CC BY
100
УДК 621.37
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ И ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ШИРИНЫ ПОЛОСЫ ЧАСТОТ НА УРОВНЕ «Х» дБ Д.С. Гнездилов, В.А. Сладких, Б.В. Матвеев
Рассмотрено применение двух методов интерполяции для измерения ширины полосы частот на уровне Х дБ. Методом математического моделирования показано, что предложенные методы интерполяции повышают точность измерения ширины полосы частот
Ключевые слова: полоса частот сигнала, интерполяция, линейчатый спектр
Автоматизированное измерение ширины занимаемой сигналом полосы частот является обязательной задачей спектрального анализа сигналов в современных комплексах радиоконтроля. Существуют два известных метода оценки ширины спектра радиосигналов: отношения мощностей, или Ь /2, и измерение по уровню Х дБ [1].
При наличии помех и известном типе сигнала (за исключением некоторых сигналов с цифровой модуляцией) предпочтительнее использовать метод измерения ширины спектра по уровню Х дБ. В этом случае за ширину полосы частот принимается зона, за нижним и верхнем пределами которой любая дискретная составляющая спектра или непрерывная спектральная плотность мощности измеряемого сигнала, по крайней мере, на Х дБ ниже предварительно заданного опорного уровня 0 дБ [2].
Требования к точности измерения полосы частот приводятся в [3]. Оборудование станций радиоконтроля должно обеспечивать измерение ширины полосы частот принимаемых сигналов до 300 кГц с погрешностью не более 5 % и до 30 МГц с погрешностью не более 10 % на уровнях -30, -40, -50, -60 дБ относительно заданного уровня 0 дБ.
Как будет показано далее в данной работе на примере измерения ширины спектра сигнала с тональной частотной модуляцией, точность классического алгоритма оценки ширины полосы сигнала по уровню Х дБ в условиях шума, при смещении центральной частоты входного сигнала относительно частоты опорного генератора, при ограниченном спектральном разрешении не всегда соответствует допустимым значениям.
Для повышения точности измерения ширины спектра сигнала по уровню Х дБ в данной статье предлагается использовать интерполяционные методы [4]. Целью исследования является анализ возможности достижения требуемой точности измерения ширины спектра сигнала за счет применения методов интерполяции.
Гнездилов Дмитрий Сергеевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8919-235-8701
Сладких Владимир Александрович - ВГТУ, аспирант, тел. 8-950-775-0267
Матвеев Борис Васильевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-960-138-4561
Классический алгоритм измерения ширины спектра сигнала по уровню Х дБ
Пусть принимаемый сигнал х (1) представляет собой сумму полезного сигнала 5 (1) и аддитивного гауссовского шума г|(1):
х (1 ) = 5 (1) +7(1). (1)
Классический алгоритм измерения ширины спектра сигнала х (1) по уровню Х дБ состоит в следующем:
1. На интервале длительностью Т = М • N • Д1 берется М комплексных выборок сигнала, каждая из которых состоит из N равномерных комплексных отсчетов х [п ] , следующих с интервалом
Д = — , где Р* - частота дискретизации, а N -
целое число, обуславливающее спектральное разрешение. Параметр М определяет число накоплений спектра.
2. Для каждой т-ой выборки (т = 0,...М -1) производится взвешивание:
г [п ] = х [п ] х у [п ], п = 0,..., N -1, (2)
где у [п ] - оконная функция Блэкмана:
у [п ] = 0.42 - 0.5 • соз[
I N
+ 0.08 • созГ—
I N
3. Вычисляется модуль быстрого преобразования Фурье (БПФ):
N -1
2 [т , к ] = ^ г [п ] х ехр( -
1 х-
2 х ж
N
х к х п )
(3)
п =0
к = 0..М -1, т = 0,...М -1
4. Основную сложность при исследовании реальных эфирных сигналов представляет получение значения нулевого уровня. В автоматическом режиме в качестве нулевого уровня используется максимум спектра в измерительной полосе. При использовании БПФ этот уровень получают при длительном накоплении спектра (максимальных текущих спектральных значений):
1^к = тах[X т ,к ]. (4)
М
5. Спектр представляется в логарифмическом масштабе:
Sk = 20• lg(#k ). (5)
6. Определяется максимальное значение спектра и соответствующий пороговый уровень (prg), который на Х дБ ниже максимального:
prg = max(S k )- X . (6)
7. Определяются участки спектра, превышающие порог, и фиксируются индексы начала l _ start i и окончания участков l _ stop i, где
i = 0...NLM -1, NLM - количество участков.
8. Оценка полосы сигнала производится по следующей формуле (предполагается, что значения
l _start и l _stop упорядочены по возрастанию):
B = [max(l _ stop )- min(l _ start)]
(7)
Анализ погрешности классического алгоритма измерения ширины спектра сигнала по уровню Х дБ
Для анализа погрешности классического алгоритма измерения ширины спектра сигнала по уровню Х дБ будем использовать сигнал с однотональной угловой модуляцией. Спектр такого сигнала имеет теоретически бесконечное число гармонических составляющих, амплитуда которых определяется значениями функций Бесселя J п (Р), где п -номер спектральной составляющей, р - индекс модуляции (отношение частоты девиации d к частоте модуляции F ). Расстояние между спектральными
составляющими определяется частотой модулирующего сигнала [5]. Таким образом, на основе теоретического спектра сигнала с однотональной угловой модуляцией при заданном значении индекса модуляции р можно найти эталонную ширину спектра,
соответствующую уровню Х дБ.
В [6] для анализа погрешности алгоритма определения ширины спектра сигнала предлагается использовать индекс модуляции р = 8.1. В этом случае отношение модулей функций Бесселя 12-го, 13го, 14-го и 15-го порядка к модулю функции Бесселя 7-го порядка (максимальному при данном индексе модуляции) составляет -29.71, -38.94, -48.95, -59.66 дБ, что несколько больше соответствующих уровней измерения (-30 дБ, -40 дБ, -50 дБ, -60 дБ).
На рис. 1 приведен эталонный спектр сигнала с однотональной угловой модуляцией с индексом модуляции р = 8.1 и показаны уровни -Х дБ относительно максимального значения, по которым определяется ширина спектра сигнала.
В реальных условиях воздействия шумов, при ограниченной размерности БПФ и сдвиге центральной частоты сигнала относительно частоты опорного генератора спектральные составляющие принятого сигнала будут искажены, в результате чего крайние спектральные составляющие линейчатого спектра могут стать ниже порогового уровня и оценка полосы сигнала будет явно занижена. На рис. 2 показано, что при числе точек БПФ 1024 одна спектральная составляющая с номером 12 уже не попадает под уровень Х = -30 дБ, за счет чего возникает
ошибка, превышающая допустимое значение в требованиях к точности измерений.
10
11
12
13
14
15
6_.3 1„1 3_67§
54
45
10
11
12
-30
13
-40
14
-50
15 .60
_1_
15Рт 15Рт
Рис. 1. Эталонный частотный спектр сигнала с однотональной угловой модуляцией, индекс модуляции р = 8.1
Измеренная по уровню -X дБ полоса
Рис. 2. Реальный частотный спектр сигнала с однотональной угловой модуляцией при числе точек БПФ N = 1024, индекс модуляции р = 8.1
На рис. 3 представлена зависимость относительной ошибки измерения полосы сигнала от девиации частоты d , полученная для стандартного алгоритма измерения полосы. Относительная ошибка рассчитывалась следующим образом:
5 = • 100%. (8)
B 0
где В - измеренное значение полосы; В 0 - эталонное значение полосы, расчет которой представлен в таблице.
Расчет эталонного значения ширины спектра сигнала для однотональной угловой модуляции с индексом р = 8.1
Уровень X (дБ) Формула расчета B 0 (Гц)
-30 24. Fm
-40 26. Fm
-50 28. Fm
-60 ЗО. Fm
Для построения зависимости для каждого значения девиации частоты d в пределах
—з
0.1 х Е$ ...0.9 х Е$ с шагом 10 х проводилось 1000 экспериментов, по которым фиксировалась максимальная относительная ошибка измерения полосы. Измерения отличались центральной частотой моделируемого сигнала (равномерно распределенная случайная величина в диапазоне —0.1 • Е$ ...0.1 • Е$ ), число точек БПФ было выбрано 1024, отношение сигнал/шум 40 дБ.
о10"
Рис. 3. Зависимость максимальной относительной ошибки измерения ширины спектра сигнала от девиации частоты для классического алгоритма измерения
Из рис. 3 видно, что при любых значениях девиации частоты максимальная относительная ошибка измерения полосы частот превышает допустимый предел в 5 %. Уменьшить данную ошибку можно за счет увеличения размерности БПФ, однако это сильно увеличит вычислительную сложность алгоритма. Другим способом уменьшения ошибки измерения полосы частот является интерполяция спектральных составляющих сигнала в окрестности порогового значения. В данной работе рассмотрим два метода интерполяции: линейную интерполяцию и интерполяцию полиномом Лагранжа.
Применение интерполяции для уточнения оценки ширины спектра сигнала
Принцип работы интерполяционных методов
Частота
Рис. 4. Принцип работы интерполяционных методов
Для интерполяции спектра сигнала в районе порогового значения выполняются следующие действия:
1. Рассчитывается расстояние (в отсчетах спектра) между максимумами соседних участков, превышающих порог:
А; = 0.5 • (l _start (+i +1 _stop i + -1 _starts -1 _stop, ), („)
i = 0...NLM -2
2. Фиксируется медианное значение A; :
df = median (A;) (ю)
3. Максимумы спектра сигнала Sк на участках, приближенных к левому и правому пересечению порога, интерполируются полиномом Лагранжа:
ф(‘)= П <1,)
j =0,1..J к j
j л
где j - узлы интерполяции (индексы), S j - известные значения спектра в этих узлах, x - точка, в которых нужно найти значения интерполяционной функции, Ф - значение спектра в точке x .
В качестве узлов интерполяции выбираются точки:
id - 2df , id - df , id , id + df , id + 2df , где id - индекс максимума на участках спектра l _ start 0 : l _ stop 0 и l _ start nlm -1 : l _ stop nlm -1.
Значения максимумов уточняются в узлах интерполяции на интервале ± 2 отсчета.
Точки, для которых нужно просчитать значения полинома Лагранжа, выбираются на участке между двумя узлами интерполяции вблизи порога, как показано на рис. 4 (назовем их промежуточными точками).
4. Определяются индексы пересечения значений полинома Лагранжа в промежуточных точках с порогом, и обозначаются, как f _ start и f _ stop .
5. Оценка полосы сигнала равна:
F
band =[ f _ stop - f _ start ] •-^ (12)
Аналогичным образом проводится и линейная интерполяция, только в этом случае в качестве узлов интерполяции выбираются точки: id - df , id , id + df .
Анализ погрешности алгоритмов измерения ширины спектра сигнала с применением методов интерполяции
Для анализа погрешности интерполяционных алгоритмов измерения ширины полосы частот сигнала была исследована зависимость относительной ошибки измерения от девиации частоты. Условия проводимого эксперимента полностью совпадали с условиями эксперимента для анализа погрешностей классического алгоритма оценки ширины полосы частот. На рис. 5 приведены зависимости относительной ошибки измерения полосы частот от девиации частоты для двух методов интерполяции - линейной и интерполяции полиномом Лагранжа, а на рис. 6 построены гистограммы относительных ошибок измерения полосы частот для интерполяционных методов и классического алгоритма измерения.
з 1.8
I 1-е 1 14 I 12
3 1
о 0.8 | 0.6 Ё 0.4
|о, о
Рис. 5. Зависимость максимальной относительной ошибки измерения ширины спектра сигнала от девиации частоты для интерполяционных методов измерения
45 40 35
V 30 к 25 Ш 20 15 10 5
°0 1 2 3 4 5 6 7
Ошибка измерения,%
Рис. 6. Г истограммы относительных ошибок измерения ширины спектра сигнала для интерполяционных методов и классического алгоритма измерения Анализ рис. 5 и 6 показывает, что применение методов интерполяции для измерения ширины спектра реальных сигналов значительно уменьшает ошибку измерения и позволяет достигать точность
измерений, предъявляемую к аппаратуре радиоконтроля. Для рекомендуемого в [6] значения индекса модуляции b = 8.1 максимальная ошибка интерполяционных методов в 4 раза меньше по сравнению с классическим алгоритмом измерения полосы частот. Кроме того, из рис. 5 и 6 видно, что применение более сложной в реализации интерполяции Лагранжа не дает выигрыша по точности перед линейной интерполяцией.
Статья написана при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №13-08-97538-р.центр.а.)
Литература
1. Рембовский А.М., Ашихмин А.В., Козьмин В.А. Радиомониторинг. Задачи, методы, средства.// М.: ИП Горячая линия - Телеком. 2012, 307 с.
2. Recommendation ITU-R SM.328-10. Spectra and bandwidth of emissions.
3. ГОСТ Р 52536-2006. Оборудование станций радиоконтроля автоматизированное. Технические требования и методы испытаний.
4. Гнездилов, Д. С. Сравнительный анализ цифровых интерполяционных алгоритмов оценки частоты радиосигнала [Текст] / Д. С. Гнездилов, Б. В. Матвеев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. - № 2. - С.37-39.
5. Картьяну Г. Частотная модуляция.// Меридиане. Бухарест. 1964, С.39-40
6. Измерение параметров излучений радиоэлектронных средств цифровыми радиоприемными устройствами. Программа метрологической аттестации.// Москва 2013. Приложение 3, стр.52
Воронежский государственный технический университет
THE USE OF INTERPOLATION METHODS FOR DETERMINING THE LIMITS OF MEASUREMENT ERRORS BANDWIDTH AT THE LEVEL OF «X» dB D.S. Gnezdilov, V.A. Sladkih, B.V. Matveev
Considered two methods of interpolation for measuring bandwidth at “X dB”. Methods of mathematical simulation it is shown that the proposed methods of interpolation improve the accuracy of the measurement bandwidth
Key words: bandwidth, interpolation, linear spectrum
