Приближенный метод решения задачи рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящей шероховатой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

^^¡¡¡¡^ Радиолокация и радионавигация

УДК 621.372.8-027.21

М. А. Бородин, В. В. Леонтьев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ"

Приближенный метод решения задачи рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящей шероховатой поверхности

Разработан приближенный метод расчета электромагнитного поля, рассеянного идеально проводящей шероховатой поверхностью, базирующийся на решении интегрального уравнения.

Радиолокация, радиосвязь, скользящие углы облучения, рассеяние вперед, шероховатая поверхность

Для строгого решения задачи рассеяния электромагнитных волн на шероховатых поверхностях используют метод интегрального уравнения (ИУ). Имеющиеся численные алгоритмы, реализующие метод ИУ (см., например, [1] и [2]), согласно [2] и [3] имеют вычислительную сложность 0 (N2), где N - число сегментов, на которые разбивается исследуемая поверхность. Переход к спектральному представлению функции Грина позволил существенно снизить вычислительную сложность решения задачи рассеяния до 0(N) [3]. Однако используемый в перечисленных алгоритмах матричный аппарат накладывает ограничение на размеры исследуемой шероховатой поверхности, предельные значения которых, как правило, не превышают нескольких тысяч длин волн излученного РЛС электромагнитного поля. Указанный факт ограничивает использование указанных выше алгоритмов для решения задач радиолокации и радиосвязи.

В [4] разработан итерационный алгоритм решения задачи рассеяния методом ИУ, который позволяет исследовать рассеивающие свойства поверхностей практически неограниченной длины. К сожалению, отказ от матричного аппарата привел к увеличению вычислительных затрат, порядок которых составляет 0(N2 + N). Таким образом, возникает задача создания алгоритма расчета рассеянного поля, базирующегося на методе ИУ и имеющего относительно низкую вычислительную сложность.

Создание такого алгоритма крайне затруднительно, поэтому при решении задачи рассеяния предлагается принять некоторое упрощающее допущение, которое бы позволило сократить вычислительные затраты.

В качестве такого допущения примем, что основной вклад в рассеянное поле вносят освещенные падающим электромагнитным полем участки исследуемой шероховатой поверхности. Тогда вкладом остальных участков в рассеянное поле можно пренебречь.

© Бородин М. А., Леонтьев В. В., 2012

93

о г

Рис. 1

Будем считать, что условия задачи рассеяния электромагнитного поля на детерминированной шероховатой поверхности полностью совпадают с условиями задачи, рассмотренной в [4], а именно, на шероховатую идеально проводящую поверхность (рис. 1) падает под углом скольжения 0 электромагнитная волна с горизонтальной поляризацией. Ориентация в пространстве векторов напряженности электрического и магнитного полей падающей (Еп, Нп) и рассеянной (Ер, Нр) волн показана

также на рис. 1. Поверхность задана в прямоугольной системе координат ОХУг и описывается функцией у = у (х). Ось ОХ указанной системы координат перпендикулярна плоскости падения электромагнитной волны, содержащей волновой вектор К и ось 07. Направление рассеяния определяет угол 0р, отсчитываемый от оси 07.

Для построения численного алгоритма исследуемая детерминированная шероховатая поверхность разбивается на N участков и определяется в дискретных точках с координатами (хп, уп), п = 0, N.

Координаты хп точек поверхности рассчитываются по формуле хп = Я + пАх, п = 0, N, где Ах = ( Я _ Я)/N — шаг пространственной дискретизации, Я и Я - левая и правая

границы поверхности соответственно.

Предлагаемый алгоритм расчета рассеянного поля состоит из нескольких этапов и включает:

• поиск освещенных зон на заданной шероховатой поверхности;

• алгоритм расчета плотности поверхностного тока на освещенных участках;

• собственно расчет поля, рассеянного заданной шероховатой поверхностью по найденной плотности поверхностного тока.

Перейдем к описанию реализации каждого из этапов предлагаемого алгоритма. Для выполнения первого этапа используем алгоритм поиска освещенных зон на заданной шероховатой поверхности, разработанный в [5], в результате выполнения которого

получим массив индексов освещенных точек , I = 1, Ь, где Ь — число освещенных точек на поверхности.

На втором этапе выполним расчет плотности поверхностного тока в освещенных точках заданной шероховатой поверхности. Модифицируем итерационный алгоритм [4] с учетом принятого ранее допущения. Согласно итерационному алгоритму плотность поверхностного тока (ППТ) в каждой точке поверхности определяется по формуле [4]:

у(х ) = уп (х) + у (х) + у (х)

(1)

где уп (х) — плотность тока, наводимая падающим полем; у (х) и у (х) — плотности тока, определяемые компонентами рассеянного поля Н+, распространяющегося по по-

верхности в сторону положительного направления оси 0Х, и поля Н—, распространяющегося по поверхности в противоположную сторону.

По аналогии с алгоритмом [4], на первой итерации положим у— (х) = 0 и предваритель-

(2) (3)

но зададим у1 (хп) = 0, п = 0, N, тогда алгоритм расчета плотности тока будет следующий. ППТ в первой освещенной точке поверхности определяется падающим полем:

Л (^ ) = уп (^ ). В освещенной точке с индексом 5*2 ППТ рассчитывается по формуле

у1 (х52 ) = уп (х52 ) + %,

где = | уп (х) М (х, х^2 ) dх, причем М (х, х$2 ) - функция распространения [4]. х51 2

В освещенной точке поверхности с индексом 53 ППТ имеет вид

Л Ы ) = уп К) + Р1 + р5з, (4)

х52 -, х83

где Р1 = | (А1,1х + В11) ехр г (С1,1х + В11) М (х, х8з) dх; —3 = I уп (х) М (х, х8з) dх.

х51 х52

При расчете слагаемого Р1 в (4) используется линейная модель ППТ, аналитические выражения коэффициентов А, В, С и Б которой приведены далее для произвольной точки

освещенной поверхности с индексом 87, 7 = 3, Ь.

В освещенной точке поверхности с индексом 87 ППТ определяется выражением

7—2

у1 (Х51 ) = уп (Х51) + Д Р1 + Р8г ,

7 = 3, Ь,

(5)

х51—1

где р—2 = I ( А1, 7—2х + В1, 7—2 ) ехР \г (С1, 7—2х + А, 7—2 )] М (х, х8; )

х51—2

х87

5 = I уп (х) М (^ х8г )

х51—1

dх.

Коэффициенты линейной модели плотности тока у1 ( х) определяются по формулам:

А1, 1—2 = С1, 1—2 =

у1 (х8{—1 )| — | у1 (х8{—2 )|]/(х8{—1 — х8{—2 ); В1, 7—2 = |у1 (х8{—1 )| — А1,7—2х8{—1; Ф1 (х8г—1)— Ф1 (х8г —2)]/(х8г—1 — х8г—2 ); Б1, 7—2 = Ф1 (х8г—1)— С1,1—2х57—1,

(6)

где ф1( ) — фазовый сдвиг.

Таким образом, без учета плотности тока у— (х) первая итерация (2)-(5) позволяет оценить плотность токов в "освещенных" точках поверхности с индексами 87, 7 = 1, Ь, а

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 2======================================

также создать линейную модель плотности токов с коэффициентами (6) на участках поверхности между этими точками.

На второй итерации учтем вклад плотности тока у- (х) в итоговую плотность поверхностного тока (1). Предварительно зададим Л (Х[ ) = 0. Алгоритм расчета плотности тока на второй итерации будет следующим.

ППТ на второй итерации в освещенной точке поверхности с индексом Бь определяется ППТ, полученной на первой итерации:

у2 (^ ) = Л (^ ). (7) В освещенной точке поверхности с индексом -1 ППТ на второй итерации определяется выражением

Х*Ь

у2 (ХБь-1 ) = Л (ХБЬ-1) + I (А1,Ь-2Х + В1,Ь-2)ехР(С\,Ь-2х + А,Ь-2)]М(Х ХБЬ-1)^ (8)

ХБь-1

В освещенной точке с индексом Бь - 2 ППТ имеет вид

32 (Хвь_2 ) = 31 (ХБь_2 ) + и1 + ¥1, (9)

где и1 = | ( А2, Ь-2Х + В2, Ь-2 ) ехР (С2, Ь-2Х + В2, Ь-2 )] М (Х ХБЬ-2 ) Лх

Ь-1

ХБь-1

V = I ( А2, Ь-2Х + В2, Ь-2 ) ехР (С2, Ь-2Х + В2, Ь-2 )] М (x, ХБЬ-2 ) ^ •

ХБь-2

Как и при первой итерации, при расчете слагаемых и и ¥1 в (9) на второй итерации используются линейные модели ППТ, выражения для коэффициентов А, В, С, В, А', В', С' и В' которых приведены далее для точки освещенной поверхности с заданным индексом.

В освещенной точке поверхности с индексом Бт, т = Ь -1 +1, I = 3, Ь, ППТ определяется выражением

I - 2

32 (ХБт )= 31 (ХБт )+ I Щ + ^ (10)

¡1 =1

Х^т+2

где и1 -2 = I ( А2,тХ + В2,т ) ехР [' (С2,тХ + В2,т )] М (Х ХБт ) ^

Х^т+1

Х^т+1

¥1 -2 = I ( А2, тХ + В2, т ) ехР (С2, тХ + В2, т )] М (x, ХБт ) ^

ХБ Бт

Коэффициенты линейной модели плотности тока Л (Х) определяются по формулам:

А

2, т

С

2, т

А2, т

С2

2, т

У2 (Х^+2 )| -к ()|]/(Х$т+2 ~ Х^+1 ) ; В2, т = |у2 (Х^+1 )| " А2, тХБ} ф2 (Х^т+2 ) - ф2 (Х5т+1 )]/(Х$т+2 " Х^+1 ); т = Ф2 (Х^+1 ) - С2, т^, У2 (Х5т+1 | - |к (ХБт )|]/(Х5т+1 - ); В2, т = |У2 (^ ^ - А2, тХБт ; ф2 (Х^т+1 ) - ф2 (Х^т )]/(Х^т+1 - Х^ ) ; ^2, т = ф2 () - С2, т^ •

т+1

т+1

(11)

Таким образом, с учетом плотности тока у (х ) вторая итерация (7)-(10) позволяет уточнить как плотность токов в дискретных точках поверхности с индексами , I = 1, Ь,

так и коэффициенты (11) линейной модели плотности токов на участках поверхности.

Третий этап приближенного алгоритма - расчет поля, рассеянного заданной шероховатой поверхностью, по найденной плотности поверхностного тока - выполняется аналогично [4].

На рис. 2 в качестве примера представлена реализация шероховатой поверхности (жирной линией показаны освещенные области), а на рис. 3 и 4 - модули плотности поверхностного тока после второй итерации, рассчитанные с помощью приближенного и итерационного алгоритмов соответственно.

Для оценки точностных характеристик разработанного алгоритма используем методику, предложенную в [6], в основе которой лежат закон сохранения энергии, а также анализ бистатической диаграммы рассеяния.

В соответствии с законом сохранения энергии при отсутствии потерь мощность поля, рассеянного поверхностью Рр, должна быть равна мощности падающего поля Рп. Тогда должно выполняться равенство [6]:

П 2

Рр/Рп = I ^ (0р)dQр = 1,

-П 2

(12)

где (0р) - бистатическая диаграмма рассеяния; 0р - угол рассеяния.

Согласно [6] отклонение от единицы

У, м

0.3

в (12) £р = 1 -(Рр/Рп )

может служить со-

0.3 - 0.6

0-,

вокупной мерой погрешности всех вычис-

|у2 (Х^, А/м 0.8 0.6 0.4 0.2 0

- 60 - 40 - 20 0 Рис. 3

- 60 - 40 -20 0 20 40 х, м Рис. 2

|у2 ( х ^, а/м

0.8

0.6

0.4

0.2 0

20 40 х, м

- 60 - 40 - 20 0 20 Рис. 4

Таблица 1

а y, мм в, ... °

2 3 4

ер, %

2.87 29.40 15.90 7.06

48.72 27.43 22.40 19.61

94.58 22.15 21.20 18.04

140.40 20.04 18.80 17.80

186.30 21.35 20.50 18.04

231.50 19.90 19.10 18.28

лении при решении рассмотренной задачи рассеяния на шероховатой поверхности.

В табл. 1 представлены значения погрешности вычислений, усредненные по 50 реализациям для каждой пары значений

(в, а,),

где а

у

среднеквадратическое от-

клонение ординат шероховатой поверхности. В [7] показано, что погрешность вычислений при использовании итерационного алгоритма не превышает 2 % в широком диапазоне значений параметра Рэлея PR = 4па, sin ejX.

Для задач радиолокации и радиосвязи, например для оценки рассеивающих свойств объектов, расположенных на границе раздела двух сред [8], необходима информация о поле, рассеянном шероховатой поверхностью в зеркальном направлении. В табл. 2 представлены значения относительной погрешности оценки бистатической диаграммы рассеяния в зеркальном направлении, усредненные по 50 реализациями для каждой пары значений

(в, а у). Расчет относительной погрешности оценки бистатической диаграммы рассеяния в зеркальном направлении выполнялся по формуле

£г = {[|rw (вр) - r'w (вр )|]/r'w (вр)}, вр = (П2) - в,

где rw (вр) и rW (вр) - значения бистатической диаграммы рассеяния в зеркальном направлении, полученные по приближенному и по итерационному алгоритмам соответственно.

Отдельный интерес представляет вопрос о снижении временных затрат на решение задачи рассеяния при использовании разработанного алгоритма. В табл. 3 представлены

усредненные по 50 реализациям для каждой пары (в, а у) значения коэффициента ускорения вычислений, определенного по формуле К, (в, а у ) = ¿иа (в, а у )j ¿па (в, а у), где ¿иа (в, а у), ¿па (в, а у) - время вычислений по итерационному и по разработанному

приближенному алгоритмам соответственно.

На рис. 5, 7, 9 представлены бистатические диаграммы рассеяния, полученные для трех видов поверхностей с разной степенью шероховатости с параметрами Рэлея PR ^ 1, Pr = 1 и

Таблица 2

Таблица 3

а y, мм в, ... °

2 3 4

£г, %

2.87 31.8 16.3 7.9

48.72 43.7 29.9 36.4

94.58 32.0 39.8 42.3

140.40 29.6 50.7 39.5

186.30 39.3 54.2 45.4

231.50 28.0 53.3 50.1

а y, мм в,

2 3 4

КУ

2.87 1.51 1.77 1.73

48.72 5.01 5.37 4.86

94.58 5.11 5.73 5.09

140.40 6.70 6.08 5.40

186.30 5.72 6.69 5.39

231.50 7.52 5.73 4.97

10°

10

-4

10

-8

Рк << 1

д

1 1 1 1

-90

-60

10

10 10

100

-2

-4

Рк << 1

-30

0

Рис. 5

30

60

0р,

60

65

Г, 10

10

10"

10" 10-

-2

Рк = 1

4 Дик

70

75 Рис. 6

80

85

0р,

-90

-60

10

10

10 10

-7

-30

0

Рис. 7

75 Рис. 8

Рк > 1

.Аликл "*»ЧЧ > 'Ц|» V "Ц .Уч-СУ" '—

30

60

0р,

0р,

-90

-60

-30

0

Рис. 9

75 Рис. 10

30

60

0р,

0р,

Pr > 1 соответственно, а на рнс. 6, 8, 10 показаны бистатические диаграммы рассеяния в секторе углов [60°; 90°] в условиях, соответствующих рис. 5, 7, 9. Черные линии соответствуют разработанному приближенному алгоритму, а серые - итерационному алгоритму [4].

Значения нормированного коэффициента корреляции бистатических диаграмм рассеяния, полученных по итерационному и по приближенному алгоритмам для Pr ^ 1,

Pr = 1 и Pr > 1 составили 0.999, 0.984 и 0.978 соответственно.

Таким образом, разработанный приближенный алгоритм позволяет решать задачу рассеяния с погрешностью, не превышающей 30 %, при этом вид бистатической диаграммы рассеяния согласуется с физическими закономерностями рассеяния радиоволн на шероховатых поверхностях. Вычислительная сложность приближенного алгоритма составляет 0 ( Nq + N0) + 0 (N), где N0 - количество освещенных точек шероховатой поверхности, зависящее от условий задачи рассеяния, в частности от угла скольжения и средне-квадратического отклонения ординат шероховатой поверхности.

Список литературы

1. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of electromagnetic waves: Theories and application. New York: John Wiley & Sons, 2000. 436 p.

2. Kapp D. A., Brown G. S. A new numerical method for rough-surface scattering calculations // IEEE Trans. on antennas and propagations. 1996. Vol. 44, № 5. P.711-721.

3. Pino M. R., Burkholder R. J. Spectral acceleration of the generalized forward-backward method // IEEE Trans. on antennas and propagation. 2002. Vol. 50, № 6. P. 785-797.

4. Леонтьев В. B., Бородин M. А., Богин Л. И. Итерационный алгоритм расчета поля, рассеянного шероховатой поверхностью // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 5. С. 537-544.

5. Бородин M. А., Леонтьев В. В. Алгоритм поиска освещенных зон для приближенного решения задачи зеркального отражения радиоволн при скользящем облучении шероховатой поверхности // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 6. С. 41-46.

6. Бородин M. А., Леонтьев В. В. Анализ точностных характеристик итерационного алгоритма вычисления поля, рассеянного шероховатой поверхностью// Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54, № 9. С. 1043-1048.

7. Бородин M. А. Алгоритмы моделирования флуктуаций эффективной площади рассеяния знаков навигационного ограждения в радиолокационном тренажере: автореф. дис. ... канд. техн. наук / СПБГЭТУ "ЛЭТИ". СПб. 2011. 18 с.

8. Леонтьев В. В. Феноменологическая теория рассеяния радиоволн морскими объектами. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2006. 216 с.

M. A. Borodin, V. V. Leontyev

Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Approximate method for solving the problem of scattering electromagnetic waves on perfect conducting rough surface

The approximate method for calculation electromagnetic field scattering by perfect conducting rough surface and based on solving integral equation is designed.

Radiolocation, radio communication, low grazing angle, forward scattering, rough surface

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2012 г.