CC BY
21
УДК 681.5
ИНВАРИАНТНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДВУХУРОВНЕВЫХ СИГНАЛОВ
ПОЛОНСКИЙ А.Д.___________________________
Предлагается метод построения решающего правила для различения двухуровневых сигналов на основе медианного алгоритма выбора порога принятия решения, инвариантного к изменениям коэффициента передачи объекта управления при действии гауссовской помехи. Приводятся результаты, показывающие эффективность предложенного метода различения сигналов по сравнению с оптимальным линейным алгоритмом.
Введение
При различении двухуровневых сигналов (Д С) на фоне гауссовской помехи часто неизвестен коэффициент передачи (КП) объекта управления (ОУ). Величина КП может претерпевать значительные изменения во времени. По этой причине нельзя непосредственно использовать для различения Д С существующие решающие правила (РП), оптимальные при действии гауссовской помехи и априори известных вариантах наблюдений. Обычно в условиях неопределенности ОУ используют оптимальные РП, подставляя в них вместо истинных параметров распределений ДС их оценки, полученные в результате анализа выборки наблюдений [ 1]. Поскольку выборки являются конечными, РП получаются неэффективными. Использование ранее разработанной инвариантной алгебры ранговых предикатов (ИАРП) [2] является более эффективным подходом к решению задачи различения Д С на фоне помех в условиях неопределенности ОУ.
1. Постановка задачи
Пусть на входе ОУ формируется последовательность управляющих воздействий {х;}, принимающих с равной вероятностью значения Ьк > 0, к = 0,1, причем bi = qbo , где q — известный коэффициент, q>0. На выходе ОУ наблюдается последовательность ДС {u;} = {х;} + {§;} . Здесь ;} есть случайная последовательность гауссовских помех с нулевым средним и дисперсией D(\;) = ст2 vi. Сформируем на выходе ОУ выборку (uk K , un) размера n независимых наблюдений. Считаем, что элементы выборки случайным образом принадлежат классам
Sk, к = 0,1, которые характеризуются плотностями распределений вероятностей (ПРВ) вида Wk(u;) = Nk(u,mk, ст). Здесь mk = pbk — математические ожидания ДС на выходе ОУ; m — неизвестный КП ОУ; k = 0,1; N — символ гауссовского распределения. Выборочный сигнал u; является случайной величиной с бимодальной ПРВ:
W(uO = 0.5[W<,(ui) + Wi(uO] =
= 0,5[N0(u,m0, ст) + N1(u,m1, ст)] =
2л/2ла
1exp
(u - m0)2 (u - m1)2
+ exp
2ст 2 2ст 2
. (1)
В работе [1] для различения случайных сигналов с ПРВ вида (1) предложено РП
Si
ui < Н
S0
Здесь H есть порог принятия решения:
1n
H =1Z u;
ni=1
Порог (2) является несмещенной оценкой математического ожидания для ПРВ вида (1) и характеризуется дисперсией
2
(2)
2
D(H) = — 2n
2 +
(m1 - m0)
2a
2
(3)
Для часто встречающихся на практике случаев, когда имеет место ограничение
22
(mi -m0) _[bb0(q-Р]2
2
2 2 »1, (4) 2ст 2ст
порог (2) является неэффективным в силу определяющей роли слагаемого (4) в (3).
Представляет интерес разработка РП, смещенность и эффективность порога которого независимы от КП ОУ при справедливости ограничения (4).
2. Метод решения
Рассмотрим одну из многоместных (n-арных) функций ИАРП—выборочную медиану med(u!,K,un). Здесь med есть символ функции медианы.
Утверждение. Выборочная медиана является достоверной (малосмещенной) оценкой распределения для класса S1 и обладает свойством инвариантности к КП ОУ.
Доказательство. Значение медианы Med находится путем решения следующего уравнения:
Med
J W (u; )du; = 0.5. (5)
Подставляя (1) в (5), получаем
J Med-m^W Med - m1
= 1
V ст J V ст Здесь Ф(х) есть интеграл вероятностей:
(6)
х / \
Ф(х) = J expl -0.5z2ldz .
Разложим уравнение (6) в ряд по степеням (Med - m^ . Ограничиваясь рассмотрением первых двух членов ряда, выражение (6) принимает вид
Ф
| Med—^-j +Ф(0) + (Med -m^[N0(m1,m0,ст) +
+N^m1,m1, ст)] =1. (7)
Отметим, что
1
РИ, 2003, № 1
41
Ф(0) = 0.5; ст) = ^
л/2лст ’
а, исходя из (4), имеем
Ф
m1 - m0 ст
= 1;N^mi,m0, ст) = 0 . (86)
(8а) 1R R £ (Hr J - Rr-1
(8б) 1 R R£ (Med R r =1
Решение уравнения (7) с учетом (8а) и (86) принимает вид
Med = mi - л/0.57ТСТ . (9)
Выборочная медиана имеет дисперсию
2
D(Med) = —. (10)
2n
Из (9) и (10) следует, что смещенность и эффективность выборочной медианы независимы от разности (mi - m^ = pb^q -1. Это позволяет утверждать, что выборочная медиана инвариантна к КП ОУ.
Алгоритм вычисления выборочной медианы при равновероятном появлении сигналов u; из классов Sk, k = 0,1, имеет вид
где Hr и Medr — соответственно оценки порогов (2) и (11), полученные в r-м опыте; R — число опытов, R= 10000. В каждом опыте моделировались выборки размера n=4 при m0 = 1, m1 = 2 . Результаты моделирования для ряда отношений сигнал/помеха
G = 20lg((m0 + приведены в таблице.
G 14 16 18 20 22 24 26 28
J 0.9 1.4 2.3 3.8 7.7 8.3 12.5 13.1
Анализ результатов моделирования позволяет сделать вывод о том, что эффективность алгоритма (11) выше, чем (2) при n=4 и G>16. Следовательно, алгоритм (11) может быть использован для оценивания порога различения Д С в условиях неопределенности ОУ.
Med = med(u!,K , un =2m) = 0.5
(m) (m +1)
u ' + uv '
. (11)
Здесь u(l) есть i-й по величине элемент выборки. Искомое РП для различения ДС принимает вид
Литература: 1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1968. 594 с. 2. Полонский А.Д Инвариантная алгебра ранговых предикатов для синтеза континуальных нейронных сетей // Проблемы бионики. 2001. № 55. С. 23-29.
S1
uj “ Med
i <
S0
3. Результаты статистического моделирования
В качестве меры эффективности алгоритма (11) по сравнению с (2) использовалось отношение
Поступила в редколлегию 14.10.2002
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Воробьев Г.С.
Полонский Александр Дмитриевич, канд. техн. наук, докторант кафедры искусственного интеллекта ХНУРЭ. Научные интересы: инвариантные системы. Адрес: Украина, 40007, Сумы, ул. Кирова-165, 140, кв. 41, тел. 279-975.
УДК 517.9+532.5
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МНОГОСВЯЗНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ
СИДОРОВ м.в._______________________
Рассматривается задача расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в многосвязной области. Предлагается приближенный метод ее решения, основанный на применении метода R-функций.
1. Постановка задачи
Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в (n +1) -связной плоской области Q с внешней границей cQ. 0 и внутренними границами SQ1, cQ.2,dQn (предполагаем, что массовые силы отсутствуют). Поле скоростей в области Q. будем описывать уравнением четвертого порядка для функции тока у(х, у):
1 2 d[SwA]
— А у =— —Ay--1—Ay
Re
dx і dy
dy \dx
(1)
Введение
При построении численных алгоритмов решения задач движения вязкой несжимаемый жидкости наиболее часто используется система уравнений Навье-Стокса в переменных «функция тока — вихрь» или эквивалентное ей уравнение для функции тока. Однако применение этих уравнений для решения задач в многосвязных областях затруднено тем обстоятельством, что, приняв значение функции тока на одной из границ равным некоторой постоянной величине, мы не можем определить функцию тока на других границах. В связи с этим возникают определенные трудности численного решения уравнений.
42
Компоненты скорости V1 и V2 выражаются соотношениями
V1 =■
5у _ 5у cy , V2 _ дх '
Тогда условия непротекания и прилипания на неподвижных твердых стенках cQ.;, i = 0, n , дают для у следующие граничные условия:
— = 0, ^ = 0, (x,y) едП = U cQ.j , (2)
от on j=0
д д
где —---производная вдоль касательной; —----
от on
производная вдоль нормали к 8Q .
РИ, 2003, № 1
