О подалгебрах свободного произведения в классе пронильпотентных алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2004. №1. С. 25-27.

© Омский государственный университет УДК 519.48

О ПОДАЛГЕБРАХ СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КЛАССЕ ПРОНИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБР ЛИ

Е.А. Швед

Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 9 декабря 2003 г.

This paper contains some results about subalgebras of free topological closed residually nilpotent algebras and free products of such algebras.

В этой статье изучается строение идеалов свободного произведения в следующих классах: алгебр Ли, пронильпотентных алгебр Ли, проко-нечнонильпотентных алгебр Ли. Два последних класса состоят из топологических алгебр, поэтому речь идет об идеалах, замкнутых в индуцированной топологии.

А.И. Ширшов доказал, что подалгебра свободной алгебры Ли является свободной алгеброй Ли [6]. Е. Витт выдвинул гипотезу, что подалгебра В свободного произведения алгебр Ли Аг описывается равенством В = 5 * (*(Аг Р| В)), где

г

Б - свободная алгебра Ли, * - знак свободного поизведения в классе алгебр Ли. А.И. Ширшов показал, что эта гипотеза неверна [5].

Любая замкнутая подалгебра свободной про-конечнонильпотентной (п.к.н.) алгебры Ли - это свободная п.к.н. алгебра Ли (теорема Ю.В. Кузьмина [1]). Задача о строении подалгебр (идеалов) свободного произведения *Аг в классе п.к.н. алгебр Ли решается теоремами 2, 3 статьи, предлагаемой читателю. Теоремы, аналогичные теореме 2, справедливы в классе алгебр Ли и в классе пронильпотентных алгебр Ли.

В статье А.Д. Тавадзе и А.Л. Шмелькина [3] показано, что подалгебра свободной пронильпо-тентной алгебры Ли, замкнутая в индуцированной топологии, может и не быть свободной про-нильпотентной алгеброй Ли с этой топологией.

В работе [4] утверждалось, что подалгебра В свободной пронильпотентной алгебры Ли, замкнутая в обобщенно нильпотентной топологии (по степням В ), является свободной пронильпо-тентной алгеброй Ли. К сожалению, доказательство содержит ошибку, а утверждение остается гипотезой.

Мы будем рассматривать алгебры Ли над

произвольным полем Г (начиная с некоторого момента Г - это произвольное поле нулевой характеристики). Пусть А - такая алгебра с множеством порождающих А. Рассмотрим идеалы Ца алгебры А со свойствами: Ца содержит почти все элементы из А и Ап (для некоторого натурального п = п(а)). Предположим, что

П = 0. Рассмотрим алгебру А как топологи-{«}

ческую: идеалы Ца составляют базис открыто-замкнутых окрестностей нуля алгебры А. Поскольку Р| Ца = 0, то топология хаусдорфова. {а}

Топологическую алгебру Ли А будем называть п.к.н. в том и только том случае, если она полна во введенной выше топологии.

Пусть Ь[Х] - свободная алгебра Ли над полем Г с множеством свободных порождающих X. Ее базис состоит из всех правильных слов в алфавите X. Рассмотрим векторное пространство Ь, состоящее из формальных бесконечных линейных комбинаций вида £ , где ^ Г, -правильные слова, причем множество ненулевых коэффициентов в этой записи конечно или счетно. Можно определить умножение на Ь так, что получится пронильпотентная алгебра Ли, а X - множество ее топологических порождающих (наименьшая замкнутая подалгебра, содержащая X, совпадает с Ь). Точнее, имеется вложение 3 : X ^ Ь^] С Ь, такое, что X3 - множество топологических порождающих Ь.

Пусть Л - произвольная п.к.н. алгебра Ли над полем Г с фиксированным множеством топологических порождающих У, - произвольное отображение множества X в У С Л. Тогда существует непрерывный (относительно указанной топологии) гомоморфизм Ф : Ь ^ Л, такой, что следующая диаграмма коммутативна:

26

Е.А. Швед

X л I

Л

В этом случае алгебра Ь называется свободной п.к.н. алгеброй Ли (над -Р) с множеством свободных топологических порождающих X".

Множество всех правильных слов в алфавите X" естественно назвать топологическим базисом алгебры Ь.

В предлагаемой работе основным является определение свободного дифференциального расширения, причем в каждом из классов, названных выше, это определение свое. Для алгебр Ли конструкция свободного дифференциального расширения была предложена М.А. Шевелиным (см. [7]), мы даем «абстрактное определение» этой конструкции.

Определение 1. Пусть А,Ь,С— алгебры Ли над полем - упорядоченное множество,

порождающее Ь как векторное пространство. Линейный оператор б^1 из А в С обо-

значим через А (здесь п, qjs - неотрицательные целые числа, з\ <32 < ••• < Зп)- Предположим, что для любого ¡^{зп < j) определено линейное отображение

Абэ : А ->■ ААбэ = А6V1

(где = ), причем для любых

х,у £ АА (ху)б^ = (х6^)у+х(у6^). Предположим, что алгебра С порождена объединением 17 подпространств АА (для всех возможных А). Тогда алгебра С называется дифференциальным расширением алгебры А с помощью Ь.

Определение 2. Пусть < А | Ь > - дифференциальное расширение лиевой алгебры А над полем с помощью Ь, причем для любого дифференциального расширения С алгебры А вложения 0 : А —>■ С, в : А А \ Ь > продолжаются гомоморфизмом (р алгебры < А \ Ь > на алгебру С так, что следующая диаграмма коммутативна:

А Л < А | Ь >

Ф \ ! V с

Тогда алгебра < А \ Ь > называется свободным дифференциальным расширением алгебры А с помощью Ь.

Если А * Ь - свободное произведение алгебр Ли, то идеал /, порожденный в А*Ь алгеброй А, является свободным дифференциальным расширением лиевой алгебры А с помощью Ь. Строение < А | Ь > зависит от размерности с! алгебры Ь, но не зависит от иных свойств этой алгебры.

Поэтому обозначение < А \ L > подчас заменяется на < А | d >, где d = di mL.

Напомним, что база алгебры A*L состоит из всех особых слов в алфавите |сц} (Jft'}' гДе ai{lj) - базисные элементы алгебры А (соответственно, алгебры L) [2] (см. также [6]). Особые слова, отличные от lj, составляют базу < А \ L >.

Определение 3. Пусть A,L,C - прониль-потентные алгебры Ли над произвольным полем F, {<5j} - упорядоченное множество элементов из L, порождающее L как векторное пространство. Предположим, что в обозначениях определения 1 алгебра С порождена (как топологическая алгебра) объединением U подпространств АА (для всех возможных А). Тогда пронильпотентная алгебра С называется дифференциальным расширением алгебры А с помощью L.

Определение 4. Пусть < A\L >п.н. — дифференциальное расширение пронильпотентной лиевой алгебры А над полем F с помощью пронильпотентной лиевой алгебры L, причем для любого дифференциального расширения С алгебры А в классе пронильпотетных алгебр Ли непрерывные вложения ¡/> : А —>■ С, в : А —>■ < A\L >п.н. продолжаются непрерывным гомоморфизмом (р алгебры < A\L >п.н. на алгебру С так, что следующая диаграмма коммутативна:

А Л < A\L >п.н.

Ф \ ! ч> с

Тогда алгебра < A\L >п.н. называется свободным дифференциальным расширением алгебры А с помощью L в классе пронильпотентных алгебр Ли.

Пусть AiL - свободное пронильпотентное произведение пронильпотентных алгебр Ли A, L. Рассмотрим идеал /, порожденный в AiL алгеброй А, причем I замкнут в индуцированной топологии, тогда I является свободным дифференциальным расширением < A\L >п.н. в классе пронильпотентных алгебр Ли.

Определения дифференциального расширения (свободного дифференциального расширения) в классе проконечнонильпотентных алгебр Ли вводятся аналогично определениям 3 и 4 с учетом того, что топология изменилась. Свободное дифференциальное расширение < A\L >п.к.н. алгебры А с помощью L (в этом классе) изоморфно замкнутому идеалу /, порожденному А в свободном проконечнонильпотентном произведении А -к L проконечнонильпотентных алгебр Ли A, L.

Сформулируем основные результаты этой работы.

Теорема 1. Пусть А^(к <Е К) - алгебры Ли

О подалгебрах свободного произведения.

27

над одним и тем же полем F, I - идеал их свободного произведения в классе алгебр Ли. Тогда I - свободное произведение лиевых алгебр S (это свободная алгебра Ли) и < Ак | dk >, где к £ К. (Эта теорема получена в соавторстве с Г.П. Ку-киным.)

Теорема 2. Пусть Ак(к £ К) - пронильпо-тентные алгебры Ли над одним и тем же полем F, I - идеал их свободного произведения в классе пронильпотентных алгебр Ли, замкнутый в индуцированной топологии. Тогда I - свободное пронильпотентное произведение пронильпотентных лиевых алгебр S (это замыкание свободной алгебры Ли в индуцированной топологии) и < Ак | clk >п.н., где к £ К.

Аналогичный результат справедлив и в классе проконечнонильпотентных алгебр Ли.

В работе Г.П. Кукина и Е.В. Руниной [2] для алгебр Ли над полем характеристики 0 показано, что если В - идеал в *Aj, то можно так пополнить алгебру *Aj (в некоторой топологии), что идеал В и подалгебра пополнения S * ( * (Aif)B)'fi) будут иметь одинаковые замыкания. Здесь {9?} - бесконечное множество изоморфизмов (каждый из них - композиция

оо

экспоненциальных отображений .г —>■ £ —^хуп).

п=0 ""

В классе пронильпотентных алгебр Ли верна аналогичная теорема.

Теорема 3. Пусть Ак(к £ К) - пронильпо-тентные алгебры Ли над полем F характеристики 0, / - идеал их свободного пронильпотентного произведения Р. Тогда найдется подалгебра /о в Р, для которой справедливо равенство

i0 = s*(*(inAkm, i,k 11

где S - свободная алгебра Ли, tpi - изоморфизмы (Lpi - композиция экспоненциальных отображений), * - значок свободного произведения в классе алгебр Ли, причем подалгебры /, /о обладают одним и тем же замыканием в Р (в индуцированной топологии).

Даже для замкнутого идеала I <\Р равенство I = /о неверно, вопреки тому, что сказано в [4].

Названная выше теорема Ю.В. Кузьмина [1]. позволила нам предположить, что гипотеза Е. Витта верна в классе п.к.н. алгебр Ли над полем характеристики 0. Однако это не так.

Пусть I - замкнутый идеал Р = А* В (свободное произведение в классе п.к.н. алгебр Ли), порожденный подалгеброй А, {APi} - конечное множество подалгебр в Р, где Lpi - композиции экспоненциальных отображений. Тогда замкнутая подалгебра, порожденная объединением {Al'Pi}, не совпадает с I. Если же множество

бесконечно, то замкнутая подалгебра В, порожденная объединением }, равна I.

Пусть е - тождественное отображение, <рп = ехр пЪ, где п - натуральные числа, Ъ £ В (Ъ^0),а £ А. Тогда

°° (—Л V"

аЪ= V ^-—а(<?1 -£)",

п

п=1

°° (—Л V"

2аЪ = У^ --'—а(<р2-£)п.

п

п= 1

Следовательно,

V --- £) = V --a(V2 - £)

< * 11 < * п >

так что подалгебра В, порожденная объединением подалгебр Ап = Аехр(пЬ),п € N. не является свободным п.к.н. произведением алгебр Ап.

Аналогичные соображения показывают, что любого бесконечного множества изоморфизмов Фг идеал I порожден объединением У А^ как замкнутая подалгебра, но не является их свободным произведением в классе п.к.н. алгебр Ли.

В заключение автор приносит свои извинения читателям за неточности в статье [4].

[1] Кузьмин Ю.В. О теоремах типа теоремы Нильсена-Шрайера в алгебре рядов от некомму-тирующих переменных // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27. № 2. С. 91-103.

[2] Кукин Г.П., Рунина Е.В. Об алгебрах, конфи-нальных подалгебрам свободног2о произведения алгебр Ли // Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1999. С. 190— 205.

[3] Тавадзе А.Д., Шмелькин А.Л. Подгруппы свободных пронильпотентных групп // Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. Т. 93. С. 277-279.

[4] Швед Е.А. О пронильпотентных алгебрах Ли // Вести. Ом. ун-та. 2001. № 4. С. 16-18.

[5] Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3. № 2. С. 297-301.

[6] Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Матем. сб. 1953. Т. 33. № 2. С. 441-452.

[7] Bokut' L.A., Kukin G.P. Algorithmic and Combinatorial Algebra. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1994.