Численный метод расчета фильтрационного течения под флютбетом при наличии линз Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63 : 532.5

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ ПОД ФЛЮТБЕТОМ ПРИ НАЛИЧИИ ЛИНЗ

БЛИШУН А.П.______________________________

Рассматривается задача расчета фильтрационного течения под флютбетом при наличии в области фильтрации областей, заполненных практически водонепроницаемой средой (линз). На основании совместного применения принципа суперпозиции, методов R-функций и Ритца строится численный метод решения поставленной задачи.

Введение

Актуальность исследования. В последние годы наблюдается развитие таких процессов как зарегулиро-ванность поверхностного стока с существенным снижением естественной дренажности и устойчивым подъемом уровня водоносных горизонтов, что приводит к сильному и устойчивому подтоплению, разрушению естественной геохимии и техногенному загрязнению сельскохозяйственных, городских и других ландшафтов. При этом на практике часто встречаются случаи, когда внутри области фильтрации находится одна или несколько линз - областей, заполненных практически водонепроницаемой средой. При расчете таких фильтрационных течений приходится решать краевую задачу математической физики в многосвязной области. Решение такого класса задач требует развития принципиально новых методик. Таким образом, разработка новых и усовершенствование существующих методов математического моделирования и численного анализа фильтрационных течений в многосвязных областях (т. е. при наличии в области фильтрации линз) является актуальной научной проблемой.

Для решения задач математической физики, описывающих фильтрационные течения, используются различные точные и приближенные методы: разделения переменных, теории функций комплексного переменного, метод мажорантных областей, суммарных представлений, метод фиктивных областей, конечных элементов и др. Классические результаты по этим методам отражены в монографиях [6, 8 - 12, 14, 15].

Каждый из перечисленных методов обладает рядом достоинств и недостатков. К основным недостаткам точных методов следует отнести ограниченный круг областей, к которым они могут быть применены, а основным недостатком приближенных методов является то, что при их реализации обычно от рассмотрения геометрически сложных участков границы области фильтрации переходят к более простым, например, составленным из отрезков прямых.

Наиболее точно и полно учесть геометрическую и аналитическую информацию, содержащуюся в крае-

вой задаче, позволяет метод .^-функций академика НАН Украины В. Л. Рвачева [16].

Для численного решения задач фильтрации метод .^-функций был применен в работах [2 - 5, 17]. Для моделирования фильтрационных течений в многосвязных областях метод .^-функций не использовался.

Цель и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка новых средств математического моделирования и численного анализа фильтрационных течений в многосвязных областях на основании принципа суперпозиции и методов .^-функций и Ритца. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- используя принцип суперпозиции, свести исходную задачу к набору вспомогательных задач;

- для решения вспомогательных задач построить в соответствии с методом .^-функций полные структуры решения;

- для аппроксимации неопределенных компонент структур разработать численный алгоритм на основании метода Ритца.

1. Постановка задачи

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости под гидротехническим сооружением (плотиной). На рисунке приведена схема фильтрации. Здесь Q - область фильтрации, Q0 - подводная часть плотины (флютбет), Qj, ..., Qn - линзы.

Схема фильтрации

Плоскую стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости будем описывать в рамках линейного закона Дарси уравнениями [14]

div v = 0, (1)

v = -KVh в Q , (2)

где v = (vx, vy) - скорость фильтрации; к - коэффициент фильтрации; h = y + — - пьезометрический

Pg

напор; p - давление; P - плотность жидкости, а g -ускорение силы тяжести.

Из (1), (2) следует уравнение для напора:

18

РИ, 2012, № 3

д_

dx

dh

к—

dx

д ( dh' Q

dy I dy.

(3)

Для численного анализа задачи удобнее от уравнения (3) для напора h(x, у) перейти к уравнению для функции тока у(x, у), вводимой соотношениями

Постановка задачи (6) - (9) напоминает видоизмененную задачу Дирихле, которая часто встречается при решении прикладных задач [1, 7].

Сходная по постановке задача гидродинамики вязкой жидкости решалась методами ^-функций и Ритца в работе [18].

v

x

ду ду ’

v

У

ду дx .

(4)

Как видно, уравнение неразрывности (1) при этом обращается в тождество, а из (2) следует, что

дh 1 ду дh 1 ду

дx к ^ ’ дy к дx '

2. Применение принципа суперпозиции

Согласно принципу линейной суперпозиции [7] решение задачи (6) - (9) ищем в виде

n

у(^ У) = у0(x У) + XУ), (10)

i=1

где у0 (x, у) - решение задачи

Исключив из (5) перекрестным дифференцированием h, для функции тока у получим уравнение

МІдУ0І--(JJ&L0 в Q, (11)

дx^к дx ) ду(к ду )

Ц 1^1 = 0 в Q . (6)

дx ^к 3x ) ду ^к ду )

Дополним уравнение (6) краевыми условиями.

На проницаемых участках границы 3Q0, 1 и 3Q0, 2 следует поставить однородные условия Неймана:

= 0. (7)

дП 3Q0, ^0, 2

где п - внешняя к 3Q0, 1U 3Q0, 2 нормаль. Физический смысл условия (7) (как видно из (5)) заключается в постоянстве напора на 3Q0, 1U 3Q0, 2.

Водоупор 3Q0, 3, граница флютбета со шпунтами 3Q0,4 и границы линз 3Q1 , ..., дQn водонепроницаемы, поэтому нормальная составляющая скорости v на этих участках границы равна нулю, т.е. они являются линиями тока. Это приводит к следующим краевым условиям:

у|д

=0,

ук 4 = Q, уЦ= ci, І = 1, 2, n, (8)

0,3

ду0

дп

3Q

0, 1

U3Q0, 2

=0,

(12)

у|,

I3Q0, зUдQ1U...UдQI

0,

у|ді

0, 4

Q,

а уi(x, у), і = 1, 2, n - решения задач

_Ц ^ ау W і ау )=0 в q

3x ^к 3x ) ду ^к ду )

(13)

5уі

дп

= 0, уі

= 0.

3Q0 1U3Q0

0, 3

0, 4

уі

0 (j = 1,2, n, j * і), уі Ц = 1. (14)

Подставив (10) в (9) для определения постоянных c1, c2, cn, получим систему линейных алгебраических уравнений

1 ■кдп 1у0+Хc.у. Ids=0,

к дп

SQ

і = 1, 2, n ,

где величина Q задаёт общий расход жидкости, а q, или

і = 1, 2, n - неизвестные постоянные, которые определяются из интегральных соотношений

f -^ds = 0 і = 1, 2,

J к дп ’

(9)

n

3q

Итак, для определения функции тока фильтрационного течения нужно в области Q решить уравнение (6) при краевых условиях (7), (8), причем решение должно удовлетворять интегральным условиям (9).

Будем считать, что все кривые в области фильтрации являются гладкими или кусочно-гладкими, а коэффициент фильтрации к есть непрерывная в Q функция, причем 0 < к1 < <x, у) < к2 в Q = QU3Q , 3Q - граница области Q .

n

X c. f

k=1 дQi

і

к дп

ds = "J

дQi

1 ду0

к дп

ds

і = 1, 2, n . (15)

Как следует из теории уравнений в частных производных в сделанных выше предположениях относительно границы 3Q области фильтрации Q и коэффициента фильтрации к , смешанные задачи (11), (12) и (13), (14) однозначно разрешимы (по крайней мере в обобщенном смысле) в соответствующих функциональных пространствах (см. ниже). Обоснование используемого принципа суперпозиции основано на доказательстве однозначной разрешимости системы (15). Это доказательство основано на принципе максимума для эллиптических уравнений и проводится по аналогичной схеме, использованной в [7] для видоизмененной задачи Дирихле.

РИ, 2012, № 3

19

3. Использование методов R-функций и Ритца

Для решения задач (11), (12) и (13), (14) воспользуемся методами ^-функций [16] и Ритца [13]. Пусть

функции ю„, !, ю„, 2, Юо, 3, “о, 4, • • •, 5 удовлетво-

ряют условиям:

1) Ю0, k = 0 на 5Qo, k;

2) Юо,к >0 в Q\5Qo, к;

3)

дю0, к

дп

1 на dQo, к,

где п - внешняя к dQ0, k нормаль, к = 1, 2, 3, 4;

а) юі = 0 на dQ;

б) юі > 0 в Q \ dQ;;

ла - знак R -конъюнкции:

f л“g=тта(f+g -^f2+g2 - 2afg), -1 <a-Ь

Тогда, как следует из результатов работы [16], краевым условиям (16) точно удовлетворяет пучок функций

V0 = f0 + 51Ф0 -

+ D(2)(5^)-®2^,] (20)

а краевым условиям (18) удовлетворяют пучки функций

Vi = fi +®1°i -

-“ЮюН^ + D(2)(5^)-Й2^і]

ю1 + ю2

, (21)

дюі

в) —— = -1 на dQ,

дп і'

где п - внешняя к dQi нормаль, i = 1, 2, n .

Такие функции всегда можно построить, используя конструктивный аппарат теории ^-функций [16].

Тогда краевые условия (12) можно записать в виде

3^0

дп

д00, 1ид^0, 2

= 0

01да\(да0> ^до,,, 2) 01да\(да0> ,

(16)

где

Ю0, 3 Ла I Ла Юк

f0 = Q- V к=

<

а условия (14) можно записать в виде

= 0

дУі

дп

д00,1ид00, 2

Vi

= f;

(17)

Іда\(д00, 1ид00,2) i 1да\(д00, jU^, 2) ?

(18)

где

fi =-

( л

n

ЛаЮк

к=1

V к»

( \

Ла “к к=1

V к»

, i = 1, 2, ..., n . (19)

Здесь

\(3q0 jU 3q0 2) = 3q0 3u 3q0 4u 3q1u...u дОп,

i = 1, 2, ..., n . Здесь f0, fi, i = 1, 2, ..., n , определяются формулами (17), (19) соответственно, Ф0, Фі , Т0,

Т, i = 1, 2, ..., n , - неопределенные компоненты структур;

( n Л

Ю1 = Ю0,3 Ла Ю0, 4 Ла

Ла Юк

V к=1 )

Ю2 “ Ю0,1 Ла Ю0, 2 ,

d(2) = 552 А 1 дх дх

д52 д + —2—.

ду ду

Итак, построены структура решения краевой задачи (11), (12) (формула (20)) и структуры решения краевых задач (13), (14) (формулы (21)).

Для аппроксимации неопределенных компонент в (20), (21) (положим Т0 = Т =... = Tn = 0) воспользуемся

методом Ритца [13]. Аппроксимации для Ф0, Фі , i = 1, 2, . . ., n , будем искать в виде

Ф0 *Ф0И

= У а(0)х- Ф- «Ф“ = Уа(і)т ■

J J , - - J J

j=1

J=1

где {тj } - полная в L2 (Q) система функций (степенные или тригонометрические полиномы, сплайны и т.п.).

Тогда приближенное решение V0, N задачи (11), (12) ищем в виде

N

V0, n = g0 +Уа РФ-, (22)

j=j

а приближенное решение задачи (13), (14) ищем в виде

N

Vi, N = gi +Уа fVj, і = 1, 2, ..., n, j=j

где обозначено

20

РИ, 2012, № 3

go

fo -

ю,ю

1Ш2

С»! + O2

-D(2)fo

gi = fi -

Cl®2 -D(2)fi5 i =

Oj + o2

1, 2, n

Ф‘=51^-0+2з7 + D(2)(OlTj). j = 1. 2.N.(23)

В задаче (11), (12) сделаем замену

Vo = go + u0.

здесь uo - новая неизвестная функция. Тогда для uo получим краевую задачу с однородными краевыми условиями

duo J- -' 1 d^ J =

dx ) dy [ к dy J =

= 0 ^0

0,1UdQ0, 2) ’ dn 3Qo.

в Q:

= o

(24)

(25)

o. 2

Для минимизации функционала (27) воспользуемся методом Ритца [13].

По построению последовательность {ф j} вида (23) является координатной:

1) фj є DA vj;

2) VN фр ФN линейно-независимы;

3) {фj} полна в HA .

Тогда приближенное решение задачи (24), (25) со-

N

гласно (22) ищем в виде u0, N = ^а(0)фj .

j=1

В соответствии с методом Ритца неизвестные коэффициенты а(0), j = 1, 2, N , получим как решение системы

Zfoj> Фг]а(0) = (Fo, Фг), г = 1, 2, N.

j=1

где Fo =М^1+-^ ].

dx dx ) dy(к dy )

Считаем, что Fo є L2 (Q).

С задачей (24), (25) свяжем оператор A этой краевой задачи, который действует в L2 (Q) по правилу

д

dx

1 du

к dx

на области определения

D

A

d ' 1 du dy dy

(26)

Из теорем сходимости метода Ритца [13] следует, что при N последовательность функций u0, N сходится к единственному обобщенному решению краевой задачи (24), (25) как в норме L2 (Q), так и в норме HA. Это значит, что последовательность функций

V0,N = g0 + u0, N сходится в норме L2(Q) к единственному обобщенному решению задачи (11), (12). Условия применимости описанного численного метода формулируются в виде условия Fo є L2(Q).

Численный метод решения задач (13), (14) строится и обосновывается аналогично.

= iu u є

C2(Q)I C‘(Q), u|

= du

0Q\(aQo, ,UaQo, 2) =dn

= o!

5Qo ,U5Qo

Пополнив множество DA в норме, порожденной скалярным произведением

гг 1 (да dv du dv 1

[u’ v] =ІЦаг dx+dy dy J dxdy2

получим соответствующее энергетическое пространство HA .

Нетрудно показать, что оператор A (26) будет положительно определенным в HA . Тогда по теореме о функционале энергии получим [13], что задача (24), (25) эквивалентна задаче нахождения в HA точки минимума функционала:

J[uo] = |uo|2 - 2(uo, Fo) =

uoFodxdy. (27)

Выводы

Впервые предложен и обоснован приближенно-аналитический метод расчета фильтрационных течений в многосвязных областях. Он отличается от известных методов тем, что с помощью метода R-функций точно учитывает всю аналитическую и геометрическую информацию, содержащуюся в математической модели. Предложенный метод может быть использован при расчете различных гидросооружений.

Литература: 1. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с. 2. Блишун А.П. Метод ^-функций в задачах стационарной фильтрации со свободной границей // Вісник Запорізького національного університету. 2011. № 2. С. 29 - 37. 3. БлишунА.П., СидоровМ.В., Яловега И.Г. Математическое моделирование и численный анализ фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями с помощью метода ^-функций // Радиоэлектроника и информатика. 2010. № 2. С. 40 - 46. 4. Блишун А.П., Сидоров М.В., Яловега И.Г. Математическое моделирование стационарных фильтрационных течений со свободной границей методом ^-функций // АСУ и приборы автоматики. 2010. Вып. 150. С. 18 - 27. 5.

РИ, 2012, № 3

21

Блишун А.П., Сидоров М.В., Яловега И.Г. Численный анализ стационарных фильтрационных течений со свободной границей структурно-вариационным методом // АСУ и приборы автоматики. 2010. Вып. 151. С. 20 - 27. 6. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с. 7. Вабищевич П.Н. Приближенное решение видоизмененной задачи Дирихле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 11. С. 1655 - 1669. 8. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с. 9. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с. 10. Ляшко Н.И., Великои-ваненко Н.М. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации. К.: Наук. думка, 1973.264 с. 11. Ляшко И.И., Великоиваненко И.М., Лаврик В.И., Мистецкий Г.Е. Метод мажорантных областей в теории фильтрации. К.: Наук. думка, 1974. 200 с. 12. Ляшко И.И., Сергиенко Н.В., Мистецкий Г.Е., Скопецкий В.В. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ. К.: Наук. думка, 1977. 288 с. 13. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.:

УДК 517.95 : 519.63 '

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ЗАДАЧ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

АРТЮХ А.В., ЯЛОВЕГА И.Г.__________________

Рассматривается линейная задача расчета нестационарного плоскопараллельного течения вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости в конечной односвязной области. Для описания течения используется система дифференциальных уравнений для функции тока и температуры. На основании метода R-функций и метода Галеркина строится приближенное решение этой задачи. Проводится вычислительный эксперимент для модельной задачи.

Введение

Актуальность задачи. Задачи, связанные с движением жидкости в различных областях, играют важную роль в развитии современной техники и естествознания, а именно в теплоэнергетике, геофизике, биологии и пр. Во многих практически важных случаях жидкость можно с большой достоверностью считать вязкой несжимаемой ньютоновской средой, и проходящие в ней процессы могут быть промоделированы с помощью уравнений Навье-Стокса [1,2]. С развитием возможностей вычислительной техники более активно используется математическое моделирование. Обычно для расчета вязких течений применяют численные методы [3-5 и др.]: метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они просты в реализации, но не обладают необходимым свойством универсальности - при переходе к новой области (особенно неклассической геометрии) необходимо генерировать новую сетку, а часто и заменять сложные участки границы простыми, составленными, например, из отрезков прямых. Точно учесть геометрию области

22

Наука, 1970. 511 с. 14. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с. 15. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. Мн.: Изд-во «Университетское», 1987. 182 с. 16. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 17. СидоровМ.В., Стороженко А.В. Математическое и компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 4. С. 58 -61. 18. Сидоров М.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №1. С. 42 - 44.

Поступила в редколлегию 2.10.2012

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Блишун Александр Павлович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы математической физики, теория R-функций и её приложения. Увлечения и хобби: покер, футбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

можно, воспользовавшись конструктивным аппаратом теории R-функций, разработанной акад. В.Л. Рва-чевым и его учениками [6,7 и др.]. Задачи гидродинамики решались в работах С.В. Колосовой, К.В. Мак-сименко-Шейко, И.Г. Суворовой, Т.И. Шейко, М.В. -Сидорова и др. [8-11, 17], однако в основном рассматривались задачи динамики идеальной жидкости или вязкой для случаев стационарного течения, когда можно построить решение за счет удачного выбора координат. Поэтому разработка новых, а также совершенствование существующих методов математического моделирования нестационарных течений теплопроводной вязкой жидкости на основе метода R-функций и проекционных методов является актуальной научной проблемой.

Цели и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка новых средств математического моделирования и численного анализа нестационарных плоскопараллельных течений вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости в конечных односвязных областях в линейном приближении на основании методов R-функций и Г алеркина. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- получить полную структуру решения начальнокраевой задачи для функции тока и температуры, используя метод R-функций;

- разработать и обосновать алгоритм аппроксимации неопределенных компонент полученных структур на основании метода Г алеркина;

- провести вычислительные эксперименты.

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейную задачу расчета нестационарного течения вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости. Пусть О - плоская односвязная ограниченная область с кусочно-гладкой границей дО.

РИ, 2012, № 3