О ПРИМЕНИИ МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕШЕНИЙ К ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517. 928

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 44

О ПРИМЕНИИ МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕШЕНИЙ К ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ

Байзаков Асан Байзакович, д.ф.-м.н., профессор asan_baizakov@mail. ru ДжээнбаеваГулгаакы Абдыкааровна, к.ф.-м.н, научный сотрудник

baytemirova2007@mail. ru Асанкулова Айпери Сатылгановна koitawcity@mail. ru

Институт математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. Исследовать разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных можно провести методом преобразования решений.

В настоящей работе изучена разрешимости и структура решений задачи Коши для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Ключевые слова: Задачи Коши, нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, классический метод характеристик, метод Галеркина, метод дополнительного аргумента, уравнения Вольтерра II рода.

ЖЕКЕЧЕ ТУУНДУЛУУ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕР YЧYН КОШИ МАСЕЛЕЛЕРИНЕ ЧЫГАРЫЛЫШЫНА ТРАНСФОРМАЦИЯЛЫК

методдун колдонуу же^нде

Байзаков Асан Байзакович, ф.-м.и.д., профессор asan_baizakov@mail. ru Джээнбаева Гулгаакы Абдыкааровна, ф.-м.и.к., илимий кызматкер

baytemirova2007@mail. ru Асанкулова Айпери Сатылгановна koitawcity@mail. ru

Кыргыз Республикасынын Улуттук илимдер Академиясы математика Институту

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. Коши маселесинин жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелер жана интегро-дифференциалдык жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелер YЧYн чечилYY жвндвмдYYЛYгYн чечимди трансформациялоо ыкмасы менен изилдввгв болот.

Бул макалада биз сызыктуу эмес интегро-дифференциалдык жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелер YЧYн Коши маселесинин чечилYY жвндвмдYYЛYгYн жана структурасын изилдейбиз.

Ачкыч свздвр: Коши маселелери, сызыктуу эмес жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелер, MYнвздвмвлврдYн классикалык ыкмасы, Галеркин методу, кошумча аргумент методу, экинчи тYрдвгY Вольтерра тецдемелери.

ON THE APPLICATION OF THE SOLUTION TRANSFORMATION METHOD TO THE CAUCHY PROBLEM FOR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS IN

PARTIAL DERIVATIVES

Baizakov Asan Baizakovich, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor

[email protected]

Dzheenbaeva Gulgaaki Abdykaarovna, Candidate of Physical and Mathematical Sciences

[email protected] Asankulova Aiperi Satylganovna [email protected]

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic

Abstract. The solvability of the Cauchy problem for partial differential equations and integro-differential partial differential equations can be studied by the solution transformation method.

In this paper, we study the solvability and structure of solutions to the Cauchy problem for nonlinear integro-differential partial differential equations

Key words: Cauchy problems, nonlinear partial differential equations, classical method of characteristics, Galerkin method, additional argument method, Volterra equations of the second kind.

Исследование разрешимости задачи Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и нахождение структуры таких решений все еще остается актуальной задачей.

Разработано несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, хорошо известны: классический метод характеристик, метод Галеркина, метод дополнительного аргумента. С помощью метода дополнительного аргумента также удается исследовать разрешимость и уравнения выше первого порядка.

Исследовать разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производныхи и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных можно провести методом преобразования решений.

Академиком Иманалиевым М. и его учениками было заложено основы исследования разрешимости задачи Коши для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных [1]. Сутью этого метода является преобразование решений исходной задачи Коши к нахождению решений эквивалентного ей интегрального уравнения Вольтерра II рода, к которой применим принцип сжатых отображений. Позднее этот способ сведения к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра II рода назван методом преобразования решений в теории дифференциальных и интегральных уравнений [2]. Примечательно то, что одновременно находиться и интегральное представление искомых решений задачи Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [3-4].

В настоящей работе изучена разрешимости и структура решений задачи Коши для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных

d + + (а2 +1)L[u] +\к(г,s,u(s,x))ds = f (t,x,u,ut, ux), 0 < s < t < T, (1)

dx dx i

где L[u] = uw + u, x e R, а e R+ с начальным условием

u(0, x) = p( x), u (0, x) = w( x). (2)

Предположение А. Пусть f (t,x,u,u,ux) e C([0,T]xRxRxRxRLip),K(t,s,u) e C(R+ xR+ xRLip(b2\u),

<p(x) e C2 (R) M.x) e C2 (R).

Решение данной задачи Коши ищется в виде

t x

u(t,x) = c(t,x) +J J e~a(x-s) sin(x-s)sin(t-v)Q(v,s)dsdv . (3)

0 -го

Мы будем следовать методу, предложенные в [1-2].

Далее, будем находить частные производные искомой функции из соотношения (3).

Имеем

u (t, x ) = С (t, x)+

t x

+J J e аx s^ sin(x - s) cos(t - v)Q (v, s) dsdv.

0 -го

Далее, имеем

= ctt + J ea(S) sm(х - s)Q (t, s) ds — (и — c).

—да

Отсюда

х (4)

L[u] = utt + u = ctt + c + J e~a(х—s) sin(х — s)Q (t, s) ds;

—да

х

L[u] = L[c] + J e~a(х—s) sin(х — s)Q (t, s) ds.

—да

Кроме того

Щи] = dm a[L[u] — L[c]] + Je^s) cos( х — s)Q (t, s) ds. (5)

—да

Из (5) находим производные по x

d2L[u] dL[c] dL[u] dL[c]

_ «[_ ^^ ] _ « f e-«(cos(x - s)Q (t, s)ds

ilv ilv J

dx2 dx dx dx

x

_ f x-s) sin(x _ s)Q (t, s)ds + Q (t, x).

Из последнего c учетом (4), (5) находим

d2L[—] _ dLXu1 „ 2 ^ ^ d2L[c] _ dL[c]

-^ + 2«-+ («2 + 1) L [—] =-k—L + 2«-— + (6)

dx dx dx dx (6)

+(«2 + 1)L[c] + Q (t, x) . Обозначим

d2L[cl dL[c] —lTJ- + 2«—-

dx dx

Из (1) и (6) вытекает нелинейное интегральное уравнения Вольтерра второго рода

Q (t, x)

относительно 4 ' вида:

H (t, x, c) = ^fi + 2« + («2 + i)L[c].

Q ( t, x ) = f (t, x, c (t, x ) + ff e «( x s ) sin( x _ s)sin(t _v)Q (v, s ) dsdv,

0

t x

ct (t, x) + f f e~«(x_s^ sin(x _ s) cos(t _ v)Q (v, s) dsdv,

0

t x

cx (t, x)_«[— _ c] + f f e~«(x_s^ cos(x _ s)sin(t _ v)Q (v, s) dsdv)

(7)

0

t ( % x

d% +

KI t,z, c (t, x) + Ц e "(x s) sin(x - s)sin(r-v)Q (v, s) dsdv

0 V 0 -œ y

+H (t, x, c) = A[Q].

Для решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра (7) дополнительно, допустим некоторые обычные ограничения относительно функции H (t, x, c) : При всех {t > 0, x g R} функция H (t, x, c) непрерывна и ограничена

||H (t, x, c)|| < M = const.

Уравнение (7) будем решать с помощью топологическим методом, а именно, принципом сжатых отображений. Правую часть уравнения (7) рассмотрим как оператор A[Q], действующий на функцию Q(t, x). Определим множество

Q = {u(t, x) : u(t, x) e C(2'2) ([0, T] n R) n ||u\\ < h}.

Величины T , h определяются позже.

Из уравнения (7) будем иметь || AQ|| < M1 + M0 + KT0 ,

где Mx = max f (t, x, u, u, ux,), M0 = max ||H (t, x, c)||, K = maxK(t, s, x, u) . Если выберем T0 и h так, чтобы

M + M + KT < h

то, оператор AQ : Q ^ Q . Теперь оценим разность

t x

IIA[Q (t, x)] - A[Q2 (t, x)]|| <|f (t, x, c (t, x) + J J e~a(x-s) sin(x - s) sin(t - v)Q (v, s) dsdv,

0 -го

t x

ct (t, x) + J J e a(x-s^ sin(x - s) cos(t - v)Q (v, s) dsdv,

0 -ro

cx (t, x)-a[u - c] + J J e ax s-1 cos(x - s)sin(t -v)Q (v, s) dsdv)

0 -ro

t ( z x \

dz -

<

JK| t,z, c (t, x) + J J e a(x s) sin(x - s) sin(z - v)Q (v, s) dsdv

0 V 0 -ro

t x

-/(t, x, c (t, x) +J J e~a(x-s)-p(t-v sin(x - s)sin(t -v)Q (v, s) dsdv,

0 -ro

t x

ct (t, x) + J J e x-s) sin(x - s) cos(t - v)Q2 (v, s) dsdv,

0 -ro

t x

cx (t, x) - a[u - c] + J J e~a(x-s) cos(x - s) sin(t - v)Q2 (v, s) dsdv)

0 -ro

t I z x Л

+J KI t,z, c ( t, x ) + J J e~a(x-s) sin(x - s)sin(z-v)Q (v, s ) dsdv dz||

0 V 0 -ro J

< [^ + öi (v,s)-Q2 (v,s)||. a a " 11

Выберем a g R+ так, что

3L + L ,

—1-2 < i

a .

Отсюда следует, что нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода (7) имеет единственное непрерывное и ограниченное решение Q(t,x).

Исследуем теперь дифференциальные свойства решений начальной задачи (1)-(3). При всех {t > 0, x g R} из равенства (3) вытекает неравенство:

||u (t, x )||<|\c (t, x )||-

t x

j e~a(x"') ls in(x - s) sin(t - v )| |Q (v, s)|| dsdv <

0 -да

^ h

< C0 H— = h = const. а

При проведении вышеприведенной оценки было учтено, что |sina | < 1, |sin ff < 1. Аналогичные оценки можно поучить и для всех производных, входящих в уравнение

(1).

Итак, справедлива

Теорема. Пусть выполнены предположение А. Тогда интегро-дифференциальное уравнение в частных производных (1) с начальным условием (2) имеет единственное

решение u(t, x) е C(2'2 ([0, T] х R).

Литература

1. Иманалиев, М.И. О задачах Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными шестого порядка [Текст] / М.И. Иманалиев, Т.М. Иманалиев, К. Какишов // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36.

- С. 19-28.

2. Иманалиев, М.И., О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [Текст] / М.И. Иманалиев, А.Б. Байзаков // Поиск (научн. приложение международ. журнала «Высшая школа Казахстана»), Сер. ест.-техн.наук. - Алматы, 2009. - №1. - С. 209-213.

3. Байзаков, А.Б. Разрешимость и структура решений начальной задачи интегро-дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка[Текст] / А.Б. Байзаков, Г.А. Джээнбаева // Наука, новые технологии и инновации. - Бишкек, 2017. - №5.

- С.100-104.

4. Байзаков, А.Б. О разрешимости задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка [Текст] / А.Б. Байзаков, Г.А. Джээнбаева, К.А. Айтбаев // Вестник Института математики НАН КР. - 2019.-№1.- С123-127.

5. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа[Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. // - Москва: Наука, 1972. - 544 с.

6. Коротков, В.В. Интегральные операторы[Текст] / В.В. Коротков // -Новосибирск: Наука, 1975. - 302с.

7. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения[Текст] / М.Л. Краснов // Москва: Наука, 1975. - 304 с.

8. Михлин, С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям[Текст] / С. Г. Михлин // Москва: Физматгиз, 1959. - 232 с.

9. Мюнтц, Г. М. Интегральные уравнения. Часть 1: Линейные уравнения Вольтерра[Текст] / Г. М. Мюнтц // Москва: ОНТИ, 1934. - 330 с.

10. Иманалиев, М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными[Текст] / М.И. Иманалиев // Бишкек: Илим, 1992. - 112 с.