CC BY
9
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2002. №4. С. 11-13.
© Омский государственный университет УДК 519.48
ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА КОМПОЗИЦИИ В ТЕОРИИ АЛГЕБР ЛИ
Е.А. Швед
Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 5 сентября 2002 г.
Let L be a free Lie algebra, I - its ideal, generated by a closed set. We find a set of free generators for subalgebra I. Then we get some applications of this result.
По теореме А.И. Ширшова [1] любая подалгебра свободной лиевой алгебры - это свободная алгебра Ли. В работах А.И. Ширшова [2], [3] предложен метод композиции, развитый Л.А. Бо-кутем в ряде статей. Подробное изложение метода - в книге [4].
Пусть I - идеал свободной лиевой алгебры Ь = ¿[X] над произвольным полем Р. Первый принципиально важный шаг в методе композиции - построение множества М (I), порождающих идеала I, замкнутого относительно композиций (см. [4]). Метод композиции служит для доказательства структурных теорем и решения алгоритмических задач в теории алгебр Ли, а также для изучения когомологий алгебр Ли.
Мы строим множество свободных порождающих подалгебры I свободной лиевой алгебры Ь, если I - идеал с известным множеством М (I), порождающих I как идеала, причем М (I) замкнуто относительно композиций.
В качестве следствия найдены множества свободных порождающих степеней Ь"(п 6 N) алгебры Ь. (Эти множества построены другим методом Л.А. Бокутем [5].)
1. Предварительные сведения.
Пусть Ь = Ь[Х] - свободная лиева алгебра над полем Р с множеством свободных порождающих X (оно линейно упорядочено). База алгебры Ь , состоящая из правильных неассоциативных слов (п.н.с.) в алфавите X, построена А.И. Ширшовым [2] (см. также [4]). Любой элемент / 6 Ь (/ = 0) - это сумма / = / (/к = 0), где / - линейная комбинация правильных (неассоциативных) слов длины к в алфавите X. Слагаемое /' = /к называется старшей частью элемента /. Пусть /' = ^^^ , где - п.н.с., а^ 6 Р - ненулевые коэффициенты. Занумеруем слова (1 < t < Т) так, что
<®2 < ••• < . Тогда слово / = вт называется старшим членом элемента /. Одночлен в алфавите X, полученный из п.н.с. 8 стиранием скобок, обозначается С и называется ассоциативным носителем слова 8. Одночлен / = Ст называется ассоциативным старшим членом элемента /.
Следующее свойство базы А.И. Ширшова из п.н.с. является ключевым для метода композиции. Оно доказано в [2] (см. также [4]).
Лемма 1. Пусть д,Н 6 Ь,д, Н = 0,д > Н. Тогда дН = дН.
Пусть а, Ь 6 Ь(а, Ь = 0) и слово а содержит Ь в качестве подслова. Тогда существует такой элемент д из главного идеала /ь(Ь) алгебры Ь, порожденного элементом Ь, что д = а (см. [2] или [4]). Тогда либо а1 = а — д = 0, либо а1 = а — д = 0, причем степень ^ед а1 меньше, чем ^ед а, либо а1 = а—д = 0, ^ед а1 = ^ед а, но а1 < а . Элемент а1 = а — д называется композицией включения элементов а и Ь.
При построении элемента д 6 -Р(Ь) мы используем следующую лемму, формально более общую, чем лемма 4 из [2], но доказательства этих утверждений одинаковые.
Лемма 2. Пусть вр, ср (1 < р < Р) - правильные неассоциативные слова в алфавите X (возможно, среди слов ср есть совпадающие), причем « = ...С1...С2...Ср... (подслова не пересекают-
ся, если г = ]). Пусть < Ср > - расстановка скобок, превращающая п.а.с. Ср в п.н.с. ср. Тогда найдется такая расстановка скобок на одночлене С, превращающая его в одночлен 6 Ь (со скобками), что она продолжает расстановку скобок ср на каждом подслове ср (1 < р < Р), причем
Пусть до, Н0 п.н.с., д = аЬ, Н = Ьс, где а, Ь, с - непустые п.а.с. Рассмотрим одночлен адо , полу-
12
Е.А. Швед.
ченный из abc расстановкой скобок, продолжающей расстановку < ab >= go. Аналогично одночлен wi получен из abc расстановкой скобок, продолжающей расстановку < bc >= ho. Элемент w = (go, ho; b) = wo — wi называется композицией пересечения элементов go и ho (по под-слову b ). Здесь либо w = 0, либо deg w < deg abc, либо deg w = deg abc, но w < abc.
Пусть g, h G L, g, h = 0, g = go, h = ho. В слове wo подслово < ab >= go заменим элементом g, а в слове wi подслово < bc >= ho - элементом h. Полученные элементы обозначим vo и vi соответственно. Тогда элемент v = vo — vi называется композицией пересечения элементов g, h (по подслову b) и обозначается v = (g, h; b). Здесь либо v = 0, либо deg v < deg abc, либо deg v = deg abc, но v < abc.
Определение. Пусть M = {ft\t G T} - множество ненулевых попарно различных элементов, порождающее идеал I свободной лиевой алгебры L . Предположим, что любая возможная композиция элементов fi, fj из Mi = j либо равна 0, либо принадлежит множеству M. Тогда M называется множеством, замкнутым относительно композиций.
Если fi, fj G M, fi содержит fj в качестве подслова, то можно заменить элемент fi на элемент fii, равный композиции включения fi и fj . При этом либо deg fii < deg fi, либо deg fii = deg fi, но fii < fi. Такая замена изменяет множество M, но не меняет идеала I, порожденного исходным или новым множеством M . Поэтому можно считать, что для элементов из M композиции включения не возможны. В дальнейшем, говоря о множестве, замкнутом относительно композиций, мы предполагаем, что композиции включения между элементами такого множества не возможны.
Лемма 3. (лемма о композиции [3], см. также [4]). Пусть I - идеал свободной лиевой алгебры L [X], порожденный множеством M, замкнутым относительно композиций. Если g G I (g = 0), то п.а.с. g содержит какое-либо слово fi (где fi G M ) в качестве подслова.
2. Основные результаты.
Лемма 4. Пусть в условиях леммы 3 g G 12, g = 0. Тогда g - правильное ассоциативное слово, содержащее по крайней мере два непересекающихся фрагмента fi, fj , где fi, fj G M (i = j).
Доказательство.Элемент g G 12, g = 0 запишем в виде g = K=i akgk, где ak G F, gk = hi...hr (r > 2), h j G I. При этом можно считать, что дк = hi...hr, gi > g/2 > ••• > g/K. Если g = gi > с/2, то лемма справедлива. Пусть g = gi = g/2. Рассмотрим все возможные случаи.
Случай 1: gi = ...hi...hj... , g2 = ...hv...hq...,
подслова hi, hj, hp, hq (слова gi = (¡2 ) попарно не пересекаются. В силу леммы 2 элементы gi , g2 можно представить в виде gi = g* + gii, g2 = g* + g2i. Здесь элемент g* получен следующим образом: на слове gi = g2 поставим скобки, превращающие hi, hj, hp, hq в п.н.с.: ... < hi > ... < hj > ... < hp > ... < hq > ... и продолжим эту расстановку скобок так, что получим одночлен g* в алфавите X, причем g* = g/i = g/2. Элементы gii, g2i аналогичны элементам gi, g2 (соответственно), но либо deg gti < deg gt , либо deg ga = deg gt, но ga < g/t (здесь t = 1,2). Заменив gt на g* + gti, приведем подобные, при этом запас старших членов у элементов gk уменьшится (далее - очевидная индукция).
Случай 2: слова hj и hq попарно не пересекаются, hi, hp содержат подслово abc, причем ab = fi - старший член элемента fi G M, bc = f 2 - старший член элемента f2 G M . (Аналогичный случай, когда подслово abc стоит позже hi, hp, которые не пересекаются, мы особо не выделяем). В этом случае сначала поставим скобки (abc), затем на подслове ab = fi поставим скобки, превратив его в одночлен f/i . После этого продолжим эту расстановку скобок до расстановки на фрагменте (abc). На подсловах hj, hq также поставим скобки, превратив их в п.н.с. h j, h q . Наконец, продолжим указанные расстановки скобок так, чтобы получить одночлен в алфавите X: ri = •••(f1)•••(hj)...(hq)... Аналогично получим одночлен Г2 = ...(f2)...(hj)...(hq)..., начав расстановку скобок с подслова bc, а потом продолжив эту расстановку скобок на подслово (abc) . Все скобки на r2 , кроме скобок на под-слове (abc) , стоят так же, как на ri , причем ri = r2 = g/i = g2. Теперь в ri, r2 заменим множители ft на ft (t = 1, 2), h j на hj, hq на h q. Тогда f2 = f + fi, где f = (fi,f2; b), gi = ...(f )...(hj)... + •••(f2)...(hj)..., остальные скобки стоят на этих двух слагаемых одинаково. Слагаемое y = •••(f2)...(hj)... входит слагаемым и в запись элемента g2 = y + g2i, причем элемент g2i аналогичен элементу g2 (либо g2i = 0 ), deg g2i < deg g2 или же deg g2i = deg g2 , но g/2i < g/2. Приведем подобные в записи g = ak gk, где aigi + a.2g2 = ai...(fi,f2; b)...(hj)...(hq)...+ (a2 + ai)y + a2g2i. Новая запись g = ^ вкgki, где элементы gki аналогичны элементам gk , содержит меньше различных старших членов (далее -индукция).
Случай 3: слова hi, hp содержат подслово abc, причем ab = fi, bc = f2; и одновременно hj, hq содержат подслово (Imn), причем lm = f3, mn = f 4, где fi G M (i = 1, 2, 3, 4). Здесь рассуждения вполне аналогичны случаю 2, поэтому мы их опускаем. Это доказывает лемму.
Приложения метода композиции в теории алгебр Ли
13
Лемма 5. В условиях лемм 3,4 подалгебра 1 свободной лиевой алгебры Ь (идеал, порожденный множеством М , замкнутым относительно композиций) имеет множество свободных порождающих Z = {гд}, причем для каждого гд 6 М п.а.с. Сд содержит ровно одно подслово /г, где
/г 6 М.
Доказательство. Необходимый и достаточный признак того,что множество Z, порождающее подалгебру В свободной лиевой алгебры Ь, является множеством свободных порождающих В: множество Z линейно не зависимо по модулю В2 [6]. Пусть Zо - множество всех п.н.с. в алфавите X, которые содержат ровно по одному подслову /г, где /г 6 М. Для слова сд 6 Zо сд = .../о..., поставим скобки (/о) на подсло-ве /о, превратив его в /о, а затем продолжим эту расстановку скобок так, что получим одночлен < сд >6 Ь, причем < сд > = сд. Заменив в < сд > множитель (/о) на (/о), где /о 6 М, получим элемент гд 6 1. Множество Z = {гд} порождает идеал 1 как подалгебру. При этом Z линейно не зависимо по модулю 12 в силу леммы 4, и лемма 5 доказана.
Следствие 1. Пусть Ь = Ь^] - свободная лиева алгебра с множеством свободных порождающих X. Тогда множество свободных порождающих подалгебры Ьп < Ь (п 6 ^ п > 2) состоит из всех таких п.н.с. степени 1 > п в алфавите X, ассоциативный носитель которых не содержит двух непересекающихся правильных подслов, длины которых не менее п. В частности, множество свободных порождающих подал-гебы Ь2 < Ь состоит из всех п.н.с. со степенями < > 2 , ассоциативные носители которых имеют вид а5"а2аз...а^ , где а, 6 X, к + т — 1 > 2, а1 > а2, а2 < аз < ... < < а1 или ЬЦ^Ьз^..^ ,где Ь, 6 X, р + г — 1 > 2, Ь1 > Ь2 > Ь3, Ь3 < Ь4 < ... < Ьр < Ь1 .
Пусть 1, J - идеалы свободной лиевой алгебры Ь = Ь^]; М, N - их множества порождающих, замкнутые относительно композиции. Неверно, что ассоциативный носитель старшего члена элемента / 6 и (/ = 0) содержит два непересекающихся подслова и,«, где и - ассоциативный носитель старшего члена элемента г 6 1; V - ассоциативный носитель старшего члена элемента ] 6 J. Например, Ь = Ь[х,у],1 -главный идеал, порожденный ху, а J - такой же идеал, порожденный (жу + у). Здесь / = ху(ху + у) = хуу 6 и, однако пары и,« со свойствами, описанными выше, нет.
[1] Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Матем. сб. 1953. Т.33. № 2. С. 441-452.
[2] Он же. О свободных кольцах Ли // Матем. сб. Т.45. № 2. С. 113-122.
[3] Он же. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. матем. ж. 1962. Т.3. № 2. С. 292-296.
[4] Bocut' L.A., Kukin G.P. Algorithmic and Combinatorial Algebra // Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1994.
[5] Бокуть Л.А. База свободных полинильпотент-ных алгебр Ли // Алгебра и логика. 1968. Т. 2. № 4. С. 13-20.
[6] Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными соотношениями // Матем. сб. 1950. Т. 26(68). С. 1933.
