Универсальная e-оболочка конечномерной алгебры Ли над конечным полем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2003. №3. С. 19-21.

© Омский государственный университет УДК 519.48

УНИВЕРСАЛЬНАЯ (2-ОБОЛОЧКА КОНЕЧНОМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

Е.А. Тюменцев

Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр.Мира, 55А1

Получена 28 февраля 2003 г.

In this paper we constucted the univeral ^-wrapper for any algebra Lie over an arbitrary field. We used The Composition Method discovered by A.I. Shirshov and developed by L.A. Bockut' [1]. After that we prooved that the universal ^-wrapper is a finite object for any finite-dimensional algebra Lie over an arbitrary finite field.

Напомним, что экспоненциальная алгебра А над полем F характеристики 0 — это алгебра Ли, в которой для любых элементов а, Ь G А сходит-

оо

ся ряд аехр b = Yl А0^"- В работах [2], [3],

п=0

[4] были изучены свойства экспоненциальных алгебр, получены конструкции свободной экспоненциальной алгебры, свободного произведения экспоненциальных алгебр с объединенной подалгеброй, HNN-расширения, сплетения. В частности, было показано, что в экспоненциальных алгебрах справедливы следующие тождества Va, b, с G А,

а, /3, 7 € F :

аехрсха = а, (1)

(аа + (ЗЪ) ехрс = a(aexpc) + /?(6ехрс), (2)

(ab) ехрс = (аехрс)(сехрс), (3)

аехр/?6ехр7& = аехр(/? +7)6, (4)

аехр6ехрс = аехрс(ехр(6ехрс)). (5)

В работе [4] введено многообразие алгебр (В как наименьшее многообразие, содержащее экспоненциальные алгебры. В классе (£-алгебр (алгебр из многообразия <£), а это уже алгебры над произвольным полем, для каждого элемента а алгебры А определена унарная операция Е{а) '■ b I—i ЬЕ{а), при этом выполняются тождества, похожие на тождества (1)-(5), только вместо ехр будет Е ■

В работе [4] указана теорема (доказательство в [2]), показывающая, что любая алгебра Ли А над произвольным полем F имеет (£-оболочку в смысле следующего определения.

Определение. Пусть L — алгебра Ли над полем F, i ■ L —Л — ее вложение в (В-алгебру

1 e-mail: tjumencev<Q)math.omsu.omskreg.su

Л, порожденную Ь' (как (В-алгебра), причем для любого гомоморфизма (р : Ь —Ьо на подалгебру Ьо е (В-алгебре Ло существует такой гомоморфизм Ф : Л —!■ Ло (В-алгебр, что диаграмма

Ь —и Л

¥>\ 1Ф

Ло

коммутативна. Тогда (В-алгебра Л называется (универсальной) (В -оболочкой алгебры Ь; она обозначается Л = (ВЬ.

Приведем полный текст доказательства упоминаемой теоремы.

Теорема. Для любой алгебры А над произвольным полем Ь любой характеристики универсальная оболочка (В-оболочка (ВА существует (и единственна с точностью до изоморфизма алгебр в сигнатуре (В-алгебр).

Доказательство. Пусть А = Ь/1где Ь — свободная алгебра Ли над полем Р в подходящем алфавите X, — некоторый идеал. Вполне упорядочим множество всех направлений алгебры Ь. Напомним, что под направлением понимается класс эквивалентности всех коллинеар-ных векторов. Пусть /о — наименьшее направление из всех возможных. Алгебры Ь Е{о/о), гДе а' €Е Р изоморфны Ь, причем Ь Е{О/о) = Ь. (см. [2] или [4]). Алгебру Ь Е{сх£о)) можно понимать как алгебру Ли в алфавите

Х{с}0) = {^¿(«Л) = Xi Е(о:/о) | Хг £ X}.

Рассмотрим алгебру Ь\ — свободную алгебру Ли в алфавите Хд = и и ее идеал

/о, порожденный элементами /о Е{о/о) ~ /о, гДе

20

Е.А. Тюменцев

элемент /о Е{а/о) записан в алфавите А^а/о) (это возможно, поскольку Е-операции являются изоморфизмами). Алгебра ¿1, порожденная и ЬЕ{<у/о), изоморфна Ь/1о. В [2] было показано, что Ьг Ь/10 * {ЬЕ{а/„) | (/0)> -

свободное произведение алгебр Ь _Е(а/о) с объединенной одномерной подалгеброй (/о)- Изучим строение идеала Д, порожденного

и 1ьЕЫо)и1о

в Ь.

Для этого воспользуемся методом композиции, открытым А.И. Ширшовым и развитым Л.А. Бокутем (см. [1]).

Пусть порожден некоторым замкнутым относительно композиций включения и пересечения множеством элементов Нр, /3 €Е 95. Тогда I _Е(а/о), а ф 0, порожден некоторым замкнутым относительно композиции влючения и пересечения множеством Нр Е{а/о), /? 6 , причем Нр Е{о/о) записан в алфавите

Рассмотрим два случая.

1- /о Ф 1ь- Тогда в идеале 11 порождающие образуют множество, замкнутое относительно композиций.

2. /о 6 1ь- Тогда в ассоциативном носителе старшей части присутствуют в качестве подслова ассоциативные носители элементов Ир, /3 6 95 (лемма о композиции), причем оператор Е{а/о) будет действовать тождественно на всей построенной алгебре <ВА. Поэтому добавим в идеал 11 элементы такого вида а£(»/о) — а, где а — любой базисный элемент в алгебре Ь алфавита X, ассоциативный носитель которого не содержит в качестве подслова ассоциативный носитель старшей части слова /о; вВ(а/о) — элемент алгебры ¿1, записанный в алфавите А^а/о). Тогда необходимо это множество привести к множеству, замкнутому относительно композиций, с помощью алгоритма, указанного в [1].

Пусть такой, что /о содержит качестве подслова ht. Тогда элементы

/о (а/о) - /о и /г4(ау0), где /о(„/0) и -

это /о£(о/о) и 1гоЕ(о:/о) соответственно, но записанные в алфавите , образуют композицию.

В результате преобразований получим новые элементы, старшие части которых записаны либо в алфавите либо лишь один из них имеет

старшую часть, равную старшей части элемента /о, — это /0.

Поэтому, когда рассматриваем идеал 11, между элементами из различных подмножеств I E{ctfo) идеала 11 композиций не будет.

Аналогично действуем и далее. Если для ординала к G К, К — нумерует множество всех направлений существует ординал к — 1, то алгебру Lk определим следующим образом. Возьмем свободную алгебру Ли Lв алфавите Afc = U„X(k-l,afk) {X(k-l,afk) = Хк-Ь ее-

сх(Е г

ли а = 0) и в ней идеал 1ьк, порожденный

и II, к-1 E(afk) и {fk {а}к) - fk}.

CfG-r

Повторяя те же рассуждения (на первом шаге индукции вообще не использовалась информация

0 том, что элемент является наименьшим), что и для случая с элементом /о, получим множество порождающих, замкнутое относительно композиций.

Если же ординала (к — 1) не существует, то Lk — свободная алгебра Ли в алфавите Afc = U Хх, 1ьк порожден U 1Ж. В ника-

ж<.к ж<.к

ких новых композиций не появляется, поскольку каждое новое множество содержит в себе

предыдущее.

Таким образом мы построим алгебру L( 1) и L( 1) = L(1)/Il(1), идеал Il{ 1), порожденный

1 в L( 1). Алгебра L( 1) замкнута относительно действия операторов expu'i expu'o ... ехри>(, Wi G L, ws < wt при s < t (здесь wt — направление). Процесс построения L( 1) завершится, потому что множество индексов К вполне упорядочено.

Аналогично строим алгебру L(n+1) по алгебре L(n), IL(n + 1) по 1{п). Получаем

ос ОС ОС

Л = и L(n), л = и L(n), 1<£ = и 1(п),

п =0 п =0 п =0

ос

X = U Х(п). Теперь (ЕА = А/1$. Построение

п=0

вложения завершено.

Доказательство единственности — стандартные рассуждения для коммутативных диаграмм, которые можно найти, например, в [5].

Предыдущее доказательство этой теоремы было написано на языке свободных произведений с объединными подалгебрами. Новое основано на применении метода композиции. Оно будет использовано при проверке следующего факта.

Теорема. Пусть F — конечное поле, А — лиева алгебра конечной размерностинад полем F. Если dim А>1, то алгебра (£А бесконечномерна над F (т.е. (В-оболочка конечного объекта бесконечна).

Доказательство. Предположим противное: <£А конечна. Тогда найдутся такие два элемента а ф 0, Ь ф 0, a, b £ А, что а* = Ьф, где ф -композиции (£ -отображений

V = E(gi)E(g2)...E(gn),

Универсальная (В-оболочка конечной алгебры Ли.

21

ф = Е{П1)Е{П-2)...Е{Пт),

91, д-2,---,дп, /гь Н-2,..., Нт £ А, п, т£ N. Тогда, используя аналоги тождеств (1)—(5) получаем, что

Е(д-2) ■ ■ ■ Е(д„) Е(~1гт) Е(-1гт^) ...

...Е{-Н1) = Ь. (6)

Пусть А = Ь/1, где I - подходящий идеал, Ь-свободная алгебра Ли над Л Рассмотрим -идеал в Л-свободной (£-алгебре, порожденный /. Тогда, по свойствам С£-оболочки, П Ь = /, Л//£ = (ВА. Поскольку в <ВА справедливо соотношение (3), то

Е(д-2) ■ ■ ■ Е(д„) Е(~1гт) Е(-1гт^) ...

...Е{-Ь,1) — Ъ £ 1<£.

Покажем теперь, что отмеченный элемент не может лежать в Полученное противоречие докажет теорему.

Действительно, согласно лемме о композиции, элемент а^' — Ъ принадлежит идеалу если и только если ассоциативный носитель старшей части элемента а?^' —Ъ а^'-1, записанный в алфавите X, содержит в качестве подслова ассоциативный носитель порождающего идеала

По построению СЕ-оболочки мы получили порождающие идеала четырех видов:

!• /(«/АЛАЛ.-.-АЛ) "/(АЛЛА,..-АЛ)' р1, /3-2, ■ --4% € Л ф /• Ассоциативный носитель старшей части элемента (3) не может содержать ассоциативные носители старших слов такого сорта, так как а и д\ - векторы из разных направлений.

2- /г4{71'!1,72>!-2,...,7гЫ' гДе 6 Этот слУ" чай также не возможен, поскольку иначе а принадлежит идеалу и, следовательно, равен 0 в А, что противоречит выбору а.

3. Порождающие, получаемые из аналогов соотношений вида (1)-(2) процедурой приведения множества порождающих к виду, замкнутому относительно композиции, при этом старшие части этих порождающих записываются от букв алфавита, который помечен элементом из идеала 1ь(р) для некоторого натурального р. Но ассоциативный носитель старшей части элемента а4"^' — Ь не содержит таких подслов, поскольку а, д-2,- ■ ■ ,дп, 1ч, /г2,...,/г,„ ф 0 в <ВА.

4. Порождающие, получаемые присоединением элементов вида аЕ{а/) — а, где а — некоторый базисный вектор, записанный в

алфавите, помеченном элементами, которые меньше, чем /. Такой случай тоже не возможен, ведь / принадлежит .

Итак, элемент алгебры <ВА

а£?Ы Е(до) ■ ■ ■ Е(д„) Е(-1гт) Е(-1гт^) ...

... я(-/ц) 1<*

(лемма композиции), что и доказывает теорему.

[1] Bokut' L.A., Kukin G.P. Algorithmic and Combinatorial Algebra, KLUWER Acadamic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1994.

[2] Кукин Г.П., Тюменцев Е.А. Свободная экспоненциальная алгебра. (В печати).

[3] Кукин Г.П., Тюменцев Е. А .Свободные произведения экспоеннциальных алгебр, HNN-расшпренпя и сплетения. (В печати).

[4] Кукин Г.П., Тюменцев Е.А. Универсальные конструкции в теории экспоненциальных алгебр / Деп. в ВИНИТИ 05.11.2002. № 1898-В2002.

[5] Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.