(t, x)ut (t, x) + a(t, x) g (t, x)ux (t, x) + f (t, x). (8)

Принимая во внимание обозначение (5), из (8) получаем справед-ливость уравнения (1).

Таким образом, мы доказали, что решение системы уравнений (6)- (7) удовлетворяет уравнению (1). Такое решение удовлетворяет и начальному условию (2).

Теперь покажем, что, в свою очередь, решение задачи (1), (2) является решением системы интегральных уравнений (6)-(7). Для этого запишем уравнение (1) в виде

Б[а(г, х)]?(г, х; и) = Д (г, х)3(г, х) - Д (г, х)и + 2 / (г, х), (9)

где , х; и) = 23(1, х) - Д х)и(^, х).

Решение задачи (9), (2) методом дополнительного аргумента сводится к интегральному уравнению (6). Из обозначения (5) следует справедливость

(7)

В уравнение (6), подставляя (7), получаем интегральное уравнение относительно 3(г, х)

_ ( г-2"^..... 2'

3(г, х) = А(г, х;3) = _ щ (д(о, г, х)) + _ Д (г, х) и0 (р(о, г, х))+ |$(у, р(б, г, х))ж

V о

_ г _ г ( Б

+ -\Рг (б,я)3(б,д)Ж - _(б,д) щ(р(0,б,д)) + |$(у,р{у,б,д))^у № + (10)

22 2.

2 о 2 о

г

+ | / (б, д)Ф.

о

о*

V о

Лемма 2. Существует такое Т* > о, что интегральное уравнение

(10) имеет единственное решение в С(02(Т*)).

Доказательство. Покажем, что уравнение (10) имеет в области ^(Т)

при Т < Г единственное, непрерывное решение, удовлетворяющее неравенству

||3-^||< М.

Покажем, что при Т < Т, оператор А является оператором сжатия

ГТ1 2

\\ЛЗ-ф\\< M0 KT + NK— = Q0(T),

где Щ\\ < Щ + M = K, |Д (t, j)| < M = const, i = 1,2, Д (t, j) < N = const. Обозначим через T0 - положительный корень уравнения

n0(T) = M.

Нам остается показать, что оператор А сжимает расстояние между элементами.

Справедлива следующая оценка

\АЩ1 - АЩ2\ (T)|Щ1 -Щ2||, NT2

где Ц (T) = MJ + .

Обозначим через T1 - положительный корень уравнения Ц (T) = 1.

Отсюда следует, что оператор A при T < T*= min{T0 ,T1}

осуществляет сжатое отображение. Тогда уравнение определяет единственное решение, принадлежащее этому шару. Это решение может быть получено методом последовательных приближений.

Выводы. Используя предложенную схему сведения к интегральному уравнению, можно построить решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с заданными начальными условиями.

Литература

1. Аширбаева А.Ж. Новый способ приведения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа к интегральному уравнению [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Э.А. Мамазияева // Вестник ОшГУ. - 2013. - № 1. - Спец. выпуск. - С. 87-90.

2. Аширбаева А.Ж. Приведение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа к интегральному уравнению [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Э.А. Мамазияева // Материаловедение. - Бишкек. - 2013. - № 2. - С. 258-261.

3. Мамазиаева Э.А. Сведение нелинейной задачи электрических колебаний в проводах к системам интегральных уравнений методом дополнительного аргумента [Текст] / А.Ж. Аширбаева, Э.А. Мамазияева // Известия ОшТУ. - 2015. - № 1. С. 8790.

4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики [Текст] / С.Л. Соболев. -Москва: Наука, 1966. - 443 с.

5. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - Москва: Наука, 1977. - 736 с.