CC BY
6
УДК 681.2
О.В. Захаров, А.С. Яковишин, Ф.Д. Сулейманова, А.В. Жуков
ПРИМЕНЕНИЕ ФИЛЬТРОВ СЕРИИ ISO 16610 ДЛЯ АНАЛИЗА СТРУКТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ. ЧАСТЬ 4.
ПРОФИЛЬНЫЕ СПЛАЙН И ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРЫ
Аннотация. Вашему вниманию предлагается четвертая статья из цикла, посвященного применению серии стандартов ISO 16610 для фильтрации профиля и структуры поверхности. В настоящей статье представлен анализ профильных линейного и робастного сплайн и вейвлет-фильтров. Проведено сравнение с фильтрами Гаусса по пяти параметрам. Установлено, что сплайн фильтры имеют быстрый алгоритм расчета, что позволяет использовать их для больших объемов данных. Ро-бастный сплайн фильтр имеет преимущество перед фильтром Гаусса, так как устраняет конечные эффекты и не требует выравнивания формы профиля. Вейвлет-фильтр является идеальным многомасштабным фильтром. Поэтому данные типы фильтров расширяют возможности стандартных фильтров Гаусса для анализа мультифункциональных поверхностей.
Ключевые слова: измерение, метрология поверхности, шероховатость, фильтрация, профильный фильтр, сплайн фильтр, вейвлет-фильтр
O.V. Zakharov, A.S. Yakovishin, F.D. Suleymanova, A.V. Zhukov
APPLICATION OF ISO 16610 SERIES FILTERS IN THE SURFACE STRUCTURE ANALYSIS. PART 4. PROFILE SPLINE AND WAVELET FILTERS
Abstract. The authors focus on the fourth article in the series devoted to application of the ISO 16610 series of standards applied for filtering profiles and surface textures. The article presents an analysis of profile linear, robust spline, and wavelet filters. A comparison is made with the Gaussian filters across five parameters. It has been established, that spline filters have a fast calculation algorithm, which allows them to be used for large amounts of data. The robust spline filter has an advantage over the Gaussian filter, as it eliminates end effects and does not require profile shape alignment. The wavelet filter is an ideal multiscale filter. Therefore,
these types offilters expand the capabilities of standard Gaussian filters needed for the analysis of multifunctional surfaces.
Keywords: measurement, surface metrology, roughness, filtration, profile filter, spline filter, wavelet filter
Настоящая статья завершает цикл статей [1-3] по профильным фильтрам серии стандартов ISO 16610 [4]. Рассматриваются история создания, теоретические основы, особенности применения и в заключение - достоинства и недостатки данной группы фильтров. В настоящее время стандартизованы фильтры: линейный сплайн [5], линейный вейвлет [6], нелинейный робастный сплайн [7].
Теоретическая основа сплайн фильтров
Сплайн фильтры получили свое название из-за того, что эталонная линия, полученная в результате фильтрации, является сплайном. К семейству сплайнов относятся самые разные функции.
Наиболее известны полиномиальные сплайны третьей степени, также называемые кубическими сплайнами. Эти функции состоят из кусочных полиномов третьей степени, которые достаточно гладкие.
Сплайн фильтр был разработан, чтобы избежать недостатков фильтра Гаусса [8]. В отличие от последнего это - чисто цифровой фильтр, т. е. нет необходимости дискре-тизировать весовую функцию. Следовательно, реализация сплайн фильтра подразумевает меньше неопределенностей, благодаря чему результаты фильтрации для разных программных продуктов лучше согласуются, чем в случае с фильтром Гаусса. Сплайн фильтры - это линейные фильтры. Однако их весовые функции не могут быть заданы в простой замкнутой форме. Вместо этого для сплайн-фильтров определяются уравнения фильтрации, и при необходимости дается численный расчет весовой функции. Эти уравнения фильтра представляют собой линейные матричные уравнения с простой структурой. Их алгоритмическая реализация приводит к программам, которые работают намного быстрее, чем все известные в настоящее время алгоритмы, использующие фильтр Гаусса. Время вычислений для алгоритма сплайн фильтра составляет примерно половину алгоритма свертки на основе быстрого преобразования Фурье для фильтра Гаусса.
Кубические сплайны представляют собой геометрические кривые, которые плавно соединяют ряд точек. После применения фильтра кубического сплайна кривая сплайна проходит не через точки данных, а через точки подвеса (рис. 1). Эти точки связаны с точками данных с помощью пружины, характеризуемой жесткостью пружины в, которая
называется параметром натяжения. Установка этой пружинной константы (значение от 0 до 1) позволяет управлять поведением фильтра [9].
I
б
Рис. 1. Принципы сплайн-интерполяции (а) и сглаживающей сплайн-аппроксимации (б) профиля [10]
Линейный сплайн фильтр был предложен M. Krystek [11] в качестве дополнительного метода для профильного фильтра Гаусса. По сравнению со стандартным фильтром Гаусса он имеет преимущество в виде отсутствия конечного эффекта [12] и хорошо повторяет форму профиля. Пример фильтрации фильтрами сплайн и Гаусса приведен на рис. 2. Видно, что сплайн фильтр практически не подвержен влиянию конечных эффектов и может использовать для оценки всю длину профиля. Позднее был разработан ро-бастный сплайн фильтр, менее подверженный влиянию выбросов, на основе нелинейной процедуры на норме L1 [7]. В дальнейшем T. Goto сообщил о разработке робастного сплайн фильтра, основанного на норме L2 [13]. С увеличением порядка сплайна характеристики передачи становятся более плавными. Однако к настоящему времени эти типы фильтров не прошли утверждение из-за сложности с соответствием характеристик линейному фильтру Гаусса.
В соответствии со стандартом [4] достоинством сплайн фильтра будет линейная и нелинейная Фурье-интерпретация, не требуется вычитание низковолновой составляю-
щей, конечные эффекты устранимы, возможен анализ данных со случайным шагом. Это позволяет использовать сплайн фильтр для оценки профилей, измеренных на координат-но-измерительных машинах, наряду с морфологическими фильтрами [14]. Дополнительно сплайн вейвлет-фильтр определяет выбросы и лишен конечных эффектов. Недостатком является большое число различных типов материнских вейвлетов и трудность интерпретации с помощью Фурье длин волн. Поэтому диапазон применения сплайн и вейвлет-фильтров к настоящему времени не полностью установлен.
— Input —Gaussian filter —Std. cubic spline filter —Std. approx. solinefilte ■
Ш* W
JlUbLU lb lJ/ \r
\ A
flbi. A
тт
Рис. 2. Результат фильтрации сплайн и Гаусса фильтрами [15]
Линейный сплайн фильтр
Реализация сплайн фильтров основана на использовании вариационных подходов и метода регуляризации Тихонова [16]. Функционал сплайнового фильтра представляет собой компромисс между минимизацией погрешности аппроксимации (энергетического функционала) и сохранением гладкости полученного решения. Баланс между этими требованиями осуществляется с помощью весового коэффициента Лагранжа.
С практической точки зрения сплайн фильтр определяется с помощью алгоритма матричной декомпозиции [17]. Стандарт определяет два условия: апериодическое и периодическое для фильтрации с открытым и закрытым профилями соответственно. Фильтрация открытого профиля применима к прямолинейным профилям, а закрытого профиля - к круглости [18]. Сплайновый фильтр устраняет конечные эффекты путем настройки граничных условий Р и Q, где Р - член линейного сплайна, а Q - член кубического сплайна. Уравнение сплайн фильтра имеет вид
1 + ра 2 Р + (1 -р)а 40[ w = г,
w =
где z, w - вектор входных и выходных (фильтрованных) значений профиля соответственно, в - параметр натяжения (подобие характеристики передачи фильтра Гаусса), 0 < в < 1.
Параметр а определяет частотные (волновые) свойства фильтра и рассчитывается по формуле [19]
1
а = —;-,
2Б1П( К АХ / X с)
где Ax - интервал дискретизации, ХС - предельная длина волны профильного фильтра. Матрицы P и Q имеют следующий вид [5]: для открытого профиля
Р =
1 -1
0 0 0 0 0 0
-1 2 -1
0 0 0 0 0
0 -1 2 -1
0 0 0 0
0 0 -1 2 -1 0 0 0
0 0 0 -1 2 -1 0 0
0 0 0 0 -1 2 -1 0
0000 0000
00 00
0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0
Р=
2 -1
0 0 0 0 0 0
-1
2 -1
-1
0 0 0 0 0
-1
0 0 0 0
0 0 -1 2 -1 0 0 0
0 0 0 -1 2 -1 0 0
0 0 0 0 -1 2 -1 0
0 0 0 0 0 -1 2 -1
для закрытого профиля
000 -1 0 0 2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 1
0 0 -1
000
-10 0
2 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1
0 -1 2
-1 0 0 0 0 0 0
б=
б =
1
- 2 1
0 0 0 0 0 0 0
■ 6 - 4 1 0 0 0 0 0 1
-4
-2
5
- 4 1
0 0 0 0 0 0
-4
6
-4 1 0 0 0 0 0 1
1
-4 6
-4 1
0 0 0 0 0
1
-4 6
-4 1
0 0 0 0 0
0 1
-4 6
-4 1
0 0 0 0
0 1
-4 6
-4 1
0 0 0 0
0 0 1
-4 6
-4 1
0 0 0
0 0 1
-4 6
-4 1
0 0 0
0 0 0 1
-4 6
-4 1
0 0
0 0 0 1
-4 6
-4 1
0 0
0 0 0 0 1
-4 6
-4 1
0
0 0 0 0 1
-4 6
-4 1
0
0 0 0 0 0 1
-4 6
-4 1
0 0 0 0 0 1
-4 6
-4 1
0 0 0 0 0 0 1
-4
5 -2
1
0 0 0 0 0 1
-4
6
-4
0 0 0 0 0 0 0 1
-2 1
-4 1 0 0 0 0 0 1
-4 6
Передаточная характеристика длинноволновой компоненты аппроксимируется следующим выражением:
а
а
, _ 2 . 2 кАх 1 ^ _. 4 . 4 КАХ
1 + ра2 Б1п2-+16(1 -р)а4 Б1п4-
X X
В исследовании [20] было выполнено сравнение вычислительной эффективности сплайн и Гаусса фильтров и выявлено, что сплайновый фильтр быстрее. Как показано на
рис. 3 а, характеристики передачи аппроксимирующего сплайн-фильтра первого порядка могут хорошо приближаться к фильтру Гаусса. Отклонение характеристики передачи между аппроксимирующим сплайном первого порядка и фильтром Гаусса достигает минимального значения 4,26 %, как показано на рис. 3 б.
10"" 10" \¥ауе1ег^Ь (тш) б
Рис. 3. Характеристики передачи аппроксимирующего сплайна и фильтра Гаусса (а) и отклонение характеристики передачи (б) [16]
На рис. 4, 5 показано, что линейный сплайн фильтр может очень хорошо обрабатывать данные со значительным компонентом формы и без конечного эффекта [21]. Это позволяет применять сплайн фильтр для оценки шероховатости различных поверхностей, в том числе и нанометрового диапазона [22, 23], а также решения прикладных задач сборки и трибологии [24, 25].
Рис. 4. Линейный сплайн фильтр (профиль пресс-формы): а - первичный профиль и эталонная линия, б - профиль шероховатости [21]
Рис. 5. Линейный сплайн фильтр (фрезерованный профиль): а - первичный профиль и эталонная линия, б - профиль шероховатости [21]
Робастный сплайн фильтр
Весовой функции робастного сплайн фильтра не существует, поскольку этот фильтр является нелинейным. Передаточная характеристика линейного фильтра задается как преобразование Фурье весовой функции. Поэтому передаточной характеристики ро-бастного сплайн фильтра также не существует. Процедура фильтрации выполняется рекурсивно за несколько итераций. Используется функция Тьюки, так же как и для робаст-ных регрессионных фильтров Гаусса [19].
Формулы фильтра для робастного сплайн фильтра могут быть построены для любой степени, но в стандарте [7] приведены только те, которые основаны на кубических сплайнах. Формула для расчета робастного сплайн фильтра имеет вид
Рекомендуется, чтобы индекс вложенности (значение отсечки Хс) выбирался из логарифмического ряда (постоянное отношение) значений. Опыт показал, что постоянное соотношение между последовательными значениями шкалы, равное примерно квадратному корню из 10, является оптимальным. Индекс вложенности следует выбирать из следующего ряда значений: ... 2,5 мкм; 8 мкм; 25 мкм; 80 мкм; 250 мкм; 0,8 мм; 2,5 мм; 8 мм; 25 мм; ... .
На рис. 6 и 7 представлено сравнение использования линейного и нелинейного сплайн фильтров [20]. На рис. 6 даны результаты измерения профиля поверхности после хонингования, а на рис. 7 - фрезерованной поверхности.
На рис. 6 а, 7 а показаны исходный и эталонный профили с использованием линейных и нелинейных сплайн фильтров соответственно, а на рис. 6 б, 7 б показаны профили после фильтрации.
Из рис. 6, 7 видно, что как линейные, так и нелинейные сплайн фильтры могут хорошо повторять форму профиля почти без конечных эффектов. Робастные сплайн фильтры также устойчивы к выбросам данных (высокий пик или глубокая впадина). Скорость вычислений сплайн фильтров очень высока.
Для типичного набора исходных данных из 64129 точек линейный сплайн фильтр занимает всего 16 мс, в то время как нелинейному сплайну требуется всего две итерации для получения результата сходимости и 32 мс. С функциональной точки зрения сплайн фильтр хорошо подходит для контроля состояния производства, поскольку определяется длиной волны отсечки [26].
где ьдаЦг)
+1, если / > 0, -1, если I < 0.
Рис. 6. Линейный и робастный сплайн фильтры (хонингованный профиль): а - первичный профиль и эталонная линия, б - профиль шероховатости [21]
Рис. 7. Линейный и робастный сплайн фильтры (фрезерованный профиль): а - первичный профиль и эталонная линия, б - профиль шероховатости [21]
Линейный вейвлет-фильтр
Вейвлеты представляют собой альтернативу традиционному анализу Фурье. В области метрологии их использованию в последнее время уделяется большое внимание, поскольку они могут использоваться для выполнения анализа с несколькими разрешениями и обладают хорошими диагностическими возможностями [27].
Вейвлет-анализ состоит из разложения профиля на линейную комбинацию вейвле-тов сгенерированных из одного материнского вейвлета. Материнский вейвлет -
это функция одной или нескольких переменных, которая образует основной строительный блок для вейвлет-анализа. Обычно материнский вейвлет интегрируется до нуля и локализован в пространстве с конечным носителем.
Если g(x) является материнским вейвлетом, то семейство вейвлетов генерируется следующим образом:
_ (х) _ £((* - Ь)/а)
о а,Ь(Л) _ /— ,
Ыа
где а - параметр расширения (масштабирования), Ь - параметр перевода.
В отличие от анализа Фурье вейвлеты могут идентифицировать местоположение, а также шкалу функции в профиле. В результате вейвлет-анализ может раскладывать профили, в которых мелкомасштабная структура в одной части профиля не связана со структурой в другой части, такой как локальные дефекты (например, царапины). Вейвлеты идеально подходят для нестационарных профилей. По сути, вейвлеты разбивают профиль на строительные блоки постоянной формы, но разного масштаба. Особый интерес представляют сплайновые вейвлеты, которые представляют собой семейства вейвлетов, соответствующие весовые функции которых являются кубическими сплайнами. На рис. 8 показан фрезерованный профиль, измеренный щупом с размером наконечника 5 мкм, с последовательно сглаженными профилями с использованием вейвлета с кубическим сплайном (4-6).
Вейвлет-преобразование разработано на основе быстрого преобразования Фурье [17]. Вейвлет-технология может разлагать сигнал профиля на различные частотные компоненты, после чего соответствующие частотные компоненты могут быть исследованы с использованием различных масштабных разрешений. Основной процесс вейвлет-анализа состоит из разложения исходного сигнала на масштабное пространство, преобразования сигнала во временной области в масштабный сигнал и использования узкого и широкого временных окон для выполнения частотно-временного анализа на высоких и низких частотах соответственно. Как показано на рис. 9, структура с несколькими разрешениями делит сигнал на низкочастотную (а1) и высокочастотную составляющие (Ь1). Затем низкочастотные составляющие допол-
нительно разлагаются, и так до нужного номера слоя. Конечной целью декомпозиции является построение базиса ортогональных вейвлетов, аппроксимирующего пространство по частоте. Эти ортогональные вейвлеты с разным разрешением по частоте соответствуют полосовым фильтрам с разной шириной полосы.
Рис. 8. Фильтрация фрезерованного профиля с использованием вейвлета [27]
Рис. 9. Принцип многомасштабного анализа [28]
В настоящее время вейвлеты имеют модели первого, второго и третьего поколения. Базовый биортогональный вейвлет первого поколения удовлетворяет трем требованиям к фильтрации сигнала: линейная фаза, конечная импульсная характеристика и полная реконструкция. Поэтому исследователи часто используют базовые биортогональные вейвлеты для вейвлет-анализа.
Биортогональные вейвлеты, построенные по схеме подъема (второго поколения) преодолели недостатки вычисления вейвлетов первого поколения, сохранив при этом характеристики базового биортогонального вейвлета. Сплайн вейвлет с кубической интерполяцией в ISO 16610-29:2020 использует схему подъема. Однако кубический интерполяционный сплайн вейвлет имеет проблему искажения амплитудно-частотной характеристики. Таким образом, вейвлет кубического интерполяционного сплайна подходит для анализа топографии поверхности, но не рекомендуется для извлечения эталонной линии профиля.
Вейвлет третьего поколения использует теорию сложного вейвлет-преобразования, которая обладает трансляционной инвариантностью и селективностью по направлению, а также может извлекать такие характеристики, как линейность поверхности и царапины на профиле.
Сплайн вейвлет-фильтр можно использовать для разделения профиля на разные полосы, и он является идеальным многомасштабным фильтром для анализа и определения характеристик. Как показано на рис. 10, профиль разбивается на десять слоев с помощью вейвлета coif4, а дифференциальный профиль и приблизительный профиль изображаются для анализа с несколькими разрешениями. Сплайн вейвлет-фильтр также может выполнять анализ топографии поверхности и извлечение шероховатости на инженерных поверхностях. По сравнению с фильтрами Гаусса и линейными сплайн фильтрами вейвлет-фильтры лучше подходят для анализа топографии поверхности, сформированной несколькими процессами.
Рис. 10. Первичный, разностные и аппроксимирующие профили [17]
Заключение
В настоящей статье представлен анализ линейного и робастного сплайн и вейвлет-фильтров и проведено сравнение с фильтрами Гаусса. При анализе учитывались следующие факторы: конечные эффекты, устойчивость к выбросам, фильтрация формы, фильтрация данных с неоднородным шагом выборки и фильтрация замкнутых профилей. Сплайн фильтр представляет собой чисто цифровой фильтр, т. е. не требует дискретизации весовой функции. Алгоритм матричного решения вдвое быстрее, чем у фильтра Гаусса, и хорошо подходит для обработки больших объемов данных. Полностью отсутствуют конечные эффекты, в результате профиль может быть использован полностью или длину можно выборочно укоротить. Сплайн фильтр хорошо подходит в качестве фильтра формы, поскольку полиномы третьего порядка не имеют смещения. Эффективность робастного сплайн фильтра по отношению к выбросам сравнима с робастным фильтром Гаусса. Кроме того, сплайн фильтры можно адаптировать к любым граничным условиям, т. е. для открытого и закрытого профилей. Вейвлет-фильтр является идеальным многомасштабным фильтром. Поэтому данные типы фильтров расширяют возможности стандартных фильтров Гаусса, в первую очередь для анализа мультифункциональных поверхностей.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 22-2901269).
Список источников
1. Захаров О.В., Яковишин А.С., Жуков А.В. Применение фильтров серии ISO 16610 для анализа структуры поверхности. Ч. 1. Обзор профильных фильтров // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2022. № 2. С. 22-37.
2. Захаров О.В., Яковишин А.С., Жуков А.В. Применение фильтров серии ISO 16610 для анализа структуры поверхности. Ч. 2. Профильные фильтры Гаусса // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2022. № 3. С. 46-60.
3. Захаров О.В., Яковишин А.С., Жуков А.В. Применение фильтров серии ISO 16610 для анализа структуры поверхности. Ч. 3. Профильные морфологические фильтры // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2022. № 4. С. 36-49.
4. ГОСТ Р 8.895-2015. Геометрические характеристики изделий (ГХИ). Фильтрация. Часть 1. Обзор и основные понятия.
5. ISO 16610-22:2015. Geometrical product specifications (GPS). Filtration. Part 22: Linear profile filters: Spline filters.
6. ISO 16610-29:2020. Geometrical product specifications (GPS). Filtration. Part 29: Linear profile filters: wavelets.
7. ISO 16610-32:2009. Geometrical product specifications (GPS). Filtration. Part 32: Robust profile filters: Spline filters.
8. Krystek M. ISO-Filter für die Fertigungsmesstechnik ISO Filters for Precision Engineering // Technisches Messen, 2009, vol. 76, pp. 133-159.
9. Filtration Techniques for Surface Texture. URL: https://guide.digitalsurf.com.
10. Hüser D. Selected Filtration Methods of the Standard ISO 16610, 5 Precision Engineering, PTB. 2016.
11. Krystek M. Form filtering by splines // Measurement. 1996. Vol. 18. pp. 9-15.
12. ISO 16610-28:2016. Geometrical product specifications (GPS). Filtration. Part 28: Profile filters: End effects.
13. A robust spline filter on the basis of L2-norm / T. Goto, J. Miyakura, K. Umeda, S. Kadowaki, K. Yanagi // Precision Engineering. 2005. Vol. 29. pp. 157-161.
14. Дискретный алгоритм на основе кусочно-линейной интерполяции для дискового морфологического фильтра / О.В. Захаров, А.Г. Лаптев, В.Г. Лысенко, Е.А. Миловано-ва, Н.А. Табачникова // Измерительная техника. 2022. № 8. С. 35-40.
15. Analysis of the boundary conditions of the spline filter / M. Tong, H. Zhang, D. Ott, X. Zhao, J. Song // Measurement Science and Technology. 2015. Vol. 26. pp. 095001.
16. Порошин В.В., Богомолов Д.Ю., Лысенко В.Г. Исследование погрешности фильтрации неровностей поверхности сплайновым пространственным фильтром // Измерительная техника. 2018. № 3. С. 27-32.
17. A review of digital filtering in evaluation of surface roughness / B. He, H. Zheng, S. Ding, R. Yang, Z. Shi // Metrology and Measurement Systems. 2021. Vol. 28. pp. 217-253.
18. Захаров О.В., Погораздов В.В., Кочетков А.В. Методические основы гармонического анализа круглограмм // Метрология. 2004. № 6. С. 3-10.
19. Марков Б.Н., Шулепов А.В. Алгоритмы робастной фильтрации профиля шероховатости // Измерительная техника. 2015. № 7. С. 4-7.
20. Krystek M. Discrete L-spline filtering in roundness measurements // Measurement. 1996. Vol. 18. pp. 129-138.
21. Zeng W., Jiang X., Scott P. A generalised linear and nonlinear spline filter // Wear. 2011. Vol. 271. pp. 544-547.
22. Повышение точности воспроизведения и передачи единицы длины в области измерений параметров шероховатости поверхности нанометрового диапазона контактными профилометрами / В.Г. Лысенко, В.А. Костеев, Е.А. Милованова, Н.А. Табачникова и др. // Законодательная и прикладная метрология. 2021. № 5. С. 37-47.
23. Наномодификация приповерхностных слоев при электроэрозионной обработке оксидных нанокомпозитов / С.Н. Григорьев, М.А. Волосова, А.А. Окунькова и др. // Вестник МГТУ Станкин. 2020. № 4. С. 11-22.
24. Гречников Ф.В., Захаров О.В., Королев А.А. Направления повышения производительности и точности контроля сложных поверхностей на координатно-измерительных машинах // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта: сб. тр. Междунар. конф. Москва: ИПУ РАН, 2016. С. 223-225.
25. Прогнозирование погрешностей сборки изделий с использованием действительных моделей деталей / Ю.С. Елисеев, М.А. Болотов, В.А. Печенин, И.А. Грачев, Е.В. Кудашов // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2019. Т. 18. № 2. С. 128-137.
26. Robust Filtration Techniques in Geometrical Metrology and Their Comparison / S. Lou, W.H. Zeng, X.Q. Jiang, P. Scott // International Journal of Automation and Computing. 2013. Vol. 10. pp. 1-8.
27. Krystek M., Scott P.J., Srinivasan V. Discrete linear filters for metrology // XVI IMEKO World Congress. Vienna, Austria, 2000.
28. Seewig J. Areal filtering methods. Characterisation of Areal Surface Texture. Berlin: Springer, Heidelberg, 2013. pp. 67-106.
Сведения об авторах
Захаров Олег Владимирович -
доктор технических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Технология авиационного приборостроения и машиностроения» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Оleg V. Zakharov -
Dr.Sci. Tech., Senior Research Fellow at the Laboratory of Aeronautical Engineering Technology, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Яковишин Александр Сергеевич -
младший научный сотрудник лаборатории «Технология авиационного приборостроения и машиностроения» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Alexander S. Yakovishin -
Junior Research Fellow at the Laboratory of Aeronautical Engineering Technology, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Сулейманова Фаина Денисовна -
дежурный по лаборатории «Технология авиационного приборостроения и машиностроения» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Жуков Андрей Владимирович -
дежурный по лаборатории «Технология авиационного приборостроения и машиностроения» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Faina D. Suleymanova -
Laboratory Assistant, Laboratory of Aeronautical Engineering Technology, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Andrey V. Zhukov -
Laboratory Assistant, Laboratory of Aeronautical Engineering Technology, Yuri Gagarin ,State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 18.01.2023, принята к опубликованию 06.03.2023
