CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17. Выпуск 2.
УДК 512.5
О МНОГООБРАЗИЯХ С ТОЖДЕСТВАМИ
ОДНОПОРОЖДЁННОЙ СВОБОДНОЙ МЕТАБЕЛЕВОЙ
АЛГЕБРЫ
А. Б. Верёвкин, С. П. Мищенко (г. Ульяновск)
Аннотация
Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А. И. Мальцеву, называется многообразием. При нулевой характеристике основного поля все сведения о многообразии содержатся в полилинейных частях относительно свободной алгебры многообразия, которые являются модулями над групповыми алгебрами симметрических групп соответствующей степени.
Используя язык теории алгебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству (xy)(zt) = 0.
В данной работе мы изучим тождества неассоциативной однопорождённой свободной метабелевой алгебры и некоторых её факторов. В частности, мы построим бесконечное множество многообразий с различными дробными экспонентами между одним и двумя.
Обратите внимание, что последовательность коразмерностей этих многообразий асимптотически формируется кодлинами, а не размерностями отдельных неприводимых модулей над групповыми алгебрами симметрических групп, как в известных ранее примерах.
Ключевые слова: тождество, многообразие, метабелевость, коразмерность.
Библиография: 18 названий.
ON VARIETIES WITH IDENTITIES OF ONE GENERATED FREE METABELIAN ALGEBRA
A. B. Verevkin, S. P. Mishchenko (Ulyanovsk) Abstract
A set of linear algebras where a fixed set of identities takes place, following A.I. Maltsev, is called a variety. In the case of zero characteristic of the main field all the information about the variety is contained in multilinear parts of relatively free algebra of the variety. We can study the identities of variety by means of investigations of multilinear part of degree n as module of the symmetric group Sn.
Using the language of Lie algebras we say that an algebra is metabelian if it satisfies the identity (xy)(zt) = 0.
In this paper we study the identities of non-associative one-generated free metabelian algebra and its factors. In particular, the infinite set of the varieties with different fractional exponents between one and two was constructed.
Note that the sequence of codimensions of these varieties asymptotically formed by using colength, and not by using the dimension of some irreducible module of the symmetric group what was for all known before examples.
Keywords: identity, variety, metabelian, codimension.
Bibliography: 18 titles.
1. Введение
На протяжении всей работы характеристика основного поля K предполагается равной нулю. Мы рассматриваем неассоциативные группоиды, линейные алгебры и полилинейные тождества таких алгебр. Соответствующая неассоциативному случаю теория тождеств линейных алгебр была предложена А. И. Мальцевым (см. [1]). Все неопределяемые понятия можно найти в книге А. Джамбруно и М. В. Зайцева [2].
Отметим, что в неассоциативном случае всякий результат умножения необходимо оснащать соответствующими скобками, и это особенно важно, когда умножение применяется многократно. Тем самым, любое длинное произведение заключено во внешние скобки, что усложняет вид записи. Поэтому иногда, когда смысл выражения ясен из контекста записи, мы будем внешние скобки опускать. Неассоциативное произведение мы будем обозначать (а х b) ил и axb, ассоциативное - а ■ b ил и ab.
Используя язык теории алгебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству
(x х у) х (z х t) = 0.
В основном, данная статья посвящена детальному изучению многообразия, опредёленного тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры. Обозначим это многообразие Mi. Отметим, что интерес к этому многообразию и его подмногообразиям был инициирован работой [3].
Пусть V - некоторое многообразие линейных алгебр, a Pn(V) - пространство полилинейных элементов относительно свободной алгебры этого многообразия степени n от свободных образующих
x1ix2i . . .ixn.
Обозначим cn(V) = dimPn(V), где n ^ 1, - размерности таких пространств. Это - последовательность коразмерностей многообразия V, задающая рост многообразия. Она является одной из основных его числовых характеристик.
В случае полиномиального роста многообразия ассоциативных алгебр V, как доказано в статье [4], для последовательности коразмерностей есть следующая асимптотическая оценка
cn(V) = qnt + O(nt-1)i
где t - натуральное число, &q положительное вещественное число. Ситуация аналогична и в случае алгебр Ли или йордановых алгебр (см. [4]). В частности, во всех этих трёх случаях предел
t = lim logra Cn(V) (1)
существует и равен натуральному числу.
Нарушение этого свойства в общем случае было впервые замечено в работе [5], где построен пример с пределом (1) равным 3,5. Позже, в работе одного из соавторов [6] был построен
пример, в котором t = 2, 5. Следует отметить, что понизить предел (1) удалось на принципи-
1
подходящим образом ограничена кодлина.
В случае экспоненциального роста многообразия V может существовать предел последовательности ncn(V), который называется экспонентой многообразия. В случае многообразия ассоциативных алгебр экспонента всегда существует и является неотрицательным числом [7]. В случае алгебр Ли были построены примеры дробной экспоненты (см. [8], [9]), и позже даже дискретная серия таких примеров (см. [10], [11])- В общем случае в работе [12] для любого действительного числа а > 1 построено многообразие экспоненты а. И в этом случае на
1
в котором подходящим образом ограничена кодлина, в статье [13] удалось построить многообразие с дробной экспонентой, равной золотому сечению. Одним из результатов настоящей работы является обобщение того примера.
Изложенное выше явилось мотивом пристального внимания авторов к многообразию Mi.
2. Неассоциативные скобочные структуры
В этом разделе мы укажем несколько градуировок свободного неассоциативного группоида (т.е., универсальной алгебры с одной бинарной операцией), необходимых в последующих разделах.
Определение 1. Пусть X = {x1,... , xn} - непустое конечное множество. Оно порождает свободный группоид W (X) = Um>1 Wm(X) ; состоящий из дизъюнктного объединения компонент:
k-i
Wi(X) = X и Wk(X) = U (WS(X)xWfc_s(X)), при k > 2 .
s=1
W(X)
Лемма 1. w1 = w2 S W(X) если и только если выполнены, два условия:
1. w1 и w2 S Wk (X) для пекоторого k > 1;
2. при k = 1 равенство w1 = w2 выполняет,ся, в X, а при k > 2 есть однозначное разложение Wi = (uixvi), где u1 = u2 и v1 = v2 в W<k(X).
Доказательство. Непосредственно вытекает из рекуррентного определения W(X). □
Определение 2. Нижний индекс Wk(X) задаёт длину элементов группоида W(X). Если w S Wk(X) положим, |w| = k. Поскольку |(uxv)| = |u| + |v|; эта длина, определяет,
W(X)
Ws(X)xWt(X) = (WS(X)xWt(X)) С Ws+t(X).
Определение 3. Среди рассмотренных свободных группоидов есть простейший, назвы,-ваемый группоидом скобочных шаблонов B := W ({ж}).
Любой W (X) гомоморфно отображается на B стиранием индексов xf.
ß: W(X) ^ B, где ß(xi) = ж, ß((uxv)) = (ß(u)xß(v)).
Если w S W(X), то ß(w) S B назовём скобочной структурой неассоциативного монома w. Для b S B обозначим множество
W(b)(X) := {w S W(X) | ß(w) = b} = ß-1(b).
Тогда разбиение W(X) = U W(b)(X) является неассоциативной мультипликативной гра-W(X)
W (b)(X ) x W (b')(X ) = (W (b)(X ) x W (b)(X )) = W ((bxb'))(X ) = W (bxb')(X ). Скобочная структура помнит длину: |ß(w)| = |w|, поэтому
Ws(X)= U|b|=s Ws(b) (X).
Здесь Ws(b)(X) = W(b)(X), при |b| = ^^o Ws(b)(X) = 0, иначе.
bSB
tf(B(b)) = fl(W (b)({x})) = 1, Ö(W(b) (X )) = ö(X)|b|.
Замечание 1. В ассоциативном случае на этом пути мы получим свободный моноид ассоциативных слов относительно операции приписывания X+ = и5>1 X3. Элементы X5 имеют вид (х^,... ,хге); который может быть упрощён до х^ ■ ■ ■ х^, и есть каноническая
биекция, XsхX4 ~ X. В простейшем случае {х}5 = {х5}; и поэтому ({ж}*, х) = (^ +);
у
распространяется на, моноид X* = и5>0 X5; получающийся, из X+ добавлением X0 = {0}; содержащего пустое слово длины, ноль, играющего роль единицы, моноида X*. В этих случаях скобочная структура поглощает,ся, длиной и не видна. В неассоциативном, случае поведение скобочной структуры более сложное.
Следующие примеры показывают, что одинаковые скобочные структуры могут разделяться при подстановках, и наоборот - разные скобочные структуры могут сливаться. Это необходимо учитывать при описании скобочной структуры возможных неассоциативных тождеств.
Пример 1. ту мономов х1 х х2 и х2 х х1 одна скобочная стру ктура (х х х), но при подстановке х1 := х, х2 := х х х получается разный, результат: (х х (х х х)) = ((х х х) х х).
• м,он,ом,ы, х1х(х2 хх3) и (х2хх3) хх1 имеют разную скобочную структуру (хх(ххх)) = ((ххх)хх), но при подстановке х1 := ххх, х2 := х, х3 := х получается одинаковый, итог ((ххх)х(ххх)).
Замечание 2. Скобочные структуры в свободном неассоциативном группоиде связаны с числам,и Кат,алана, С5 : 1,1, 2, 5,14, 42,132, 429,1430,... :
ЪШ = 1 ■ ^ ■ (2*) = С, , )) = С5 ■ № У.
Эти формулы допускают, расщепление, которое мы назовём гнездовым. Определение 4. Обозначим множество
1I(X) = 1I := Ш>2^) = М Ws(X).
Тогда 1I(X) - это идеал группоида Ш(X), в том смысле, что оно выдерживает умножение на элементы Ш (X): 1I х Ш (X), Ш (X) х 1I С 1I.
Само Ш(X) = W>l(X) является в этом смысле своим идеалом - мы обозначим его о I(X) =
о I
Для непустого М С Ш(X) обозначим (М) - идеальное замыкание М в Ш(X), то есть, -наименьший по включению идеал Ш (X), содержащий М.
Теперь мы можем определить следующие идеалы (при этом последующие объединения не являются дизъюнктными):
21(X) = 21 := (11х 11), -I(X) = -I := (М *Iх--I) = и <*Iх--*1), при * > 2.
4=1 4=1
Мономы из ^ I являются неассоциативными произведениями некоторого набора элементов Ш(X), не менее в из которых лежат в Ш^^). Комбинаторное строение 51 мы выясним позднее.
Построенные идеалы определяют убывающую фильтрацию на Ш (X): Ш(X) = оI Э 11 Э ■ ■ ■ Э -1 Э 1 Э ... , П -1 = 0.
5>0
Определим последовательные дополнения предыдущего ряда:
-С(А) = -С :— -I \ -+1 I, 8 ' 0.
Ясно, что
51 — г С , в частности, Ш (X) —
II* С,
г'в г'0
и эти объединения дизъюнктные.
Замечание 3. Множество 3С состоит из неассоциативных мономов, ровно в сомножителей которых лежат в ), а остальные в X. Это определяет, скобочный шаблон мономов: если ад € 3С(Х), то € 3С({ж}). Например, мономы шаблона (((ж х (ж х ж)) х ж) х ((ж х ж) х ж)) х х принадлежат, 2С - элементы от,сюда, содержат, ровно два вхождения вида (жi х ж^).
Определение 5. Пусть ад € Ш(X), подмономы ад вида (жi х ж^) м,ы, назовём гнёздами в
ад.
Их количество определяет принадлежность монома множествам 3С и 31. Если и> € вС, то ад содержит в гнёзд, и наоборот. Кроме того, |ад| ' 2в, и в итоге:
-С — и и -с№ , где -С^ — -СПШ4Ь)(Х).
т'2вЬеВ
Безгнездовые мономы имеют вид ж^ - они принадлежат X — о С — о С(1Л).
Замечание 4. Разбиение {5С | в ' 0} задаёт на Ш(X) почтиградуировку, в смысле:
-СхгС С С при (в,£) —(0, 0), но о Сх 0 С С 1 С.
Благодаря этому можно найти производящую функцию группоида Ш(X) учитывающую гнездовую структуру мономов и их длину (тут ) — и):
^(у, г) — ))(у,г) :— £ £ й(вСт)ут,гв
т'1 в'0
иу + и2у2г + 2и3у3г +
Лемма 2. ^(у, г) алгебраична:
2„,2
—Ц1 - <1-2иу){1 - _
Доказательство. Функциональная связь для ^ — ^(у, г), с учётом вышеуказанного сбоя градуировки 5С, следует из равенств:
X и (Ш(X)хШ(X)) — Ш(X),
иу + ^(у, г)2 — ^(у, г) — и2у2г + и2у2 . Откуда получается квадратичное уравнение:
^2 — ^ + (и2 у2 г — и2у2 + иу) — 0.
Преобразуем дискриминант этого выражения:
Б = 1 - 4п2у2г + 4п2у2 - 4пу = (1 - 2пу)2 - 4п2у2г . Поэтому для Б есть две возможности:
= 1 (1 ± (1 - 2пу) ■ (1 - 4п2у2 ^'
2 V V (1 - 2пу)2
Из Б(0, г) = 0, получаем Б = , что и доказывает Лемму 2. □ Замечание 5. При п = 1, полагая г = 1 получим Б = 1 - 4у и
Б(у, 1) = Ет>1 Й(Вт)ут = 1 (1 - ) = £т>1 ^ ,
где Ст - числа Каталана, считающие скобочные шаблоны длины, т:
Ст = - К12) (-4)т = -1 ■ -1 ■ (1 ■ (! - 1)... ■(! - (т-1))) ■ (-4)т
2 \ т )у ' 2 т! \2 2 у2
1 -1 ■ ((2(т - 1) - 1) ■ (2(т - 2) - 1) ■ ... ■ (2 - 1)) ■ 4т =
2т+1 т!
1 -1 ■ ((2т - 3) ■ (2т - 5) ■ ... ■ 1) ■ 4т =
2т+1 т!
1 1 (2т - 2)!
. 4т =
2т+1 т! (2т - 2) ■ (2т - 4) ■ ... ■ 2 1 1 (2т - 2)! ■ 4т (2т - 2)! 1 1 (2т
2т+1 т! 2т-1 ■ (т - 1)! т! ■ (т - 1)! 2 2т - 1 \т Тем, же способом мы можем найти мощность компонент 3 С^^).
Теорема 1. При т > 2, в > 1:
й(-Ст) = С^ - т-2'- ^Г, при т > 2в ; иначе й(-Ст) = 0 . Доказательство. Вычислим часть алгебраического выражения Б (у, г):
\ _ . гу=V(1/2). <-4''<п2у;2г >•=1 - 2 . V о.:-2:2-;2
, (1-2пу)2 ) \ в ) <1-2ny>2• ^ 5 <1-2ny>2•
здесь п = ). Далее, получаем:
Б (у, г) = 1 ■ ( 1 - (1 - 2пу) ■ ( 1 - 2 ■ V С ^^
5>1
(1 - 2пу)25
пу + Е (^'2^1 = пу + ЕС.■ (пУ^ Е^1) ■ (-2пу)
= пу + V С ■ («У г) ■ V (2в + " - 2) ■ ^пу)" =
о > 1 <,,->П \ /
и
иу + ЕЕСв ■ (2в2+ и 2 2) ■ 2>у)2в+«.гв — в'1 «'0 ^ '
2в + и — т т ' 2в
— иу + ЕЕ Св ■ ( тв — 2) ■ 2 т-2в ■ итутгв — ЕЕ Й(* Ст) ■ утгв,
в'1 т'2в ^ 7 т'1 в'0
следовательно, получаем искомые равенства:
Й(о С1) — и; Й(я Ст) — Св ■ (т — 2) ■ 2 т-2в ■ ит ^рив ' 1, т ' 2в.
Остальные Ст) - нулевые. □
Лемма 3. Пусть в ' 1, т ' 2. Аналогично получаем, формулы:
[т/2]
111 /т- 2\
((С™^))(*) :—^ й(в))гв — Ы ^ — 2) '2т-2вгв —
в'1 в=1 ^ 7
[т/2] , \ , \ [т/2] , \
— — 1 ■ (2и)"- Е (^ (2"в—22}(—г)' — и"- Е Ст-« "'— (^Г
в=1 4 7 4 7 «=0 4 7
[т/21 [т/21 2\
С™ — (((Вт) — ^ Й(-Ст({ж})) — ^ Св - 2в — 2 - 2т-2в в=1 в=1 ^ 7
Й(.С'^Т))(у) Е ,(.С,,^))у" — — ^ (■ ^Г!—и2у2)в
— Св - и2в - у2в ;
— (1 — 2иу)2в-1 ;
Й(вС2в({ж})) — Св , Й0 Ст({ж})) — 2т-2 . Другая форма записи при в ' 1, т ' 2в;
й(-с->—■ (2в) ■ (т—22) ■2 т-2< ■ П™
т
2 т-2в ит .
(т — 1) ■ т \в, в, т — 2в
ж2 :— (ж х ж)
• В4 — {ж2хж2; жх(жхж2) жх(ж2хж) (жхж2)хж; (ж2хж)хж}; Й(В4)(г) — г2 + 4г, ((£4) — С4 — 5;
• 1 Ст({ж}) — {жх(--- х(жхж2) . . жх('" х(ж2хж).....;
(... (ж2хж)х ■ ■ ■ )хж}.
Для последующих рассчётов важно описание одногнездовых шаблонов и неассоциативных мономов, затронутых в предыдущем, примере.
в
Определение 6. Пусть Ь е В, обозначим Ь(Ь) := (ххЬ), К(Ь) := (Ьхх). Операции Ь и К - преобразования множества шаблонов В, и поэтому их композиция ассоциативна. Определим, отображение:
р: {Ь, К}* ^ В, р(0) = х2, р^(Ь, К)) = w(Ь, К)(х2).
Тогда р продолжает отображение р(Ь) = Ь(х2), р(К) = К(х2). Ясно, что |р^)| = + 2, и можно считать, что deg р = 2 .
Лемма 4. р осуществляет биекцию {Ь, К}* на 1 С({х}).
р2
точно убедиться в биективности отображения
р: {Ь,К}5 ^ 1 С^+2({х}).
Рассуждение проведём индукцией по в. Случаи в = 0,1 - очевидны.
Докажем инъективность р. Замечаем, если р^1(Ь, К)) = р('Ш2(Ь, К)), то |ад1| = ^2| . Пусть для неких -Ш1 = W2 е {Ь,К}5, но р(и)1) = р^2)- При этом в можно считать наименьшим из таковых - ясно, что в > 2 .
Напомним критерий равенства ассоциативных мономов положительной длины. В моноиде X* = {х1,... }* выполнено w1 = w2, если и только если = ^2| и wi = х^ ■ уг, где = , У1 = У2 •
Итак, в нашей ситуации Wi = Ц■ уг(Ь, К), где Ц е {Ь, К}. По предположению, пары (Ц1, У1) и (и2, у2) - различны, то неассоциативный моном р^^ = (Ц1 ■ у1(Ь, К))(х2) = и1(у1(Ь, К)(х2)) равен р^2) = и2(У2(Ь, К)(х2)) в В По критерию равенства в группоиде В, имеем: Ц = Ц и
У1(Ь, К)(х2) = р(у1) = р(у2) = У2(Ь, К)(х2) е В .
При этом ассоциативные мономы ^(Ь, К) и ^(Ь, К) оказываются разными, но имеют длину в - 1 < в. Полученное противоречие доказывает инъективность отображения р. Докажем сюръективность р. Пусть т е 1 С({х}). Вспомним, что
1 С({х}) = 11({х}) \ 21({х}) = 11({х})\<11({х}) х 11({х})) =
= В>2\(В>2 х В>2) .
Таким образом, т е В>2 и т = и х у. Оба сомножителя и и у не могут принадлежать В>2 , поскольку тогда т е (В>2 х В>2) = 21({х}) ^ 1 С({х}). Поэтому один из них лежит
В1 = { х} и = х | у| = 1 у = х
т = х2 = р(0) - утверждение доказан о. Если | у | > 2, тогда у е В>2, но
у е (В>2 х В>2) = <11({х}) х 1 !({х})) = 21({х}) ,
поскольку иначе было бы: т = х х у е 21({х}) ^ 1 С({х}). Поэтому
у е 1 I({x}) \ 2!({х}) = 1 С({х}), |у| = |т| - 1.
По предположению индукции, для некоторого w(Ь, К) е {Ь, К}* есть равенство у = р^). И
тогда т = х х у = Ь(у) = Ь(р^)) = р(Ь ■ w). Тем самым, индукция завершена и Лемма 4 □
Она содержательно наполняет предыдущие комбинаторные формулы:
й(1 Ст({х})) = 2т-2 , й(1 С(X))(у) = «(X)2 ■ у2/ (1 - 2 ■ «(X) ■ у).
3. Коразмерности свободной метабелевой алгебры
Рассмотрим неассоциативную группоидную алгебру КШ(X), - по определению, её базис над полем К образуют неассоциативные мономы из Ш (X), а умножение дистрибутивно продолжает операцию группоида (Ш(X), х). Она может быть градуирована длиной мономов:
КШ(X) — 0 КШ™^), где КШ™^) — \ Е ^^, Лш € К.
т'1 ^ад: |ад|=т j
Лемма 5. Алгебра КШ(X) свободно порождена, множеством X в категории неассоциативных (градуированных) К-алгебр. То есть, любое (однородное) отображение X в К-алгебру А однозначно продолжается до гомоморфизма КШ(X) в А.
Доказательство. Пусть ф: X ^ А - отображение в те обязательно ассоциативную К-алгебру. Можно считать А целочислеппо градуированной и предполагать, что ф - постоянной степени (ф) — ^ед (ф(ж)) — 1, ж € X.
ф
ф*: Ш(X) ^ А: ф*(и х V) — ф*(и) х ф». Далее, по линейности продолжим ф* до отображения Ф: КШ(X) ^ А, полагая:
Ф (У^ Ладад) :— У^ Ладф*(ад),
здесь в суммах лишь конечное число слагаемых - почти все Лад — 0 .
ФК алгебр. Действительно,
Ф (( Е Л„и1х| Е и«VII — Ф I Е их^ | —
(x) / (x) // (x)
Е сИ/(Л«^ ф*(и х ^ — У" сИ/(ф*(и) х ф*(и) —
'«„«Р^ (л) '«„«Р^ (л)
Е«еж(X) Л«ф*(и)) х (Е«еж(X) ^ф*(^ ) —
— Ф ( У^ Л«и ) х Ф ( У^ и« V
^^«еж (X) ) ^^«еж ^у
Ф
является однородным, в том смысле, что
Ф^Ш™^)) С Аа(т), где а(т) — т ■ (ф(ж)) — т ■ (^ед (ф) + 1).
□
Для описания полилинейных тождеств неассоциативных алгебр мы зафиксируем предварительные определения и обозначения.
Определение 7. Пусть ж € X, ад € Ш(X). Кратность вхождения ж в моном ад; -^ед ж(ад), ^ лш определим, рекуррентным правилом:
• degx(y) = [x=y\,npи y е X;
• degx(w) = degx(u) + degx(v), при w = u x v .
Здесь мы использовали обозначение Айверсона (Iverson bracket). Для математического высказывания S:
. , ( 0, если S ложно; | 1, если S истинно.
Очевидно, 0 ^ degx(w) ^ |w| . Полистепенью монома w е W(X) называется последовательность кратностей вхождения переменных в него:
Deg (w) = (degx(w), x е X): X ^ No = {0,1,2,... } .
Полиоднородными неассоциативными полиномами от X называются K-линейные комбинации неассоциативных полиномов одинаковой полистепени.
Пусть D: X ^ N0 , обозначим D-^Mwdwpofayto компоненту KW(X):
KWd (X) = к< w | Deg (w)=D) = ( V ^Xww,Xw е к) .
—'w: Deg (w)=D I
Вес полистепени неассоциативного монома равен его длине:
|Deg(w)| = Е сvdegx(w) = |w|,
KW(X)
KWm(X) - 0n KWd(X) ^сь |D| = V _ D(x).
D: |D|=m *—' x€X
Среди возможных полистепеней важна единичная: D = 1: X ^ No . Соответствующая ком-KW(X)
KWi(X) =: P(X) =: Pn{KW) , если fl(X) = n .
В записи полилинейных неассоциативных мономов все x е X присутствуют с единичной кратностью и, если не обращать внимание на скобки, в таких мономах записаны перестановки мно-X
dimк Pn(KW) = C,n • n!
Определим неассоциативные полиномиальные тождества K-адгебры A. Обозначим идеал Id (n)(A) < KW(X) (здесь, как обычно, n = ft(X)):
Id (n) (A) = Q ker {p: KW(X) ^ A} .
По Лемме 5, неассоциативная K-алгебра KW(X) свободно порождена множеством X = {xi,..., xn}. Поэтому гомоморфизм р: KW(X) ^ A однозначно задаётся значениями p(xi) = a е A, которые могут быть выбраны произвольно. Следовательно, Id (n)(A) состоит из неассоциативных полиномов Q(xi,..., xn) е KW(X), обнуляющихся в A при всякой подстановке xi — ai-
p(Q(xb..., xn)) = Q(p(xi),..., p(xn)) = Q(ai,..., an) = 0.
A
KW(X) KW(X)
новки xi = Ri(xi,... ,xn) е KW(X). В частности, идеал Id (n)(A) инвариантен относительно
перестановок множества X-. ж^ ^ ж^), где а € £га. Такие перестановки сохраняют длину и скобочную структуру неассоциативных мономов, поскольку в ◦ а — в- Они также сохраняют свойство полилинейности, что отчасти мотивирует рассмотрение двух пространств представлений группы £га:
Р„(КШ) р| /й (п) (А), Р„(А) — Р„(КШ) /Р„(КШ) р| /й (п) (А) .
Это - полилинейные тождества и полилинейная компонента, степени п алгебры А. При нуле-
А
лением переменных порождают все её полиномиальные тождества. Важной характеристикой АА
сп(А) — ё1ш Р„(А).
Из очевидных соображений следует:
/й (п)(КШ ({ж1,...,жга})) — 0 , е„(КШ ({ж1,...,жга})) — СП ■ п!.
Но справедливо более сильное утверждение. В ([14], §2) А.Г. Курош доказал, что любая подалгебра неассоциативной свободной алгебры - свободна, а также то, что алгебра В содержит счётнопорождённую неассоциативную свободную алгебру. В алгебре В можно найти счётный набор элементов, - Курош указал, что они могут иметь мономиальный вид ж2хж, (ж2хж)хж, ((ж2хж) хж) хж, ..., - не имеющий неассоциативных алгебраических соотношений. Из этого непосредственно вытекает следующее утверждение.
пт
• /^ (п)(КВ) — 0,
• /^ (т)(КШ({жь...,жга})) — 0,
• с™(КШ({ж1,... ,ж„})) — С™ ■ т!.
Результат А.Г. Куроша в определённых ситуациях позволяет исчислять порождающие множества (свободных) подалгебр КШ(X) и В. Для этого достаточно знать производящие функции этих подалгебр. Но прежде нужно модифицировать доказательство Леммы 2, приспособив его к неравностепенно порождённому случаю.
Пусть неассоциативная свободная алгебра КШ(X) прождена непустым градуированным множеством X —Ут>1 X™. По мультипликативности и линейности свободная алгебра наследует эту градуировку:
КШ(X0 кш™^).
т> 1
Рассмотрим известное соотношение базисных элементов КШ (X):
X у (Ш(X) х Ш(X)) — Ш(X).
Без учёта гнездовой структуры получим алгебраическую связь гильбертовых производящих функций
X(у) — Е > й^у™ И КШ(X)(у) — Е > КШ™^)у™ ,
X(у) + (КШ(X)(у))2 — КШ(X)(у), X(у) — КШ(X)(у) — КШ(X)2(у) .
КВ
КВ(у) — В(у) — Е > Сту™ и В(у) — В2(у)— у.
Пример 3. а) Сочтём порождающее множество идеала К1 /({ж}) <|КВ; как свободной алгебры. Заметим, что
К1 / ({ж})(у) — 1 / ({ж})(у) — В(у) — о С({ж})(у) — В (у) — у.
Следовательно, можно выразить производящую функцию порождающего множества 1X этого идеала:
1X (у) — 1 / ({ж})(у) — 1 / ({ж})2 (у) — (В(у) — у) — (В(у) — у)2 —
— В (у) — у — В2(у) + 2уВ (у) — у2 — 2уВ(у) — у2 — у2 + 2у3 + 4у4 + 10у5 + ... То есть, для т > 2 :
й(1 X™) — 2Ст-1 — [т — 2].
Можно показать, чт,о
1X — {ж2 ; w х ж, ж х ад ^ вде |ад| > 2 } .
б) Теперь сочтём порождающее множество идеала К2/({ж}) < КВ; как свободной алгебры. Заметим, чт,о в этом случае:
К 2 / ({ж})(у) — 2 / ({ж})(у) — В(у) — о С({ж})(у) — 1 С({ж})(у) —
— В(у) — у--.
у 1 — 2у
Для производящей функции порождающего множества 2X этого идеала получаем, следующее выражение:
2X(у) — 2/(у) — 2/2(у) — 2/(у) ■ 2у + 2/(у) ■ (1 — 2у) — 2/2(у) — — 2 / (у) ■ 2у + (В (у) — у — ^^ ■ (1 — 2у) — 2 / 2(у) —
— 2/(у) ■ 2у + (В(у) — ■ (1 — 2у) — 2/2(у) —
— 2 / (у) ■ 2у + В (у) — В(у) ■ 2у — у + у2 — 2 /2(у) —
— 2 / (у) ■ 2у + В2 (у) — В (у) ■ 2у + у2 — 2 /2(у) —
— 2/(у) ■ 2у + (В(у) — у)2 — 2/2(у) — 2/(у) ■ 2у + 1 /2(у) — 2/2(у) —
22
— 2/(у) ■ 2у + ^2/(у) + — 2/2(у) —
2 / 2 \ 2
— 2 ■ 2/(у) ■ у + 2 ■ 2/(у) ■ Г—
Используя результат А.Г. Куроша, и эту формулу, можно показать, ч,т,о
2 X — { w х ж,ж х w ; w х и, V х w ; V х и | w € 2 / ({ж}); V, и € 1 С({ж})}
Мы изучим полилинейные тождества некоторых факторов алгебры КВ по мономиаль-ным соотношениям. В этой главе мы рассмотрим два примера - одномерную алгебру о А = КВ/К11({х}) и алгебру 1А = КВ/К21({х}), которая бесконечномерна. Первая из них имеет
1
С1 (о А) = 1; с„(о А) = 0 , при п> 1.
Вторая алгебра содержит бесконечномерный идеал с нулевым умножением коразмерности один - К11({х})/К21({х}), благодаря чему её полилинейные тождества имеют простое описа-
1А
компонент, как пространств представлений симметрической группы.
Определение 8. Метабелевостью называется тождество вида:
((а х Ь) х (с х !)) = 0 .
Этот термин взят из теории алгебр Ли, где алгебра с нулевым умножением называется абелевой, потому что исторически лиева скобка произошла из ассоциативного коммутатора
оА
что оно может быть истолковано иным способом.
1А
2. С1(1 А) = 1, С2(1 А) =2 и сга(1 А) = 2 п-2 ■ (2п - 1) щи п> 2;
3. Л(1 А) ^ 5(1) = К, Р2(1 А) = 5(2) 0 Б{11), а при п > 2 имеем Рп(1 А) ^ 2п-2 ■
п) ф2 ■ 5
(п 1 1)
1А
КВ КВ
элемента х в неассоциативную К-адгебру С продолжается до гомоморфизма ф : КВ ^ С.
По построению, все мономы из 2^{х}) мультипликативно содержат подмономы вида ((т1 х т2) х (тз х т4)). Поэтому, если С - метабелева, то ф (К21({х})) = 0, и ф продолжается до гомоморфизма 1А ^ С.
Числовые и структурные утверждения Теоремы 2 будут получены из ряда последующих утверждений, описывающих полилинейные тождества алгебры 1А □
Замечание 6. • При мономиальной подстановке в моном количество гнёзд не убы-
1А
гнёздами результат обнуляется;
• Два, ненулевых в 1А монома w1 и w2 длины, боль шей 1 равны, если и только если wt = 1 щ х 2щ, где ¡и1 = ¡и2 - ненулевые мономы, и хотя бы одна пара из них (при I = 1 или 2х
1А х
х
Лемма 7. Пусть два полилинейных монома разной скобочной структуры и одного со-
1А
1А
Доказательство. Пусть w 1, мономы от ж1,..., жп разной скобочной струк-
туры, при мономиальной подстановке жг :— и € 1А равные и отличные от нуля.
Тогда Wi содержат не более одного гнезда; все и8, кроме может быть одного монома, равны ж, а оставшийся может иметь не более одного гнезда; — ^21 — п, где п можно считать наименьшим из возможных.
Ясно, п — 1, 2 - в этих степенях нет мономов разной скобочной структуры. Случай п — 3 также невозможен. Действительно, полилинейные мономы разной скобочной структуры здесь имеют вид:
а х (Ь х с), (^ х е) х /. Ненулевые в 1А мономиальные подстановки в них таковы (и € 1 С({ж})):
жх(жхж), жх(жхи), жх(ихж) и (жхж)хж, (ихж)хж, (жхи)хж.
1А
Поэтому п > 4. Любой ненулевой моном т € 1А |т| > 4 имеет вид т — ^хж или т — жх^, где ^ € 1А - ненулевой мон ом и — |т| — 1 > 3. Поэтому, е ели т1 — т2 — 0 - результаты подстановки ж,..., ж, и(ж) в w1, w2, тогда
т1 — х ж — х ж — т2 или т1 — ж х — ж х — т2 .
Следовательно, исходные полилинейные мономы будут иметь вид
w1 — v1 х жг, w2 — v2 х ж^и w1 — жг х v1, w2 — ж. х v2 ,
где V1,2 - некие полилинейные от своего состава мономы длины п — 1, дающие при указанной подстановке значения — ^2 — 0. Мономы V1,2 имеют разную скобочную структуру, ведь иначе одинаковую структуру имели бы мономы Wl и W2•
Если г — ^о V2 имеют одинаковый состав, и этот случай окажется рассмотренным позднее, пока же мы предполагаем, что г —
Поскольку Wl и W2 имеют одинаковый состав переменных ж1,..., жга, Vl однократно содержит ж./ и не содержит ж^, а V2 наоборот - однократно содержит ж^ и не содержит ж. Заменой определим два монома: подставив в V! вместо ж. новую переменпую г, получим г^; подставив в V2 вместо жг новую перемен пую г, получим г^.
Мономы гг1 и г полилинейны длины п — 1 одного состава: ^ ж^е в — 1,..., п, но в — г, Они имеют разную скобочную структуру и при подстановке г :— ж, ж8 :— и дают ненулевые
равные значения и ^2, что противоречит минимальности выбранного п. Лемма 7 доказана. □
1А
ированы по скобочной структуре, и эта градуировка совместима с действием симметрических групп (здесь X — {ж1,..., жп}):
Рп(КШ(X)) р| /^(п)(1 А) — 0ьев (рПь)(КШ(X)) р| /^(п)(1 А)) ,
Рп(1 А) — 0ьев РПЬ)(1 А) ,
г^е Р,ЛЬ)(1 А) :— РПЬ)(КШ(X)) / (РПЬ)(КШ(X)) П /й (п)(1 А)) .
Доказательство. Выразим полилинейное тождество алгебры 1А степени п через т(ь) -полилинейные мономы скобочной структуры Ь € В
Е Е А^т^ = 0.
По Лемме 7, при подстановке базисных мономов 1А: тДЬ) ^ ро-,ь € 1А при разных скобочных структурах Ъ\,Ъ2 € В появляющиеся ненулевые мономы рд-,^, рт,ь2 различны и, следовательно, линейно независимы в 1А. Поэтому при всякой подстановке такого рода для каждого Ь € В в алгебре 1А выполняется равенство:
^Р = 0 .
Таким образом, исходное тождество является следствием своих скобочных компонент:
£ \Дь)тДь) = 0 , Ь € В.
С учётом сохраниения скобочной структуры мономов при действии группы Бп, утверждения Леммы 8 о разложимости соответствующих пространств доказаны. □
Лемма 9. Полагаем X = [х\,..., хп} , тогда 1- Р{п\кш (X)) ^ Р{п\кш (X)) для вс ех Ь,Ь' € Вп;
2. Р{п](КШ(X)) с (п)(1 А) для
Ь€ В
3. Р(Ь)(КШ (X)) П 1й (п)(1 А)=К5„ Р(Ь'\КШ (X)) П ы (п)(1 А) для одногнездовых Ь,Ь' € В
I Рп\
1 А) = 0 для вс ех Ь € В, содержащих более одного гнезда;
5- Р»(Ь)(1 А) = Рп )(1 А) для всех одногнездовых Ь,Ь' € Вп .
Доказательство. Опишем действие Бп на РпЬ)(КШ(|х1,..., хп})). Пусть а € Бп, Ь € Вп, т(Ь) = (х^1 ■ ■ ■ Хгп)(Ь) € Р„Ь)(К^(X)) . Тогда действие на мономах
а(т(Ь)) = (х^1) ••• хст(гп))(Ь)
по линейности продолжается до изоморфизма левых представлений Бп: / : КБп ^ Р(Ь)(КШ(X)), / (а) = (х
д(1) ■ ■ ■ хд(п))( ),
I (Т ■ а) = (хт (д(1)) ■ ■ ■ хт (д(п)))(Ь) = Т ((хд(1) ■ ■ ■ хд(п))(Ь^ = Т (/(а)) .
Итак, левое представление Р,1Ь)(КЖ({х1,...,хп})) для всякой расстановки скобок Ь € Вп изоморфно левому регулярному представлению КБп, что доказывает первое утверждение Леммы 9.
Если скобочная структура Ь € Вп монома т(Ь) € К^(X) содержит более одного гнезда,
В
любая подстановка из 1А в т(Ь) обнуляется. Поэтому КШ(Ь) (X) состоит го тождеств 1 А, что доказывает второе и четвёртое утверждения Леммы 9.
Если скобочный шаблон Ь € Вп полилинейного монома т(Ь) € КШп(X) содержит одно (или менее) гнездо, то моном не обнуляется, к примеру, при постоянной подстановке Хi = х, поскольку т(Ь)(х,... ,х) = Ь = 0 € 1А . В частности, ) и ) не содержат тождеств
1А
структуры для этой длины.
Пусть Ь € В - одногнездовая скобочная структура длины п ^ 3. Полилинейный моном этого шаблона однозначно представляется в виде:
т(Ь) = ◦ ' ' ' ◦ ^п-2 (xin-1 х Хin ) = ... ^„-2 (^п-1 х ),
где U обозначает оператор умножения на жг слева - LXi, или отрав а - RXi . По Лемме 4, последовательность U = L, R определяет структуру b G Bn .
При n ^ 3 и k = 1,..., n—2 па пространстве одногнездовых полилинейных многочленов длины n определим линейный оператор ^ , меняющий скобочный шаблон компонент линейной комбинации следующим образом:
^fc (Uil . . . Uifc . . . Uin-2 (Xin-1 XX»n ^ = . . . Uik . . . Uin-2 (Xin-1 XX»n ),
здесь Lxi = RXi, Rxi = LXi . Например, : xx(yxz) ^—^ (yxz)xx. Ясно, что является обратимым, инволютивным отображением
^ = ^ G G^0b€ ^G({x}) ({Ж1,..., ж„}))) ,
согласованным с действием Sn: ^ ■ ст = ст ■ ^ , поскольку
<£fc (CT(Uil ...^ik . . . Uin-2 (Xin-1 xxinW) = = ^fc (Ua(ii) . . . Ua(ik) . . . Ua(in-2)(x^(i„-i)xxa(in)^ = = UCT(ii) . . . UCT(ik) . . . UCT(in-2)(xCT(in-l) xx^(in)) =
= ...U ik . . . Uin-2 (xin-1 xxin )) =
= CT^fc (Uii . . . Uik ... Uin-2 (xin-1 xxin .
Все одпогпездовые скобочные шаблоны длины n ^ 3 переводятся друг в друга однозначно определяемой последовательностью , k = 1,...,n—2. Поэтому все компоненты P,lb)(KW ({xi,... })) при b G 1 Gn({x}) изоморфны, как представления группы £„. Этот факт является частным случаем первого утверждения Леммы 9 - выше было доказано, что эти компоненты изоморфны левому регулярному представлению KSn. Докажем, что мор-физмы ^ сохраняют полилинейные тождества алгебры i A. Из этого последует истинность третьего и пятого утверждений Леммы 9.
Действительно, рассмотрим полилинейное тождество алгебры i A степени n ^ 3 одногнез-
b
f(b) = у Астm(b) = 0 .
Здесь - полилинейный моном от переменных xi,..., жп скобочного шаблона b, например, = (жст(1) x ••• x xCT(n))(b). Условие f(b) = 0 в алгебре iA означает, что при любой подстановке в Жг базисных мономов алгебры i A результат подстановки обнуляется. Базисные мономы i A могут иметь единичную длину и длину, большую единицы. К первым относится только ж, остальные обозначим u - это одпогпездовые мономы |u| ^ 2.
При подстановке u вне гнезда m^, вне зависимости от остальных подстановок, результат
iA
обнулится при подстановке щи u2 в гнездо m4b), что бы не подставлялось в остальные пози-
u
то обнулятся все слагаемые линейной комбинации f(b) в отдельности, и никаких условий па значения Аст не возникнет.
Нетривиальные условия па (Аст,
ст G Sn) могут появиться при подстаповке в xi,..., Жп
(Ж, . . . , Ж, Ж) (Ж, . . . , Ж, u)
Наша цель - доказать, что из тождества f(b) = 0 в i A следует тождество ^ (f(b)) = f(b ) =
0
обнуляет f(b), то она обнулит и f(b ).
Рассмотрим тождественную подстановку х\ = ■ ■ ■ = хп = х в /(ь):
Е^*. ■ (х х-х х)(ь) = (V \а) ■ Ь = 0 .
'стейп У^-^стеЯ,
Поскольку Ь € 10п ({х}) - одногнездовой шаблон, не обнул яющийся в 1 Л, получаем равенство = О Но, с учётом рк(Ь) = Ь' = 0 в 1 Л, то же равенство получается при аналогичной подстановке в /(ь'):
V А,, ■ (х х---х х)( ь') = Лст) ■ Ь' = 0.
Проверим подстановку наборов (х,... ,х, и) в /(ь) = ^сте5.п АсттСТ). Результат будет содержать
нулевые мономы-слагаемые, если элемент и попал гае гнезда тогда коэффициент Аст
и (ь')
в получающихся уравнениях не участвует. Но в этом случае и попадает вне гнезда шст и
обнуляет его. В итоге Аст не участвует в условиях, следующих из тождества /(ь ) = 0.
При подстановке одного элемента вида и внутрь гнезда полилинейного монома шСТЬ) и х -
1Л
Уточним это наблюдение. Пусть шСТЬ) = и^ ■ ■ ■ 2 (х^п_ 1 х х^п), а элемент и подставляется в 1 • Тогда получается базисный моном 1Л гада их ■ ■ ■ ихКх(и). При подстановке и в х^п получается их ■ ■ ■ ихЬх(и).
Отметим, что при тех же подстановках в рк(шСТ) = шСТ ) получаются базисные мономы вида их ■ ■ ■ их ■ ■ ■ ихКх(и) или их ■ ■ ■ их ■ ■ ■ ихЬх(и), соответственно (их стоит на к-ом месте). Таким образом, после рассмотренной подстановки в /(ь) линейная комбинация ненулевых 1Л
а ,
VI
Ч =0 ,
3=1 4 7
где V. - различные базисные мономы 1Л гада их ■ ■ ■ их(К, Ь)х(и). И это даёт систему линейных условий на Аст :
^ Аст = 0 , 3 = 1,...,й. Та же подстановка в рк(/(ь)) = /() принимает вид линейной комбинации:
Е (Естей„,^') ^= 0 , .7=1 7
где V. = рк) - различные базисные мономы 1 Л. Что даёт ту же самую систему линейных уравнений на Аст :
Естей„,т(Ь') ^ Аст = 0 , 3 = 1,...,*, (ь) (ь') ТТ
поскольку условия шст ^ V. и шСТ ^ V. равносильны. Итак, рк сохраняет полилинеиные тождества 1Л и Лемма 9 доказана полностью. □
4. Вычисления в групповой алгебре КБп
Изучение К£п-модульной структуры полилинейных тождеств алгебры 1Л и её полилинейных компонент Рп (1 Л) мы начнём с прояснения связей между коэффициентами Аст из доказательства Леммы 9.
Ранее было показано, что тождества алгебры 1А и её полилинейные компоненты степени п для разных одногнездовых расстановок скобок образуют изоморфные представления симметрической группы £га. Поэтому далее мы зафиксируем какую-нибудь расстановку скобок, - например, левоупорядоченную, - и ради удобства записи до изменения обстоятельств эту расстановку указывать не будем:
(х ) — (... ((х х х) х х) X ■ ■ ■ х х) —. XXX ■ ■ ■ X .
Итак, запишем полилинейное тождество общего вида (фиксированной скобочной структуры) алгебры 1А степени п ^ 3 :
Е ^ жст(1)жст(2) • • • жст(п) = 0 .
Аст • хст(1)хст(2) ••• жст(п)
стЬ Sn
Как было разобрано ранее, нетривиальные уравнения па Аст могут получаться при подстановке в {x1, ж2,..., жп} наборов мономов вида {ж, {u, ж,..., ж}, где u G ^ A>1 . Подстановка набора {ж, ж,..., ж} даёт уравнение X^es Аст = 0 , - ниже выяснится, что оно следует из результатов подстановок набора {u,ж,... ,ж}, которые, в свою очередь, зависят от того - вместо какой переменной ж^ подставляется моном u. Исследуем это точнее.
Пусть u подставляется вместо ж^ , а вместо про чих ж^ подставляется ж. В итоге, обнуляются все полилинейные мономы, где ж^ стоит вне гнезда (то есть, при наших соглашениях - вне первых двух позиций). Ненулевые подстановки собираются в нетривиальное в i A уравнение вида:
V Аст • R?T2(u х ж) + У Аст • К-2(ж х u) = 0.
¿-^сте5„ , ст (1)= j ст x V 7 ^CTGSn , CT(2)=j ст x v >
Если базисный моном u G i A>1, то результирующие мономы
Rr2(u х ж) = RT^u) и К-2(ж х u) = Rn-2Lx(u)
линейно независимы в i A. Следовательно, для каждого j = 1,..., n мы получаем пару линейных уравнений на Аст , не зависящих от шаблона и степени подставляемого монома u G i A>1 :
V Аст = 0, V Аг = 0. (2)
^CTGSn , ст(1)= ст ^resn ,т(2)=j т V '
Между этими уравнениями есть очевидное соотношение:
n n
УУ Аст V А ? = УУ Ат.
, ст(1)= ^ а^А^тesn,т(2)=j
j=1 j=1
Вскоре мы увидим, что с точностью до пропорциональности оно единственное. Поэтому для одногнездовых b G Bn получаем dim P^G A) = 2n — 1.
Определение 9. Зафиксируем натуральное n. Тогда для 1 ^ i ^ n обозначим:
St(i) := {ст G Sn | CT(i) = i } = Sym{1,...,?,..., n} = Sn-1 ,
{ := / ст, s := > т.
Тогда St(i) - подгруппа Sn, а ^ и s - элементы KS^. Для ст G St(i) и т G Sn имеем равенства "поглощения" - ст • {i = {i, т • s = s,h поэтому
{2 = (n — 1)! • {i, {i • s = s • {i = (n — 1)! • s, s2 = n! • s.
Лемма 10. Выберем с - циклическую перестановку длины п из Бп.
1. Любая подстановка т € Бп однозначно представляется в виде
т = са ■ и1 = и 2 ■ сь , где а1,а2 € БЬ(г) и 0 ^ а,Ь < п;
2. Имеется разложение в = ^ са ■ ^ = ^ ■ ^ сь ;
а = 0,...,п-1 ь = 0,...,п-1
3. {е, с, ..., сп-1} - полный набор представителей левых (и правых) смежных классов
Бп : Бt(i);
4- Для любой т € Бп есть однозначные показатели 0 ^ ак , Ьк < к, т,акие что: т = (12 ... п)ап ■ (12 ... п-1)ап-1 ■ ... ■ (12)а2 = (12)ь2 ■ ... ■ (12 ... п)к .
Доказательство. Пусть са ■ и = сь ■ я, где и, я € БЬ(г) ш0 ^ а ^ Ь <п. Тогда
сь-а = и ■ я-1 € Б^(г) и 0 ^ Ь — а < п,
поэтому а = Ь и и = я • Таким образом, выражения вида са ■ и с разными сомножителями -различны. А их общее количество п ■ (п — 1)! = п! равно порядку группы Бп. Поэтому все элементы Бп однозначно разложимы в виде са ■ и . Разлагая т-1 = са ■ и, получим однозначное
представление т = и-1 ■ сп-а. Что доказывает первое утверждение Леммы 10. Остальные
□
Вернёмся к уравнениям (2). Изучим наборы подстановок:
{и € Бп | и(1) = 3 } , где 3 = 1,...,п.
Первый из них - это подгруппа БЬ(1) , а остальные - это левые смежные классы Бп по подгруппе БЬ (1):
{и € Бп | и(1) = 3 } = (12 .. .п)3-1 ■ {и € Бп | и(1) = 1} .
Аналогично, наборы подстановок {т € Бп | т (2) = 3 }, где 3 = 1,... ,п, содержат подгруппу БЬ(2) и левые смежные классы Бп по ней:
{т € Бп | т(2) = 3 } = (12 .. .п)3-2 ■ {т € Бп | т(2) =2 } .
1Л
такие тождества фиксированной одногнездовой скобочной структуры погружаются с сохранением левого действия Бп в групповую алгебру КБп :
Естейп Аст ■ (хст(1)хст(2) ■ ■ ■ хст(п))(ь) —^ Естейп Аст ' и .
Методы работы в групповых кольцах изложены в ([16]). Опишем специфические аннуля-торы групповых алгебр.
Лемма 11. Пусть Н - подгруппа конечной группы О. Обозначим, п € КС - сумму всех элементов Н. Тогда, ЬЛппко(п) := {г € КО | г ■ п = 0} состоит из линейных комбинаций вида,
{ЕдеС Аа ' 9 1 Енен А^ = 0 Для всех 9 € С} .
Доказательство. Выберем {si,..., s^} - разные представители всех левых смежных классов G : H. Если hi £ H, тогда для всех i = 1,... ,d имеем равенства:
Si • h1 • п = Si • h1 • > h = Si • > h1 • h = Si • > hh = Si • п.
1 11 1 1 ^ hen ' ^hen 1 ' ^h'ея ' '
Следовательно, для z = ^ geG Ag • g получаем:
= (EgeG Ag • g) ^ = E^ £heH Asi'h • Si^h • n = = Е'=1 E heH Asi'h • Si • n = (E heH M • Si • n = 0 .
Элементы g £ G, входящие в разложения Si • п различны для разных i, поскольку лежат в разных левых смежных классах G : H. Поэтому наборы {s1 • п,... ,Sd • п} линейно независимы в KG, и уравнение z • п = 0 равносильно Х^ея ASi-h = 0 для всех i = 1,..., d. Это доказывает Лемму 11, так как любой g £ G может быть выбран представителем своего левого смежного класса G : H. □
Итак, прояснено KSn-CTpoeHne пространства полилинейных тождеств алгебры i A ле-воупорядоченного шаблона l = ЯП-2(х х x) £ B при n ^ 3. Полилинейный многочлен Ylaes Act • (xCT(1)XCT(2) ••• xCT(n))(1) является тождеством неассоциативной алгебры iA, если и только если в групповой алгебре KSn выполняются равенства:
(Zes. М • «1 =0 • (S^es, =0.
где «i = тest(i) т £ KSn. Резюмируем этот факт.
Лемма 12. Для l = КЩг'2(х х x) £ B при n ^ 3 изоморфны следующие левые KSn-ModyAu
P%\KW ({x1,...,xn})) П Id (n)(i A) ^ LAnnKS, («1,«2),
РП0(1 A) ^ KSn / LAnnKS, («1, «2) .
По Лемме 9, полилинейные тождества и полилинейные компоненты алгебры 1A для разных одногнездовых шаблонов как левые KSn-MOflynH изоморфны. Поэтому
KSnPn(i A) = (KSn / LAnnKS, («1,«2))2""2 .
Для завершения доказательства Теоремы 2 осталось прояснить строение левого KSn модуля KSn/ LAnnKs, («1,«2) •
Заметим, что левый аннулятор в KSn множества {«1,«2} совпадает с левым аннулятором правого идеала («1,«2) • KSn < KSn, порождённого «1 и «2 • Этот правый идеал выделяется прямым слагаемым, и поэтому порождается соответствующей компонентой единицы KSn -идемпотентом, для вычисления которого полезна техническая Лемма 13 ниже. Но прежде продолжим Определения 9.
Определение 10. Для натурального n и 1 ^ i = j ^ n обозначим:
St(i,j) = {а £ Sn | a(i) = i, a(j) = j } ^ Sym{1,...,?, jj, ...,n} = Sn-2 ,
«iJ = E CTeSi(i,j) а.
Ясно, что St(i,j) = St(i) П St(j) < St(i), St(j), и в KSn выполняется:
«i,j • «i = «i • «i,j = (n - 2)! • «i , «i,j • «j = «j • «i,j = (n - 2)! • «j . Для целого k обозначим k £ {1,..., n}: k = k (mod n), k = 1 + n{(k-1)/n}.
Лемма 13. Фиксируем натуральное пи 1 ^ г = - ^ п, тогда 1. Если 7 - циклическая перестановка длины, п — 1 из ^(г), то
п-2
Е ^ ' С, = Е ' [ ст-') = г ] = 8 — (г-?) ' С, ;
£ Еслм г — й = -то Сг ■ (12 ... п)^ ■ С, = (п — 1)! ■ (12 ... п)<* ■ С, ;
5. Яс/ш г—й = - то Сг ■ (12 ... п)^ ■ С,- = (п — 2)! ■ (8 — (г-) ■ С,-) /
4. Если й = 0, то Сг ■ (12 ... п)^ ■ Сг = (п — 2)! ■ (в — Сг) •
Доказательство. 1. Поскольку для любого к имеем 7к(г) = г, для любого т € ) выполнено 7к ■ т(-) = 7к(?) = г. Следовательно,
п-2
и 7к-ЗД) С (ст € | ст(-)=г} = \ (ст € | ст(-)=г} = \ (г--)-^^С?).
к=0
При этом \ (г-) ■ )) = п! — (п — 1)! = (п — 1) ■ (п — 1)!.
Пусть ст, т € ) и 7к ■ ст = 71 ■ т, тогда 7к-г = т ■ ст-1 € ). Поэтому 7к-г = е, 7к = 71 ист = т. Таким образом, левые смежные классы 7к ■ не пересекаются при различных
к = 0,..., п—2 и
п-2
й( и ^ ■ ЗД)) = (п — 1) ■ Ц(ЗД)) = (п — 1) ■ (п — 1)!.
к=0
Следовательно,
п-2 п-2
и 7к ■ ЗД) = \ (г-) ■ ЗД) и Е ^ ■ С, = 8 — (г-) ■ С, . к=0 к=0
2. Заметим, что для 1 ^ I ^ п есть сопряжение
(п... 21) ■ ■ (12 ...п) = I—Г), поэтому выполняются равенства
(п... 21) ■ Сг ■ (12 ...п)= С т=т и Сг ' (12 ...п) = (12 ...п) ■ Ст-т . Для г — й = - получаем равенства
Сг'(12 ... п)^-С, = (12 ... п)Ч^ -С, = (12 ... п)Ч,2 = (п—1)!.(12 ... п)Ч,.
3. При г—й = - выберем 7 - цикл длины п—1 из г—й) и, пользуясь вторым утверждением Леммы 4.1, получим равенства
п-2 п-2
С -С, = Е Vе-С ^-С, = Е 7к-(п—2)!-С, = (п—2)!-(в — ()-С,), к=0 к=0
из которых следует
Сг'(12 ... п)^-С, = (12 ... п)^-С^-С, = (п—2)!-(12 ... п)<*.(* — (г—й- К,) =
= (п—2)4(12 ... п)^ — (12 ... п)<*-( г—й - К,) = (п — 2)!-(в — (г-К,) потому что есть вложение левых смежных классов £п :
(12...п)^ ■ (г—й-) ■ зд с (г-) ■ зд).
4. При й = 0 получаем г—й = г и, согласно предыдущему, имеем равенства
Сг"(12 . . . п)<Чг = (12 ... п)Ч^5-Сг = (п—2)!-(12 ... п)<*.(* — (г—й г )-Сг) =
= (п—2)!-(в — (12 ... пГ-( г—й г) ■ Сг) = (п — 2)!-(в — Сг),
потому что (12 ... п)^ ■ (г—й г) € ££(г). Лемма 13 доказана полностью. □
Найдём порождающий идемпотент Е правого идеала (С1,С2)'К5га алгебры К£п. Пусть 1 ^ а ^ п, тогда любой элемент £п принадлежит одному из правых смежных классов £п : ££(а) гад а ^¿(а)'(1, 2,..., п)к, где 0 ^ к < п. При этом С« ■ т = С« если т € ££(а). Поэтому Е € (С1, С2) ■ К£п можно представить в виде:
п—1 п—1
Е = С1 "Е Хк ■ (12 ...п)к + С2 У« ■ (12 ...п)и
к=0 «=0
где Ж0,..., жп-1, У0,..., уп-1 € К. Идемпотент Е - компонента единицы в прямом слагаемом (СъС2)'К5П алгебры К£п, и удовлетворяет равенствам
Е ■ С1 = С1 , Е ■ С2 = С2 ,
задающим линейные условия па переменные ж0,... , жп-1,у0,... , уп-1. Исследуем первое равенство
п- 1 п- 1
С1 = Е-С1 = СгЕЖк'(12 ...п)к-С1 + С2■ ЕУ«'(12 ...п)«-С1 = Ж0-С2 + к=0 «=0 п- 1 п- 1
+ Е ж&'Сг(12 ...п)к-С1 + У1-С2-(12 ...п)-С1 + С2- Е У«'(12 ...п)«'С1.
к=1 «=0,«=1
С учётом Леммы 13, получаем при п ^ 2
п- 1
С1 = Е-С1 = Ж0-(п—1)!С1 +Е Жк '(п—2)!-(в—С1) + У1-(п—1)!-(12 ...п)-6 +
к=1
п- 1 п- 1
+ Е У«-(п—2)!-(в—(21)-С1) = Ж0-(п—1)!С1 + (п—2)!-(в — 6)-Еж^ +
«=0, «=1 к=1
п- 1
+ У1 ■ (п—1)! ■ (12) ■ (2 ...п) ■ С1 + (п—2)! ■ (8 — (21) ■ С1) ■ Е У« =
«=0, «=1
{п-1
Ж0 ■ (п—1) ■ С1 + (8 — С1) ■ Е Жк + У1 ■ (п—1) ■ (12) ■ С1 +
к=1
п-1 | I /п-1 п-1 \
+ (8 — (21) ■ С1) ■ Е У«=(п—2)! м(Е Жкк + Е У«) ■
(п-1 \ / п-1 \
п ■ Ж0 — Е Ж А ■ С1 + п ■ У1 — Е у« ■ (12) ■ С1 > .
к=0 / V «=0 ) )
Это влечёт принципиально разные выводы при п = 2и п > 2. В первом сл учае {1 = {2 = е, 8 = е+(12), ({1 ,{2) ■ КБ2 = е ■ КБ2 = КБ2 и получаем
е = (ж1 + уо + 2хо - хо - х1) -е + (х1 + уо + 2у1 - уо - у1) ■ (12) =
= (хо + уо) -е + (х1 + У1) ■ (12), Е = е- (хо+Х1 -(12))+ е- (уо+у1 ■ (12)) = (хо+уо) -е + (Х1+У1) ■ (12) = е.
Во втором случае {1, {2 = е, и в раскладывается в сумму линейно независимых элементов КБп-
в = {1 + (12) ■ {1 + (13) ■ {1 + ■ ■ ■ + (1п) ■ {1. Поэтому в равенстве Е ■ {1 = {1 бадане при слагаемом (13) ■ {1 имеет вид:
(га—1 га—1 \
£ хк + £ у«) =0 , к=1 «=о,«=1 /
а при слагаемых (12) ■ {1 и {1, соответственно:
(га— 1 \ / га—1 \
п ■ у1 у« =0 и (п - 2)! ■ п ■ хо хП =1.
«=о / V к=о /
Эти уравнения упрощаются, если определить новые переменные
X = хо + х1 +-----+ х„—1, У = уо + у1 +-----+ уга—1. (3)
Тогда предыдущие уравнения принимают вид:
X - хо + У - у1 = 0, п ■ у\ - У = 0 , п ■ хо - X = 1/(п-2)!. (4)
Аналогично исследуем уравнение Е ■ {2 = {2 :
{2 = Е-{2 = {1-^ х*.(12 ...п)к-{2 + {2^ у«'(12 ...п)«{2 = уо-{2 + к=о «=о
га—1 га—2
+ £ у« ■ {2 ■ (12 ...п)« ■ {2 + £ хк ■ {1 ■ (12 ...п)к ■ {2 + «=1 к=о
га— 1
+ хп—1 ■ {1-(12 ... п)п—1-{2 = уо ■ (п-1)!-{2 + £ у« ■ (п-2)!-(в - {2) +
«=1
га—2
+ £ хк ■ (п-2)! ■ (в - (12) ■ {2) + х„—1 ■ (п-1)! ■ (12 ... п)п—1 ■ {2 = к=о
га—1 га—2
= уо-(п-1)!-{2 + (п-2)!.(в - {2)- £ у« + (п-2)!-(в - (12)-{2)- £ хк +
«=1 к=о
{га—1
(в - {2) ■ £ у« + уо ■ (п-1) ■ {2 +
«=1
га—2
+ (в - (12) ■ {2) ■ £ хк + х„—1 ■ (п-1) ■ (12) ■ (п... 31) ■ {Л ■ (п-2)!
к=о )
Г /га—1 га—2 \ / га— 1 \
= (п - 2)! х ^ £ у« + £ хк ■ в + п ■ уо - £ у« ■ {2 +
/га—1 га—2 \ / га—1
в+ п
^«=1 к=о / V «=о
/ га— 1 \ ^
+ (^п ■ х„—1 х^ ■ (12) ■ . п=2 Е=е п>2
уравнения:
X - х„—1 + У - уо = 0, п ■ х„—1 - X = 0, п ■ уо - У = 1/(п-2)!. (5)
п> 2 Е
нам достаточно получить её частное решение. Удобно выбрать такое:
хо = (п - 1)/п!, х1 = -(п - 1)/п!, х2 = ••• = хп—1 =0, X = 0;
уо = 1/(п-1)!, у1 = ■ ■ ■ = у„—2 = 1/п!, у„—1 = -(п-2)/п!, У = 1/(п-1)!. Вычисляем искомый идемиотент:
Е = {2 ■ п ■ (п ■ е + ^£(12 ...п)« - (п - 2) ■ (12 ...п)п—Ч + \ «=1 /
п 1 п 1
+ {1 ■ ■ (е - (12 ...п)) = — ■ {1 ■ (е - (12 ...п)) +
— 1 1 п—1 1
+ п=Т ■ {2 ■ (е - (п... 21)) + п ■ {2 ■ £(12 ...п)« = п ■ в +
«=о
п 1 п 1
+ п-" ■ {1 ■ (е - (23 ... п)'(1п)) + п-- ■ {2 ■ (е - (п... 431)-(23)) =
1 п — 1 п — 1
= п ■ в + "ТТ ■ {1 ■ (е - (1п)) + ^ ■ {2 ■ (е - (23)).
С помощью Леммы 13 можно убедиться, что следующие элементы КБп: 1 1 п—1 1
1 ' в = 1 ■ {2 ■ £(12 ...п)« = 1 ■ £ а,
п! п! ^ п! ^ ^ейп
«=о
п 1 п 1
Е1 = ^ ■ {1 ■ (е - (12 ...п)) = — ■ {1 ■ (е - (1п)),
п 1 п 1
Е2 = ^ ■ {2 ■ (е - (п...21)) = п-— ■ {2 ■ (е - (23)) п! п!
Ев
ет тривиальное представление Б(п) группы Бп. Центральный идемпотент в/п! соответствует диаграмме Юнга |1, 2,... п|.
Е1 Е2
|п, п-1,... 2|1| и |3, 4,... п, 1|2|, соответственно. Они порождают изоморфные неприводимые (п-1)-мерные представления Б(п—1,1) группы Бп ([17], с. 185-192). То есть,
КБ„ ■ Е ^ КБ„ ■ Е1 ф КБ„ ■ Е2 ф КБ„ ■ в = Б(га—1,1) ф Б(га—М) ф Б(га) .
Для окончания доказательства Теоремы 2 докажем завершающее утверждение этого раздела.
Лемма 14. Имеются изоморфизмы левых KБп-модулей
KSn/LAnnksn(6, 6) = KSn/LAnnksn((Ci, {2} ■ KSn) = = KSn/ LAnnksn (E ■ KSn) = KSn/ LAnnksn (E) = KSn ■ E.
Доказательство. Первые три изоморфизма доказаны нами выше. Последний изоморфизм следует из теоремы о гомоморфизмах. Действительно, определим гомоморфизм левых KSn-модулей:
ß : KSn -—^ KSn , ß(a) = а ■ E.
Тогда получаем:
Ker ß ^ LAnnksn (E), Im ß = KSn ■ E, KSn/ (E) = KSn ■ E,
и Теорема 2 полностью доказана. □
5. Тождества некоторых факторов t A
Напомним, что мономы x, x2 = xxx, Ui... Us(x2), где U = Lx , Rx при s ^ 1, являются базисом неассоциативной K-адгебры 1 A = KB/K21({x}). Слово Ui... Us можно считать мономом свободной ассоциативной K-алгебры K(Lx , Rx). Любому такому слову соответствует базисный моном алгебры 1A Сопоставим пустое слово,- единицу алгебры K(Lx, Rx),- моному ж2 G 1 A. Такое соответствие продолжается до однородного степени 2 изоморфизма градуиро-K
т : K(Lx , Rx) ^ i A^2 , т am ■ m) = ^ am ■ m(x2), здесь m G {Lx , Rx}* - ассоциативные слова в алфавите {Lx , Rx}.
Определение 11. Пусть M с {Lx , Rx}*. Обозначим J(M) - однородный идеал алгебры K(Lx , Rx) ; порождённый M ;
J (M ) = k ( m' ■ m ■ m!' | m G M, m', m'' G {Lx , Rx}* ).
Заметим, что нужно различать случаи M = 0 и M = {0}. В первом - J (M ) = {0}, а во втором - J (M ) = K (Lx , Rx ).
Лемма 15. Пространство Mт := т(J(M)) - идеал алгебры 1A.
Доказательство. Если M = 0, то MT = {0}, и утверждение очевидно.
Пусть M = 0, тогда Mт - идеал 1 A, поскольку обнуляется при левом или правом умножении на элементы 1 A^2 и выдерживает левое и правое умножение на x :
x х (m(u)) = (Lx ■ m)(u), (m(u)) х x = (Rx ■ m)(u).
□
1A
ативную K-алгебр y 1 A/Mt.
Наша цель - описание её полиномиальных тождеств.
Поскольку алгебра 1A градуирована скобочной структурой B, а идеал Mт однороден относительно неё, соответствующий мономиальный фактор градуирован скобочной структурой:
1 A/Mт - 0feeB (1 A/Mт)(b) .
Поэтому B-градуированы полиномиальные тождества мономиального фактора 1 A/Mт. Ясно, что имеются включения пространств (H(X) = n):
Id (n)(1 A) С Id (n)(1 A/Mт ),
P,(b)(KW(X)) П Id (n)(1 A) С p(b)(KW(X)) П Id (n) (1 A/Mт). Поэтому сюръективны отображения представлений группы :
P(&)(1 A) - РПЬ)(1 A/Mт ).
Лемма 16. Если b = wi ■ m ■ w2(x2) g 11n с , где Wi g {Lx , Rx}*; m g M тогда
p(b)(KW(X)) С Id (n)(1 A/Mт).
Доказательство. Возьмём полилинейный моном указанного выше вида и = Ui ■ ... ■ Un-2(xra-1 хжга^, где Ui = ми , скобочной структуры в(и) = b. Тогда b - базисный
1A 1A u
становке в позиции xi,..., xn-2 попадёт хотя бы один моном степени выше первой, результат 1A
ции xn-1 и xn. Поэтому нетривиальными в 1A могут быть только подстановки x в позиции xi,..., xn-2 и в один из xn-i, xn. в оставшуюся позицию можно подставлять любой моном v, - получится базисный моном алгебры 1A. Результат подстановки зависит от вида v = x или m(Lx, Rx)(x2), и во втором случае от того - подставляется он налево или направо в гнездо и. В зависимости от этого получим wi-m-w2(x2) wi-m-w2-Lx-ff,(x2) ми wi-m-w2-Rx-ff(x2), соответственно. Все эти мономы лежат в идеале Mт <3 1A. Поэтому любые мономиальные базисные подстановки из 1 A/Mт в и обнуляются в 1 A/Mт,- то ееть и является полилинейным тождеством 1 A/Mт.
Остальные полилинейные мономы скобочной структуры b получаются из и перестановкой x 11 » » » 1 x^• 1A
в и. Лемма 16 доказана. □
Замечание 7. Для некоторых M не все полилинейные тождества 1 A/Mт получаются указанным в Лемме 16 способом. Например, M = {LL,LR}. Тогда, трилинейный многочлен p (a, b, c) = a х (b х c) — a х (c х b) обнуляете я в 1A при подстановке a = b = c = x.A ненулевые 1A
a = b = x, c = w(x2) или a = c = x, b = w(x2), где w g {Lx , Rx}*
Ж в этом случае результат равен ±(£х-£х"ш(х2) - Ьх-Еж-ад(х2)) € Мт. Таким образом, многочлен р(а, Ь, с) скобочного шаблона х х (х х х) - тождество алгебры 1 А/Мт.
Для уточнения Леммы 16 упоминаемый в её доказательстве полилинейный моном и = и1 ■... ■ ип—2(хп—1 х хп), где и = , скобочного шаблона в(и) = Ь € 1 /га , обозначим
и(х1,..., хп—2)(хп—1 х хп). Тогда Ь = и(х,..., х)(х2), а общий вид полилинейного элемента шаблона Ь таков:
■ и(хст(1^... ,хст(„— 2))(х<г(га— 1) х хст(га)) .
Вычислим результаты подстановок в него базисных мономов алгебры 1 A. Подстановки с заведомо нулевыми результатами мы не рассматриваем. Из продуктивных подстановок останется тождественная xi = ■ ■ ■ = xn = x :
Pu (x, ...,x) = аст ■ U (x,...,x)(xxx) = '
a также подстановки вида x^ = u G 1 /, a все тотальные xj = x. При такой подстановке все слагаемые суммы Pu (x,..., u,..., x), в которых моном u попадает внутрь оператора U(xCT(1),..., xCT(ra-2)), заведомо обнуляются, и результат подстановки оказывается следующим (здесь в суммах a G
Pu (x,..., U,..., x) = У аст U (x,..., x)(x x u)+ + E аст U (x, ...,x)(u x x) = ( У^ аст ) ■ U (x, ...,x) ■ Lx(u) +
^—'<r(ra— 1)=i \ ^—'<r(n)=i /
+ 1 ^ ' U (x, . . . , x) ■ Rx(u) .
\ *—'<r(n—1)=г y
Заметим, что для всех u G 1 /в полученном выражении участвуют разные базисные мономы U (x,..., x) ■ Lx (u) U (x,..., x) ■ Rx(u) алгебр ы 1A , отличные от монома b. Поэтому справедлива лемма о полилинейных тождествах алгебры 1 A/Mт.
Лемма 17. Полагаем b = U (x,..., x)(x2) тогда
1. если U (x,..., x) G J (M ), mo P^G A/Mт ) = 0;
еслм оба U (x,..., x) ■ Lx и U (x,..., x) ■ G J (M ) rno
P(fe)(1 A/Mт)- Pib)(1 A);
5. еслм оба U (x, ...,x)-LX; U (x, ...,x)-Rx G J (M ); но U (x, ...,x) G J (M ) rno модуль KSn Prab)(1 A/Mт) = S(n) - одномерен;
4- если U (x, ...,x)-Rx G J (M ); но U (x, ...,x)-Lx G J (M ) млн наоборот,, m,о модуль KSn Pnb)(1 A/Mт) ^ S(n—1,1) ф S(n) - n-мерен;
Доказательство. 1. Тогда имеем U (x,... ,x)-Lx, U (x, ...,x)-Rx g J (M ), и полином Pu(x1,... ,xn) g /d(n)(1 A/Mт) при всех аст. Этот случай разобран в Лемме 16.
2. В этом случае Pu(x1,..., xn) G /d(n)(1 A/Mт) при следующих условиях па коэффициенты аст:
Еаст = 0 , ^ аст = 0, где i = 1,..., n.
ст(га— 1)=i —'<r(n)=i
Это - условия (2) из 4 главы. Они задают (2n — 1)-мерный модуль
KSn Pib)(1 A) = 2 ■ S(n—1,1) ф S(n) .
3. В этом случае U (x, ...,x) ■ Lx(u), U (x, ...,x) ■ Rx(u) G M17 при любых аст. Для всех
1 ^ i ^ n и мономов u G 1 / выражение Pu (x, ...,u,..., x) обнуляется в ал гебре 1 A/Mт. Но для обнуления Pu (x,..., x) необходима тривиальность суммы всех аа. Это единственное условие на полилинейное тождество 1 A/Mт шаблона b. То есть, X^esn а^ ■ а = LAnn^sn(s), и поэтому P(b)(1 A/Mт) = K£ra ■ s = S(n) - одномерно.
4. Допустим U (x, ...,x) ■ G J (M ), но U (x, ...,x) ■ Lx G J (M ). Тогда выражение
Pu (x,..., и,..., x) обнуляется в 1 A/Mт при всех i = 1,..., n, если выполняется система из n линейно независимых равенств:
V aCT = 0, i = 1, ...,n (6)
1'<r(n)=î
Из этой системы следуют равенства a^ = 0 и Pu (x,..., x) =0. Таким образом, полили-
нейные тождества алгебры 1 A/Mт шаблона b определяются системой (6). Но согласно Лемме 11, эта система равносильна равенству в алгебре KSn:
EaCT ■ a ) ■ Cn = 0 , где Cn = > т
aesn a J sn ' ^ sn ^тest(n)
Подобно доказательству Леммы 14, имеются изоморфизмы KS^-модулей:
PÎb)(KW ({xi,...,xra })) П Id (n)(1 A/Mт ) - LAnnKSn (Cn ), Plb)(1 A/Mт) = KS„ / LAnnKSn (Cn) = KS„ ■ Cn .
Для описания К£п-модуля Pnb)( 1 A/Mт) разобьём идемпотент Cn/(n — 1)! на примитивные компоненты. Поскольку s G KSn ■ Cn, рассмотрим ортогональное разложение:
1^1 1 / л
■ Cn = -: ■ s + -: ■ (n ■ Cn — s) .
(n — 1)! n! n
Используем Лемму 10, обозначив c = (12 .. .n):
n—i n—i n—i
n Cn s =
Cn — s = £ (Cn — c4n) = £ Me — c*) = £ Cn-(e — (n—i n)) i=0 i=i i=i
n— i
Cn^(e — (n—1 n)) + £ Cn^(e — (n—i n—1) ■ (n—1 n) ■ (n—i n—1)) i=2
n—i
= Cn-(e — (n—1 n)) + £ Cn^(e — (n—1 n) ■ (n—i n—1)) = i=2
/ n—i \
= Cn-(e — (n—1 n)) ■ e + £(n—i n—1) .
В алгебре KSn выполнено Cn ■ (e — (n—1 n)) ■ h = n ■ Cn — s = 0, поэтому морфизм
KSn ■ Cn ■ (e — (n—1 n)) —^ KSn ■ (n ■ Cn — s) - сюръективен.
Но, согласно ([17], с. 185-192), идемпотент (n—1) ■ Cn ■ (e — (n—1 n))/n! примитивен и соответствует диаграмме |n—1,... 2,1|n|. Он порождает неприводимое (n—1)-мерное представление S(n— i,i) группы Sn. Поэтому имеются изоморфизмы
KSn ■ (n ■ Cn — s) - S(n—i,i), Pnb)(1 A/Mт) - KSn ■ Cn = S(n—i,i) ® S(n).
Ситуация, когда U (x,..., x) ■ Lx G J (M ), но U (x,..., x) ■ G J (M ) подобна разобранной
□
Наша ближайшая цель - изучение коразмерностей тождеств алгебры 1 A/Mт, то есть -последовательности cn(1 A/Mт) = dim^ Pn(1 A/Mт) в зависимости от набора ассоциативных
мономов M С {Lx , Rx}*. С этим набором естественным образом связан а ассоциативная K алгебра
A(M) = K(Lœ , Rœ)/J(M) = K(Lœ , Rœ | M ) .
A(M)
A(M) = © A„(M) , где A„(M) = к(w(Lx , Rx) | deg(w) = n ).
С ней связана последовательность an(M) = dim^ An(M) , считающая ассоциативные мономы w G {Lx , Rx}* степени n, свободные от вхождений мономов из M.
Обе последовательности экспоненциально ограничены (см. Теорему 2):
a«(M) < on(0) = 2п и cn(1 A/Mт) < cn(1 A) = 2n—2 ■ (2n — 1), при n > 2 , поэтому удобна производящая функция (ряд) Гильберта:
A(M)(t) = ^n>0 a„(M) ■ tn , C(1 A/Mт)(t) = cn(1 A/Mт) ■ tn .
Например, в простейших нетривиальных случаях получаем:
A(0)(t) = Е„>о2П ■ 1 •
'«>0 1 — 2t '
C(1 A)(t) = t + 2t2 + 2 2n—2-(2n — 1) ■ tn = Era>0 2n—1-(n + 1) ■ tn— n 2 n 1 t 2 1 3 1 + 2t — 4t2
_3 . \ 2n—2 • tn I___I___t2 =____k
3 2^„>o 2 t +4 + 2 t 2(1 — 2t)2 4-(1 — 2t) +
^n>0 4 2 2-(1 — 2t)2 4-(1 — 2t) 4
6t — 1 1 + 2t — 4t2 t — 2t2 + 6t3 — 4t4
4-(1 — 2t)2 4 (1 — 2t)2
Вопреки структурным препятствиям, коразмерности тождеств 1 A/Mт определяются последовательностью (an(M)). Но прежде решения этой задачи разберёмся с некоторыми анн-нуляторами в ассоциативных алгебрах.
Рассмотрим алгебру R = K( x, y | T ) = K( x, y )/(T), гдe T С {x, y}* - набор мономов. Она градуирована по степени: R = фп>0R^ , R0 = K Обозначим R+ = фп>^п - её двусторонний идеал и левые однородные идеалы R-x, R-y, LAnn^(x) LAnn^(y). Их ряды Гильберта обозначим R(t), R+(t), R-x(t), R-y(t), LAnnR(x)(t), LAnnR(y)(t), соответственно, a коэффициенты этих рядов - r„, rx„, ry„, lann^(x)n ¿annR(y)„ .
Лемма 18. Имеются соотношения:
1. R+ ^ Д ■ х ф Я ■ у;
2. Д-х(£) + Д-у(г) = Д+(£) = Д(г) - 1 ;
5. Д-х(г) = ¿-{Д(^) - ¿Аппд(х)(£)} ; Д'У(^) = ЧД(*) - РАппд(у)(£)} .
Доказательство. 1. Важное свойство мономиальной алгебры таково - линейные комбинации мономов в ней обнуляются почленно, и поэтому ненулевые мономы образуют её базис. Это непосредственно следует из леммы А.И. Ширшова о композиции для ассоциативного случая, _ "Длмазн0й леммы", - ведь любой набор мономов в свободной ассоциативной алгебре замкнут относительно композиции.
В рассматриваемом примере R = K( x,y | T ) ненулевые мономы - это те, которые не содержат вхождений из T. Мономы положительной степени оканчиваются либо на x, либо на y, и таким образом принадлежат либо R ■ x, либо R ■ y. Поэтому пространства R+ и R ■ x © R ■ y
R
2. Изоморфизм из первого утверждения сохраняет степень однородных элементов. Поэтому для всех n: (R+)n = (R ■ x)n © (R ■ y)n, откуда следует равенство рядов Гильберта соответствующих градуированных пространств.
R R R ■x (x) = 1
R
ванные объекты следующим образом: если V — ©V^, тогда V[m] = ©V[m]n, где V[m]n = Vn+m. . Ряд Гильберта при подкрутке градуированного объекта изменяется так:
V[m](t) = V dimK(V[m]n)^tn = t—m V dimx(Vn+m)^tn+m = t—^V(t).
nn
R
0 —> LAnnR(x) —> R —^ R^x[1] —> 0.
Ей соответствуют равенства производящих функций:
LAnn^(x)(i) — R(t) + R^x[1](t) = LAnnR (x)(t) — R(t) +t—^R-x(i) = 0,
R^x(t) = i-{R(i) — LAnn^(x)(t)} . Второе равенство третьего утверждения доказывается аналогично. Лемма 18 доказана. □
Теорема 3. В предыдущих обозначениях имеются соотношения:
1- cn+2(1 A/Mт) = an(M) + (n + 1) ■ an+i(M) при n ^ 1 ;
2. C(1 A/Mт)(t) = t +12 ■ {c2(1 A/Mт) — ao(M) — ai (M) + A(M)(t) + + A(M )'(t)}.
Доказательство. 1. При n ^ 1 базис пространства Pn+2(1 A/Mт) образуют полилинейные многочлены вида:
PU (xi , ...,xn+2) = £ aa ■ U (^(i^ . . . ,xa(n))(xa(n+i) * xa(n+2)) ,
'n+2
где U(xCT(i),..., xCT(n)) - композиция левых или правых умножений на xCT(j) соответствует ассоциативному моному U (x,..., x) G {Lx , Rx}n. Вычислим коразмерность тождеств 1 A/Mт n+2
Если U G J(M) <K(Lx , Rx), то PU(xi,..., xn+2) - тождество алгебры 1 A/Mт. Полиномов вида Pu в базисе пространства Pn+2(1 A/Mт) нет.
Если оба U ■ Lx и U ■ Rx G J (M), тогда полиномы вида Pu входят в базис пространства Pn+2( 1 A/Mт) с кратностью 2(n + 2) — 1 = 2n + 3. И тогда U - базисный моном факторпро-странства
K(Lx , Rx | M)n/(LAnn(Lx) + LAnn(Rx))n .
Если U G J (M ), то об a U ■ Lx и U ■ Rx G J (M ), тогда полиномы вида Pu входят в базис пространства Pn+2(1 A/Mт) с кратностью 1. И в этом случае U - базисный моном пространства LAnn(Lx , Rx)n Ç K (Lx , Rx | M )n •
Если U • Lx G J(M), но U • Rx G J(M) (или наоборот), то полиномы вида Pu входят в базис пространства Pn+2(i A/Mт) с кратностью n + 2 Тогдa U - базисный моном факторпростран-ства LAnn(Lx)n/LAnn(Lx , Rx)n (или LAnn(Rx)n/LAnn(Lx , Rx)n)-
Суммируя найденное выше, получаем равенство:
cn+2(i A/Mт) = (2n+3) dimK(K(Lx, Rx | M)/(LAnn(Lx)+LAnn(Rx)))ra +
+ 1- dimK LAnn(Lx, Rx)n + (n+2) dimK(LAnn(Lx)/LAnn(Lx, Rx))n + + (n+2) dimK(LAnn(Rx)/LAnn(Lx, Rx))n . Здесь первое слагаемое преобразуется из точной последовательности:
0 —► LAnn(Lx , Rx) (-Z>) LAnn(Lx) Ф LAnn(Rx) —i K(Lx , Rx | M) —► —► K(Lx, Rx | M)/(LAnn(Lx) + LAnn(Rx)) —► 0.
dim
равенства:
cn+2(i A/Mт) = (2n + 3) ■ (lann(L, R)n — lann(L)n — lann(R)n + an(M)) +
+ (n + 2) ■ (lann(L)n — lann(L, R)n) + (n + 2) ■ (lann(R)n — lann(L, R)n) + + lann(L, R)ra = ((2n + 3) + 1 — 2(n + 2)) ■ lann(L, R)ra + (2n + 3) ■ a„(M) + + (—(2n + 3) + (n + 2)) ■ (lann(L)ra + lann(R)„) = = (2n + 3) ■ a„(M) — (n + 1) ■ (lann(L)ra + lann(R)„). Упростим формулу, используя Лемму 18. Из неё следуют равенства:
t-{2R(t) — LAnnfí (x)(t) — LAnnfí (y)(t)} = R-x(t)+R-y(t) = R+(t) = R(t) —1.
При n ^ 1 приравняем коэффициенты рядов Гильберта при tn :
2 ■ r„-i — lannR(x)n-i — lannfí(y)„-i = r„ .
Поэтому, возвращаясь к аннуляторам алгебры K(Lx , Rx | M), получим:
lann(L)n + lann(R)n = 2 ■ an(M) — an+i(M),
и, окончательно, коразмерность cn+2(i A/Mт) принимает искомый вид:
(2n+3)-a„(M)—(n+1)-(2a„(M)—ara+i(M)) = a„(M)+(n+1)-ara+i(M).
2. Вычислим ряд Гильберта коразмерностей тождеств алгебры i A/Mт:
C(i A/Mт)(t) — t — C2(i A/Mт) ■ t2 = V Cra(i A/Mт) ■ tn =
*—'га^Э
= V ^ Cn+2 (i A/Mт) ■ tn+2 = t2- V (a„(M) + (n+1) ■ a„+i(M)) ■ tn =
= t2 ■ {A(M )(t) — ao(M ) + (A(M )(t) — ao(M ) — ai (M ) ■ t)'} = = t2 ■ {A(M )(t) + A(M )'(t)} — (ao(M ) + ai (M )) ■ t2 .
Откуда вытекает второе утверждение Теоремы 3, которое можно упростить, если выделить тривиальный случай 1 G M. Тогда
A(M 0 , A(M )(t) = 0; i A/MT ^ 0 A, C (i A/MT )(t) = t.
Если же 1 G M) тогда ao(M) = 1 и c2(i A/MT) = 2, и формула для рядов такова:
C(i A/MT)(t) = t +12 ■ {1 - ai(M) + A(M)(t) + A(M)'(t)} .
□
Итак, асимптотика коразмерностей тождеств i A/MT определяется ростом размерностей
A(M)
Замечание 8. Из предыдущего следует,:
1. если an(M) х na степенного рост,а,, то cn(1 A/MT) х na+1 - степенного роста;
2. если an(M ) х Ага экспоненциального рос та, то cn(1 A/MT ) х Ага - такого же экспоненциального роста.
Пример 4. ([13]) Пусть M = {Lx ■ Lx}; тогда
A(M)(t) = 1+ t 0 = 1 + 2t + 3t2 + 5t3 + 8t4 + 13t5 + 21t6 + ... , 1 - t - t2
По Теореме 3 кора,зм,ерност,и cn(1 A/MT) имеют дробный экспоненциальный, рост,, выражаясь при n ^ 3 через числа, Фибоначчи:
cra+2(i A/MT) = Fra + (n+1)-Fra+i = Fra+2 + n-Fra+i,
cn(i A/MT) х фга ^еф = 1+л/5 и 1.618. Этот пример поддаётся обобщению.
Пример 5. Пусть n ^ 1м M = {(Lx)га}; тогда
A(M) = K(L, R | Ln) = K(L | Ln) * K(R) . Ряды, Гильберта сомножителей таковы:
K(L | Ln)(t) = 1 + ... + Г-1, K(R)(t) = 1 +1 +12 + ... = —L-,
1-t
a ряд их свободного произведения определяется формулой ([18], с. 50):
1 — t — — tra
(A(M)(t))-1 = (K(L | Ln)(t))-1 + (K(R)(t))-1 - 1 = 1+t. ^ .+.tra-ti ,
1 + ... + tra-1
A(M )(t) =
1 - t - ... - tn
Таким, образом, ряд Гильберта A(M) рационален, и am(M) - квазимногочлен уточняемого вида.
6. Заключение
Рассмотрим уравнение:
tn+l _ -
-n + ... +1 = = 1, (7)
Обозначим r(n) - его единственный положительный корень. Ясно, r(n) ^ 1. Если r(n) = 1, тогда: n = 1, A(M) = K(Я), am(M) = 1, cm(i A/MT) = m.
В нетривиальных случаях n > 1 имеем 0 < r(n) < 1. Нетрудно видеть, что уравнение (7) не имеет кратных корней. Поэтому am(M) - линейная комбинация экспонент с основаниями обратными к корням уравнения (7). Пусть z - какой-то, возможно комплексный, корень этого уравнения, отличный от r(n). Тогда он неположительный. Для неположительных, возможно комплексных w из условия |w| ^ r(n) следует:
|wn + ... + w| < |wn| + ... + |w| ^ (r(n))n + ... + r(n) = 1.
Поэтому |z| > r(n) и последовательность am(M) x r(n)-m - имеет экспоненциальный рост с основанием r(n)-1 > 1.
Сравним r(n) и r(n + 1). Они - положительные корни уравнений:
(r(n))n + ... + r(n) = 1,
(r(n + 1))n+1 + (r(n + 1))n + ... + r(n + 1) = 1.
Поэтому r(n) монотонно убывают: r(n) > r(n + 1^. ^рт poсте n корни r(n) стремятся к r -положительному решению уравнения:
n r 1
... + rn + ... + r =-= 1 ^^ r = - .
1 г r 2
Мы получили, что 1 > r(n) > 1/2, и am(M), cm(i A/MT) имеют дробный экспоненциальный 1 < 1/r(n) < 2 n
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Матем. сб. 1950. Т. 26(68). № 1. С. 19-33.
2. A. Giambruno, М. Zaicev Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI. 2005. V. 122. 352 p.
3. A. Giambruno, S. P. Mishchenko Polynomial growth of the codimensions: A characterization // Proc. Amer. Math. Soc. V. 138. № 3. March 2010. pp. 853-859.
4. V. Drenskv Relations for the cocharacter sequences of T-ideals // Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math. 131. 1992 (Part 2). pp. 285-300.
5. Зайцев M.B., Мищенко С.П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом. // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2008. № 1. С. 25-31.
6. Мищенко С. П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом меньшим трех // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2013. № 3. С. 51-54.
7. A. Giambruno and М. Zaicev Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. V. 142. 1999. pp. 221-243.
8. S. P. Mishchenko, M. V. Zaicev An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent // Journal of Mathematical Sciences (New York). 1999. V. 93. № 6, pp. 977-982.
9. Мищенко С.С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. № 5. С. 165-170.
10. О. Malvusheva, S. Mishchenko, A. Verevkin Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents // Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. 66. № 3. 2013. P. 321-330.
11. O.A. Bogdanchuk, S.P. Mishchenko, A.B. Verevkin On Lie algebras with exponential growth of the codimensions // Serdica Math. J. V. 40. 2014. № 3-4. P. 209-240.
12. A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev Codimensions of Algebras and Growth Functions // Adv. Math. 2008. 217. № 3. P. 1027-1052.
13. Ершова H. А., Чигарьков M. В. Пример многообразия с дробной экспонентой // Вестник МГАДА. 2013. № 1(20). С. 56-62.
14. Курош А. Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Матем. сб. 1947. Т. 20(62). № 2. С. 239-262.
15. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : Наука.- 1985 - 448 с.
16. Залесский А. Е., Михалёв А. В. Групповые кольца. - Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.- Том 2.- ВИНИТИ, \!.. 1973.- С. 5—118.
17. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. -М.: Наука,- 1969.
18. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Алгебра-6, -Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления.- Том 57, ВИНИТИ, М., 1990,- С. 5—177.
REFERENCES
1. Mal'tsev, А. I., 1950, "On algebras defined by identities", Mat. Sb. (N.S.), 26(68):1 (1950), 19-33. (Russian)
2. Giambruno, A., Zaicev, M., 2005, "Polynomial Identities and Asymptotic Methods", Math. Surv. and Monographs, vol. 122, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 352 pp.
3. Giambruno, A., Mishchenko, S. P., 2010, "Polynomial growth of the codimensions: A characterization", Proc. Amer. Math. Soc., 138, No 3, March 2010, pp. 853-859.
4. Drenskv, V., 1992, "Relations for the cocharacter sequences of T-ideals", Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math., 131 (Part 2), 285300.
5. Zaicev, M. V., Mishchenko, S. P., 2008, "An example of a variety of linear algebras with fractional-polynomial growth", Moscow University Mathematics Bulletin, 63, No 1, pp. 27-32.
6. Mishchenko, S. P., 2013, "The example of linear algebras variety with fractional polynomial growth less than 3", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1 Mat. Mekh., No 3, pp. 51-54. (Russian)
7. Giambruno, A., and Zaicev, M.. 1999, "Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate", Adv. Math., 142, pp. 221-243.
8. Mishchenko, S. P., Zaicev, M. V., 1999, "An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent", Journal of Mathematical Sciences (New York), V. 93, No 6, pp. 977-982.
9. Mishchenko, S. S., 2011, "New example of a variety of lie algebras with fractional exponent", Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., No 6. P. 44-47; English translation in: Moscow University Mathematics Bulletin, 2011, Vol. 66, No 6, pp. 264-266.
10. Malvusheva, O., Mishchenko, S., Verevkin, A., 2013, "Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents", Compt. rend. Acad. Bulg. Sci., 66, No 3, pp. 321-330.
11. Bogdanchuk, O.A., Mishchenko, S. P., Verevkin, A. B., 2014, "On Lie algebras with exponential growth of the codimensions", Serdica Math. ,J., 40, No 3-4, pp. 209-240.
12. Giambruno, A., Mishchenko, S., Zaicev, M., 2008, "Codimensions of Algebras and Growth Functions", Adv. Math., 217, No 3, pp. 1027-1052.
13. Yershova N. A., Chigarkov M. V., 2013, "The example of variety with fractional exponent", Vestnik MGADA, No 1(20), pp. 56-62. (Russian)
14. Kurosh, A., 1947, "Non-associative free algebras and free products of algebras", Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 20(62):2, pp. 239-262. (Russian)
15. Bahturin, Y. A., 1985, Identities in algebras Lie. Science, Moscow, 448 pp.
16. Zalesskii, A. E., Mikhalev, A. V., 1973, Group rings, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat., vol. 2, VINITI, Moscow, pp. 5-118. (Russian)
17. Curtis, C. W., Reiner I., 1962, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, NY, London: Interscience Publishers a division of J. Wiley k, Sons, 1942.
18. Ufnarovski, V. A., 1990, Combinatorial and asymptotic m,et,hods in algebra, Algebra - 6, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., 57, VINITI, Moscow, 1990, 5^177. (Russian)
Ульяновский государственный университет Получено 08.04.2016 г. Принято в печать 10.06.2016 г.
