CC BY
17
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2003, №1, с. 11-13.
@ Омский государственный университет УДК 519.48
ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА КОМПОЗИЦИИ В ТЕОРИИ ПРОНИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБР ЛИ
Е.А. Швед
Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 5 сентября 2002 г.
The method of composition was found by A.I. Shirshov. We investigate its analague in the theory of pronilpotent Lie algebras. By the way, we construct the finit generated subalgebra in the free pronilpotent Lie algebra, wich is not free Lie algebra.
Основная теорема о подалгебрах свободной лиевой алгебры - теорема А.И. Ширшова о том, что любая подалгебра свободной лиевой алгебры является свободной алгеброй Ли (см. [1]). А.И. Ширшовым разработан метод композиции [2], [3] (см. также [4]), который служит для доказательства структурных теорем и решения алгоритмических задач в теории алгебр Ли.
Пусть Ь = Ь[X] - свободная алгебра Ли над полем с множеством свободных порождающих А". С помощью метода композиции можно доказать, что подалгебра I свободной лиевой алгебры Ь (идеал, порожденный множеством М, замкнутым относительно композиций) имеет множество свободных порождающих Z = {¿а} такое, что для всякого € Z правильное ассоциативное слово (п.а.с.) ¿л содержит ровно одно подслово /г 5 ГДе /г € М [5]. В работе [5] найдены также множества свободных порождающих степеней Ьп(п € Ы) алгебры Ь. (Эти множества построены другим методом Л.А. Бокутем [6].)
В предлагаемой статье показано, что аналогичные результаты справедливы для идеалов свободной пронильпотентной алгебры Ли Ь = Ь [А"].
В.Н. Ремесленников высказал гипотезу, что любая конечнопорожденная (к.п.) подалгебра В < Ь свободной пронильпотентной алгебры Ли Ь является свободной лиевой алгеброй. В работе ВТ. Шантаренко [7] эта гипотеза опровергается методами теории моделей, но явный контрпример к гипотезе не построен. В нашей статье мы предлагаем такой контрпример. Идею конструкции мы взяли из доклада Г.П. Кукина и Е.А. Тюменцева на Мальцевских чтениях (Новосибирск, ноябрь 2001 г.), текст которого пока не опубликован. Доказательство леммы 3 (см. ниже) фактически совпадает с фрагментом дан-
ного доклада. Мы привели это доказательство для полноты изложения.
Основные результаты
Свободная пронильпотентная алгебра Ли L = L[X] построена, например, в работе [8]. (Однако эта работа не является первоисточником.) Элемент g G L(X), g =/= 0 запишем в виде g = ^2T=k0 Ук ' гДе Як ~ линейная комбинация правильных слов степени к в алфавите А", gj.0 ^ 0. Здесь g ко = Y,ï=iatst, где si > s2 > ... > sT - правильные слова, at G F, at =/= 0. Элемент st = g назовем главным слагаемым элемента g. Он играет в теории алгебры L роль, аналогичную роли старшего члена в теории свободной лиевой алгебры L. Число ко обозначается codeg g (ко-степень элемента g ).
Дадим определение композиции включения и композиции пересечения для элементов алгебры L. Пусть g,h G L (g, h =/= 0), g, h - их главные слагаемые, причем ассоциативный носитель g п.н.с. g содержит h в качестве подслова. На слове g можно расставить скобки так, что эта расстановка продолжит расстановку скобок на h, которая превращает h в п.н.с. h. Получим одночлен < g >= ...(/г)... Элемент д* получен из < g > заменой множителя (/г) на (/г). Тогда либо элемент gi = g — g* равен нулю, либо codeg {g — g*) > codeg g, либо codeg {g — g*) = codeg g, но g\ < g. Элемент g\ называется композицией включения элементов g, h в алгебре L.
Пусть теперь g, h G L, (g, h ^ 0), при этом g = ab, h = bc (а,Ъ,с - непустые слова), abc -п.н.с. В слове abc выделим подслово ab, на нем расставим скобки так, что получим п.н.с. g, а эту расстановку скобок продолжим так, что получим одночлен gi G L, причем д\ = abc. Аналогично
12
Е.А. Швед.
получим одночлен h\ £ L, продолжив расстановку скобок на Ьс, превращающую п.н.с. Ъс в п.н.с. /г; при этом h\ = abe. Элемент получен из д\ заменой множителя д на д, а элемент /г„ получен из hi заменой /г на /г. Элемент — /г„ = [gji;b] назовем композицией пересечения для элементов д, /г, по подслову b (в алгебре L).
Множество М ненулевых элементов из L назовем замкнутым относительно композиций в L, если для любых g,h £ М композиция (включения или пересечения) этих элементов либо равна нулю, либо принадлежит М.
Пусть I - идеал алгебры L, замкнутый в про-нильпотентной топологии. Тогда существует множество М С / , замкнутое относительно композиций в L, причем наименьший замкнутый идеал алгебры L, содержащий М, совпадает с /, то есть М - множество топологических порождающих идеала /.
Лемма 1. Пусть I - идеал алгебры L, замкнутый в пронильпотентной топологии. Тогда существует множество М = {/а} элементов /л £ I, замкнутое относительно композиций в L, такое, что если д £ I (д =/= 0), то ассоциативный носитель д элемента д содержит фрагмент Д для одного из элементов f\ £ М.
Лемма 2. Пусть I - замкнутый идеал алгебры L, порожденный множеством М С I, замкнутым относительно композиций (в алгебре L). Подалгебра I < L является свободной пронильпотентной алгеброй Ли (это терема 1 из [8]), причем множество ее свободных топологических порождающих Y можно выбрать из таких элементов у\ , что п. а. с. ух содержит под слово вида f i (f i £ М), но не содержит двух таких непересекающихся под слов. Если же элемент h (h =/= 0) принадлежит замыканию идеала /2, то h содержит по крайней мере два непересекающихся фрагмента /¿,/¿, где /¿,/¿ £ М (возможно, * =3)-
Леммы 1 и 2 доказываются аналогично леммам 3 и 4 из [5], с той лишь разницей, что теперь композиция вычисляется в алгебре L, а роль старшего члена элемента играет главное слагаемое, поэтому мы доказательства опускаем.
Пусть поле F имеет нулевую характеристику. Рассмотрим свободную пронильпотентную алгебру Ли (над F) с двумя топологическими порождающими: L = L[x,y\. Хорошо известно [9], что отображение а —>■ aexpb = J^^Lo ' гДе
a,b £ L, является автоморфизмом алгебры L, так что ее подалгебры L и Lb = L exp b изоморфны. Далее, b = ху. Рассмотрим подалгебру S < L, порожденную L U Lb, то есть порожденную четверкой элементов .г, у, ,гь, уъ.
Лемма 3. Подалгебра S является свободным
произведением изоморфных свободных алгебр Ли L и Lb с объединенной одномерной подалгеброй < b >, базис которой {b = ху} : S = L*<ь> Ьь.
Доказательство.Пусть (р - изоморфизм алгебр Ли Ао и Ai, Р = Ао *<a=av> А\ - свободное произведение алгебр Ли Ао и А\ с объединенной одномерной подалгеброй < а > в Ао, < а? > в А\. Рассмотрим вполне упорядоченную базу алгебры Ао (это {ciQi\i £ 1}, причем аоо = а - ее наименьший элемент). Тогда {аи = а^} - база алгебры А\. В работе [10] (см. также [11] или [4]) показано, что Р = V © Ао - прямая сумма векторных пространств Ао и V, где V
- идеал алгебры Р, порожденный множеством {ац — dot | г £ 1,г > 0}, причем V - свободная алгебра Ли со свободными порождающими ■Щ,т = (ац - a0i)a0j1...a0jk , где г =< ji, ...,jk >, к > 0, г > 0, (I г h < д... < jk < г.
Возьмем Ао = L[;ri,j/i], А\ = L\x\,y^\. Отображение 0 : ;Г1 —>■ х,у\ —>■ у, х\ —> —>■ уъ продолжается до гомоморфизма (который мы также обозначим в) алгебры Р = Ао *<„-„?> А\ на алгебру S (здесь а = ху). Очевидно , что 9\а0
- изоморфизм. Если мы докажем, что в алгебре S сумма подалгебр Vе и Ав0 (Ав0 мы отождествляем с Ао = L = L[x, у]) прямая, а подалгебра Vе -свободная алгебра Ли со свободными порождающими vf т, то будет доказан изоморфизм алгебр S и Р = L *<0> Lb, где а = ху, что и требуется в лемме.
Сначала покажем, что Vе - свободная алгебра Ли с множеством свободных порождающих Vi,r = ~ ai)ajl...ajk , где г =< ji,...,jk > ,к > 0, |сц} - база алгебры L из правильных слов (с такой упорядоченностью, что ао = ху - ее наименьший элемент), 0 < ji < j-2 < ••• < jk < г, а\ = сцехрб, причем b = ао = ху. Достаточно доказать, что между элементами произвольного конечного множества Wo С W = {«¿)Т} нет нетривиальных соотношений (т. е. не существует такого ненулевого элемента h £ L[yi, ...ym\ свободной алгебры Ли Ь[у\,..., ym\ , что h(vi,..., vm ) = 0, где vv G W0).
Все элементы «¿ т £ L принадлежат замыканию идеала I = L2 алгебры L, порожденного элементом b = ху в алгебре L. Элемент ху входит в множество Т свободных порождающих свободной лиевой алгебры /. Можно так упорядочить множество Т, что ху станет наименьшим элементом в Т. Элементы vi)T £ Wo запишем в виде линейной комбинации правильных слов в алфавите Т. Элементы входящие в за-
пись щ)Т £ Wo, содержат букву b £ Т, но не совпадают с ней. В записях ассоциативных носителей ctj, ai p этих элементов в алфавите Т буква
Приложения метода композиции.
13
b встречается самое большее R раз подряд, так как множество Wo конечно.(Таким образом, мы определили число R = R(Wo)). Каждый элемент ViyT £ Wo мы запишем в виде ряда - бесконечной линейной комбинации правильных слов в алфавите Т. Выделим его «главную часть» v*T - это лексикографически старшее слово v в алфавите Т среди слов наименьшей степени, входящих в запись щ)Т с ненулевыми коэффициентами, причем ассоциативный носитель v содержит подсло-во bR+m , где число m = m(vi T) - наименьшее из возможных для данного элемента «¿)Т .
Предположим, что разные элементы г>(1), v(2) £ Wo имеют равные главные части. В этом случае элемент v(2) заменим на г>(2) — г>(1); при этом подалгебра Vе не изменится. Конечное число таких замен переведет множество Wo в множество Wq той же мощности, причем Wo и Wq порождают одну и ту же подалгебру в Vе. При этом мы добьемся линейной независимости множества Wg. Нетривиальное соотношение между элементами множества Wg означает нетривиальное соотношение между их главными членами. В силу определения главной части элемента это означало бы линейную независимость главных частей элементов из Wg, что невозможно по построению Wg. Итак, подалгебра Vе - свободная алгебра Ли, a W - множество ее свободных порождающих.
Докажем теперь, что Vе П L = 0. Вместо Vе рассмотрим ее произвольную конечнопорожден-ную подалгебру V®. Понятно, что (нетривиальная) линейная комбинация элементов х, у не принадлежит замыканию (L)2 в L. Поэтому, если q £ ЬП Vе, q ^ 0, то q £ L2 , то есть L2 П V® ^ О, где q £ V®. Пусть R = R(q) - число, определенное выше; при этом мы рассматриваем q как элемент L2 . Перепишем q в виде ряда от элементов «¿)Т £ V®. Зная число R = R(q), определим главные части v* элементов «¿ т .Тогда в выражении q (в виде ряда) есть ненулевое слагаемое р, содержащее подслово bR+m (m > 0) в ассоциативном носителе (р =/= 0, так как в противном случае между главными частями элементов имеется нетривиальное соотношение, что невозможно по доказанному). Однако q £ L2 таких слагаемых не содержит. Полученное противоречие показывает, что L П Vе = 0, и лемма 3 доказана.
Осталось показать, что алгебра S = Lo *<ь> Li, где Lo = L[x,y], L\ = L[xi,yi\ - свободные алгебры Ли, b = ху = xryi, не является свободной. Множество {.г, у, xi, у\} порождает S и линейно независимо по модулю S2. Следовательно, если S - свободная алгебра Ли, то ее ранг равен 4, a dim S2/S3 = 6, так как множество правильных слов степени 2 в алфавите из 4 букв содержит 6 элементов. Однако в ал-
гебре Ьо *<ь> ¿1 линейная оболочка множества {.гу, XXI, ху1, ух 1, уу\, х\у1} имеет размерность 5, так как ху = х\у\. Противоречие показывает, что подалгебра Б = Ьо *<ь> алгебры Ь не является свободной алгеброй Ли.
1. Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр II Матем. сб. 1953. Т. 33. № 2. С. 441-452.
2. Он же. О свободных кольцах Ли // Матем. сб. Т. 45. № 2. С. 113-122.
3. Он же. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. матем. журн. 1962. Т. 3. № 2. С. 292-296.
4. Bocut' L.A., Kukin O.P. Algorithmic and Combinatorial Algebra. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1994.
5. Швед E.A. Приложения метода композиции в теории алгебр Ли // Вест. Ом. ун-та. 2002. № 4. С. 1113.
6. Бокутъ Л.А. База свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика. 1968. Т. 2. № 4. С. 16-18.
7. Шантаренко В.Г. О парасвободных алгебрах Ли. Деп. в ВИНИТИ 07.05.90. № 2391-В 90. 22 с.
8. Швед Е.А. О пронильпотентных алгебрах Ли // Вест. Ом. ун-та. 2001. Вып. 4(22). С. 16-18.
9. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. С. 17.
10. Кукан Г.П. Подалгебры свободного произведения алгебр Ли с объединенной подалгеброй // Алгебра и логика. 1972. Т. 11. № 1. С. 59-86.
11. Он же. О свободных произведениях ограниченных алгебр Ли с объединенной подалгеброй // Матем. сб. 1974. Т. 95. № 1. С. 53-83.
12. Baur H., Stammbach U. A note on parafree Lie algebras // Commun, in Alg. 1980. V. 8(10). P. 953960.
13. Швед E.A. Приложения метода композиции в теории алгебр Ли и пронильпотентных алгебр Ли. Деп. в ВИНИТИ 05.11.02. № 1897-В2002. 14 с.
