CC BY
29
Ф(0) = 0.5; ст) = ^
л/2лст ’
а, исходя из (4), имеем
Ф
m1 - m0 ст
= 1;N^mi,m0, ст) = 0 . (86)
(8а) 1R R £ (Hr J - Rr-1
(8б) 1 R R£ (Med R r =1
Решение уравнения (7) с учетом (8а) и (86) принимает вид
Med = mi - л/0.57ТСТ . (9)
Выборочная медиана имеет дисперсию
2
D(Med) = —. (10)
2n
Из (9) и (10) следует, что смещенность и эффективность выборочной медианы независимы от разности (mi - m^ = pb^q -1. Это позволяет утверждать, что выборочная медиана инвариантна к КП ОУ.
Алгоритм вычисления выборочной медианы при равновероятном появлении сигналов u; из классов Sk, k = 0,1, имеет вид
где Hr и Medr — соответственно оценки порогов (2) и (11), полученные в r-м опыте; R — число опытов, R= 10000. В каждом опыте моделировались выборки размера n=4 при m0 = 1, m1 = 2 . Результаты моделирования для ряда отношений сигнал/помеха
G = 20lg((m0 + приведены в таблице.
G 14 16 18 20 22 24 26 28
J 0.9 1.4 2.3 3.8 7.7 8.3 12.5 13.1
Анализ результатов моделирования позволяет сделать вывод о том, что эффективность алгоритма (11) выше, чем (2) при n=4 и G>16. Следовательно, алгоритм (11) может быть использован для оценивания порога различения Д С в условиях неопределенности ОУ.
Med = med(u!,K , un =2m) = 0.5
(m) (m +1)
u ' + uv '
. (11)
Здесь u(l) есть i-й по величине элемент выборки. Искомое РП для различения ДС принимает вид
Литература: 1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1968. 594 с. 2. Полонский А.Д Инвариантная алгебра ранговых предикатов для синтеза континуальных нейронных сетей // Проблемы бионики. 2001. № 55. С. 23-29.
S1
uj “ Med
i <
S0
3. Результаты статистического моделирования
В качестве меры эффективности алгоритма (11) по сравнению с (2) использовалось отношение
Поступила в редколлегию 14.10.2002
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Воробьев Г.С.
Полонский Александр Дмитриевич, канд. техн. наук, докторант кафедры искусственного интеллекта ХНУРЭ. Научные интересы: инвариантные системы. Адрес: Украина, 40007, Сумы, ул. Кирова-165, 140, кв. 41, тел. 279-975.
УДК 517.9+532.5
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МНОГОСВЯЗНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ
СИДОРОВ м.в._______________________
Рассматривается задача расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в многосвязной области. Предлагается приближенный метод ее решения, основанный на применении метода R-функций.
1. Постановка задачи
Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в (n +1) -связной плоской области Q с внешней границей cQ. 0 и внутренними границами SQ1, cQ.2,dQn (предполагаем, что массовые силы отсутствуют). Поле скоростей в области Q. будем описывать уравнением четвертого порядка для функции тока у(х, у):
1 2 d[SwA]
— А у =— —Ay--1—Ay
Re
dx і dy
dy \dx
(1)
Введение
При построении численных алгоритмов решения задач движения вязкой несжимаемый жидкости наиболее часто используется система уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока — вихрь» или эквивалентное ей уравнение для функции тока. Однако применение этих уравнений для решения задач в многосвязных областях затруднено тем обстоятельством, что, приняв значение функции тока на одной из границ равным некоторой постоянной величине, мы не можем определить функцию тока на других границах. В связи с этим возникают определенные трудности численного решения уравнений.
42
Компоненты скорости V1 и V2 выражаются соотношениями
V1 =■
5у _ 5у cy , V2 _ дх '
Тогда условия непротекания и прилипания на неподвижных твердых стенках cQ.;, i = 0, n , дают для у следующие граничные условия:
— = 0, ^ = 0, (x,y) едП = U cQ.j , (2)
от on j=0
д д
где —---производная вдоль касательной; —----
от on
производная вдоль нормали к 8Q .
РИ, 2003, № 1
Известно [1], что функция тока у(х, у) определена с точностью до несущественной постоянной, поэтому на одной части границы можно положить
у(х, у) = 0 при (х, у) edQо • (3)
Из первого из условий (2) получим
v(x,y) = Ci при (x, y) edQi, i = 1,n , (4)
где Ci = const, но эти постоянные не заданы.
Постоянные Ci из (4) получим из условия однозначного определения давления в многосвязной области Q •
Известно [2], что однозначность давления равносильна условиям
f Adx +3Pdy = о,
Ю; dx Ъ
i = 1, n
(5)
или, учитывая связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов, (5) можно записать в виде
f(Vp, т)ф? = j -J-ds ,
SQ; SQ;
i = 1, n •
Поскольку [2, 3]
dp 1 аЛу
dr Re dn ,
то окончательно получаем условие (5) в виде
j ds = 0, i = 1,n • (6)
ац 5n
Пусть участки границы dQ i, i = 1, n , неподвижны, а участок dQ о (весь или только часть) подвижен. Тогда мы приходим к задаче интегрирования уравнения (1) в области Q с краевыми условиями
Ш0
= о ^
, dn
= fo;
= c
ay
'ISQi ^, —
on
и дополнительными условиями (6) • 2. Метод решения
<Юо
= о, i = 1, n .
<3Qj
(7)
(8)
Задачу (1), (6)-(8) будем решать, применяя итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности, т^ решая задачу на каждом (m + і) -м шаге:
1 -,2jm+0 = Л» 1 Д^М
Л
—=---1-ду
Re dx ^5у J^y
V
(m+1)
<Юо
= о
ay1
(m+1)
an
<Юо
(9)
= f) , (10)
V
(m+1)
<3Q;
= Ci
ay
(m+1)
an
= о
<3Q;
i = 1, n , (11)
, aAy(m+1) —
I —-------ds = о , i = 1,n • (12)
Начальное приближение может быть выбрано произвольно, например, в качестве у(о) можно взять течение Стокса^
Обозначим
к I \ а (ау(m Л (m) Fm(x,^ = — ’
dx dy
m Ду( m'
dy ^ dx
Решение задачи (9)-(12) будем искать в виде
V
(m+1) = Jm+1)
n
■ Z ciui
i=1
(13)
где c; , i = 1, n , — константы из (4)^ Здесь функция
„М) -
решение задачи
—A2Jm+^=к
Re
m в Q,
(14)
(m+1)
= о
ап
(m+1)
о
8Q
an
= fr
о:
an
<Юо
= о, i = 1, n; (15)
а функции п;, i = 1, n , — решение задачи
А и; = о в Q,
п;1 Ю\Ю; о , п;1 SQ; 1,
ап;
an
(16)
=о • (17)
Ю
Таким образом, функции п;, i = 1, n , в (13) от номера итерации не зависят и при реализации вычислительного процесса находятся лишь один раз^
Очевидно, что при таком выборе функций поіп+1,
u;, i = 1, n , функция y(m+1) вида (13) будет удовлетворять уравнению (9) и краевым условиям (10), (11), кроме того, функции 4m+1), п;, i = 1, n , будут линейно-независимыми
Подставив теперь (13) в (12) для определения постоянных c;, i = 1, n , получим систему линейных алгебраических уравнений
I ck j
k=1 SQ;
a^
an
ds
-i
<3Q;
л (m+1)
an
ds
i = 1, n •
Для решения задач (14), (15) и (16), (17) можно воспользоваться методом R-функций [4] •
РИ, 2003, № 1
43
Пусть функция ю і (x, у), i = 0, n , удовлетворяет условиям:
Юі > 0 в q , Юі = 0 на dOі , |Vra^ = 1 на dOі ; тогда функция
Ю — Юо Ла ®1 Ла ®2 Ла ••• Ла ®n (I8)
будет удовлетворять таким условиям:
<в> 0 в q , ю = о на 30, |V<b| = 1 на дО.
В соответствии с методом R-функций можно построить структуры решения краевых задач (14), (15) и (16), (17).
Структура решения краевой задачи (14), (15) имеет вид
u0m+1) = + Ш2ф0т+1
Е^к1
к=0
~0+л0т+1)
,(19)
а структура решения краевой задачи (16), (17) имеет вид
-1 , Д -1 Ui =юі / E®k k=0
шБ^СшГ1/ £ш”1) + ш2Фі =
к=0
:фі +Ю2 Ф і . (20)
Здесь f = ECf0 — продолжение в область q функции f0 (EC — оператор продолжения граничных условий); ф0т+1), Фі , i = 1, n , — неопределенные компоненты структуры;
D =--------+-------
дх дх ду ду '
Для аппроксимации неопределенных компонент в (19), (20) можно воспользоваться любым проекционным методом.
Литература: 1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 2. Pearson C.E. A computational method for viscous flow problems // J. Fluid Mech. 1965. 21, №4. P. 611-622. 3. ВабищевичП.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с. 4. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с.
Поступила в редколлегию 19.11.2002
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.
Сидоров Максим Викторович, аспирант каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 702-14-36.
УДК 519.673+519.3
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРЕЙНА К РАСЧЕТУ ВЕРТИКАЛЬНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИМЕСИ В НЕСТАЦИОНАРНОМ УСТОЙЧИВОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ
более точные расчеты, а также позволяли проводить прогностические расчеты для более полного класса внешних условий, является актуальной.
1. Постановка задачи
Вертикальное распространение оседающей примеси от мгновенного источника мощности Q , находящегося на высоте h , описывается полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии [1]
А=+| kz |+w А
dt dz I dz j dz ’
(1)
ВЫХОДЦЕВ Е.И.____________________________
Рассматривается задача расчета вертикального распространения примеси от приземного источника в нестационарном устойчивом пограничном слое атмосферы. Для приближенного решения этой задачи предлагается использовать метод Галеркина. Предлагаемая вычислительная схема тестируется на модельной задаче, для которой известно точное решение.
где q — средняя концентрация примеси; w — скорость гравитационного оседания частиц; kz — вертикальный коэффициент турбулентной диффузии. Уравнение (1) дополняется следующими начальными и краевыми условиями:
q|t=0 = Q 5(z - h), (2)
Введение
Развитая структура и значительные объемы производства, транспорта и хранения низкотемпературных веществ представляет повышенную опасность для окружающей среды и человека. Существующие методики расчета последствий аварийных ситуаций, связанных с разливами, выбросами и утечками низкотемпературных веществ в окружающую среду, часто дают сильно завышенные результаты, что приводит к дополнительным затратам при составлении плана ликвидации последствий аварии. Поэтому разработка методик, которые давали бы
Sq
vz _ '-(w-P)q
dz
z=z0
= 0 , kz£
dz
z=H
0 , (3)
здесь p — скорость сухого осаждения (характеристика взаимодействия частиц примеси с подстилающей поверхностью); z0 — параметр шероховатости; H = H(t) — высота верхней границы нестационарного устойчивого пограничного слоя атмосферы; h — высота источника примеси.
Наиболее полный обзор известных точных решений задачи приведен в [1].
44
РИ, 2003, № 1
