Исследование и моделирование алгоритмов восстановления цифрового сигнала между отсчетами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.376

Малахин1 В.А., Терешин1 А.А., Гончаров1 С.Н., Писецкий1 В.В., Гончаров3 Е.С.

Саровский физико-технический институт — филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (СарФТИ НИЯУ МИФИ), Саров, Россия

2Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Саров, Россия

3Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Саров, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЦИФРОВОГО СИГНАЛА МЕЖДУ ОТСЧЕТАМИ

Работа посвящена исследованию алгоритмов восстановления цифрового сигнала между отсчетами. Один из алгоритмов необходимо реализовать в ПЛИС. Рассматриваются следующие алгоритмы:

1) метод интерполяции полиномом Лагранжа;

2) метод передискретизации с помощью фильтра нижних частот;

3) метод восстановления по теореме Котельникова (прямой метод);

4) метод передискретизации с помощью дискретного преобразования Фурье.

Исследование проводилось с помощью разработанной моделирующей программы. Метод восстановления по теореме Котельникова показал наилучшие результаты, по точности восстановления и его реализация на ПЛИС является наименее ресурсозатратной.

Одним из результатов работы является синтезированный программный модуль для ПЛИС на языке VHDL, реализующий алгоритм восстановления сигнала.

Ключевые слова:

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ПЛИС

Введение

В области цифровой обработки сигналов (ЦОС) обрабатываются сигналы, дискретизированные по времени и зачастую квантованные по амплитуде. Таким образом, имеется набор значений сигнала только в определенных моментах времени (отсче-

тах) с интервалом Т = — , где fd - частота дискретизации. Существует ряд задач в ЦОС, когда необходимо получить значения исходного сигнала в произвольной точке между отсчетами, т.е. восстановить исходный сигнал, каким он был до временной дискретизации. Согласно теореме Котельникова (теореме отсчетов) сигнал можно восстановить с требуемой точностью по дискретным отсчетам, если

Га

Реализация цифровой линии задержки на произвольное время является актуальной задачей ЦОС, которая сводится к задаче восстановления сигнала.

Постановка задачи

Пусть имеется сигнал такой, что значительная часть его спектра находиться в области меньше

Га

2

Сигнал равномерно дискретизируется по вре-

мени с периодом T -

1

fd

В результате получается сигнала Xn=x(nT+dt)

выполняется условие

2

где Fm

макси-

мальная частота в спектре сигнала. Хотя, в общем случае по теореме Котельникова требуется подсчет предельной суммы, на практике возможно рассчитать сумму только конечного числа членов ряда, что приводит к возникновению ошибки восстановления.

последовательность отсчетов , где п - номер отсчета.

Требуется реализовать алгоритм, который будет формировать последовательность yn=x(nT+dt), которая соответствует значениям исходного сигнала между отсчетами х[п] и х[п+1] в момент времени dt. Формирование последовательности уп должно происходить по мере поступления отсчетов сигнала в реальном времени. Пример восстановления приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Пример восстановления сигнала. (—) - сигнал до дискретизации х^); (•) - входная последовательность хп; (х) - выходная последовательность уп, полученная в результате задержки

Методы решения

Все методы восстановления сигнала по его дискретным отсчетам можно разделить на два типа:

получение дополнительных промежуточных отсчетов с помощью передискретизации сигнала;

восстановление необходимых отсчетов по времени с помощью интерполяции.

Наиболее распространенными в литературе методами передискретизации являются передискретизация с помощью дискретного преобразования Фурье

и передискретизация с помощью фильтра нижних частот. Наиболее распространенными методами интерполяции сигналов являются интерполирование полиномом Лагранжа и восстановление сигнала с помощью интерполяционного ряда Котельникова.

Метод интерполяции полиномом Лагранжа

Описание метода. В отдельных случаях, когда известна форма сигнала, задачу восстановления по дискретным отсчетам можно решить с помощью задачи аппроксимации функции, по конечному числу

ее точек. Когда вид функции (форма сигнала) заранее неизвестен, аппроксимацию можно попытаться провести с помощью кусочного интерполирования. Для этого используются полиномы различных порядков, которые аппроксимируют функцию на данном участке. Одним из методов является метод вычис-

ления интерполяционных полиномов Лагранжа

k

Lk (u) = Z CiVi '

[2]

где C =

(u — u0 )(u — Щ) ... (u — Uj_¡)(u — u/+... (u — un)

ба-

степени полинома к на ошибку восстановления рассматриваемых видов сигнала.

Синтез алгоритма. В рассматриваемой задаче цифровой линии задержки сигнала интерполяционная сетка постоянна, поэтому коэффициенты С± можно предварительно рассчитать и хранить в памяти вычислителя, осуществляющего восстановление. Обработка будет заключаться во взвешенном суммировании входных данных внутри окна длительности, определяемой степенью интерполяционного полинома:

(ui — uo)(ui — u1) ... (ui — ui—1)(ui — ui+1) ... (ui — un )

зисные полиномы степени n;

uo, ui,..un - точки, в которых полином принимает заданные значения функции, так же называемые интерполяционной сеткой;

Vi - значение функции в заданных точках. Частными случаями кусочной интерполяции Лагранжа являются линейная и квадратичная, осуществляемые полиномом первой и второй степени соответственно. Для произвольной функции f(u) при бесконечном росте степени полинома интерполяционная функция не будет сходиться к f(u) [1]. Интерполяционный полином равномерно сходится, когда maxIe[a6]|Ai (u) — f (u)| — 0 . Для каждой функции

может быть найдена своя интерполяционная сетка, чтобы интерполяционные полиномы равномерно сходились к f(u) [2]. В данной работе рассматриваются сигналы конечной длительности и амплитуды, передаваемые по физическим линиям передачи. В силу того, что шаг дискретизации постоянен и определяется частотой работы АЦП, все сигналы должны интерполироваться с помощью одной и той же эквидистантной интерполяционной сетки. Предметом исследования является изучение влияния

xk(kT+dt)=YWix k ,

т~г n— i=0 2

(2)

где W

N

= C, (u = iT, u = —T — 1 + dt)

i i 2

есовые коэффици-

енты полинома Лагранжа.

Метод передискретизации с помощью фильтра нижних частот

Описание метода. Суть метода передискретизации заключается в получении дополнительных промежуточных отсчетов сигнала за счет увеличения частоты следования отсчетов. Значение сигнала x(t) в произвольной точке берется из ближайшего по времени отсчета x(nTnew), где Tnew - период дискретизации выходной последовательности. Метод передискретизации с помощью фильтра нижних частот (ФНЧ) состоит из следующих этапов:

1) добавление промежуточных отсчетов с нулевым значением;

2) применение цифрового ФНЧ для удаления появившихся периодических изображений исходного спектра сигнала на расширенной частотной области и умножение на коэффициент интерполяции для нормировки.

Пошагово процесс передискретизации в 4 раза показан на рисунке 2.

Рисунок 2 - Пример интерполяция в 4 раза, (а) - исходная последовательность и ее спектр; (Ь) -исходная последовательность с добавленными нулями и ее результирующий спектр; (с) - выходная последовательность интерполирующего фильтра и ее окончательный спектр [4, с.388]

Ошибка данного метода состоит из двух компонент: неидеальность ФНЧ (в исходный сигнал попадают неподавленные гармоники); ошибка из-за приближения желаемого момента времени новой сеткой отсчетов.

Синтез алгоритма. В качестве фильтра был выбран цифровой ФНЧ с конечной импульсной характеристикой. Такие фильтры можно реализовать с линейной фазочастотной характеристикой. В качестве весовых коэффициентов фильтра выбрана идеальная импульсная характеристика. Частота среза

задана как

f - fd f 2

Для уменьшения пульсаций в

полосе пропускания использована дополнительная оконная функция Блэкмена. Порядок фильтра определяет крутизну наклона амлитудно-частотной характеристики фильтра и рассчитывается по формуле:

— =

5.5 fdm

гх - Г,

где m - коэффициент передискретизации,

fx - граничная частота полосы подавления, fs - граничная частота полосы пропускания. Выходные значения фильтра рассчитываются по следующей формуле [4]:

N-1

у(п) = £ ЩМ£)х(п - к) ,

к = 0

где N - порядок фильтра, 2ж £)

п(к) = 2]с\-— I - идеальная импульсная ха-

I )

рактеристика ФНЧ,

i=0

w(k) = 0.45 + 0.5* cos i-2-. | + 0.08* cos ( J-.

У N -1 ) У N -1

коэффи-

x( kT + dt) = £ CjX

где

размер

окна,

циенты оконной функции Блэкмена.

Метод восстановления по теореме Котельникова (прямой метод)

Описание метода. По теореме Котельникова сигнал x(t) с ограниченной полосой можно представить в виде интерполяционного ряда:

- (t - kT ) t

Коэффициенты ряда Ck могут быть

x(t) = ^ x(kT)*sin c

k=-од

f(t - kT )

(3)

где sinc(x)=sin(x)/x;

T - интервал дискретизации, удовлетворяющий

условию 0 < T <—— ;

2 fc

fc - максимальная частота в спектре сигнала.

Теорема рассматривает сигналы с бесконечной длительностью и конечной шириной спектра. В реальных системах существуют сигналы только с конечной длительностью и, следовательно, бесконечным спектром. Это означает, что точное восстановление сигнала невозможно, и как следствие возникает ошибка, определяемая распределением спектральной мощности по частотам, в частности энергией, приходящейся на частоты больше fd/2 [5].

Синтез алгоритма. Последовательность отсчетов сигнала взвешивается в скользящем окне, где в качестве весовых коэффициентов используются коэффициенты интерполяционного ряда Котельникова. Значение восстановленного сигнала рассчитыва-N

ется в одной точке t = — T + dt с помощью формулы: 2

заранее рассчитаны и сохранены в память вычислителя. Это возможно потому, что момент времени восстановления t является постоянным на протяжении работы алгоритма.

Метод передискретизации с помощью дискретного преобразования Фурье

Описание метода. Метод основан на получении дополнительных отсчетов сигнала с помощью передискретизации, используя дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Формула ДПФ для дискретного сигнала дит следующим образом:

( 2 пят \ . ( 2 пят \ - -] вт! -

выгля-

_ N-1 X (m) = £

n=0

x(n)

У N )

У N )

где X (т) - m-й компонент ДПФ;

N - количество отсчетов входной последовательности.

Метод выглядит следующим образом:

1) Применение ДПФ к входным данным.

2) Добавление нулей в частотной области (см. рис.3).

3) Применение обратного ДПФ.

В результате мы получаем исходный сигнал с большей частотой дискретизации и можем использовать новые промежуточные значения отсчетов для приближения сигнала в точке восстановления.

Рисунок 3 - Спектр сигнала [3]

а)

исходный спектр; б) - спектр с добавлением нулей

Так же как и в случае передискретизации с помощью ФНЧ возникает дополнительная ошибка восстановления из-за дискретности преобразованного сигнала.

Синтез алгоритма. Передискретизация с помощью ДПФ выполняется во "внешнем" окне (рисунок 4а). Так как ошибка восстановления максимальна на

границах окна, то для дальнейшей обработки значения берутся из центральной области внешнего окна, называемой "внутренним" окном. Размер внутреннего окна является параметром алгоритма и выбирается так, чтобы минимизировать ошибку восстановления сигнала. Внешнее окно перемещается по входной последовательности с шагом равным размеру внутреннего окна (рисунок 46) .

Рисунок 4 - Обработка данных окном

N

i = 0

2

C = sin c

Существует алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), он требует меньшее количество операций для вычисления ДПФ. В данном случае был выбран алгоритм Кули-Тьюки [6]. Если количество отсчетов равняется степени двойки, то этот алгоритм требует O(N*log(N)) операций, в то время как по формуле 3 требуется O(N2) .

Исследование и моделирование алгоритмов

Описание моделирующей программы.

Для исследования различных алгоритмов восстановления разработана программа, на которой выполняется моделирование этих алгоритмов. Программа разработана в среде Qt Creator на языке С++ с использованием библиотеки Qt. На рисунке 5 представлено главное окно программы. В программе имеется возможность выбора формы сигнала: гармонический, меандр, сигнал с линейно-частотной модуляцией (ЛЧМ), шумоподобный сигнал. Целочисленный режим переключает программу в режим, когда входные данные, промежуточные данные и коэффициенты представимы в виде целых чисел. В этом случае необходимо указать разрядность коэффициентов, которая влияет на ошибку восстановления. Момент времени, в который производится восстановление сигнала, задается относительным смещением внутри интервала дискретизации. Так же имеется возможность изменять частоту сигнала, частоту дискретизации, длительность сигнала и его амплитуду■

Критерии оценки качества восстановления. Для сравнения алгоритмов в моделирующей программе используются следующие критерии качества восстановления: среднеквадратическое отклонение (СКО) восстановленного значения от расчетного значения непрерывного сигнала, среднее отклонение, максимальное отклонение.

Результаты моделирования

Ниже приведены результаты моделирования восстановления сигнала между отсчетами в режиме целочисленных вычислений. В качестве наиболее показательного сигнала для проверки качества восстановления был выбран импульсный сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), так как он позволяет оценить качество восстановления в широком диапазоне отношений мгновенной частоты сигнала к частоте дискретизации. Для всех алгоритмов получены зависимости СКО от сложности алгоритма (размера окна, степени полинома, порядка фильтра).

Выбраны следующие параметры для тестирования: размер окна N=2,4,8,16,32 (для интерполяционного полинома Лагранжа рассматривается и N=3), длительность сигнала ^п,=100 c, амплитуда 16000, относительное смещение ^=0.35, передискретизация в восемь раз (для алгоритмов с передискретизацией), частота дискретизации fd=100 Гц, минимальная частота ЛЧМ сигнала ^п=5 Гц, максимальная частота ЛЧМ сигнала fmax=50 Гц.

Дополнительно для алгоритма восстановления по методу Котельникова приведены результаты для гармонического сигнала, с частотой fsin=45, относительное смещение ^=0.1, 02, 03, .. 0.9, для сигнала типа меандр с частотой следования импульсов Ьп=1, 10, 20, 30. Размер окна N=32, относительное смещение ^=0.35, также приведены результаты для шумового сигнала с относительным смещением ^=0.35.

На рисунке 6 представлены результаты моделирования алгоритма интерполяции полиномом Ла-гранжа при различном размере окна (степень полинома плюс один).

На рисунке 7 представлены результаты моделирования алгоритма передискретизации с использованием ФНЧ. Передискретизация проводилась в 8 раз.

Рисунок 5 - Главное окно моделирующей программы

Рисунок 6 - Зависимость относительного СКО восстановления от степени полинома для метода интерполяции Лагранжа

Рисунок 7 - Зависимость относительного СКО восстановления от размера окна для метода передискретизации с помощью ФНЧ

На рисунке 8 представлены результаты моделирования алгоритма восстановления по теореме Ко-тельникова с ЛЧМ сигналом.

На рисунке 9 представлен график ошибки восстановления ЛЧМ сигнала длительности 0.4 с, частота дискретизации fd= 1000 Гц, ^п= 50 Гц, fmax= 500 Гц, относительное смещение ^=0.35. амплитуда сигнала 16000 Увеличение погрешности к концу длительности сигнала вызвано ростом его мгновенной частоты. Относительное СКО равняется 3.1%.

На рисунке 10 представлено распределение ошибки восстановления по междискретному интервалу при моделировании алгоритма с гармоническим сигналом. Ошибка максимальна в середине интервала дискретизации.

На рисунке 11 представлены результаты моделирования алгоритма с тестирующим сигналом типа меандр. Ошибка увеличивается из-за того, что с ростом частоты импульсов увеличивается часть энергии сигнала, лежащая за частотой , что не соответствует условиям теоремы Котельникова.

На рисунке 12 представлен пример восстановления шумового сигнала, относительное СКО не превышает 0.1%. Это объясняется тем, что спектр сигнала изначально был урезан, что соответствует условиям теоремы Котельникова.

На рисунке 13 представлены результаты моделирования алгоритма передискретизации с помощью ДПФ. Передискретизация производилась в 8 раз, внутреннее окно имеет размер N/2.

Рисунок 8 - Зависимость относительного СКО восстановления от размера окна для метода восстановления по теореме Котельникова

Рисунок 9 - Абсолютная ошибка восстановления ЛЧМ сигнала по методу Котельникова в каждой точке восстановления.

Рисунок 10 - Зависимость относительного СКО восстановления от относительного смещения по методу Котельникова

Рисунок 11 - Зависимость относительного СКО от частоты следования импульсов меандра по методу Котельникова

Рисунок 12 - Моделирование восстановления шумового сигнала по методу Котельникова. (—) - исходный шумовой сигнал; (•) - отсчеты шумового сигнала, взятые с

частотой fd; (х) -восстановленные значения с относительным смещением Лt=0.35

Рисунок 13 - Зависимость

относительной СКО восстановления от размера внешнего окна для метода передискретизации с помощью ДПФ

Сравнение алгоритмов

По результатам моделирования лучшим алгоритмом оказался алгоритм восстановления по теореме Котельникова, который точнее примерно в 1.3 раза, чем алгоритм передискретизации с помощью БПФ. Самым худшим по точности оказался алгоритм передискретизации с помощью ФНЧ из-за неидеальности фильтра (широкая полоса перехода).

Алгоритм передискретизации с использованием ДПФ требует большого объема вычислительных ресурсов и памяти (необходимо выполнить прямое преобразование для N отсчетов, и обратное, для N*k, где k- коэффициент передискретизации). Интерполяция Лагранжа и восстановление с помощью интерполяционного ряда Котельникова в конечном итоге реализуются одинаково через весовое суммирование в скользящем окне, поэтому был выбран алгоритм по методу Котельникова с целью разработки программы для ПЛИС.

Программный модуль восстановления цифрового сигнала.

Программный модуль восстановления цифрового сигнала на ПЛИС разрабатывался в среде ISE 8.1 на языке программирования VHDL. Проверка работоспособности программного модуля проводилась на отладочной плате Virtex-II Evaluation board,.

На рисунке 14 показана структурная схема программного модуля восстановления сигнала. 16-ти разрядные данные каждый такт поступают на вход Data_in, далее они последовательно сдвигаются по цепочке регистров D0-D31 и умножаются на весовые коэффициенты С0-С31, загруженные предварительно. Результаты перемножений поступают на древовидный сумматор. Алгоритм конвейеризирован, все этапы выполняются одновременно, что позволяет выполнять потоковую обработку данных.

Для проверки работоспособности программного модуля восстановления сигнала была разработана программа-прошивка ПЛИС. Она состоит из модуля восстановления сигнала и дополнительных блоков,

необходимых для проведения моделирования. На рисунке 15 представлена структурная схема программы на ПЛИС.

32МР1 16 ЯШ «Я1М 4Б1М : м м

iHI

Рисунок 14 - Структурная схема программного модуля восстановления сигнала

Данные для обработки поступают по интерфейсу RS-232 на блок UART в виде 3-х байтового пакета: старший байт является управляющим, он указывает на содержимое пакета, это могут быть весовые коэффициенты алгоритма, данные для обработки или команда.

Блок коммутатора данных, анализирует управляющий байт и соответствующим образом распределяет данные: коэффициенты загружает в модуль восстановления, данные помещает в буфер входных данных, по команде окончания передачи запускает процесс работы алгоритма восстановления

Блок буфера входных данных предназначен для накопления данных с целью имитации обработки потоковых данных, а так же их перевода в другой домен синхронизации, т.к. модуль восстановления

сигнала работает на другой частоте. После получения команды об окончании передачи данных блок управления расчетами вычитывает данные из буфера и подает их на модуль восстановления сигнала. Данные проходят обработку в модуле восстановления и поступают в выходной буфер, из которого блок UART отправляет их по интерфейсу RS-232. Размеры входного и выходного буфера данных рассчитаны на потоковую обработку 512 отсчетов сигнала.

Рисунок 15

Структурная схема программы-прошивки ПЛИС

Для проверки работоспособности программы-прошивки ПЛИС и, соответственно, программного мо-

дуля восстановления сигнала была разработана тестирующая программа, размещаемая на персональном компьютере. Программа разработана в среде Qt Creator на языке C++ с использованием библиотеки Qt.

Тестирующая программа отправляет по интерфейсу RS-232 данные на отладочную плату, принимает результаты обработки и анализирует полученные данные. В моделирующей программе имеется возможность выбирать форму сигнала: гармонический, меандр, сигнал с линейно-частотной модуляцией. Задается амплитуда сигнала и отношение частоты дискретизации к частоте сигнала. Выбирается количество передаваемых на ПЛИС отсчетов сигнала, относительное смещение внутри интервала дискретизации и количество коэффициентов выбранного метода. Так как программный модуль восстановления сигнала позволяет реализовать алгоритм восстановления по теореме Котельникова и алгоритм восстановления с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, то необходимо выбрать метод восстановления.

Результаты проверки программного модуля восстановления цифрового сигнала на ПЛИС

На рисунке 16 приведен график амплитуды ошибки восстановления ЛЧМ сигнала программным модулем восстановления на ПЛИС. Параметры тестирующего сигнала: амплитуда 16000, количество коэффициентов алгоритма Т = 32, fd/fmin=2 0, fd/fmax=2, относительное смещение At=0.35, количество отсчетов 400. Относительная среднеквадратическая ошибка восстановления сигнала равняется 3.1%, что соответствует результатам моделирования (моделирование сигнала с такими же параметрами показано на рисунке 9).

На рисунке 17 показан пример восстановления сигнала с помощью программного модуля.

Рисунок 16 - График ошибки восстановления сигнала программным модулем восстановления на ПЛИС

Рисунок 17 - Пример восстановления сигнала. (—) - непрерывный сигнал; (•) -дискретизированный сигнал; (х) -восстановленные значения с относительным смещением Дt=0.35

Заключение

В ходе выполненной работы были исследованы четыре метода восстановления цифрового сигнала.

Для исследования этих методов была разработана программно-математическая модель. По результатам исследования наиболее подходящим для реализации на ПЛИС оказался алгоритм восстановления по теореме Котельникова, так как он обладает наибольшей точностью при одинаковой сложности реализации.

По алгоритму восстановления по теореме Котельникова был синтезирован программный модуль восстановления сигнала на языке VHDL. Для его проверки была разработана программа-прошивка ПЛИС, а так же была разработана тестирующая программа, размещаемая на персональном компьютере, для проверки работоспособности и точностных характеристик модуля восстановления сигнала.

Результаты проверки на тестирующей программе показали, что ошибка восстановления соответствует результатам моделирования и синтезированный модуль можно применять в задаче цифровой линии задержки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Интерполяция функций интерполяционными полиномами [электронный ресурс]. ^оКЫпе Со. Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/spline/book1/10.php

2. Демидович Б.П. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. — 3-е изд. /Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова— М.: Наука, Гл. ред. физ-мат литературы, 1967. — 368 с.

3. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. /А. Б. Сергиенко — 3-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 768 с.

4. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. /Р. Лайонс, Пер. с англ. — М.: ООО «Бином-Пресс», 2006 г. — 656 с.

5. Хургин Я.И. Финитные функции в физике и технике./Я.И. Хургин, В.П. Яковлев М.: Наука, 1971. - 408 с.

6. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Ш. Рональд ; С.А. Кулешов (ред., пер. с англ.). — М.: Техносфера, 2006. — 856 с.