Об одном методе решения задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»



ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 513.83

А.Б. Байзаков

д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной математики, Национальная академия наук Кыргызской Республики,

г. Бишкек, E-mail: asan_baizakov@mail. ru

К.А. Айтбаев

научный сотрудник,

Институт теоретической и прикладной математики, Национальная академия наук Кыргызской Республики,

г. Бишкек, E-mail: [email protected]

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Аннотация. Исследована разрешимость решений задачи Коши и ее структура для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка, и развит аналитический метод построения этих решений.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, задача Коши, принцип сжатых отображений, условие Липшица, интегральное уравнение Вольтерра.

A.B. Baizakov, National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Bishkek

K.A. Aitbaev, National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Bishkek

A METHOD FOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL

DERIVATIVES OF THE FOURTH ORDER

Abstract. Solvability of the Cauchy problem solutions and its structure for nonlinear differential equations in partial derivatives of the fourth order, and developed an analytical method for constructing these solutions.

Keywords: differential equations in partial derivatives, Cauchy problem, the principle of contraction mapping, Lipschitz condition, Volterra integral equation.

В работе исследована разрешимость решений задачи Коши и ее структура для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка и развит аналитический метод построения этих решений, предложенный в [1; 2]. Сутью предложенного метода является преобразование решений исходной задачи Коши к эквивалентному ей интегральному уравнению Вольтерра с целью применения принципа сжатых отображений.

Рассмотрим ИДУ в ЧП четвертого порядка:

utttx (t, x) + um (t, x) + a (t, x) ut (t, x) + b (t, x) ut (t, x) + m(t, x) ux (t, x) + +n(t,x) u(t,x) = f(t,x,u(t,x),ut(t,x),ux(t,x),utt(t,x))

(1)

с начальными условиями:

u(0, x) = (p(x) ut (0, x) = y( x) utt (0, x) = g( x)

(2)

(3)

(4)

Предположение (А). Пусть

1) a(t,x), b(t,x), m(t,x), n(t,x) e G1 , G1 °C([0,T]xR), T > 0;

2) f(t,x,u,vwy) e G2 n Lip(l|u ,L\u¡ ,L\u ),G2 ° C([0,T]xRxRxRxRxR),

I \ ), М = I

в2

Решение начальной задачи (1),(2)-(4) будем искать в виде:

г X

, . -V)

0 -

ф(х),у(х),у(х) е С(1)(1), М ° тах|^(,,х,и^,ш)\.

и($, X) = с(/, X) + II К (, - 5, X -п)0(5,п)сПс/5 , (5)

где с(г,х) е С(2'1)([0,Т]х I) - известная функция, такая, что с(0,х) = ^(х), с, (0,х) = у(х); с„(0,х) = у(х), К(¿,5) - некоторая известная функция; 0(г,х) - новая неизвестная функция, подлежащая определению. В частности, можно считать, что

К(,, х) = г2е-а'-х, (6)

где а> 0 - параметр.

Далее в работе будем предполагать, что все рассмотренные несобственные интегралы - сходящиеся. Для определения функции 0(,,х) необходимо подставить (5) в уравнение (1). С этой целью из (5) последовательно находим нижеследующие соотношения:

и, (,, х) = с, (,, х) + | К(0, х -п)0(г,п)сП + Л К (, - 5, х -v)0(s,v)dvd5; (7)

—¥ 0 —¥ х

и„ (/, х) = с п (/, х) + I К(0, х - п)0, (,, п)сП +

-¥ (8)

х г х к '

+1 К (0, х - п)0(,, п)сП + IIК „ (г - 5, х - п)0(5, п)сПс(5;

—¥ 0 —¥ х

и„ (/, х) = сИ (,, х) + I К(0, х - п)0, (/, п)сП +

х х , х

+1 К (0, х - п)0, (,, п)сП + I Кп (0, х - п)0(,, п)сП + { { Кш (г - 5, х - п)0(5,п)сПс(5;

—¥ —¥ 0 —¥

х

и ш (,, х) = с^ (,, х) + К(0,0)0, (,, х) + I Кх (0, х - п)0, (,, п)сП +

-¥ (9)

х 4 7

+К, (0,0)0, (/, х) + I Кх (0, х - п)0, (,, п)сП +

х г

) + I (0, х -п)0(,п)сП +

0

г х

+

0 -¥

г г х

)+1 к (г - 5,0)0(5, хс+

00

+К„ (0,0)0(,, х) + I Кх (0, х - п)0(,, п)сП +1 Кш (, - 5,0)0(5, х)сй -

г х

II К т (, - 5, х -п)0(5,п)с(5сП;

их (г, х) = сх (г, х)+1 к (г - 5,0)0(5, хс+Ц кх (г - 5, х - п)0(5, п)с5п. (10)

0 0 -¥

Выберем К (,, х) так, чтобы выполнялись еще следующие соотношения:

К(0, х) = 0, К, (0, х) = 0, Кп (0,0) ф 0; (111)

К(0, х) + Кх (0, х) ° 0; К, (г, х) + Кх (г, х) ° 0; (112)

Кп (г, х) + К х (,, х) ° 0; Кш (,, х) + К шх (,, х) ° 0. (11з) Вышеуказанная функция (6) подтверждает существование такой функции. В самом деле, справедливость выполнения (111) очевидна. Находим

К, (,, х) = (2, - а2) е-а,-х; Кх (,, х) = - (2 г -а2) е-а,-х;

К, (г, х) = (2 - 4а + а2г1) е-а-х; К х (/, х) = - (2 - 4а + а¥2) еа—х;

Кш (/, х) = (-6а + - С2) е~а-х. Отсюда видно, что выполняются и соотношения (112), (11 з).

Умножая обе части выражения (8), (7), (10), (5) соответственно на функции ах), Ьх), тх), пх) и складывая полученные соотношения с соотношениями (8), (9) почленно, с учетом (11 ¡) (1=1,2,3), имеем:

иш + и ш + аЦ, х )ии + ЬЦ, х )и + тЦ, х )их + п х) и = Ки (0,0)0(^, х) +

где

+J J [a(t, x)Kn (t - s, x - v) + b(t, x)Kt (t - s, x - v) +

0 -¥

+m(t, x )K x (t - s, x - v) + n(t, x )K (t - s, x - v)]Q(s, v)dvds +

t

+J [Kttt (t - s,0) + m(t, x )K (t - s, 0)]Q(s, x )ds + H (t, c(t, x)) = f (t, x,u,ut ,ux, utt),

H(t,c(t, x)) = cütx (t, x) + cm (t, x) + a (t, x) ctt (t, x) + b (t, x) ct (t, x) + +m(t,x)cx (t,x) + n(t,x)c(t,x). Из равенства (12), учитывая (5), (7)-(9), получаем интегральное уравнение вида: 1

(12)

Q(t, x) =

Ktt (0,0)

f

t, x, c(t, x) + J J K(t - s, x - v)Q(s, v)dvds, ct (t, x) +

_ 0 -¥

t x t

ь J K (0, s - v)Q(t, x )dv + JJ Kt (t - s, x - v)Q(s, v)dvds, cx (t, x) + J K (t - s, 0)Q(s, x )ds -

-¥ 0-¥ 0 t x t x ~

bJ J Kx (t - s, x - v)Q(s,v)dvds,ctt(t, x)+J J Ktt(t - s, x - v)Q(s,v)dvds

0 -¥ t x

(13)

+J J [a(t, x)Ktt (t - s, x - v) + b(t, x)Kt (t - s, x - v) +

0 -¥

+m(t, x)K x (t - s,x - v) + n(t, x)K (t - s, x - v)]Q(s,v)dvds + -^[Ktt (t - s,0) + m(t,x)K(t - s,0)]Q(s, x)ds - H (t,c(t, x))^| ° PQ.

Нелинейное интегральное уравнение Вольтерра (13) будем решать принципом сжатых отображений. Правую часть (13) рассмотрим как оператор PQ, действующий на функцию Q(t,x).

Пусть Q = {Q(t,x): Q(t,x) e C([0,T0]xR) n ||Q(t,x)|| < h} ,

где h - некоторое положительное число, которое определяется позже. Из (13), учитывая предположение (А), имеем оценку:

M q

PQ < ■

\Ktt (0,0) \Ktt (0,0)

h = const,

где M ° M + maxiH (t,c(t,x))|.

q ° (L + N)

J J [Kt (t - s, x - v)\ + \Kt(t - s, x - v)|]dvds

0 -¥

t

J J [|Kx (t - s, x - v)| + |K(t - s, x - v)|]dvds + J [|Kttt (t - s, 0) + |K(t - s,0)|]ds

0 -¥ 0

N ° max{a(t,x)||, IIb(t,x, Ilm(t,x)|| J|n(t,x,1}.

G LH II II II II II II II J

(14)

0

0

x

Наложим на функцию К (г - 5, х-п) и Т0 < T еще одно дополнительное условие:

I 1-1

\Кп(0,0) 1 д < 1, г е [0,Т0]. В силу (15) можно выбрат ь Л так, чтобы в ыполнялось соотношение:

М • \К„(0,0)|—1 + я • \Ки (0,0)—1 Л < Л . При таком выборе Л оператор Р0 : 0 ® 0. Используя предположение (А), оценим разность:

||Р01 - Р021| < |к , (0,0)—1 к II |||к ,, (г - 5, х - п)| + |к, (г - 5, х - п)||| аусс5 +

[ L 0 -¥

г х г

II [| кх (г - 5, х—п)| + |к (г - 5, х-п)|]спсс5 + Ц К(г - 5,0) с5

¥ 0

г х

III\\Кп(г - 5,х -у)\ + |К,(г- 5,х -п)|||сспсс5 +

(15)

16)

+ Ц[|кх(г-5,х—п)| + |к(г-5,х-п)|]сппсс5 + I[|кш(г-5,0) + |К(г-5,0)|]Й5 [||01 -02||.

0 -¥ 0 _ ]

В частности, проверим выполнимость условия (15) для функции (6). Из (14) имеем оценку для д:

|(1 + N) IIГ (2 + 4а(г-5 ) + а2 (г-5 )2 _ + [2 (г-5 ) + а(,-5 )21 + 2 (г-5 )2 [ 0 -¥

+1 [6 а + 6а2 (г - 5) + а3 (, - 5 )2 _ еа ,—5)с51.

-а( ,-5)-( х-V)

сспсс5 +

Из последнего соотношения, производя оценку сверху и учитывая, что I е (х п)сП = 1, получаем:

д < , + N I] К+а + (6а2 + 4а+2 (,-5) + а + * + а+2) (,-5 ^ <

,2

< (I + N)[(2 + 6а)г + (6а2 + 4а + 2)— + (а3 + а2 + а + 2)— ° В(,,а).

2 3

Ясно, что существуют Т0, а0 такие, что при Т0 < Т, а > а имеем В(Т0,а) < 1. В силу (15) и принципа сжатых отображений, из (16) следует, что нелинейное интегральное уравнение Вольтерра (13) при условии (15) имеет единственное решение 0(г,х) е 0. Подставив найденную функцию в (5), имеем решение начальной задачи (1),(2)-(4).

Исследуем теперь дифференциальные свойства решений задачи Коши (1),(2)-(4). Для всех 0(г,х) е 0 из равенства (5) вытекает неравенство:

||и(/, х)|| < ||с(/, х)|| +

II К (г-5, х-V)0(5,V)C/V/C5

< С0 + К0 л = М0 = соп5г,

где К0 °Ц ||К(г-5,х — V)||сПпсс5.

Аналогично из (7)-(10) можно доказать, что все производные, входящие в уравнение (1), равномерно ограничены.

Теперь сформулируем полученный результат.

0

г х

е

0

х

0

0

0

Теорема. Пусть выполнено предположение (А), (11), (15). Тогда"T0 такое, что задача Коши (1),(2)-(4) имеет решение u(t,x)е С(2,1) ([0,T0]хR), которое представимо в виде (5). Кроме того, все производные, входящие в уравнение (1), равномерно ограничены.

Список литературы:

1. Иманалиев М.И., Байзаков А.Б. О разрешимости начальной задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка // Вестник КНУ им. Ж. Баласагы-на. Сер.3. - 2010. - Т. 13, Вып. 4. - С. 13-19.

2. Imanaliev M.I., Baizakov A.B., Imanaliev T.M. Problem of Cauchy for the singularly-perturbed systems of the integro-differential equations with the turn point // Repots of the third Congress of the World mathematical Society of Turkic countries. - Almaty, 2009. - Vol. 1. -P. 296-301.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1972. - 544 с.